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周四
1.(2024·六盘水诊断)抛物线x2=-4y的焦点坐标为( )
A.(-1，0) B.(1，0)
C.(0，1) D.(0，-1)
答案 D
p
解析 抛物线x2=-4y，则2p=4， =1，故焦点坐标为(0，-1).
2
2.(2024·九江模拟)已知一个圆台内接于球O(圆台的上、下底面的圆周均在球面上).若该圆台的上、下底面
半径分别为1和2，且其表面积为(5+3√2)π，则球O的体积为( )
32π
A. B.5π
3
20√5π 5√5π
C. D.
3 3
答案 C
解析 设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为r 和r ，
1 2
则圆台侧面积为S=π(r +r )l=π(1+2)l=3πl，
1 2
上、下底面面积分别为π和4π.
由圆台表面积为(5+3√2)π，得l=√2，
所以圆台高h=√l2-(r -r ) 2=√2-1=1，
2 1
由r2 +h2=2z
B.若|z|=1，则|z+√3-i|的最小值为1|z|2
C.z= (z≠0)
z
D.若3+4i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，则q=5
答案 BC
解析 对于A，复数(虚部不为0)不能比较大小，所以A错误；
对于B，设z=a+bi，a，b∈R，
由|z|=1可得a2+b2=1，
设a=cos θ，b=sin θ，
则|z+√3-i|=√(a+√3) 2+(b-1) 2=√2√3cosθ-2sinθ+5
=√4sin(θ+α)+5，其中tan α=-√3，
当sin(θ+α)=-1时，|z+√3-i|取到最小值1，所以B正确；
对于C，设z=a+bi，a，b∈R，|z|2=a2+b2，zz=(a+bi)(a-bi)=a2+b2，
|z|2
所以|z|2=zz，即z= (z≠0)，所以C正确；
z
对于D，(3+4i)2+p(3+4i)+q=0(p，q∈R)，
整理得(3p+q-7)+(24+4p)i=0，
所以3p+q-7=0且24+4p=0，解得p=-6，q=25，所以D错误.
4.(2024·承德模拟)已知等差数列{a }(公差不为0)和等差数列{b }的前n项和分别为S ，T ，如果关于x的实
n n n n
系数方程1 003x2-S x+T =0有实数解，则以下1 003个方程x2-ax+b=0(i=1，2，…，1 003)中，有实数
1 003 1 003 i i
解的方程至少有 个.
答案 502
1 003(a +a ) 1 003(b +b )
解析 因为S = 1 1 003 =1 003a ，T = 1 1 003 =1 003b ，
1 003 2 502 1 003 2 502
代入S2 -4×1 003T ≥0，
1 003 1 003
得a2 -4b ≥0，要使方程x2-ax+b=0(i=1，2，…，1 003)有实数解，
502 502 i i
则a2 -4b≥0(i=1，2，…，1 003)，
i i
显然第502个方程有解，设方程x2-a x+b =0与方程x2-a x+b =0的判别式分别为Δ ，Δ ，
1 1 1 003 1 003 1 1 003
(a +a ) 2
则Δ +Δ =(a2 -4b )+(a2 -4b )=a2 +a2 -4(b +b )≥ 1 1 003 -4×2b ，
1 1 003 1 1 1 003 1 003 1 1 003 1 1 003 2 502
(2a ) 2
即Δ +Δ ≥ 502 -8b =2(a2 -4b )≥0，等号成立的条件为a =a ，
1 1 003 2 502 502 502 1 1 003
所以Δ ≥0，Δ ≥0中至少一个成立，
1 1 003
同理可得Δ ≥0，Δ ≥0中至少一个成立，…，Δ ≥0，Δ ≥0中至少一个成立，且Δ ≥0，
2 1 002 501 503 502
综上，在所给的1 003个方程中，有实数解的方程最少有502个.a
5.(2024·开封质检)已知函数f(x)=ln x- .
x
(1)讨论f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
x2 ( 1) e2
(2)函数g(x)= ，若方程f(x)=f(g(x))在x∈ 0， 上存在实根，试比较f(a2)与ln 的大小.
1-x 2 4
a 1 a x+a
解 (1)函数f(x)=ln x- 的定义域为(0，+∞)，又f'(x)= + = ，
x x x2 x2
当a≥0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，无极值，
当a<0时，令f'(x)=0，解得x=-a，
所以当x∈(0，-a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(-a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=-a时，f(x)取到极小值f(-a)=ln(-a)+1，无极大值，
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，无极值；
当a<0时，f(x)在(0，-a)上单调递减，在(-a，+∞)上单调递增，极小值为ln(-a)+1，无极大值.
x2 1
(2)因为g(x)= ，00，g(x)单调递增，
2
(1) 1
所以g(0)0，
-a a2 a2
( 1 )
所以m(a)在 - ，0 上单调递增，
2
( 1) 1 e2
所以m(a)>m - =2ln +2=ln ，
2 2 4
e2
所以f(a2)>ln .
4
