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第六章 机械能守恒定律
【机械能守恒定律的单元知识体系】
知识点 36：功和功率
考点一：做功的判断及计算
【知识思维方法技巧】
（1）做功正负的判断方法：
①根据F的方向与位移l的方向间的夹角α来判断：常用于恒力做功的判断。
②根据F的方向与瞬时速度v的方向间的夹角α来判断：常用于曲线运动中的功。
0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不
做功。
③根据能量守恒或功能关系：此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的
判断。
（2）几个结论：
①无论静摩擦力还是滑动摩擦力都是既可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．一对
静摩擦力所做功的代数和总等于零，一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值。
②人行走、跑步、起跳时地面对人不做功．
③一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这
一对力所做的功一定是数值相等，一正一负或均为零。
④一对相互作用力可以都做正功、都做负功、可以一正一负，一对相互作用力做的总功W
＝Flcos α。l是相对位移，α是F与l间的夹角，一对相互作用力做的总功可正、可负，也
可为零。
题型一：判断某个力对物体做功
【典例1拔尖题】 (多选)如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面
间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运
动中物体m与斜面体相对静止．则下列关于斜面对m的支持力和摩擦力的说法中正确的是
( )
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1
学科网（北京）股份有限公司A．支持力一定做正功
B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功
D．摩擦力可能做负功
【典例1拔尖题】【答案】ACD
【解析】支持力方向垂直斜面向上，与位移夹角小于90°，故支持力一定做正功，而摩擦
力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，此时物体只受重力和支持力，如图所示，此时
加速度a＝gtan θ.若a>gtan θ，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功
若a<gtan θ，摩擦力沿斜面向上，摩擦力与位移夹角大于90°，则做负功．综上所述，A、
C、D正确，B错误．
【典例1拔尖题对应练习】(多选)如图，一辆卡车要将叠放在车厢上的A、B两块钢材卸
下，A钢材叠放在B钢材的上面，A与B、B与车厢间的动摩擦因数分别为μ和μ，已
1 2
知μ＞μ，现在随着卡车的液压杆缓慢撑起，车厢会绕车厢末端O顺时针转动，下列说
1 2
法正确的是( )
A. 在A、B均未滑动过程中，A所受的合外力不变
B. 在A、B均未滑动过程中，车厢对B的摩擦力不做功
C. 在A、B均未滑动时，B对A的支持力对A不做功
D. 随着转动角度增大，A会先滑动
【典例1拔尖题对应练习】【答案】AB
【解析】在A、B均未滑动过程中，钢材A处于平衡状态，因此钢材A所受合力一直为零，
保持不变，A正确；由于车厢对B的摩擦力始终沿车厢方向与B缓慢移动的方向时刻垂直，
在摩擦力方向未发生位移，故车厢对B的摩擦力不做功，B正确；B对A的支持力的方向
与A运动方向相同，做正功，C错误；A刚好滑动时，设车厢与水平面夹角为α，此时由
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2
学科网（北京）股份有限公司受力分析有μmgcosα＝mgsinα，即tanα＝μ，同理，A、B一起刚好滑动时，设车厢与水
1 1
平面夹角为β，由受力分析可得tanβ＝μ，由于μ＞μ，则tanα＞tanβ，即α＞β，因此随
2 1 2
着转动角度的增大，会先发生钢材A、B一起滑动，D错误．
题型二：判断物体对物体做功
【知识思维方法技巧】
一个物体对另一个物体的作用力就是物体对另一个物体弹力与摩擦力的合力，以物体为对
象，则物体只受重力与作用力二个力的作用，再根据加速度的方向，从而可以确定作用力
的大小和方向，依据W ＝F lcos α判断。
合 合
【典例2拔尖题】如图所示，在匀减速向右运动的车厢内，一人用力向前推车厢，该人与
车厢始终保持相对静止，则下列说法中正确的是( )
A．人对车厢的推力不做功 B．人对车厢的推力做负功
C．车厢对人的作用力做正功 D．车厢对人的作用力做负功
【典例2拔尖题】【答案】D
【解析】车厢向右做匀减速运动，即a、v方向相反，加速度a向左，且人与车厢具有相同
的加速度．对人受力分析，受到重力和车厢对人的作用力，则车厢对人的作用力方向为斜
向左上方，与位移方向成钝角，所以车厢对人做负功，C错误，D正确．人对车厢的作用
力方向斜向右下方，人对车厢的作用力与车厢位移方向成锐角，人对车厢做正功(或由动能
定理，人的动能减小，故车对人做负功，人对车做正功来判断)，A、B错误．
考点二：恒力做功的计算
【知识思维方法技巧】
恒力做功的计算公式是W＝Flcos α。L为物体对地的位移，α是力与位移方向之间的夹角。
（1）计算功时要指明是哪个力的功，如机车的功实际是指牵引力的功，电流做功实际是电
场力做功，电场力做功也可用W＝qU＝UIt计算。
（2）物体沿斜面下滑过程中克服摩擦力做的功，与底边长有关，如图甲、乙分别从顶端
A、B滑至底端C 克服摩擦力做的功W＝W＝μmgcos θ·＝μmgL。
1 2
（3）合外力做的功
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3
学科网（北京）股份有限公司方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功．
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W 、W 、W…，再应用W ＝W ＋W ＋W ＋…求合外力做的
1 2 3 合 1 2 3
功．
方法三：利用动能定理W ＝E －E .
