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周六
1.(2024·沈阳联考)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024·南通调研)设抛物线C：y2=4x的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限
的交点为M，N，且|FM|=3|FN|，则直线MN的斜率为( )
√3 1
A. B.
2 2
√3 2
C. D.
3 3
1
3.(多选)(2024·辽宁重点中学协作体模拟)已知函数f(x)=ax-ln x，g(x)=aln x+ ，a为实数，下列说法正确的
x
是( )
A.当a=1时，f(x)与g(x)有相同的极值点和极值
B.存在a∈R，使f(x)与g(x)均有2个零点
C.当a∈(0，1)时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立
( 2]
D.若函数f(x)-g(x)在[1，e]上单调递减，则a的取值范围为 -∞，
e
4.(2024·浙江精诚联盟联考)某工厂生产的一批零件的使用寿命X(单位：年)近似服从正态分布N(80，δ2).若
2
P(60≤X≤100)= ，则从这批零件中任意取出1件，其寿命低于60年的概率是 .
3
5.(2024·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且满足sin B+sin C=2sin Acos B.
(1)证明：a2-b2=bc；
(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3，BD=1，当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？答案精析
1.B 2.A
3.AC [对于A，当a=1时，
f(x)=x-ln x，
1
g(x)=ln x+ ，x>0，
x
1 x-1
f'(x)=1- = ，
x x
1 1 x-1
g'(x)= - = ，
x x2 x2
当0<x<1时，f'(x)<0，g'(x)<0，此时f(x)，g(x)均单调递减，
当x>1时，f'(x)>0，g'(x)>0，
此时f(x)，g(x)均单调递增，
所以当x=1时，f(x)，g(x)均各自取到相应的极值，且f(1)=g(1)=1，
所以当a=1时，f(x)与g(x)有相同的极值点和极值，故A正确；
lnx
f(x)=ax-ln x=0 a= (x>0)，
x
1 ⇔
g(x)=aln x+ =0 a
x
1 ⇔
=- (x>0，x≠1)，
xlnx
lnx
令u(x)= (x>0)，
x
1-lnx
则u'(x)= ，
x2
当0<x<e时，u'(x)>0，u(x)单调递增，
当x>e时，u'(x)<0，u(x)单调递减，
当x→0时，u(x)→-∞，
当x→+∞，u(x)→0，
1
当x=e时，u(x)有极大值u(e)= ，
e
在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数u(x)的图象，如图所示，1
所以当且仅当0<a< 时，
e
lnx
方程a= (x>0)有两个根.
x
1
令v(x)=- (x>0，x≠1)，
xlnx
lnx+1
则v'(x)= ，
x2ln2x
1
当0<x< 时，v'(x)<0，v(x)单调递减，
e
1
当 <x<1时，v'(x)>0，v(x)单调递增，
e
当x从1的左边趋于1时，v(x)趋于正无穷，当x从1的右边趋于1时，
v(x)趋于负无穷，
当x>1时，v'(x)>0，v(x)单调递增，
令x=et，t→-∞，
e-t
则x→0，v(x)=- →+∞，
t
当x→+∞时，v(x)→0，
1
所以当x= 时，v(x)有极小值，
e
(1)
v =e，
e
在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数v(x)的图象，如图所示，
1
当且仅当a>e时，方程a=- (x>0，x≠1)有两个根.
xlnx
综上所述，不存在a∈R，使f(x)与g(x)均有2个零点，故B错误；
1
设F(x)=f(x)-g(x)=ax-ln x-aln x- ，x∈[1，e]，a∈(0，1)，
x
F(1)=a-1<0<1，
1
F(e)=ae-ln e-aln e-
e
1 1
=a(e-1)-1- <e-1-1-
e e1
=e-2- <1，
e
a+1 1
F'(x)=a- +
x x2
ax2-(a+1)x+1
=
x2
(x-1)(ax-1)
= ，
x2
1
当x∈[1，e]，a∈(0，1)时，显然 >1.
a
1 1
若1< <e，即 <a<1，
a e
1
当1<x< 时，F'(x)<0，F(x)单调递减，
a
1
当 <x<e时，F'(x)>0，F(x)单调递增，
a
1
(1) 1 1 1
F =a· -ln -aln -1
a a a a
a
=1+(a+1)ln a-a≤F(x)
≤max{F(1)，F(e)}<1，
1
所以当 <a<1时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立；
e
1 1
若 ≥e，即0<a≤ ，
a e
当1<x<e时，F'(x)<0，F(x)单调递减，所以F(x)<F(1)<0<1，
1
所以当0<a≤ 时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立，
e
综上所述，当a∈(0，1)时，
f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立，故C正确；
对于D，若函数f(x)-g(x)在[1，e]上单调递减，
(x-1)(ax-1)
则F'(x)= ≤0对x∈[1，e]恒成立，
x2
即ax-1≤0对x∈[1，e]恒成立，
1
即a≤ 对x∈[1，e]恒成立，
x
1
又y= 在[1，e]上单调递减，
x1
所以a≤ ，
e
( 1]
所以a的取值范围为 -∞， ，
e
故D错误.]
1
4.
6
2
解析 由P(60≤X≤100)= ，X服从正态分布N(80，δ2)，
3
1 ( 2) 1
故P(X<60)= × 1- = .
2 3 6
5.(1)证明 因为sin B+sin C
=2sin Acos B，
由正弦定理可得b+c=2acos B，
再由余弦定理得
a2+c2-b2
b+c=2a· ，
2ac
整理得a2-b2=bc.
(2)解 因为∠ABC，∠CBD互补，
所以cos∠ABC+cos∠CBD=0，
结合余弦定理可得
a2+c2-b2 a2+BD2-CD2
+ =0，
2ac 2a·BD
因为c=AB=3，BD=1，
a2+9-b2 a2+1-CD2
则 + =0，
3 1
整理得4a2-b2+12-3CD2=0，
又a2=b2+bc=b2+3b，
4 1
则CD2= a2- b2+4
3 3
4 1
= (b2+3b)- b2+4
3 3
=b2+4b+4=(b+2)2，
从而CD=b+2，
故CD-CA=2为定值.
