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第六章 机械能守恒定律
【机械能守恒定律的单元知识体系】
知识点 36：功和功率
考点一：做功的判断及计算
【知识思维方法技巧】
（1）做功正负的判断方法：
①根据F的方向与位移l的方向间的夹角α来判断：常用于恒力做功的判断。
②根据F的方向与瞬时速度v的方向间的夹角α来判断：常用于曲线运动中的功。
0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不
做功。
③根据能量守恒或功能关系：此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的
判断。
（2）几个结论：
①无论静摩擦力还是滑动摩擦力都是既可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．一对
静摩擦力所做功的代数和总等于零，一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值。
②人行走、跑步、起跳时地面对人不做功．
③一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这
一对力所做的功一定是数值相等，一正一负或均为零。
④一对相互作用力可以都做正功、都做负功、可以一正一负，一对相互作用力做的总功W
＝Flcos α。l是相对位移，α是F与l间的夹角，一对相互作用力做的总功可正、可负，也
可为零。
题型一：判断某个力对物体做功
【典例1拔尖题】 (多选)如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面
间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运
动中物体m与斜面体相对静止．则下列关于斜面对m的支持力和摩擦力的说法中正确的是
( )
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1
学科网（北京）股份有限公司A．支持力一定做正功
B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功
D．摩擦力可能做负功
【典例1拔尖题】【答案】ACD
【解析】支持力方向垂直斜面向上，与位移夹角小于90°，故支持力一定做正功，而摩擦
力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，此时物体只受重力和支持力，如图所示，此时
加速度a＝gtan θ.若a>gtan θ，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功
若aW B．W＝W C．W＝0 D．W＝W＋W
1 2 1 2 3 3 1 2
【典例6拔尖题】【答案】AD
【解析】小球在水平弯管内运动，滑动摩擦力始终与速度方向相反，做负功，对每一小段
圆弧有W＝－F Δx；而小球在水平面内做圆周运动的向心力是由外管壁对小球的弹力F
i fi i N
提供，即F ＝F ＝m，由于m、R不变，摩擦力对小球做负功，所以小球运动速率v减小，
N 向
向心力减小，即F 减小，由F＝μF 知，滑动摩擦力F 也减小，经过每一小段圆弧，摩擦
N f N f
力做的功将逐渐减少，一周内有W>W；W 和W 均为负功，有W＝W＋W
1 2 1 2 3 1 2
考点四：功率的计算及分析
题型一：功率的计算
【知识思维方法技巧】
求解功率时应注意的三个问题：
（1）首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。
（2）平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内
做功的平均功率。平均功率的计算方法：P＝或P＝Fvcos α，其中v为物体运动的平均速度。
（3）瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。瞬时功率的计算方法：
P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度，α是F与v的夹角。
类型一：功率的计算
【典例1a拔尖题】(多选)质量为m的物体静止在粗糙的水平地面上，从t＝0时刻开始物体
受到方向恒定的水平拉力F作用，拉力F与时间t的关系如图甲所示．物体在t 时刻开始
0
运动，其运动的vt图象如图乙所示，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则( )