合 k2 k1
题型一：某个力对物体做功的计算
【典例1拔尖题】质量m＝20 kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做
直线运动.0～2 s内F与运动方向相反，2～4 s内F与运动方向相同，物体的v－t图象如图
所示．g取10 m/s2，则( )
A．拉力F的大小为100 N
B．摩擦力的大小为40 N
C．4 s内拉力所做的功为480 J
D．4 s内物体克服摩擦力做的功为320 J
【典例1拔尖题】【答案】B
【解析】取物体初速度方向为正方向，由题图可知物体与水平面间存在摩擦力，由题图可
知0～2 s内，－F－f＝ma 且a ＝－5 m/s2；2～4 s内，－F＋f＝ma 且a ＝－1 m/s2，联立
1 1 2 2
以上两式解得F＝60 N，f＝40 N，A错误；B正确；由W＝Fx,0～2 s内，W ＝－Fx 2～4
1 1,
s内，W ＝Fx ，由题图可知x ＝10 m，x ＝2 m，代入数据解得，4 s内拉力所做的功为－
2 2 1 2
480 J，C错误；摩擦力做功W＝fs，摩擦力始终与速度方向相反，故s为路程，由题图可求
得总路程为12 m,4 s内物体克服摩擦力做的功为480 J，D错误．
【典例1拔尖题对应练习】一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此
刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力 F，力F、滑块的速率v随时间的变化规律
分别如图甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W 、
1
W、W，则以下关系正确的是( )
2 3
A.W＝W＝W B．W<W<W C．W<W<W D．W＝W<W
1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 3
【典例1拔尖题对应练习】【答案】B
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4
学科网（北京）股份有限公司【解析】在第1 s内，滑块的位移为x ＝×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W ＝F x ＝1×0.5 J
1 1 1 1
＝0.5 J；第2 s内，滑块的位移为x ＝×1×1 m＝0.5 m，力F做的功为W ＝F x ＝3×0.5 J＝
2 2 2 2
1.5 J；第3 s内，滑块的位移为x＝1×1 m＝1 m，力F做的功为W＝F x＝2×1 J＝2 J，所
3 3 3 3
以W<W<W。
1 2 3
题型二：物体对物体做功的计算
【知识思维方法技巧】
物体对物体做功的计算方法：
物体对物体做功就是一个物体对另一个物体作用力做功，就是物体对另一个物体弹力与摩
擦力合力的功，以物体为对象，则物体只受重力与作用力二个力的作用，再根据加速度的
方向，从而可以确定作用力的大小和方向，依据W ＝F lcos α计算。
合 合
【典例2拔尖题】 (多选)商场的智能扶梯如图所示，扶梯与水平面之间的夹角为 θ，扶梯
没有站人时以较小的速度v匀速向上运动，当质量为m的人踏上自动扶梯的水平踏板时，
1
扶梯会自动以加速度a向上匀加速运动，经过时间t加速到较大速度v后再次匀速向上运
2
动。已知电梯在加速过程人上升的竖直高度为h，人手未接触电梯扶手，重力加速度为g。
则( )
A.电梯在加速过程中人处于超重状态
B.加速过程中踏板对人的摩擦力不做功
C.加速过程电梯对人做的功为m(v－v)
D.当扶梯以速度v匀速运动时，支持力做功的功率为mgvsin θ
2 2
【典例2拔尖题】【答案】AD
【解析】电梯在加速过程中，竖直方向上，人所受的合力向上，支持力大于重力，因此人
处于超重状态，A正确；加速过程中，踏板对人的摩擦力水平向右，摩擦力对人做正功，
B错误；根据能量守恒定律，加速过程电梯对人做的功W＝m(v－v)＋mgh，C错误；扶梯
匀速运动时，支持力与重力平衡，因此支持力做功的功率P＝mgv sin θ，D正确。
2
【典例2拔尖题对应练习】如图所示是动力滚筒输送机示意图，水平框架上安装了许多同
样的转筒，由电动机带动转筒转动。当物体放到转筒上，依靠转筒摩擦带动运送货物。动
力滚筒输送机适用于各类箱、包、托盘等货件的输送。滚筒输送机具有结构简单，可靠性
高，使用维护方便等优点。某快递公司用动力滚筒输送机分拣快递，动力滚筒输送机水平
方向放置，转筒半径为r＝4 cm，转动角速度ω＝50 rad/s，现将一个质量m＝2 kg的快递
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5
学科网（北京）股份有限公司箱无初速放在A点，将快递箱从A点传送到B点运动的距离为16 m。快递箱与转筒间的动
摩擦因数μ＝0.2，整个过程转筒始终保持匀速转动，快递箱大小可忽略不计，重力加速度
g取10 m/s2，快递箱从A点传到B点的过程中，下列说法正确的是( )
A.所需要的时间为8 s
B.平均速度为4 m/s
C.输送机对快递箱做的功为64 J
D.运送快递箱电动机多做的功为8 J
【典例2拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】滚筒输送机的线速度v＝ωr＝50×0.04 m/s＝2.0 m/s，快递箱无初速放在A点，在
摩擦力作用下产生的加速度a＝μg＝2.0 m/s2，快递箱加速到2.0 m/s用的时间t ＝＝1 s，在
1
t 时间内发生的位移x＝t＝1 m，其后快递箱随滚筒输送机做匀速运动的时间t＝＝ s＝7.5
1 1 1 2
s，快递箱从A点传到B点所需要的时间t＝t ＋t ＝8.5 s，故A错误；快递箱从A点传到B
1 2
点的平均速度v＝＝ m/s≈1.9 m/s，故B错误；输送机对快递箱做的功W ＝μmgx ＝
1 1
0.2×2×10×1 J＝4 J，故C错误；运送快递箱滚筒输送机在t 时间内发生的位移x ＝vt ＝2
1 2 1
m，所以运送快递箱电动机多做的功为W＝μmgx ＝0.2×2×10×2 J＝8 J，故D正确。
2 2
题型三：含动滑轮的细绳拉力做功的计算
【知识思维方法技巧】
含动滑轮的细绳拉力做功的计算方法：
方法一：用W＝Flcos α求，其中l为力F作用点的位移，α为F与l之间的夹角。注意物
体与力的作用点的位移、速度、作用力间的大小关系。
方法二：用两段细绳拉力分别所做功的代数和求解。注意：不计摩擦和滑轮质量时，滑轮
两侧细绳拉力大小相等。
类型一：动滑轮两侧细绳平行模型
【典例3a拔尖题】如图所示，质量为M、长度为L的木板放在光滑的水平地面上，在木板
的右端放置质量为m的小木块，用一根不可伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与木块、木
板连接．木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块和木板静止．现用水平向右的拉力
F作用在木板上，将木块拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为( )
A．2μmgL B．μmgL C．μ(M＋m)gL D．μmgL
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6
学科网（北京）股份有限公司【典例3a拔尖题】【答案】D
【解析】拉力做功最小时，木块应做匀速运动，对木块m受力分析，由平衡条件可得F ＝
T
μmg.对木板M受力分析，由平衡条件可得：F＝F ＋μmg，又因当木块从木板右端拉向左
T
端的过程中，木板向右移动的位移l＝，故拉力F所做的功W＝Fl＝μmgL，或者根据功能
关系求解，在木块运动到木板左端的过程，因摩擦产生热量为μmgL，D正确．
类型二：动滑轮两侧细绳不平行模型
【典例3b拔尖题】(多选)某种升降机的装置原理图如图所示，各钢绳保持竖直方向，升降
机上方的绳从左到右分别记为1、2、3、4、5，升降机只能在竖直方向运动。已知升降机
和人的总质量为150 kg，配重A质量为200 kg，电动机的输出功率为1.2 kW，不计滑轮、
钢绳的质量和所有摩擦力，当升降机向上匀速运动时(g取10 m/s2)( )
A. 升降机的速度大小与配重A的速度大小之比为2∶1
B. 绳3和绳4对升降机的拉力相等
C. 升降机向上匀速运动的速度为2.4 m/s
D. 配重A通过绳对升降机做的功比电动机对升降机做的功少
【典例3b拔尖题】【答案】AC
