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知识点 55：应用三大观点解决悬绳模型与滑块碰撞问题
【知识点的理解与运用】
1．解动力学问题的三种观点：
①动力学的方法：运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题．
②能量方法：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
③动量方法：用动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
2．力学规律的选用原则
①如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
②研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问
题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题．
③若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和能量守恒
定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
④在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统
机械能的减少量，即转变为系统内能的量．
⑤在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统
机械能与其他形式能量之间的转换．这种问题由于作用时间都极短，因此用动量守恒定律
去解决．
3．滑块与悬物碰撞模型的特点：
悬绳模型是指由悬绳或通过弧形滑槽将不同的物体连在一起组成的系统。此类问题应认清
物体的运动过程和运动状态，注意物体运动到最高点或最低点时速度相同的隐含条件及系
统机械能守恒定律的应用。
考点一：悬绳与滑块碰撞问题
题型一：悬绳与滑块水平式碰撞模型
【典例1提高题】如图所示，一光滑水平桌面AB与一半径为R的光滑半圆形轨道相切于
C点，且两者固定不动.一长L为0.8 m的细绳，一端固定于O点，另一端系一个质量m ＝
1
0.2 kg的球.当球在竖直方向静止时，球与桌面接触且对水平桌面的作用力刚好为零.现将球
提起使细绳处于水平位置时无初速度释放.当球m 摆至最低点时，恰与放在桌面上的质量
1
m ＝0.8 kg的小铁球正碰，碰后m 小球以2 m/s的速度弹回，m 将沿半圆形轨道运动，且
2 1 2
恰好能通过最高点D，两球均可视为质点，取g＝10 m/s2，求：
(1)m 在半圆形轨道最低点C的速度大小；
2
(2)光滑圆形轨道的半径R.
【典例1提高题】【答案】(1)1.5 m/s (2)0.045 m
1
学科网（北京）股份有限公司【解析】(1)设球m 摆至最低点时速度大小为v，由机械能守恒定律知mgL＝mv2，可得
1 0 1 1 0
v＝＝ m/s＝4 m/s，m 与m 碰撞，动量守恒，设m 、m 碰后的速度大小分别为v、v，
0 1 2 1 2 1 2
取向右的方向为正方向，则mv＝－mv＋mv，解得v＝1.5 m/s
1 0 1 1 2 2 2
(2)m 在CD轨道上运动时，由机械能守恒有mv2＝mg·2R＋mv2，由小球m 恰好能通过
2 2 2 2 2 D 2
最高点D可知，重力提供向心力，即mg＝，联立解得R＝0.045 m.
2
【典例1提高题对应练习】如图所示，在粗糙水平面上A点固定一半径R＝0.2 m的竖直光
滑圆弧轨道，底端有一小孔。在水平面上距A点s＝1 m的B点正上方O处，用长为L＝
0.9 m的轻绳悬挂一质量M＝0.1 kg的小球甲，现将小球甲拉至图中C位置，绳与竖直方向
夹角θ＝60°。静止释放小球甲，摆到最低点B点时与另一质量m＝0.05 kg的静止小滑块乙
(可视为质点)发生完全弹性碰撞。碰后小滑块乙在水平面上运动到 A点，并无碰撞地经过
小孔进入圆轨道，当小滑块乙进入圆轨道后立即关闭小孔，g＝10 m/s2。
(1)求甲、乙碰前瞬间小球甲的速度大小；
(2)若小滑块乙进入圆轨道后的运动过程中恰好不脱离圆轨道，求小滑块乙与水平面的动摩
擦因数。
【典例1提高题对应练习】【答案】(1)3 m/s (2)0.3或0.6
【解析】(1)小球甲由C到B，由动能定理得：Mg(L－Lcosθ)＝Mv，解得v＝3 m/s。
0
(2)甲、乙发生完全弹性碰撞，由动量守恒定律得 Mv ＝Mv ＋mv ，由能量守恒定律得Mv
0 1 2
＝Mv＋mv，解得v ＝4 m/s，若小滑块乙恰能经过最高点，则最高点速度 v满足mg＝m，
2 t
解得v＝。从B到圆轨道最高点，由动能定理有－μmgs－2mgR＝mv－mv，解得μ＝0.3。
t
若滑块乙不能经过圆轨道最高点，则最高位置必与圆心同高，由动能定理得－μ′mgs－mgR
＝0－mv，解得μ′＝0.6，所以小滑块与水平面的动摩擦因数为0.3或0.6。
题型二：悬绳模型与滑块碰撞+板块模型
【典例2提高题】质量为m ＝2 kg的木板B静止于光滑水平面上，质量为m ＝6 kg的物
B A
块A停在B的左端，质量为m ＝2 kg的小球C用长为l＝0.8 m的轻绳悬挂在固定点O。现
C
将小球C及轻绳拉直至水平位置后由静止释放，小球 C在最低点与A发生正碰，碰撞作用
时间很短为Δt＝10－2 s，之后小球C反弹所能上升的最大高度h＝0.2 m。已知A、B间的
动摩擦因数μ＝0.1，物块与小球均可视为质点，不计空气阻力，取g＝10 m/s2。求：
(1)小球C与物块A碰撞过程中所受的撞击力大小；
(2)为使物块A不滑离木板B，木板B至少多长？
