考向44排列、组合-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）(31254234)_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

考向 44 排列、组合 1．（2021·全国·高考真题（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解. 【详解】 将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有 种排法，若2个0不相邻，则有 种排法， 所以2个0不相邻的概率为 . 故选：C. 2．（2021·山东·高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其 余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．100 【答案】A 【分析】 根据组合的定义计算即可. 【详解】 从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有 种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就 定了） 故选：A1.解决排列问题的主要方法有： （1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁 “特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置. （2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意 捆绑元素的内部排列. （3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前 面元素排列的空当中. （4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. 2.组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可 用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多” 等关键词的含义，做到不重不漏. 3.先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成. 第一步：选元素，即选出符合条件的元素; 第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列; 第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.（5）若某些问题从正面 考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”. 1．排列 （1）排列的定义 m(mn) 一般地，从n个不同元素中取出 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列. （2）排列数、排列数公式 m(mn) 从n个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排 Am 列数，用符号 n 表示.Am 一般地，求排列数 n 可以按依次填m个空位来考虑： a ,a ,L ,a 假设有排好顺序的m个空位，从n个元素 1 2 n中任取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种 填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m个步骤来实现. n(n1)(n2)L [n(m1)] 根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有 种填法. Am  n(n1)(n2)L (nm1) m,nN mn 这样，我们就得到公式 n ，其中 ，且 .这个公式叫做排列 数公式. mn n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，这时公式中 ，即有 An n(n1)(n2)L 321 n ，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连 n! 乘积.正整数1到n的连乘积，叫做 n的阶乘，用 表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写成 An n! 0! n .另外，我们规定 1. n! Am  (nm)! m,nN mn 于是排列数公式写成阶乘的形式为 n ，其中 ，且 . 注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事， m(mn) 排列数是指“从n个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数. 2．组合 （1）组合的定义 m(mn) 一般地，从n个不同元素中取出 个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合. （2）组合数、组合数公式 m(mn) 从n个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的Cm 组合数，用符号 n 表示. Am n(n1)(n2)L (nm1) Cm  n  n Am m! m,nN mn m ，其中 ，且 .这个公式叫做组合数公式. n! n! Am  (nm)! Cm  m!(nm)! m,nN mn 因为 n ，所以组合数公式还可以写成 n ，其中 ，且 . C0 1 另外，我们规定 n . 【知识拓展】 组合数的性质 Cm Cnm 性质 1 ： n n . nm 性质 1 表明从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合，与剩下的 个元素的组合是一一对应关系 . Cm Cm Cm1 性质 2 ： n1 n n . n1 性质 2 表明从 个不同元素中任取 m 个元素的组合，可以分为两类：第 1 类，取出的 m 个元素中不含某 Cm 个元素 a 的组合，只需在除去元素 a 的其余 n 个元素中任取 m 个即可，有 n 个组合；第 2 类，取出的 m m1 个元素中含有某个元素 a 的组合，只需在除去 a 的其余 n 个元素中任取 个后再取出元素 a 即可，有 Cm1 n 个组合 . 1．（2021·全国·模拟预测（理））由于全球新冠肺炎疫情呈高发态势，我国零星散发病例和局部地区聚集 性疫情明显增加，为了全面抗击，做到网格化管理，要求在2021年1月28日至3月8日春运期间必须持 新冠病毒核酸检测阴性证明才能出行．若甲、乙两人去 ， ， ， 四个医院中的一个做检测，则他们 不在同一个医院做检测的概率为（ ）A． B． C． D． 2．（2021·河北·模拟预测）5名同学到甲､乙､丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个 社区至少有1名同学，每名同学只能去1个社区，且分配到甲､乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法 的种数为（ ） A．60 B．80 C．100 D．120 3．（2021·浙江嘉兴·模拟预测）现有7人排队接种新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙 丁相邻，则有______种不同的排队方法.（用数字作答） 4．