【解析】根据滑轮组的特点可知，配重A在相同时间内移动的距离是升降机移动距离的一
半，所以升降机的速度大小与配重A的速度大小之比为2 1，A正确；绳3的拉力与绳2的
拉力大小相等，都是配重A重力的一半，即1 000 N，对升∶ 降机受力分析知，受绳3的拉力、
绳4的拉力、人对它的压力以及自身的重力，因为升降机向上匀速运动，所以受力平衡，
故绳4的拉力为1 500 N－1 000 N＝500 N，绳3和绳4对升降机的拉力不相等，B错误；
根据P＝Fv得v＝ ＝ m/s＝2.4 m/s，C正确；配重A通过绳对升降机做的功的功率为
P′＝F′v＝1 000×2.4 W＝2.4 kW，所以配重A通过绳对升降机做的功比电动机对升降机做
的功多，D错误。
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7
学科网（北京）股份有限公司考点三：变力做功的计算及分析
题型一：用动能定理法计算变力做功
【知识思维方法技巧】
动能定理是求变力做功的首选，在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功
的公式求解时，可用动能定理，W ＋W ＝mv 2－mv 2，物体初、末速度已知，恒力做功
变 恒 2 1
W 可根据功的公式求出，这样就可以得到W ＝mv 2－mv 2－W ，就可以求变力做的功
恒 变 2 1 恒
了．
类型一：曲线运动中变力做功的计算
【典例1a拔尖题】如图所示，长为l的粗糙长木板水平放置，在木板的右端放置一个质量
为m的小物块．现缓慢抬高A端，使木板以左端为轴转动．当木板转到与水平面的夹角为
θ时，小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端时的速度为v，重力加速度为
g.下列说法正确的是( )
A．整个过程木板对物块做功为mv2
B．整个过程支持力对物块做功为0
C．整个过程支持力对物块做功为mglsin θ－mv2
D．整个过程摩擦力对物块做功为mglsin θ
【典例1a拔尖题】【答案】A
【解析】对全过程研究，物块重力做功为零，则根据动能定理，木板对物块做功为 mv2，
故A正确．缓慢地抬高A端的过程中，摩擦力不做功，则根据动能定理得W －mglsin θ＝
N
0，得到支持力对小物块做功为W ＝mglsin θ，当物块下滑时支持力对物块不做功，所以整
N
个过程中支持力对物块做功为W ＝mglsin θ，故B、C错误；对下滑过程，根据动能定理
N
得mglsin θ＋W＝mv2，可得滑动摩擦力对小物块做功为W＝mv2－mglsin θ，故D错误．
f f
类型二：人对物体做功的计算
【典例1b拔尖题】一篮球质量为m＝0.60 kg，一运动员使其从距地面高度为h＝1.8 m处
1
由静止自由落下，反弹高度为h＝1.2 m．若使篮球从距地面h＝1.5 m的高度由静止下落，
2 3
并在开始下落的同时向下拍球、球落地后反弹的高度也为1.5 m．假设运动员拍球时对球的
作用力为恒力，作用时间为t＝0.20 s；该篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变．重
力加速度大小取g＝10 m/s2，不计空气阻力．求：
(1)运动员拍球过程中对篮球所做的功；
(2)运动员拍球时对篮球的作用力的大小．
【典例1b拔尖题】【答案】(1)4.5 J (2)9 N
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8
学科网（北京）股份有限公司【解析】(1)第一次篮球下落的过程中由动能定理可得E ＝mgh
1 1
篮球反弹后向上运动的过程由动能定理可得
0－E ＝－mgh ，第二次从1.5 m的高度静止下落，同时向下拍球，在篮球反弹上升的过程
2 2
中，由动能定理可得0－E ＝0－mgh ，第二次从1.5 m的高度静止下落，同时向下拍球，
4 4
篮球下落过程中，由动能定理可得W＋mgh ＝E ，因篮球每次和地面撞击的前后动能的比
3 3
值不变，则有比例关系＝，代入数据可得W＝4.5 J.
(2)因作用力是恒力，在恒力作用下篮球向下做匀加速直线运动，因此由牛顿第二定律可得
F＋mg＝ma，在拍球时间内运动的位移为x＝at2，做得功为W＝Fx
联立可得F＝9 N．(F＝－15 N舍去)
题型二：用结论法（微元法）计算变力做功
【知识思维方法技巧】
当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程（不是
位移）的乘积，如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等。
【典例2拔尖题】水平桌面上，长R＝5 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另
一端系一质量m＝2.0 kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F＝10 N，F拉着物体从
M点运动到N点，方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数
μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则拉力F做的功与克
服摩擦力做的功之比为( )
A.∶1 B.∶1 C.2∶1 D.3∶1
【典例2拔尖题】【答案】C
【解析】将圆弧分成很多小段l ，l ，…，l ，拉力F在每小段上做的功为W ，W ，…，
1 2 n 1 2
W ，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成 37°角，所以W ＝Flcos 37°，W
n 1 1 2
＝Flcos 37°…，W ＝Fl cos 37°，W＝W ＋W ＋…＋W ＝F(cos 37°)(l ＋l ＋…＋l )＝Fcos
2 n n 1 2 n 1 2 n
37°·R＝π J，同理可得小球克服摩擦力做的功W＝μmg·R＝π J，拉力F做的功与小球克服
f
摩擦力做的功之比为2 1，故选C。
∶
题型三：用图象法计算变力做功
【知识思维方法技巧】
用图象法计算变力做功的特点：
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9
学科网（北京）股份有限公司（1）F－x图象：由公式W＝Fx可知，F－x图线与x坐标轴围成的面积表示力所做的功。
且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于
求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．
（2）P(功率)－t图象：由公式W＝Pt可知，P－t图线与t坐标轴围成的面积表示力所做的
功。
（3）p(压强)－V图像中图线与横坐标轴所围面积表示功
【典例3拔尖题】一个质量为0.5 kg的物体，从静止开始做直线运动，物体所受合外力 F
随物体位移x变化的图象如图所示，则物体位移x＝8 m时，物体的速度为( )
A.2 m/s B.8 m/s C.4 m/s D.4 m/s
【典例3拔尖题】【答案】C
【解析】F－x图象中图线与横轴所围面积表示功，横轴上方为正功，下方为负功，x＝8 m
时，可求得W＝8 J；由动能定理有mv2＝8 J，解得v＝4 m/s，选项C正确。
【典例3拔尖题对应练习】如图甲所示，一质量为4 kg的物体静止在水平地面上，让物体
在随位移均匀减小的水平推力F作用下开始运动，推力F随位移x变化的关系图象如图乙
所示，已知物体与面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2，则下列说法正确的是( )
A．物体先做加速运动，推力为零时开始做减速运动
B．物体在水平地面上运动的最大位移是10 m
C．物体运动的最大速度为2 m/s
D．物体在运动中的加速度先变小后不变
【典例3拔尖题对应练习】【答案】B
【解析】当推力小于摩擦力时物体就开始做减速运动，选项A错误；图乙中图线与坐标轴
所围成的三角形面积表示推力对物体做的功，由此可得推力做的功为W＝×4×100 J＝200
J，根据动能定理有W－μmgx ＝0，得x ＝10 m，选项B正确；当推力与摩擦力平衡时，
max max
加速度为零，速度最大，由题图乙得F＝100－25x(N)，当F＝μmg＝20 N时，x＝3.2 m，
由动能定理得(100＋20)·x－μmgx＝mv，解得物体运动的最大速度v ＝8 m/s，选项C错误；
max
当推力由100 N减小到20 N的过程中，物体的加速度逐渐减小，当推力由20 N减小到0的