2
学科网（北京）股份有限公司【典例2提高题】【答案】(1)1 200 N (2)0.5 m
【解析】(1)C下摆过程，根据动能定理，有m gl＝mv，所以v＝＝4 m/s，C反弹过程，
C C C
根据动能定理，有－m gh＝0－mv′，v′ ＝＝2 m/s，取向右为正方向，对C根据动量
C C C
定理，有－FΔt＝－mv′ －mv，所以F＝1 200 N，方向水平向左。
C C C C
(2)C与A碰撞过程，根据动量守恒定律，有mv＝－mv′ ＋mv，所以v＝2 m/s，A
C c C C A A A
恰好滑至木板B右端并与其共速时，B的长度最小，根据动量守恒定律，mv＝(m ＋m )v
A A A B
所以v＝1.5 m/s，根据能量守恒定律，μm gx＝mv－(m ＋m )v2，所以x＝0.5 m。
A A A B
【典例2提高题对应练习】如图，质量为6m，长为L的薄木板AB放在光滑的平台上，木
板B端与台面右边缘齐平，B端上放有质量为3m且可视为质点的滑块C，C与木板之间的
动摩擦因数为μ＝，质量为m的小球用长为L的细绳悬挂在平台右边缘正上方的O点，细
绳竖直时小球恰好与C接触。现将小球向右拉至细绳水平并由静止释放，小球运动到最低
点时细绳恰好断裂，小球与C碰撞后反弹速率为碰前的一半。
(1)求细绳能够承受的最大拉力；
(2)若要使小球落在释放点的正下方P点，平台高度应为多大；
(3)通过计算判断C能否从木板上掉下来。
【典例2提高题对应练习】【答案】(1)3mg (2)L (3)见解析
【解析】(1)设小球运动到最低点的速率为v ，小球向下摆动过程，由动能定理 mgL＝mv
0
得，v ＝，小球在圆周最低点时拉力最大，由牛顿第二定律得：F －mg＝m，解得：F ＝
0 T T
3mg，由牛顿第三定律可知，小球对细绳的拉力：F ′＝F ，即细绳能够承受的最大拉力为：
T T
F ′＝3mg。
T
(2)小球碰撞后做平抛运动：竖直位移h＝gt2，水平分位移：L＝t，解得：h＝L。
(3)小球与滑块C碰撞过程中小球和C组成的系统动量守恒，设C碰后速率为v ，依题意有
1
mv ＝m＋3mv ，假设木板足够长，在C与木板相对滑动直到相对静止过程中，设两者最终
0 1
共同速度为v ，由动量守恒得：3mv ＝(3m＋6m)v ，由能量守恒得：·3mv＝(3m＋6m)v＋
2 1 2
3
学科网（北京）股份有限公司μ·3mgs，联立解得：s＝，由s<L知，滑块C不会从木板上掉下来。
题型三：悬绳模型与滑块碰撞+其他组合运动模型
【典例3提高题】如图所示，木板A静止在光滑水平面上，其左端与固定台阶相距 x。与
滑块B (可视为质点)相连的细线一端固定在O点。水平拉直细线并给B一个竖直向下的初
速度，当B到达最低点时，细线恰好被拉断，B从A右端的上表面水平滑入。A与台阶碰
撞无机械能损失，不计空气阻力。已知A的质量为2m, B的质量为m。A、B之间动摩擦因
数为μ；细线长为L、能承受的最大拉力为B重力的5倍；A足够长，B不会从A表面滑出，
重力加速度为g。
（1）求B的初速度大小v 和细线被拉断瞬间B的速度大小v；
0 1
（2）若A与台阶只发生一次碰撞，求x满足的条件；
（3）x在满足(2)条件下，讨论A与台阶碰撞前瞬间的速度。
【典例3提高题】【答案】(1)v＝，v＝2 (2) x≥ (3)见解析
0 1
【解析】(1)滑块B从释放到最低点，机械能守恒，有：mv＋mgL＝mv,在最低点，由牛顿
运动定律： T－mg＝又：T＝5mg联立得：v＝，v＝2。
0 1
(2)设A与台阶碰撞前瞬间，A、B的速度分别为v 和v ，由动量守恒mv ＝mv ＋2mv
A B 1 B A
若A与台阶只碰撞一次，碰撞后必须满足：|2mv |≥|mv |，对A应用动能定理：μmgx＝
A B
×2mv，联立解得：x≥，即A与台阶只能碰撞一次的条件是： x≥。
(3)设x＝x 时，A左端到与台阶碰撞前瞬间，A、B恰好达到共同速度v ，由动量守恒mv
0 AB 1
＝(m＋2m)v ，对A应用动能定理： μmgx ＝×2mv联立得x＝。
AB 0 0
(Ⅰ)当x≥x ，即x≥时，A、B共速后A与台阶碰撞。可得A与台阶碰撞前瞬间的速度：v ＝
0 A1
v ＝＝。
AB
(Ⅱ)当x ＞x≥即＞x≥时，A、B 共速前 A 就与台阶碰撞，对 A 应用动能定理：μmgx＝
0
×2mv,A与台阶碰撞前瞬间的速度：v ＝。
A2
考点二：悬绳与悬绳模型碰撞问题
题型一：悬绳与悬绳碰撞模型
【典例1提高题】如图所示，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O.让球a静止下垂，
将球b向右拉起，使细线水平．从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线
与竖直方向之间的最大偏角为60°.忽略空气阻力，求：
4
学科网（北京）股份有限公司（1）两球a、b的质量之比；
（2）两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比．
【典例1提高题】【答案】(1) －1 (2)1－
【解析】(1)设球b的质量为m ，细线长为L，球b下落至最低点，但未与球a相碰时的速
2
率为v，由机械能守恒定律得mgL＝mv2，式中g为重力加速度的大小．设球a的质量为
2 2
m ，在两球碰后的瞬间，两球的共同速度为 v′，以向左为正方向，由动量守恒定律得 mv
1 2
＝(m ＋m)v′，设两球共同向左运动到最高处时，细线与竖直方向的夹角为 θ，由机械能守
1 2
恒定律得(m ＋m)v′2＝(m＋m)gL(1－cosθ)，联立①②③式得＝－1
1 2 1 2
代入题给数据得＝ －1.