（2021·广东·模拟预测）“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主 义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学 习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和 这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有________种．（用数字作答） 1．（2021·河北衡水中学模拟预测）“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗､勇敢拼搏精神的总概括，她 们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗､勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于 9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成 功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP，她 和颜妮､丁霞､王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间， 她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为（ ） A． B． C． D． 2．（2021·全国·模拟预测（理））现有甲、乙、丙、丁四名义工到 ， ， 三个不同的社区参加公益活 动．若每个社区至少分一名义工，则甲单独被分到 社区的概率为（ ） A． B． C． D． 3．（2021·河南南阳·模拟预测（理）） ， ， ， ， ， 六名同学进行劳动技术比赛，决出第 名 到第 名的名次． ， ， 去询问成绩，回答者对 说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对 说：“你的名次在 之前．”对 说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析， 人的名次排列情况种 数共有（ ）A． B． C． D． 4．（2021·江苏南通·模拟预测）在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内甲､乙､丙三个 小区中选取6人做志愿者，协助防控和宣传工作.若每个小区至少选取1人做志愿者，则不同的选取方法有 （ ） A．10种 B．20种 C．540种 D．1080种 5．（2021·四川·石室中学一模（理））某城市的汽车牌照号码由 个英文字母后接 个数字组成，其中 个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个 A． B． C． D． 6．（2021·湖南长沙·模拟预测）一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学 生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自 同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（ ）种． A．36 B．48 C．72 D．120 7．（2021·浙江·学军中学模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加 A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答） 8．（2021·浙江·模拟预测）有6张卡片分别写有数字1，1，1，2，3，4，从中任取4张，可排出不同的四 位数的个数是___________.(用数字作答) 9．（2021·浙江·模拟预测）某重点中学安排甲、乙在内的5名骨干教师到3所乡镇学校开展支教帮扶活动， 每所学校至少安排一名教师，每个教师也只能去一所学校，若甲、乙2名教师不去同一所学校，则不同的 安排方法有______种． 10．（2021·辽宁沈阳·三模）安排高二年级一､二两个班一天的数､语､外､物､体，一班的化学及二班的政治 各六节课．要求体育课两个班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班的政治要安 排在同一节；其他语､数､外､物四科由同一任课教师分班上课，则不同的排课表方法共有__________种． 11．（2021·江西·模拟预测（理））新冠疫情防控期间，某中学安排甲､乙，丙等7人负责某个周一至周日 的师生体温情况统计工作，每天安排一人，且每人负责一天.若甲､乙、丙三人中任意两人都不能安排在相 邻的两天，且甲安排在乙，丙之间，则不同的安排方法有___________种(用数字作答). 12．（2021·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是 全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部（3男4女到三 个贫困村调研走访，每个村安排男、女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有 _______种（用具体数字回答）．1．（2020·山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学 科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ） A．12 B．120 C．1440 D．17280 2．（2021·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8 3．（2014·全国·高考真题（理））4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周 日都有同学参加公益活动的概率为 A． B． C． D． 4．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里 至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A．2种 B．3种 C．6种 D．8种 5．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个 项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 6．（2020·海南·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安 排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 7．（2019·全国·高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A． B． C． D． 8．（2019·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下 到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一 重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A． B． C． D． 9．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区， 每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 10．（2018·浙江·高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可 以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 11．（2018·全国·高考真题（理））从 位女生， 位男生中选 人参加科技比赛，且至少有 位女生入选， 则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 12．