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10
学科网（北京）股份有限公司过程中，物体的加速度又反向增大，此后物体的加速度不变，直至物体静止，故D项错误．
题型四：用平均力法计算变力做功
【知识思维方法技巧】
若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即F＝kx＋b时，则可以认为物体
受到一大小为F＝的恒力作用，F 、F 分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝
1 2
Flcos α求此力所做的功．比如弹簧由伸长x 被继续拉至伸长x 的过程中，克服弹力做功
1 2
W＝·(x－x)
2 1
【典例4拔尖题】(多选)如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排
列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗
糙水平面．小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平
面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为( )
A.Mv2 B．Mv2 C.μMgl D．μMgl
【典例4拔尖题】【答案】AC
【解析】总质量为M的小方块在进入粗糙水平面的过程中滑动摩擦力由0均匀增大， 当全
部进入时摩擦力达最大值μMg, 总位移为l, 平均摩擦力为 ＝μMg，由功的公式可得W ＝
f f
－·l ＝－μMgl，功的大小为μMgl，C正确，D错误；用动能定理计算，则为：W＝0－
f f
Mv2＝－Mv2，其大小为Mv2，A正确，B错误．
【典例4拔尖题对应练习】如图所示，质量均为m的A、B两小物块用轻质弹簧相连，A放
置在光滑水平地面上，一轻绳通过光滑的定滑轮与物块B相连（连接物块B的绳子恰好伸
直但不绷紧），弹簧的劲度系数k。现用一水平向右的拉力F作用在轻绳上，使物块B缓
慢向上运动，已知重力加速度为g，当A物块恰好离开地面时，F所做功为（ ）
A． B． C． D．
【典例4拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】开始时弹簧的压缩量 ，此时 ，当A物块恰好离开地面时弹簧伸长量
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11
学科网（北京）股份有限公司为 ，此时 ，则F做功 ，故选D。
题型五：用等效转换法计算变力做功
【知识思维方法技巧】
若某一变力的功和某一恒力的功相等，即效果相同，则可以通过计算该恒力做的功，求出
该变力做的功，从而使问题变得简单，也就是说通过定滑轮，将变力做功转化为恒力做功
这种方法称为等效转换法．如轻绳通过定滑轮拉动物体运动过程中拉力做功的问题．
【典例5拔尖题】力F对物体所做的功可由公式W＝Flcosα求得．但用这个公式求功是有
条件的，即力F必须是恒力．而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功．我们就需
要通过其他的一些方法来求解力F所做的功．如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解
某个力所做的功，下列说法正确的是( )
A. 图甲中，若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W＝F(OA－OC)
B. 图乙中，全过程中F做的总功为108 J
C. 图丙中，绳长为R，若空气阻力F 大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的
f
功W＝ πRF
f
D. 图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P
拉到Q，F做的功都是W＝Flsinθ
【典例5拔尖题】【答案】A
【解析】题图甲中，因沿着同一根绳做功的功率相等，则力对绳做的功等于绳对物块做的
功，则物块从A到C过程中力F做的功为W＝F(OA－OC)，故A正确；F－x图像中图线
与横轴所围的面积表示功，则全过程中F做的总功为W＝15×6 J＋(－3)×6 J＝72 J，故B
错误；题图丙中，绳长为R，若空气阻力F 大小不变，可用微元法得小球从A运动到B过
f
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12
学科网（北京）股份有限公司程中空气阻力做的功为W＝－F· ＝－ πRF，故C错误；题图丁中，F始终保持水平，
f f
当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是W＝Flsinθ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F
为水平方向的变力，F做的功不能用力乘以位移计算，故D错误．
【典例5拔尖题对应练习】(多选)如图所示，轻绳一端受到大小为F的水平恒力作用，另
一端通过定滑轮与质量为m、可视为质点的小物块相连．开始时绳与水平方向的夹角为θ.
当小物块从水平面上的A点被拖动到水平面上的B点时，位移为L，随后从B点沿斜面被
拖动到定滑轮O处，BO间距离也为L.小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数均为μ，若小
物块从A点运动到O点的过程中，F对小物块做的功为W ，小物块在BO段运动过程中克
F
服摩擦力做的功为W，则以下结果正确的是( )
f
A．W ＝FL(cos θ＋1) B．W ＝2FLcos θ
F F
C．W＝μmgLcos 2θ D．W＝FL－mgLsin 2θ
f f
【典例5拔尖题对应练习】【答案】BC
【解析】小物块从A点运动到O点，拉力F的作用点移动的距离x＝2Lcos θ，所以拉力F
做的功W ＝Fx＝2FLcos θ，A错误，B正确；由几何关系知斜面的倾角为2θ，所以小物块
F
在BO段受到的摩擦力f＝μmgcos 2θ，则W＝fL＝μmgLcos 2θ，C正确，D错误．
f
题型六：圆周运动摩擦变力做功的分析
【知识思维方法技巧】
接触面弹力发生了变化，则滑动摩擦力大小也发生了变化，滑动摩擦力做功也发生了变化。
如图小球能沿粗糙半圆周从P经最低点Q到R，由于机械能的损失，在前半程的速度（摩
擦力）总是大于后半程等高处的速度（摩擦力），P到Q克服摩擦力所做的功大于Q到R
克服摩擦力所做的功．
【典例6拔尖题】（多选）如图半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以
足够大的初速度v在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为μ，设从开始运
0
动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做的功分别为W 和W，在这
1 2
一周内摩擦力做的总功为W，则下列关系式正确的是( )
3
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13
学科网（北京）股份有限公司A．W>W B．W＝W C．W＝0 D．W＝W＋W
1 2 1 2 3 3 1 2
【典例6拔尖题】【答案】AD
【解析】小球在水平弯管内运动，滑动摩擦力始终与速度方向相反，做负功，对每一小段
圆弧有W＝－F Δx；而小球在水平面内做圆周运动的向心力是由外管壁对小球的弹力F
i fi i N
提供，即F ＝F ＝m，由于m、R不变，摩擦力对小球做负功，所以小球运动速率v减小，
N 向
向心力减小，即F 减小，由F＝μF 知，滑动摩擦力F 也减小，经过每一小段圆弧，摩擦
N f N f
力做的功将逐渐减少，一周内有W>W；W 和W 均为负功，有W＝W＋W
1 2 1 2 3 1 2
考点四：功率的计算及分析
题型一：功率的计算
【知识思维方法技巧】
求解功率时应注意的三个问题：
（1）首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。
（2）平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内
做功的平均功率。平均功率的计算方法：P＝或P＝Fvcos α，其中v为物体运动的平均速度。