(2)两球在碰撞过程中的机械能损失为Q＝mgL－(m ＋m)gL(1－cos θ)，联立，Q与碰前
2 1 2
球b的最大动能E 之比为＝1－(1－cos θ)，联立并代入题给数据得＝1－。
k
【典例1提高题对应练习】高空杂技表演中，固定在同一悬点的两根长均为L的轻绳分别
系着男、女演员，他们在同一竖直面内先后从不同高度相向无初速摆下，在最低点相拥后
恰能一起摆到男演员的出发点。已知男、女演员质量分别为 M、m，女演员的出发点与最
低点的高度差为，重力加速度为g，不计空气阻力，男、女演员均视为质点。
（1）求女演员刚摆到最低点时对绳的拉力大小。
（2）若两人接着从男演员的出发点一起无初速摆下，到达最低点时男演员推开女演员，为
了使女演员恰能回到其最初出发点，男演员应对女演员做多少功？
【典例1提高题对应练习】【答案】（1）2mg （2）W =
【解析】（1）设女演员摆到最低点时速度大小为v，由机械能守恒定律得mg = mv 2 ①
1 1
最低点时，设绳子对女演员的拉力大小为F，由牛顿第二定律得F-mg = ②
设女演员对绳子的拉力大小为F＇，根据牛顿第三定律F＇= F ③
由①②③式得 F＇=2mg ④
（2）设男演员下摆高度为 h，到最低点时速度大小为 v ，由机械能守恒定律得 Mgh =
2
Mv2⑤，设男女演员相拥后具有共同速度，大小为 v ，由动量守恒定律得 mv -Mv =
2 3 1 2
(m+M)v ⑥
3
一起摆到男演员出发点的过程中，由机械能守恒定律得(m+M)gh = (m+M)v2 ⑦，男女演
3
员一起摆到最低点时速度大小仍为v ，女演员被推开后速度大小应为v ，由动能定理得，
2 1
5
学科网（北京）股份有限公司男演员对女演员做的功W = mv 2 - mv 2 ⑧，由①⑤⑥⑦⑧得W = ⑨
1 2
题型二：悬绳其他模型
【典例2提高题】如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳相连，跨放在质量
不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为m ＝2 kg、m ＝1 kg。初始时A静止于水平地面上，
A B
B悬于空中。现将B竖直向上再举高h＝1.8 m(未触及滑轮)，然后由静止释放。一段时间
后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后 B恰好可以和地面接触。取g＝10
m/s2，空气阻力不计。求：
（1）B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；
（2）A的最大速度v的大小；
（3）初始时B离地面的高度H。
【典例2提高题】【答案】(1)0.6 s (2)2 m/s (3)0.6 m
【解析】(1)B从释放到细绳刚绷直前做自由落体运动，有h＝gt2 ①
代入数据解得t＝0.6 s。 ②
(2)设细绳绷直前瞬间B速度大小为v ，有v ＝gt ③
B B
细绳绷直瞬间，细绳张力远大于A、B的重力，A、B相互作用，由动量守恒得
m v ＝(m ＋m )v ④
B B A B
之后A做匀减速运动，所以细绳绷直后瞬间的速度v即为A的最大速度，
联立②③④式，代入数据解得v＝2 m/s。 ⑤
(3)细绳绷直后，A、B一起运动，B恰好可以和地面接触，说明此时A、B的速度为零，这
一过程中A、B组成的系统机械能守恒，有
(m ＋m )v2＋m gH＝m gH ⑥
A B B A
代入数据解得H＝0.6 m。 ⑦
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