A．物体与地面间的动摩擦因数为
B．物体在t 时刻的加速度大小为
0
C．物体所受合外力在t 时刻的功率为2F v
0 0 0
D．水平力F在t～2t 时间内的平均功率为F
0 0 0
【典例1a拔尖题】【答案】AD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】物体在时刻开始运动，故f＝F ，动摩擦因数μ＝，故A正确；在t ～t 时间内，
0 0 0
假设物体做匀加速运动，则v ＝a·t ，解得a＝，实际上物体的加速度从0开始增大，故在
0 0
t 时刻加速度大于，故B错误；在t 时刻，物体受到的合外力F＝2F －f＝F ，功率P＝
0 0 0 0
F v ，故C错误；在2t 时刻速度v＝v ＋t ，在t ～2t 时间内物体的平均速度＝＝，故平均
0 0 0 0 0 0 0
功率P＝2F ＝F ，故D正确．
0 0
【典例1a拔尖题对应练习】(多选)质量为m的物体静止于地面上，现用一外力F向上提
升物体，外力大小F与物体重力大小(mg，g为重力加速度)的比值随时间t变化的图像如
图所示．不计空气阻力，则( )
A. 时刻F的功率为mg2t
0
B. 0～t 时间内F做的功为 mg2t2
0 0
C. 0～2t 时间内F的平均功率为mg2t
0 0
D. 3t 时刻物体的速度为0
0
【典例1a拔尖题对应练习】【答案】AC
【解析】由题图可知，0～t 时间内F＝2mg，物体向上运动的加速度大小为g， 时刻物体
0
的速度为 ，因此此时F的功率为mg2t，故A正确；0～t 时间内F做的功W＝2mg× gt2
0 0 1 0
＝mg2t2，故B错误；t～2t 时间内物体以速度gt 向上匀速运动，F做的功W＝mg·gt·t＝
0 0 0 0 2 0 0
mg2t2，0～2t 时间内F做的总功为2mg2t2，这段时间内F的平均功率为mg2t，故C正确；
0 0 0 0
0～t 时间内，物体以加速度g向上做加速运动，t～2t 时间内，物体匀速运动，2t～3t 时
0 0 0 0 0
间内，物体向上做减速运动，加速度小于g,3t 时刻物体的速度未减为0，故D错误．
0
类型二：平均功率的估算
【典例1b拔尖题】引体向上是中学生体育测试的项目之一，引体向上运动的吉尼斯世界纪
录是53次/分钟。若一个普通中学生在30秒内完成12次引体向上，该学生此过程中克服重
力做功的平均功率最接近于( )
A．5 W B．20 W C．100 W D．400 W
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学科网（北京）股份有限公司【典例1b拔尖题】【答案】C
【解析】学生体重约为50 kg，每次引体向上上升高度约为0.5 m，引体向上一次克服重力
做功为W＝mgh＝50×10×0.5 J＝250 J，全过程克服重力做功的平均功率为＝＝＝100 W，
故C正确，A、B、D错误。
【典例1b拔尖题对应练习】下列表述中最符合实际情况的是( )
A．某高中同学做一次引体向上的上升过程中克服重力做功约为25 J
B．将一个鸡蛋从胸前举过头顶，克服重力做功约为10 J
C．篮球从2 m高处自由下落到地面的过程中，重力做功的功率约为20 W
D．某高中同学步行上楼时克服重力做功的功率约为10 kW
【典例1b拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】高中的同学质量约60 kg，在一次引体向上的过程中向上的位移约0.5 m，则克服
重力做的功W＝mgh＝60×10×0.5 J＝300 J，故A错误；一个鸡蛋的质量约为50 g＝0.05
kg，将一个鸡蛋从胸前举过头顶，位移约0.4 m，克服重力做功约为W＝mgh＝
0.05×10×0.4 J＝0.2 J，故B错误；篮球的质量约0.6 kg，篮球从2 m高处自由下落到地面
的过程中，重力做的功W＝mgh＝0.6×10×2 J＝12 J，篮球下落的时间t＝＝ s≈0.63 s，功
率约为P＝＝ W≈20 W，故C正确；高中的同学质量约60 kg，楼层的高度约为3 m，则高
中同学步行上楼时，每秒钟向上的高度约为0.3 m(两个台阶)，每秒钟上楼克服重力做功W
＝mgh＝50×10×0.3 J＝150 J，功率P＝＝ W≈150 W，故D错误。
题型二：功率的分析
【典例2拔尖题】 (多选)如图所示，在外力作用下某质点运动的v－t图象为正弦曲线．从
图中可以判断( )
A．在0～t 时间内，外力的功率先增大后减小
1
B．在0～t 时间内，外力的功率逐渐为零
1
C．在t 时刻，外力的功率为零
2