（3）瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。瞬时功率的计算方法：
P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度，α是F与v的夹角。
类型一：功率的计算
【典例1a拔尖题】(多选)质量为m的物体静止在粗糙的水平地面上，从t＝0时刻开始物体
受到方向恒定的水平拉力F作用，拉力F与时间t的关系如图甲所示．物体在t 时刻开始
0
运动，其运动的vt图象如图乙所示，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则( )
A．物体与地面间的动摩擦因数为
B．物体在t 时刻的加速度大小为
0
C．物体所受合外力在t 时刻的功率为2F v
0 0 0
D．水平力F在t～2t 时间内的平均功率为F
0 0 0
【典例1a拔尖题】【答案】AD
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14
学科网（北京）股份有限公司【解析】物体在时刻开始运动，故f＝F ，动摩擦因数μ＝，故A正确；在t ～t 时间内，
0 0 0
假设物体做匀加速运动，则v ＝a·t ，解得a＝，实际上物体的加速度从0开始增大，故在
0 0
t 时刻加速度大于，故B错误；在t 时刻，物体受到的合外力F＝2F －f＝F ，功率P＝
0 0 0 0
F v ，故C错误；在2t 时刻速度v＝v ＋t ，在t ～2t 时间内物体的平均速度＝＝，故平均
0 0 0 0 0 0 0
功率P＝2F ＝F ，故D正确．
0 0
【典例1a拔尖题对应练习】(多选)质量为m的物体静止于地面上，现用一外力F向上提
升物体，外力大小F与物体重力大小(mg，g为重力加速度)的比值随时间t变化的图像如
图所示．不计空气阻力，则( )
A. 时刻F的功率为mg2t
0
B. 0～t 时间内F做的功为 mg2t2
0 0
C. 0～2t 时间内F的平均功率为mg2t
0 0
D. 3t 时刻物体的速度为0
0
【典例1a拔尖题对应练习】【答案】AC
【解析】由题图可知，0～t 时间内F＝2mg，物体向上运动的加速度大小为g， 时刻物体
0
的速度为 ，因此此时F的功率为mg2t，故A正确；0～t 时间内F做的功W＝2mg× gt2
0 0 1 0
＝mg2t2，故B错误；t～2t 时间内物体以速度gt 向上匀速运动，F做的功W＝mg·gt·t＝
0 0 0 0 2 0 0
mg2t2，0～2t 时间内F做的总功为2mg2t2，这段时间内F的平均功率为mg2t，故C正确；
0 0 0 0
0～t 时间内，物体以加速度g向上做加速运动，t～2t 时间内，物体匀速运动，2t～3t 时
0 0 0 0 0
间内，物体向上做减速运动，加速度小于g,3t 时刻物体的速度未减为0，故D错误．
0
类型二：平均功率的估算
【典例1b拔尖题】引体向上是中学生体育测试的项目之一，引体向上运动的吉尼斯世界纪
录是53次/分钟。若一个普通中学生在30秒内完成12次引体向上，该学生此过程中克服重
力做功的平均功率最接近于( )
A．5 W B．20 W C．100 W D．400 W
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学科网（北京）股份有限公司【典例1b拔尖题】【答案】C
【解析】学生体重约为50 kg，每次引体向上上升高度约为0.5 m，引体向上一次克服重力
做功为W＝mgh＝50×10×0.5 J＝250 J，全过程克服重力做功的平均功率为＝＝＝100 W，
故C正确，A、B、D错误。
【典例1b拔尖题对应练习】下列表述中最符合实际情况的是( )
A．某高中同学做一次引体向上的上升过程中克服重力做功约为25 J
B．将一个鸡蛋从胸前举过头顶，克服重力做功约为10 J
C．篮球从2 m高处自由下落到地面的过程中，重力做功的功率约为20 W
D．某高中同学步行上楼时克服重力做功的功率约为10 kW
【典例1b拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】高中的同学质量约60 kg，在一次引体向上的过程中向上的位移约0.5 m，则克服
重力做的功W＝mgh＝60×10×0.5 J＝300 J，故A错误；一个鸡蛋的质量约为50 g＝0.05
kg，将一个鸡蛋从胸前举过头顶，位移约0.4 m，克服重力做功约为W＝mgh＝
0.05×10×0.4 J＝0.2 J，故B错误；篮球的质量约0.6 kg，篮球从2 m高处自由下落到地面
的过程中，重力做的功W＝mgh＝0.6×10×2 J＝12 J，篮球下落的时间t＝＝ s≈0.63 s，功
率约为P＝＝ W≈20 W，故C正确；高中的同学质量约60 kg，楼层的高度约为3 m，则高
中同学步行上楼时，每秒钟向上的高度约为0.3 m(两个台阶)，每秒钟上楼克服重力做功W
＝mgh＝50×10×0.3 J＝150 J，功率P＝＝ W≈150 W，故D错误。
题型二：功率的分析
【典例2拔尖题】 (多选)如图所示，在外力作用下某质点运动的v－t图象为正弦曲线．从
图中可以判断( )
A．在0～t 时间内，外力的功率先增大后减小
1
B．在0～t 时间内，外力的功率逐渐为零
1
C．在t 时刻，外力的功率为零
2
D．在t 时刻，外力的功率最大
3
【典例2拔尖题】【答案】AC
【解析】由题图知，t＝0时，v＝0，外力F≠0，外力的功率为零，t 时刻，质点的加速度为
1
零，外力为零，外力的功率为零，所以0～t 时间内，外力的功率先增大后减小，选项A正
1
确，B错误；t 时刻，v＝0，此时外力的功率为零，选项C正确；t 时刻，外力为零，外力
2 3
的功率为零，选项D错误．
【典例2拔尖题对应练习】如图所示，一半圆槽固定在水平面上，A、B两点为最高点，O
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学科网（北京）股份有限公司为最低点，一个小球在外力控制下沿AOB做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．半圆槽对小球的支持力先做正功后做负功
B．合力对小球先做负功后做正功
C．小球在最低点O时，所受合力的功率最大
D．整个过程中小球重力的功率先减小后增大
【典例2拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】小球在外力控制下，沿AOB做匀速圆周运动，受到的支持力与其速度一直垂直，
支持力不做功，故A错误；小球做匀速圆周运动，合力提供向心力，指向圆心，方向始终
与速度方向垂直，不做功，功率为零，故B、C错误；小球在运动过程中，竖直分速度先
减小后增大，小球重力的功率先减小后增大，故D正确．
考点五：机车功率的问题
【知识思维方法技巧】
（1）机车启动问题的两种求解思路：
①机车以恒定功率启动：
②机车以恒定加速度启动：
（2）解决机车启动问题的两点注意：
①分清是匀加速启动还是恒定功率启动：
匀加速启动过程中，机车功率是不断增大的，当功率达到额定功率时匀加速运动速度达到
最大，但不是机车能达到的最大速度。
以额定功率启动的过程中，牵引力是不断减小的，机车做加速度减小的加速运动，牵引力
的最小值等于阻力。
②无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P＝Fv ，P为机车的额定功率。
f m
题型一：机车功率的计算问题
类型一：机车在水平面运动模型
【典例1a拔尖题】某汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车质量为5 t，汽车在运动中所受
阻力的大小恒为车重的0.1倍．(g取10 m/s2)
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学科网（北京）股份有限公司(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多大？当汽车速度达到5 m/s时，
其加速度是多大？
(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s2启动，则其匀加速过程能维持多长时间？
【典例1a拔尖题】【答案】(1)12 m/s 1.4 m/s2 (2)16 s
【解析】(1)当汽车的加速度为零时，汽车的速度v达到最大值v ，此时牵引力与阻力相等，
m
故最大速度为v ＝＝＝ m/s＝12 m/s；v＝5 m/s时的牵引力，
m
F ＝＝ N＝1.2×104 N，由F －F＝ma得：a＝＝ m/s2＝1.4 m/s2.
