文档内容
知识点 4：运动的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
运动追及相遇问题的解题方法：
（1）物理法（临界条件法）：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审
题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x ，当v ＝v 时，若x >x ＋x ，则能追上；若
0 B A B A 0
x ＝x ＋x，则恰好追上；若x 0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
（3）图象法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．若用位移—时间图像求解，如果两
个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。v－t图象在已知出发点的前提下，可
由图象“面积”判断相距最远、最近及相遇．
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经
停止运动。
考点一：运动图像中的追及相遇问题
题型一：常规运动图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
常规运动图像中的追及相遇问题的处理技巧：
（1）识图像画草图：首先用函数斜率面积法，对给出运动图像的截距、交点、拐点、面积、
斜率进行识别，然后根据图像所反映的物体的运动情况，画出物体的运动草图。
（2）找关系列方程：根据运动草图反映的物理过程，找出物体运动的时间关系、位移关系、
速度关系。列出物体的运动学方程，求出结果并对结果的合理性进行讨论。
类型一：xt图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
x－t图像中的追及相遇问题：xt图像中两图线的交点表示两物体相遇。
【典例1a拔尖题】a、b、c三个物体在同一条直线上运动，其位移时间图象(如图所示)
中，图线c是一条x＝0.4t2的抛物线．有关这三个物体在0～5 s内的运动，下列说法正确的
是( )
A．a物体做匀加速直线运动 B．c物体做匀加速直线运动
C．t＝5 s时，a物体速度最大 D．a、b两物体都做匀速直线运动，且速度相同
【典例1a拔尖题对应练习】（多选）如图所示，图线OP、MN分别是做直线运动的质点
A、B的位移—时间图像，其中OP为开口向下抛物线的一部分，P为图像上一点．PQ为
过P点的切线，与x轴交于点Q.则下列说法正确的是( )
1
学科网（北京）股份有限公司A．t＝4 s时，质点A的速率为1 m/s B．质点A的加速度大小为0.25 m/s2
C．质点A的初速度大小为6 m/s D．t＝2 s时A、B相遇
类型二：vt图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
v－t图像中的追及相遇问题：
①vt图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇。
②v－t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度．v－t图线与t轴所围“面积”表示这段时间
内物体的位移．
③有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
【典例1b拔尖题】甲、乙两名运动员在泳池里训练，t＝0时刻从泳池的两端出发，甲、乙
的速度—时间图像分别如图甲、乙所示，若不计转向的时间且持续运动，两运动员均可视
为质点。下列说法正确的是( )
A. 游泳池长50 m
B. 两运动员一定不会在泳池的两端相遇
C. 从t＝0时刻起经过1 min两运动员共相遇了3次
D. 在0～30 s内，两运动员的平均速度大小之比为8∶5
【典例1b拔尖题对应练习】甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，在t＝0时，乙
车在甲车前方50 m处，它们的v－t图象如图7所示，下列对汽车运动情况的描述正确的
是( )
A．甲车先做匀速运动再做反向匀减速运动
B．在第20 s末，甲、乙两车的加速度大小相等
C．在第30 s末，甲、乙两车相距50 m
D．在整个运动过程中，甲、乙两车可以相遇两次
2
学科网（北京）股份有限公司题型二：非常规运动图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
非常规运动图像追及相遇问题的处理方法：
（1）函数斜率面积法：先由运动学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再根据函数表
达式的斜率、截距的意义求出相应的问题，特别是解决对于不太熟悉的图像等要注意这种