D．在t 时刻，外力的功率最大
3
【典例2拔尖题】【答案】AC
【解析】由题图知，t＝0时，v＝0，外力F≠0，外力的功率为零，t 时刻，质点的加速度为
1
零，外力为零，外力的功率为零，所以0～t 时间内，外力的功率先增大后减小，选项A正
1
确，B错误；t 时刻，v＝0，此时外力的功率为零，选项C正确；t 时刻，外力为零，外力
2 3
的功率为零，选项D错误．
【典例2拔尖题对应练习】如图所示，一半圆槽固定在水平面上，A、B两点为最高点，O
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学科网（北京）股份有限公司为最低点，一个小球在外力控制下沿AOB做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．半圆槽对小球的支持力先做正功后做负功
B．合力对小球先做负功后做正功
C．小球在最低点O时，所受合力的功率最大
D．整个过程中小球重力的功率先减小后增大
【典例2拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】小球在外力控制下，沿AOB做匀速圆周运动，受到的支持力与其速度一直垂直，
支持力不做功，故A错误；小球做匀速圆周运动，合力提供向心力，指向圆心，方向始终
与速度方向垂直，不做功，功率为零，故B、C错误；小球在运动过程中，竖直分速度先
减小后增大，小球重力的功率先减小后增大，故D正确．
考点五：机车功率的问题
【知识思维方法技巧】
（1）机车启动问题的两种求解思路：
①机车以恒定功率启动：
②机车以恒定加速度启动：
（2）解决机车启动问题的两点注意：
①分清是匀加速启动还是恒定功率启动：
匀加速启动过程中，机车功率是不断增大的，当功率达到额定功率时匀加速运动速度达到
最大，但不是机车能达到的最大速度。
以额定功率启动的过程中，牵引力是不断减小的，机车做加速度减小的加速运动，牵引力
的最小值等于阻力。
②无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P＝Fv ，P为机车的额定功率。
f m
题型一：机车功率的计算问题
类型一：机车在水平面运动模型
【典例1a拔尖题】某汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车质量为5 t，汽车在运动中所受
阻力的大小恒为车重的0.1倍．(g取10 m/s2)
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学科网（北京）股份有限公司(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多大？当汽车速度达到5 m/s时，
其加速度是多大？
(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s2启动，则其匀加速过程能维持多长时间？
【典例1a拔尖题】【答案】(1)12 m/s 1.4 m/s2 (2)16 s
【解析】(1)当汽车的加速度为零时，汽车的速度v达到最大值v ，此时牵引力与阻力相等，
m
故最大速度为v ＝＝＝ m/s＝12 m/s；v＝5 m/s时的牵引力，
m
F ＝＝ N＝1.2×104 N，由F －F＝ma得：a＝＝ m/s2＝1.4 m/s2.
1 1 f
(2)当汽车以a′＝0.5 m/s2的加速度启动时的牵引力
F ＝ma′＋F＝(5 000×0.5＋0.1×5×103×10) N＝7 500 N
2 f
匀加速运动能达到的最大速度为v ′＝＝ m/s＝8 m/s，由于此过程中汽车做匀加速直线运动
m
满足v ′＝a′t，故匀加速过程能维持的时间t＝＝ s＝16 s.
m
【典例1a拔尖题对应练习】某汽车在某次测试过程中数据如下表所示，请根据表中数据回
答问题。
行驶中整车质量 1 500 kg
额定功率 80 kW
加速过程 车辆从静止加速到72 km/h所需时间为20 s
制动过程 车辆以36 km/h行驶时的制动距离为5.0 m
某天张华驾驶该汽车从甲地点沿平直公路到乙地点送货，张华启动汽车后先以恒定的加速
度(该加速度大小与测试过程中加速过程的加速度大小相同)运动一段时间，汽车功率达到
额定功率后，保持额定功率继续行驶，达到最大速度后以最大速度行驶，快到乙地点时，
开始制动汽车，刚好到乙地点停下。已知汽车在平直公路上沿直线行驶时所受阻力f大小
恒定，为制动过程中汽车所受阻力的，甲地点到乙地点的距离为d＝3 km，取重力加速度g
＝10 m/s2。
（1）求汽车在平直公路上行驶的最大速度v ；
m