1 1 f
(2)当汽车以a′＝0.5 m/s2的加速度启动时的牵引力
F ＝ma′＋F＝(5 000×0.5＋0.1×5×103×10) N＝7 500 N
2 f
匀加速运动能达到的最大速度为v ′＝＝ m/s＝8 m/s，由于此过程中汽车做匀加速直线运动
m
满足v ′＝a′t，故匀加速过程能维持的时间t＝＝ s＝16 s.
m
【典例1a拔尖题对应练习】某汽车在某次测试过程中数据如下表所示，请根据表中数据回
答问题。
行驶中整车质量 1 500 kg
额定功率 80 kW
加速过程 车辆从静止加速到72 km/h所需时间为20 s
制动过程 车辆以36 km/h行驶时的制动距离为5.0 m
某天张华驾驶该汽车从甲地点沿平直公路到乙地点送货，张华启动汽车后先以恒定的加速
度(该加速度大小与测试过程中加速过程的加速度大小相同)运动一段时间，汽车功率达到
额定功率后，保持额定功率继续行驶，达到最大速度后以最大速度行驶，快到乙地点时，
开始制动汽车，刚好到乙地点停下。已知汽车在平直公路上沿直线行驶时所受阻力f大小
恒定，为制动过程中汽车所受阻力的，甲地点到乙地点的距离为d＝3 km，取重力加速度g
＝10 m/s2。
（1）求汽车在平直公路上行驶的最大速度v ；
m
（2）张华由甲地点到乙地点共经历多长时间？
【典例1a拔尖题对应练习】【答案】(1)32 m/s (2)114.95 s
【解析】(1)由题中表格数据知加速过程的加速度大小为a＝＝1 m/s2
1
制动过程的加速度大小为a＝＝10 m/s2
2
则制动过程所受阻力大小为F′＝ma ＝1.5×104 N
2
汽车行驶过程中受到的阻力大小为F＝F′＝2.5×103 N
f
汽车速度最大时，牵引力F与阻力F 大小相等，由P＝Fv 得，v ＝＝32 m/s。
f m m
(2)匀加速过程中，由牛顿第二定律可知F－F＝ma ， 解得F＝F＋ma ＝4×103 N， 故匀
f 1 f 1
加速过程中的最大速度v ＝＝20 m/s，加速时间为t ＝＝20 s，加速距离为x ＝＝200 m，
m0 1 1
制动过程所用的时间为t＝＝3.2 s，制动距离为x＝＝51.2 m，功率达到额定功率后，汽车
2 2
做变加速及匀速运动，在此过程有Pt－Fx＝mv－mv
0 f
其中x＝d－(x＋x)，联立解得t＝91.75 s故从甲地点到乙地点共经历的时间为
1 2 0
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学科网（北京）股份有限公司t＝t＋t＋t＝114.95 s。
1 2 0
类型二：机车在斜面运动模型
【典例1b拔尖题】2019年12月17日，中国首艘自主建造的国产航母“山东”舰正式入役，
中国海军真正拥有了可靠的航母作战能力，国产航母上的“歼15”舰载机采用滑跃式起飞。
如图所示，AB为水平甲板，BC为倾斜甲板，倾角为θ，B处由光滑圆弧平滑连接。舰载
机从A点启动做匀加速直线运动，经过2 s到达B点时速度为60 m/s，此时舰载机发动机
的功率恰好达到额定功率，随后滑上倾斜甲板继续加速，在C点实现起飞。已知舰载机总
质量为1.0×104 kg，滑跑过程中受到的阻力(空气阻力与摩擦阻力总和)恒为自身重力的0.1
倍，方向与速度方向相反。倾斜甲板舰艏高度H＝4 m，sin θ＝0.2，g＝10 m/s2，舰载机
可视为质点，航母始终处于静止状态。
(1)求航母水平甲板AB之间的距离和舰载机发动机的额定功率；
(2)若舰载机在倾斜甲板上继续以额定功率加速，又经过2 s最终飞离航母。通过计算判断
舰载机能否安全起飞(已知舰载机的安全起飞速度至少为80 m/s)?