（2017·浙江·高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4 人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 1．【答案】C 【分析】 先求出总的基本事件数，再求出符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可． 【详解】 解：由题意可知，甲、乙两人去 ， ， ， 四个医院做检测的所有情况数为 ， 而不在同一医院做检测的所有种数为 ， 所以所求概率为 ． 故选：C．2．【答案】C 【分析】 根据题意，需要将5人分为3组，按分组的人数不同，分2种情况讨论，求出每种情况的分配方法数目， 由加法原理计算可得答案． 【详解】 根据题意，分2种情况讨论： ①将5人分为1、1、3的三组， 此时5人分三组有 种分组方法， 分配到甲、乙两个社区的人数不同，有 种情况， 则此时有 种分配方法； ②将5人分为1、2、2的三组， 此时5人分三组有 种分组方法， 分配到甲、乙两个社区的人数不同，有 种情况， 则此时有 种分配方法； 则有 种分配方法， 故选：C 3．【答案】240 【分析】 丙丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲乙丙（丁），其他3个任意排列， 由此可得结论． 【详解】 丙丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲乙丙（丁），其他3个任意排列， 方法数为 ． 故答案为：240． 4．【答案】12 【分析】 先对视频进行排序，再将文章进行插空即可求解.【详解】 解：先将 个视频进行排序，再将2篇文章进行插空， 则共有 种排法. 故答案为： . 1．【答案】B 【分析】 利用排列组合与概率的定义，进行计算即可 【详解】 4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则不同的排法有 种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有 种，所以所求概率 故选：B 2． 【答案】A 【分析】 利用排列组合求得每个社区至少分一名义工的方法数，然后求出其中甲被分到 社区的方法数，利用概率 公式求得结果. 【详解】 依题意得，甲、乙、丙、丁到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分一名义工的方法数是 ， 其中甲被分到 社区的方法数是 ，因此甲被分到 社区的概率 ． 故选：A． 3． 【答案】A 【分析】先选冠军有 种可能，最后一名有 种可能，再排剩下 个位置，即得解. 【详解】 因为 ， ， 都没有得到冠军，所以从 ， ， 中选一个为冠军，有 种可能． 因为 不是最后一名， 的名次又在 之前，所以最后一名有 种可能，剩下 个位置． 因为 ， 定序，所以有 种可能， 所以 人的名次排列有 种不同情况． 故选：A 4． 【答案】C 【分析】 首先分析将6个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有： 三种情况，每种 情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可. 【详解】 解：①当6个人分为2，2，2三小组，分别来自3个小区，共有 种， ②当6个人分为4，1，1三小组时，分别来自3个小区，共有 种， ③当6个人分为3，2，1三小组时，分别来自3个小区，共有 种， 综上，本题的选法共有 ， 故选：C. 【点睛】 (1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分 步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素 (或位置)． (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组； ③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 5． 【答案】D 【分析】先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由分步计数原理 即可得结论． 【详解】 解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为 ，后接4个数字组成的方法数为 ，所以由 分步计数原理可得不相同的牌照号码共有 个. 故选：D． 6．【答案】B 【分析】 把两个高一学生排列，然后按一个高三学生是否在两个高一学生之间分类，在中间，把2个高二学生插入 四个空档；不在时，选一个高二排在中间，然后在两边选一位置插入高三学生，再插入另一高二学生，由 此可得排法数． 【详解】 先排高一年级学生，有 种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有 种排法；②若高一学生中间 无高三学生，有 种排法，所以共有 种排法． 故选：B． 【点睛】 关键点点睛：本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成事件的方法，是分类还是分步．不相邻问题 插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中． 7．【答案】 【分析】 由题意，按照甲乙是否参加志愿活动分4种情况讨论，求出每种情况的选拔方案数量，再由加法计数原理 相加计算. 【详解】 根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，有 种 选拔方法； ②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下的4人中任选2人参加A、B项目，有种选拔方法； ③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下的4人中任选2人参加B、C项目，有 种选拔方法； ④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B项目，有 种选拔方法，则有 . 故答案为： 8．【答案】72 【分析】 按构成的四位数中含数字1的个数分类求解即得. 【详解】 完成构成四位数这件事有分三类： 四个数字中有1个“1”：共有 个； 四个数字中有2个“1”：共有 ； 四个数字中有3个“1”：共有 ， 由加法计数原理得排出不同的四位数的个数是24+36+12=72个. 故答案为：72 【点睛】 思路点睛：解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位 置)． 9．【答案】114 【分析】 用间接法. 先求出不考虑条件“甲、乙2名教师不去同一所学校”的不同安排方法，再求出甲、乙2名教师 去同一所学校的不同安排方法，相减即可得到结果. 【详解】 不考虑条件“甲、乙2名教师不去同一所学校”，则不同的安排方法有 （种）．若甲、乙2名教师去同一所学校，则不同的安排方法有 （种），所以满足题意的 安排方法有 （种）． 故答案为：114. 【点睛】 方法点睛：解答受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统 一，避免出现重复或遗漏． 10．【答案】5400 【分析】 先安排体育课（不能在第一节），再安排化学和政治在同一节，剩下4门主课，先安排一班，再安排二班 即可. 