（2）张华由甲地点到乙地点共经历多长时间？
【典例1a拔尖题对应练习】【答案】(1)32 m/s (2)114.95 s
【解析】(1)由题中表格数据知加速过程的加速度大小为a＝＝1 m/s2
1
制动过程的加速度大小为a＝＝10 m/s2
2
则制动过程所受阻力大小为F′＝ma ＝1.5×104 N
2
汽车行驶过程中受到的阻力大小为F＝F′＝2.5×103 N
f
汽车速度最大时，牵引力F与阻力F 大小相等，由P＝Fv 得，v ＝＝32 m/s。
f m m
(2)匀加速过程中，由牛顿第二定律可知F－F＝ma ， 解得F＝F＋ma ＝4×103 N， 故匀
f 1 f 1
加速过程中的最大速度v ＝＝20 m/s，加速时间为t ＝＝20 s，加速距离为x ＝＝200 m，
m0 1 1
制动过程所用的时间为t＝＝3.2 s，制动距离为x＝＝51.2 m，功率达到额定功率后，汽车
2 2
做变加速及匀速运动，在此过程有Pt－Fx＝mv－mv
0 f
其中x＝d－(x＋x)，联立解得t＝91.75 s故从甲地点到乙地点共经历的时间为
1 2 0
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学科网（北京）股份有限公司t＝t＋t＋t＝114.95 s。
1 2 0
类型二：机车在斜面运动模型
【典例1b拔尖题】2019年12月17日，中国首艘自主建造的国产航母“山东”舰正式入役，
中国海军真正拥有了可靠的航母作战能力，国产航母上的“歼15”舰载机采用滑跃式起飞。
如图所示，AB为水平甲板，BC为倾斜甲板，倾角为θ，B处由光滑圆弧平滑连接。舰载
机从A点启动做匀加速直线运动，经过2 s到达B点时速度为60 m/s，此时舰载机发动机
的功率恰好达到额定功率，随后滑上倾斜甲板继续加速，在C点实现起飞。已知舰载机总
质量为1.0×104 kg，滑跑过程中受到的阻力(空气阻力与摩擦阻力总和)恒为自身重力的0.1
倍，方向与速度方向相反。倾斜甲板舰艏高度H＝4 m，sin θ＝0.2，g＝10 m/s2，舰载机
可视为质点，航母始终处于静止状态。
(1)求航母水平甲板AB之间的距离和舰载机发动机的额定功率；
(2)若舰载机在倾斜甲板上继续以额定功率加速，又经过2 s最终飞离航母。通过计算判断
舰载机能否安全起飞(已知舰载机的安全起飞速度至少为80 m/s)?
【典例1b拔尖题】【答案】(1)60 m 1.86×107 W (2)安全起飞
【解析】(1)由x＝t可得，L ＝t＝60 m，由运动学公式v＝v＋at可得
AB 1 0
a＝＝30 m/s2，水平滑跑中由牛顿第二定律得F－f＝ma，其中f＝kmg，k＝0.1
可得F＝3.1×105 N，由P＝Fv得，发动机达到额定功率P ＝Fv ＝1.86×107 W。
额 B
(2)达到额定功率后，舰载机在倾斜甲板上做变加速运动，设 C点起飞时的速度为v ，由动
C
能定理可得P t －(f＋mgsin θ)×＝m(v－v)，解得v ＝104.5 m/s>80 m/s，所以舰载机可以
额 2 C
安全起飞。
类型三：竖直提升重物模型
【典例1c拔尖题】有一台最大功率为P =8×103W的起重机，将一个质量为m=1000kg的物
m
体竖直向上吊起，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，则
(1)若起重机以最大功率工作时，物体最终能达到的最大速度为多少？
(2)若物体以v=0.4m/s的速度匀速上升，起重机的实际功率是多少？
(3)若物体从静止气以a=2m/s2的加速度匀加速上升，则维持此加速度的时间是多少？
【典例1c拔尖题】【答案】(1) (2)4000W(3)
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学科网（北京）股份有限公司【解析】(1)当牵引力等于重力时，速度最大，根据 ，可知最大速度
(2) 当 物 体 匀 速 上 升 时 ， 则 起 重 机 的 实 际 功 率
(3) 根 据 牛 顿 第 二 定 律 得 ， 解 得
， 则 匀 加 速 运 动 的 末 速 度
，可知
【典例1c拔尖题对应练习】小明用额定功率为1 200 W、最大拉力为300 N的提升装置，
把静置于地面的质量为20 kg的重物竖直提升到高为85.2 m的平台，先加速再匀速，最后
做加速度大小不超过5 m/s2的匀减速运动，到达平台速度刚好为零，g取10 m/s2，则提升
重物的最短时间为( )
A．13.2 s B．14.2 s C．15.5 s D．17.0 s
【典例1c拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】为了以最短时间提升重物，一开始先以最大拉力拉重物做匀加速上升，当功率达