【典例1b拔尖题】【答案】(1)60 m 1.86×107 W (2)安全起飞
【解析】(1)由x＝t可得，L ＝t＝60 m，由运动学公式v＝v＋at可得
AB 1 0
a＝＝30 m/s2，水平滑跑中由牛顿第二定律得F－f＝ma，其中f＝kmg，k＝0.1
可得F＝3.1×105 N，由P＝Fv得，发动机达到额定功率P ＝Fv ＝1.86×107 W。
额 B
(2)达到额定功率后，舰载机在倾斜甲板上做变加速运动，设 C点起飞时的速度为v ，由动
C
能定理可得P t －(f＋mgsin θ)×＝m(v－v)，解得v ＝104.5 m/s>80 m/s，所以舰载机可以
额 2 C
安全起飞。
类型三：竖直提升重物模型
【典例1c拔尖题】有一台最大功率为P =8×103W的起重机，将一个质量为m=1000kg的物
m
体竖直向上吊起，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，则
(1)若起重机以最大功率工作时，物体最终能达到的最大速度为多少？
(2)若物体以v=0.4m/s的速度匀速上升，起重机的实际功率是多少？
(3)若物体从静止气以a=2m/s2的加速度匀加速上升，则维持此加速度的时间是多少？
【典例1c拔尖题】【答案】(1) (2)4000W(3)
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学科网（北京）股份有限公司【解析】(1)当牵引力等于重力时，速度最大，根据 ，可知最大速度
(2) 当 物 体 匀 速 上 升 时 ， 则 起 重 机 的 实 际 功 率
(3) 根 据 牛 顿 第 二 定 律 得 ， 解 得
， 则 匀 加 速 运 动 的 末 速 度
，可知
【典例1c拔尖题对应练习】小明用额定功率为1 200 W、最大拉力为300 N的提升装置，
把静置于地面的质量为20 kg的重物竖直提升到高为85.2 m的平台，先加速再匀速，最后
做加速度大小不超过5 m/s2的匀减速运动，到达平台速度刚好为零，g取10 m/s2，则提升
重物的最短时间为( )
A．13.2 s B．14.2 s C．15.5 s D．17.0 s
【典例1c拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】为了以最短时间提升重物，一开始先以最大拉力拉重物做匀加速上升，当功率达
到额定功率时，保持功率不变直到重物达到最大速度，接着做匀速运动，最后以最大加速
度做匀减速运动，上升至平台时速度刚好为零．重物在第一阶段做匀加速上升的过程中，
根据牛顿第二定律可得a＝＝ m/s2＝5 m/s2，当功率达到额定功率时，设重物的速度为v，
1 1
则有v＝＝ m/s＝4 m/s，此过程所用时间和上升高度分别为
1
t＝＝ s＝0.8 s，h＝＝ m＝1.6 m重物以最大速度做匀速运动时，有
1 1
v ＝＝＝ m/s＝6 m/s，重物最后以最大加速度做匀减速运动的时间和上升高度分别为t ＝
m 3
＝ s＝1.2 s，h ＝＝ m＝3.6 m，设重物从结束匀加速运动到开始做匀减速运动所用时间为
3
t ，该过程根据动能定理可得P t －mgh ＝mv 2－mv 2，又有h ＝85.2 m－1.6 m－3.6 m＝
2 额 2 2 m 1 2
80 m，联立解得t＝13.5 s，故提升重物的最短时间为
2
t ＝t＋t＋t＝0.8 s＋13.5 s＋1.2 s＝15.5 s，C正确，A、B、D错误．
min 1 2 3
题型二：与图像结合的机车功率的计算问题
类型一：与v－t图像结合的机车启动问题
【典例2a拔尖题】如图甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车(可视为质
点)，正以10 m/s的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个
ABC路段的vt图像如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机
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20
学科网（北京）股份有限公司的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力
等)各自有恒定的大小。求：
(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力f 的大小；
1
(2)汽车刚好开过B点时加速度a的大小；
(3)BC路段的长度。
甲 乙
【典例2a拔尖题】【答案】(1)2 000 N (2)1 m/s2 (3)68.75 m
【解析】(1)汽车在AB路段做匀速直线运动，根据平衡条件，有：F ＝f ，P＝F v,解得：
1 1 1 1
f＝＝ N＝2 000 N。
1
(2)t＝15 s时汽车处于平衡状态，有：F ＝f ，P＝F v ，解得：f ＝＝N＝4000 N刚好开过
2 2 2 2 2
B点时汽车的牵引力仍为F ，根据牛顿第二定律，有：f－F ＝ma，解得：a＝1 m/s2。
1 2 1
(3)对于汽车在BC路段运动，由动能定理得：Pt－fs＝mv 2－mv 2，解得：s＝68.75 m。
2 2 1
【典例2a拔尖题对应练习】某中学生对刚买来的一辆小型遥控车的性能进行研究．他让这
辆小车在水平地面上由静止开始沿直线轨道运动，并将小车运动的全过程通过传感器记录
下来，通过数据处理得到如图所示的v－t图象．已知小车在0～2 s内做匀加速直线运动，2
～11 s内小车牵引力的功率保持不变，9～11 s内小车做匀速直线运动，11 s末开始小车失去
动力而自由滑行．已知小车质量m＝1 kg，整个过程中小车受到的阻力大小不变，试求
(1)在2～11 s内小车牵引力的功率P的大小；
(2)小车在2 s末的速度v 的大小；
x
(3)小车在2～9 s内通过的距离x.
【典例2a拔尖题对应练习】【答案】(1)16 W (2)4 m/s (3)44 m
【解析】(1)根据题意，在11 s末撤去牵引力后，小车只在阻力F 作用下做匀减速直线运动，
f
设其加速度大小为a，根据题图可知：a＝|| m/s2＝2 m/s2；根据牛顿第二定律有：F＝ma，
f
解得：F＝2 N；设小车在匀速直线运动阶段的牵引力为F，则：F＝F，v ＝8 m/s
f f m
根据P＝Fv 解得：P＝16 W
m
(2)0～2 s的匀加速直线运动过程中，小车的加速度为：a ＝，设小车的牵引力为F ，根据
x x
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学科网（北京）股份有限公司牛顿第二定律有：F －F＝ma ，根据题意有：P＝F v，联立解得：v＝4 m/s
x f x x x x
(3)在2～9 s内的变加速过程，Δt＝7 s，由动能定理可得：PΔt－Fx＝mv－mv，解得x＝44
f
m.