【详解】 先安排体育课（不能在第一节）有 种，化学和政治在同一节有 种， 剩下4门主课，不能同时上一种课，先安排一班有 种， 不妨设第1，2，3，4节的顺序， 二班第一节，一班有3种选项第2，3，4节， 对应一班选出的某节课，比如第2节， 在一班上第2节时，有第1，3节，第1，4节，第3，4节3种， 故不同的排课表方法共有 种, 故答案为：5400 【点睛】 方法点睛：排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理； (5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后 局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件． 11．【答案】480 【分析】 安排方式为先让余下的四人排列，然后利用插空法选出3个空位，然后把甲放中间进行排列即可. 【详解】选将甲､乙､丙之外的四人进行排列，共有 种方法，再用甲､乙､丙插空，甲在中间，有 种方法，故 共有 . 故答案为：480 12．【答案】144 【分析】 先安排男干部，再安排女干部，由排列组合以及分步乘法计数原理得出答案. 【详解】 ∵每个村男､女干部各1名，∴可先安排男干部，共 种，再安排女干部，共有 种，∴共有 种不同的安排方案 故答案为：144. 【点睛】 关键点睛：在从4名女干部中选3人到三个贫困村调研走访时，关键是按照先选后排的方法进行处理. 1．【答案】C 【分析】 首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有 种不同安排方法. 【详解】 首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有 种情况， 再分别担任5门不同学科的课代表，共有 种情况. 所以共有 种不同安排方法. 故选：C 2．【答案】C 【分析】利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】 解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是： ， 共10种排法， 其中2个0不相邻的排列方法为： ， 共6种方法， 故2个0不相邻的概率为 ， 故选：C. 3．【答案】D 【详解】 试题分析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有 种不同的结果， 而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有 种不同 的结果；（2）周六、日各2人，有 种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有 种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ，选D． 【考点定位】1、排列和组合；2、古典概型的概率计算公式． 4．【答案】C 【分析】 首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可. 【详解】 第一步，将3名学生分成两个组，有 种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有 种安排方法 所以，不同的安排方法共有 种故选：C 【点睛】 解答本类问题时一般采取先组后排的策略. 5．【答案】C 【分析】 先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求 得. 【详解】 根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2 人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四 个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 种 不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】 本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 6．【答案】C 【分析】 分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】 首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ； 然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法数有 ； 最后剩下的 名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有 种. 故选：C 【点睛】 本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 7．【答案】D【分析】 男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解. 【详解】 两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同， 所以两位女生相邻与不相邻的概率均是 ．故选D． 【点睛】 本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解 题． 8．【答案】A 【分析】 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养， “重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题， 利用直接法即可计算． 【详解】 由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有 情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有 ，所以该重卦恰 有3个阳爻的概率为 = ，故选A． 【点睛】 对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题． 本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排 列问题即为组合问题． 9．【答案】 【分析】 根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解. 【详解】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学 先取2名同学看作一组，选法有：现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和 计算能力，属于中档题. 10．【答案】1260. 【详解】 分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为 若取零，则排列数为 因此一共有 个没有重复数字的四位数. 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的 排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 11．【答案】 【分析】 首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从 人中任选 人的选法种数，之后应用减 法运算，求得结果. 【详解】 根据题意，没有女生入选有 种选法，从 名学生中任意选 人有 种选法， 故至少有 位女生入选，则不同的选法共有 种，故答案是 . 【点睛】 该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选 人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有 名女 生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解. 12．【答案】660 【详解】 第一类，先选 女 男，有 种，这 人选 人作为队长和副队有 种，故有 种；第二类，先选 女 男，有 种，这 人选 人作为队长和副队有 种，故有 种， 根据分类计数原理共有 种，故答案为 .