到额定功率时，保持功率不变直到重物达到最大速度，接着做匀速运动，最后以最大加速
度做匀减速运动，上升至平台时速度刚好为零．重物在第一阶段做匀加速上升的过程中，
根据牛顿第二定律可得a＝＝ m/s2＝5 m/s2，当功率达到额定功率时，设重物的速度为v，
1 1
则有v＝＝ m/s＝4 m/s，此过程所用时间和上升高度分别为
1
t＝＝ s＝0.8 s，h＝＝ m＝1.6 m重物以最大速度做匀速运动时，有
1 1
v ＝＝＝ m/s＝6 m/s，重物最后以最大加速度做匀减速运动的时间和上升高度分别为t ＝
m 3
＝ s＝1.2 s，h ＝＝ m＝3.6 m，设重物从结束匀加速运动到开始做匀减速运动所用时间为
3
t ，该过程根据动能定理可得P t －mgh ＝mv 2－mv 2，又有h ＝85.2 m－1.6 m－3.6 m＝
2 额 2 2 m 1 2
80 m，联立解得t＝13.5 s，故提升重物的最短时间为
2
t ＝t＋t＋t＝0.8 s＋13.5 s＋1.2 s＝15.5 s，C正确，A、B、D错误．
min 1 2 3
题型二：与图像结合的机车功率的计算问题
类型一：与v－t图像结合的机车启动问题
【典例2a拔尖题】如图甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车(可视为质
点)，正以10 m/s的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个
ABC路段的vt图像如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机
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学科网（北京）股份有限公司的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力
等)各自有恒定的大小。求：
(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力f 的大小；
1
(2)汽车刚好开过B点时加速度a的大小；
(3)BC路段的长度。
甲 乙
【典例2a拔尖题】【答案】(1)2 000 N (2)1 m/s2 (3)68.75 m
【解析】(1)汽车在AB路段做匀速直线运动，根据平衡条件，有：F ＝f ，P＝F v,解得：
1 1 1 1
f＝＝ N＝2 000 N。
1
(2)t＝15 s时汽车处于平衡状态，有：F ＝f ，P＝F v ，解得：f ＝＝N＝4000 N刚好开过
2 2 2 2 2
B点时汽车的牵引力仍为F ，根据牛顿第二定律，有：f－F ＝ma，解得：a＝1 m/s2。
1 2 1
(3)对于汽车在BC路段运动，由动能定理得：Pt－fs＝mv 2－mv 2，解得：s＝68.75 m。
2 2 1
【典例2a拔尖题对应练习】某中学生对刚买来的一辆小型遥控车的性能进行研究．他让这
辆小车在水平地面上由静止开始沿直线轨道运动，并将小车运动的全过程通过传感器记录
下来，通过数据处理得到如图所示的v－t图象．已知小车在0～2 s内做匀加速直线运动，2
～11 s内小车牵引力的功率保持不变，9～11 s内小车做匀速直线运动，11 s末开始小车失去
动力而自由滑行．已知小车质量m＝1 kg，整个过程中小车受到的阻力大小不变，试求
(1)在2～11 s内小车牵引力的功率P的大小；
(2)小车在2 s末的速度v 的大小；
x
(3)小车在2～9 s内通过的距离x.
【典例2a拔尖题对应练习】【答案】(1)16 W (2)4 m/s (3)44 m
【解析】(1)根据题意，在11 s末撤去牵引力后，小车只在阻力F 作用下做匀减速直线运动，
f
设其加速度大小为a，根据题图可知：a＝|| m/s2＝2 m/s2；根据牛顿第二定律有：F＝ma，
f
解得：F＝2 N；设小车在匀速直线运动阶段的牵引力为F，则：F＝F，v ＝8 m/s
f f m
根据P＝Fv 解得：P＝16 W
m
(2)0～2 s的匀加速直线运动过程中，小车的加速度为：a ＝，设小车的牵引力为F ，根据
x x
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学科网（北京）股份有限公司牛顿第二定律有：F －F＝ma ，根据题意有：P＝F v，联立解得：v＝4 m/s
x f x x x x
(3)在2～9 s内的变加速过程，Δt＝7 s，由动能定理可得：PΔt－Fx＝mv－mv，解得x＝44
f
m.