类型二：与a－图像结合的机车启动问题
【知识点的理解与运用】
由F－F＝ma，P＝Fv可得：a＝·－，则斜率k＝；纵截距b＝－；
f
横截距＝。
【典例2b拔尖题】如图甲所示，水平面上一质量为 m的物体在水平力F作用下开始做加
速运动，力F的功率P保持恒定，运动过程中物体所受的阻力f大小不变，物体速度最终
达到稳定值v ，作用过程物体速度的倒数与加速度a的关系图象如图乙所示．在已知功率
m
P的情况下，根据图象所给信息可知以下说法中正确的是 ( )
A．可求出m、f和v
m
B．不能求出m
C．不能求出f
D．可求出加速运动时间
【典例2b拔尖题】【答案】A
【解析】当加速度为零时，物体做匀速运动，此时的牵引力等于阻力，速度为最大值，最
大速度v ＝ m/s＝10 m/s；由功率的计算公式可得P＝Fv，而F－f＝ma，联立可得＝ a
m
＋，物体速度的倒数与加速度a的关系图象斜率为k＝，纵轴截距为＝0.1，因此可求出
m、f和v ，选项A正确，B、C错误．物体做变加速运动，无法求出物体加速运动的时间，
m
选项D错误．
【典例2b拔尖题对应练习】一赛车在平直赛道上以恒定功率加速，其功率为200 kW，设
所受到的阻力不变，加速度a和速度的倒数的关系如图所示，则赛车( )
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学科网（北京）股份有限公司A.做匀加速直线运动
B.质量为400 kg
C.所受阻力大小为2 000 N
D.速度大小为50 m/s时牵引力大小为3 000 N
【典例2b拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】由图可知，加速度变化，故做变速直线运动，选项A错误；对汽车受力分析，受
重力、支持力、牵引力和摩擦力，根据牛顿第二定律，有 F－F＝ma，其中F＝，联立得
f
a＝－，结合图线可知－＝－4，＝，解得m＝500 kg，F＝2×103 N，选项B错误，C正确
f
由P＝Fv可知F＝4 000 N，选项D错误。
类型三：与F－图像结合的机车启动问题
【知识思维方法技巧】
如图AB段牵引力不变，做匀加速直线运动；BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率
不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动；B点横坐标对应匀加速运动
的末速度为；C点横坐标对应运动的最大速度，此时牵引力等于阻力。
【典例2c拔尖题】在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103 kg的汽车由静止开始沿
平直公路行驶，达到的最大速度为40 m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵
引力F与对应的速度v，并描绘出如图所示的F图像(图线ABC为汽车由静止到达到最大速
度的全过程，AB、BO均为直线)。假设该汽车行驶过程中所受的阻力恒定，根据图线
ABC，求：
(1)该汽车的额定功率；
(2)该汽车由静止开始运动，经过35 s达到最大速度40 m/s，求其在BC段的位移大小。
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学科网（北京）股份有限公司【典例2c拔尖题】【答案】(1)8×104 W (2)75 m
【解析】(1)图线AB表示牵引力F不变，即F＝8 000 N，阻力F 不变，汽车由静止开始做
f
匀加速直线运动；图线BC的斜率表示汽车的功率P不变，达到额定功率后，汽车所受牵
引力逐渐减小，汽车做加速度减小的变加速直线运动，直至达到最大速度40 m/s，此后汽
车做匀速直线运动。由题图可知，当达到最大速度v ＝40 m/s时，牵引力为F ＝2 000
max min
N
由平衡条件F＝F 可得F＝2 000 N，由公式P＝F v 得额定功率P＝8×104 W。
f min f min max
(2)匀加速运动的末速度v ＝，代入数据解得v ＝10 m/s，汽车由A到B做匀加速运动的加
B B
速度为a＝＝2 m/s2，设汽车由A到B所用时间为t ，由B到C所用时间为t ，位移为x，
1 2
则t＝＝5 s，t＝35 s－5 s＝30 s，B点之后，对汽车由动能定理可得
1 2
Pt－Fx＝mv 2－mv 2，代入数据可得x＝75 m。
2 f C B
类型四：与P－t图像结合的机车启动问题
【典例2d拔尖题】一辆汽车在平直的公路上由静止开始启动。在启动过程中，汽车牵引力
的功率及其瞬时速度随时间的变化情况分别如图甲、乙所示。已知汽车所受阻力恒为重力
的 ，重力加速度g取 。下列说法正确的是( )
A．该汽车的质量为
B．
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学科网（北京）股份有限公司C．在 内，汽车的位移大小约为
D．在前5s内，阻力对汽车所做的功为25kJ
【典例2d拔尖题】【答案】C
【解析】由图像可得，汽车匀加速阶段的加速度为 ，汽车匀加速阶段的牵
引力为 ，匀加速阶段由牛顿第二定律得 ，解得
，A错误；牵引力功率为15kW时，汽车行驶的最大速度为
B错误；5～15s内，由动能定理得 ，解得
，C正确；前5s内汽车的位移为 ，阻力做功
为 ，D错误。
类型五：与其他图像结合的机车启动问题
【典例2e拔尖题】一辆汽车从静止开始沿平直路面运动。运动过程中牵引力F及加速度a
与汽车速度v的关系图线分别如图甲、乙所示，已知汽车所受阻力保持恒定，汽车速度由
10m/s增至24m/s的过程中功率保持不变，该过程中汽车的位移为1252m，下列说法正确
的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．甲图中A点坐标为2500
B．汽车的质量为
C．汽车的速度为20m/s时的加速度为
D．汽车从静止到速度刚达到24m/s经过的时间为72s
【典例2e拔尖题】【答案】AC
【解析】由图像乙可知，初始时汽车的加速度不变，所以汽车为恒加速度启动，当汽车速
度达到10m/s时，汽车的功率达到额定功率，即 。由图像甲和图像乙可
知，图中A点时汽车达到最大速度，即此时汽车牵引力等于阻力，也就是A点的数值，有
，解得 ，所以A点的坐标为2500，故A项正确；在汽车做匀加速直
线运动过程中，有 ，解得 ，故B项错误；当汽车的速度为20m/s时，
设此时牵引力为 ，有 ， ，解得 ，故C项正确；汽车由静
止到10m/s由 ，由10m/s到24m/s有 ， ，
故D项错误。故选AC。
题型三：根据机车启动情景选择图象的问题
【典例3拔尖题】(多选)发动机额定功率为P 的汽车在水平路面上从静止开始先匀加速启
0
动，最后达到最大速度并做匀速直线运动，已知汽车所受路面阻力恒为 F，汽车刚开始启
f
动时的牵引力和加速度分别为F 和a ，如图所示描绘的是汽车在这一过程中速度随时间以
0 0
及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司【典例3拔尖题】【答案】AC
【解析】汽车由静止开始匀加速启动时，a一定，根据v＝at知v增大，由F＝ma＋F 知F
f
一定，根据P＝Fv知v均匀增大，功率P也均匀增大，达到P 后，功率保持不变，v继续
额
增大，所以F＝减小，a＝减小，当F＝F 时，a＝0，v ＝，此后汽车做匀速运动，故A、
f m
C正确．
【典例3拔尖题对应练习】(多选)动车组列车在启动阶段的运动可视为初速度为零的匀加
速直线运动，当速度达到200 km/h时便保持此速度做匀速直线运动．若列车所受机械阻力
恒定，所受空气阻力与速度大小成正比．该运动过程中列车发动机的功率没有达到其额定
值，则列车的牵引力F和功率P随时间t变化的关系图象可能正确的是( )
【典例3拔尖题对应练习】【答案】AC
【解析】列车从静止开始做匀加速直线运动阶段，列车所受的空气阻力与速度大小成正比
即F ＝kv＝kat，由牛顿第二定律得F－F－kat＝ma，解得F＝ma＋F＋kat，牵引力F
f空 f f
与时间t为线性关系，发动机的输出功率P＝Fv＝Fat＝ka2t2＋(ma＋F)at，功率P与时间t
f
为二次函数关系；当速度达到v ＝200 km/h时，突然减小牵引力为F′，使牵引力大小等于
0
机械阻力和空气阻力之和，即F′＝F＋F ＝F＋kv，列车开始做匀速直线运动，功率P＝
f f空 f 0
(F＋kv)v ，此时功率P突然减小，之后牵引力F和功率P均不随时间t变化，A、C正确，
f 0 0
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