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回顾 8 函数与导数
1.函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围.
(2)常见函数的值域
①一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；
[4ac-b2
) (
4ac-b2]
②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)：当a>0时，值域为 ，+∞ ，当a<0时，值域为 -∞， ；
4a 4a
k
③反比例函数y= (k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}.
x
2.函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(-x)= - f ( x )
成立，则f(x)为奇函数(都有f(-x)= f ( x ) 成立，则f(x)为偶函数).
(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，
若 f ( x + T )= f ( x )( T ≠0) ，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期.
3.关于函数周期性、对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)，则f(x)为周期函数， 2 a 是它的一个周期；
1
②若函数f(x)满足f(x+a)= ，则f(x)为周期函数， 2 a 是它的一个周期；
f(x)
③若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)，则f(x)为周期函数， 2 a 是它的一个周期.
(2)函数图象的对称性
①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，
a+b
则函数f(x)的图象关于直线x= 对称.
2
②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，
(a+b
)
则函数f(x)的图象关于点 ，0 对称.
2
4.函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.
(1)单调性的定义的等价形式：设任意x ，x ∈[a，b]，且x ≠x ，
1 2 1 2
f(x )-f(x )
那么(x -x )[f(x )-f(x )]>0 1 2 >0 f(x)在[a，b]上单调递增；
1 2 1 2 x -x
1 2
⇔ ⇔f(x )-f(x )
(x -x )[f(x )-f(x )]<0 1 2 <0 f(x)在[a，b]上单调递减.
1 2 1 2 x -x
1 2
⇔ ⇔
(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)+g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，
则在公共定义域内，f(x)+g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y=f(g(x))的单调性.
5.指数函数与对数函数的基本性质
(1)定点：y=ax(a>0，且a≠1)恒过点(0，1)；
y=log x(a>0，且a≠1)恒过点(1，0).
a
(2)单调性：当a>1时，y=ax在R上单调递增；y=log x在(0，+∞)上单调递增；
a
当00的解集确定函数f(x)的单调递增区间，由f'(x)<0的解集确定函数f(x)的单调递减区间.
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f'(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，
则f'(x)≤0(x∈M)恒成立；
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，则f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集；
③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子
集.
9.利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域；
②解方程f'(x)=0；
③判断f'(x)在方程f'(x)=0的根x 附近两侧的符号变化：
0若左正右负，则x 为极大值点；
0
若左负右正，则x 为极小值点；
0
若不变号，则x 不是极值点.
0
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤
①求函数y=f(x)在区间(a，b)内的极值；
②比较函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小
值.
10.常见的含有导数的几种不等式构造原函数类型
(1)对于f'(x)±g'(x)>0，构造函数h(x)=f(x)±g(x).
(2)对于f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，构造函数h(x)=f(x)g(x).
f(x)
(3)对于f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0，构造函数h(x)= (g(x)≠0).
g(x)
例如，对于xf'(x)+f(x)>0，构造函数h(x)=xf(x)，
f(x)
对于xf'(x)-f(x)>0，构造函数h(x)= .
x
对于f(x)+f'(x)>0，构造函数h(x)=exf(x)，
f(x)
对于f'(x)-f(x)>0，构造函数h(x)= .
ex
1.解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则.
2.解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.
3.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔
开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.
4.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义
域不受影响.
5.准确理解基本初等函数的定义和性质.如指数函数y=ax(a>0，a≠1)的单调性容易忽视对a的取值进行讨论；
对数函数y=log x(a>0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件.
a
6.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准
确互化.
7.已知可导函数f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)，则f'(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“=”，
且需验证“=”不能恒成立.
8.f'(x)=0的解不一定是函数f(x)的极值点.一定要检验在x=x 的两侧f'(x)的符号是否发生变化，若变化，则为
0
极值点；若不变化，则不是极值点.