类型二：与a－图像结合的机车启动问题
【知识点的理解与运用】
由F－F＝ma，P＝Fv可得：a＝·－，则斜率k＝；纵截距b＝－；
f
横截距＝。
【典例2b拔尖题】如图甲所示，水平面上一质量为 m的物体在水平力F作用下开始做加
速运动，力F的功率P保持恒定，运动过程中物体所受的阻力f大小不变，物体速度最终
达到稳定值v ，作用过程物体速度的倒数与加速度a的关系图象如图乙所示．在已知功率
m
P的情况下，根据图象所给信息可知以下说法中正确的是 ( )
A．可求出m、f和v
m
B．不能求出m
C．不能求出f
D．可求出加速运动时间
【典例2b拔尖题】【答案】A
【解析】当加速度为零时，物体做匀速运动，此时的牵引力等于阻力，速度为最大值，最
大速度v ＝ m/s＝10 m/s；由功率的计算公式可得P＝Fv，而F－f＝ma，联立可得＝ a
m
＋，物体速度的倒数与加速度a的关系图象斜率为k＝，纵轴截距为＝0.1，因此可求出
m、f和v ，选项A正确，B、C错误．物体做变加速运动，无法求出物体加速运动的时间，
m
选项D错误．
【典例2b拔尖题对应练习】一赛车在平直赛道上以恒定功率加速，其功率为200 kW，设
所受到的阻力不变，加速度a和速度的倒数的关系如图所示，则赛车( )
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学科网（北京）股份有限公司A.做匀加速直线运动
B.质量为400 kg
C.所受阻力大小为2 000 N
D.速度大小为50 m/s时牵引力大小为3 000 N
【典例2b拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】由图可知，加速度变化，故做变速直线运动，选项A错误；对汽车受力分析，受
重力、支持力、牵引力和摩擦力，根据牛顿第二定律，有 F－F＝ma，其中F＝，联立得
f
a＝－，结合图线可知－＝－4，＝，解得m＝500 kg，F＝2×103 N，选项B错误，C正确
f
由P＝Fv可知F＝4 000 N，选项D错误。
类型三：与F－图像结合的机车启动问题
【知识思维方法技巧】
如图AB段牵引力不变，做匀加速直线运动；BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率
不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动；B点横坐标对应匀加速运动
的末速度为；C点横坐标对应运动的最大速度，此时牵引力等于阻力。
【典例2c拔尖题】在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103 kg的汽车由静止开始沿
平直公路行驶，达到的最大速度为40 m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵
引力F与对应的速度v，并描绘出如图所示的F图像(图线ABC为汽车由静止到达到最大速
度的全过程，AB、BO均为直线)。假设该汽车行驶过程中所受的阻力恒定，根据图线
ABC，求：
(1)该汽车的额定功率；
(2)该汽车由静止开始运动，经过35 s达到最大速度40 m/s，求其在BC段的位移大小。
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学科网（北京）股份有限公司【典例2c拔尖题】【答案】(1)8×104 W (2)75 m
【解析】(1)图线AB表示牵引力F不变，即F＝8 000 N，阻力F 不变，汽车由静止开始做
f
匀加速直线运动；图线BC的斜率表示汽车的功率P不变，达到额定功率后，汽车所受牵
引力逐渐减小，汽车做加速度减小的变加速直线运动，直至达到最大速度40 m/s，此后汽
车做匀速直线运动。由题图可知，当达到最大速度v ＝40 m/s时，牵引力为F ＝2 000
max min
N
由平衡条件F＝F 可得F＝2 000 N，由公式P＝F v 得额定功率P＝8×104 W。
f min f min max
(2)匀加速运动的末速度v ＝，代入数据解得v ＝10 m/s，汽车由A到B做匀加速运动的加
B B
速度为a＝＝2 m/s2，设汽车由A到B所用时间为t ，由B到C所用时间为t ，位移为x，
1 2
则t＝＝5 s，t＝35 s－5 s＝30 s，B点之后，对汽车由动能定理可得
1 2
Pt－Fx＝mv 2－mv 2，代入数据可得x＝75 m。
2 f C B
类型四：与P－t图像结合的机车启动问题
【典例2d拔尖题】一辆汽车在平直的公路上由静止开始启动。在启动过程中，汽车牵引力
的功率及其瞬时速度随时间的变化情况分别如图甲、乙所示。已知汽车所受阻力恒为重力
的 ，重力加速度g取 。下列说法正确的是( )
A．该汽车的质量为
B．
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学科网（北京）股份有限公司C．在 内，汽车的位移大小约为
D．在前5s内，阻力对汽车所做的功为25kJ
【典例2d拔尖题】【答案】C
【解析】由图像可得，汽车匀加速阶段的加速度为 ，汽车匀加速阶段的牵
引力为 ，匀加速阶段由牛顿第二定律得 ，解得
，A错误；牵引力功率为15kW时，汽车行驶的最大速度为
B错误；5～15s内，由动能定理得 ，解得
，C正确；前5s内汽车的位移为 ，阻力做功
为 ，D错误。
类型五：与其他图像结合的机车启动问题
【典例2e拔尖题】一辆汽车从静止开始沿平直路面运动。运动过程中牵引力F及加速度a
与汽车速度v的关系图线分别如图甲、乙所示，已知汽车所受阻力保持恒定，汽车速度由
10m/s增至24m/s的过程中功率保持不变，该过程中汽车的位移为1252m，下列说法正确
的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．甲图中A点坐标为2500
B．汽车的质量为
C．汽车的速度为20m/s时的加速度为
D．汽车从静止到速度刚达到24m/s经过的时间为72s
【典例2e拔尖题】【答案】AC
【解析】由图像乙可知，初始时汽车的加速度不变，所以汽车为恒加速度启动，当汽车速
度达到10m/s时，汽车的功率达到额定功率，即 。由图像甲和图像乙可
知，图中A点时汽车达到最大速度，即此时汽车牵引力等于阻力，也就是A点的数值，有
，解得 ，所以A点的坐标为2500，故A项正确；在汽车做匀加速直
线运动过程中，有 ，解得 ，故B项错误；当汽车的速度为20m/s时，
设此时牵引力为 ，有 ， ，解得 ，故C项正确；汽车由静
止到10m/s由 ，由10m/s到24m/s有 ， ，
故D项错误。故选AC。
题型三：根据机车启动情景选择图象的问题
【典例3拔尖题】(多选)发动机额定功率为P 的汽车在水平路面上从静止开始先匀加速启
0
动，最后达到最大速度并做匀速直线运动，已知汽车所受路面阻力恒为 F，汽车刚开始启
f
动时的牵引力和加速度分别为F 和a ，如图所示描绘的是汽车在这一过程中速度随时间以
0 0
及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司【典例3拔尖题】【答案】AC
【解析】汽车由静止开始匀加速启动时，a一定，根据v＝at知v增大，由F＝ma＋F 知F
f
一定，根据P＝Fv知v均匀增大，功率P也均匀增大，达到P 后，功率保持不变，v继续
额
增大，所以F＝减小，a＝减小，当F＝F 时，a＝0，v ＝，此后汽车做匀速运动，故A、
f m
C正确．
【典例3拔尖题对应练习】(多选)动车组列车在启动阶段的运动可视为初速度为零的匀加
速直线运动，当速度达到200 km/h时便保持此速度做匀速直线运动．若列车所受机械阻力
恒定，所受空气阻力与速度大小成正比．该运动过程中列车发动机的功率没有达到其额定
值，则列车的牵引力F和功率P随时间t变化的关系图象可能正确的是( )
【典例3拔尖题对应练习】【答案】AC
【解析】列车从静止开始做匀加速直线运动阶段，列车所受的空气阻力与速度大小成正比
即F ＝kv＝kat，由牛顿第二定律得F－F－kat＝ma，解得F＝ma＋F＋kat，牵引力F
f空 f f
与时间t为线性关系，发动机的输出功率P＝Fv＝Fat＝ka2t2＋(ma＋F)at，功率P与时间t
f
为二次函数关系；当速度达到v ＝200 km/h时，突然减小牵引力为F′，使牵引力大小等于
0
机械阻力和空气阻力之和，即F′＝F＋F ＝F＋kv，列车开始做匀速直线运动，功率P＝
f f空 f 0
(F＋kv)v ，此时功率P突然减小，之后牵引力F和功率P均不随时间t变化，A、C正确，
f 0 0
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学科网（北京）股份有限公司B、D错误．
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