转化。
（2）函数数据代入法：先由运动学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中的
特殊数据代入函数表达式进行计算。
（3）v－t图像法：在同一坐标系中根据两个物体的运动情况作出v－t图像，应抓住速度相
等时的“面积”关系找位移关系。
类型一：a-t图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
a－t图像的物理意义：
由Δv＝aΔt可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量，在时间轴上方为正，在时间
轴下方为负。
【典例2a拔尖题】高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，
速度均为v＝30m/s，相距s＝100m，t＝0时，甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度
0 0
随时间变化的关系分别如图甲、乙所示，以运动方向为正方向，则：
（1）两车在0～9s内何时相距最近？最近距离是多少？
（2）若要保证t＝12s时乙车在甲车后109m，则图乙中a 应是多少？
0
3
学科网（北京）股份有限公司类型二：-t图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
－t图像的物理意义：
由x＝vt＋at2可得＝v＋at，由此知－t图象的斜率为a，纵轴截距为v。
0 0 0
【典例2b拔尖题】（多选）A、B两物体沿同一直线同向运动，0时刻开始计时，A、B两
物体的－t图像如图所示，已知在t＝10 s时A、B在同一位置，根据图像信息，下列说法正
确的是( )
A．B做匀加速直线运动，加速度大小为1 m/s2
B．t＝6 s时，A在前、B在后，B正在追赶A
C．A、B在0时刻相距30 m
D．在0～10 s内，A、B之间的最大距离为49 m
【典例2b拔尖题对应练习】（多选）a、b两质点沿直线Ox轴正向运动，t＝0时，两质点
同时到达坐标原点O，测得两质点在之后的运动中，其位置坐标 x与时间t的比值(即平均
速度)随时间t变化的关系如图所示，以下说法正确的是( )
A．质点a做匀加速运动的加速度为0.5 m/s2 B．质点a做匀加速运动的加速度为1.0 m/s2
C．t＝1 s时，a、b再次到达同一位置 D．t＝2 s时，a、b再次到达同一位置
类型三：xv图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
函数数据代入法：先由运动学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中的特殊
数据代入函数表达式进行计算。
【典例2c拔尖题】甲、乙两质点在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动。质点甲
做初速度为零，加速度大小为a 的匀加速直线运动，质点乙做初速度为v ，加速度大小为
1 0
a 的匀减速直线运动至速度减为零后保持静止。甲、乙两质点在运动过程中的x－v(位置—
2
速度)图像如图所示，虚线与对应的坐标轴垂直，则( )
A．在x－v图像中，图线a表示质点甲的运动，质点乙的初速度v＝12 m/s
0
B．质点甲的加速度大小a＝2 m/s2
1
C．质点乙的加速度大小a＝2 m/s2
2
4
学科网（北京）股份有限公司D．图线a、b的交点表示两质点同时到达同一位置
类型四：v2x图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
v2－x图像的物理意义：
（1）由v2－v2＝2ax可知v2＝v2＋2ax，故v2－x图象斜率为2a，纵轴截距为v2。
0 0 0
（2）由v2－v＝2ax得x＝v2－v，故x－v2图象斜率为1/2a，纵轴截距为v2。
0
【典例2d拔尖题】一辆汽车在平直公路上行驶，司机突然发现正前方 7 m处有一辆同向骑
行的自行车，司机当即采取措施制动。以此时汽车所在位置为坐标原点、汽车行进方向为
正方向建立坐标系，此后汽车和自行车速度的平方与它们位置坐标 x的关系如图所示。下
列说法中正确的是( )
A．汽车开始减速时与自行车相距2 m B．司机和汽车系统的反应时间总和为0.5 s
C．汽车没有和自行车相遇 D．汽车和自行车在图线相交的位置坐标处相遇
【典例2d拔尖题对应练习】（多选）甲、乙两辆汽车同时从坐标原点沿同一方向做直线运
动，甲车做刹车运动，它们的速度的平方v2随位置x变化的图像如图所示，分别对应直线
A和直线B.下列判断正确的是( )
A．汽车甲的加速度大小为4 m/s2 B．汽车乙的加速度大小为1 m/s2
C．汽车甲、乙分别经过x＝8 m处的时间差是2 s D．汽车甲、乙在x＝6 m处相遇
考点二：行车安全与生活实际的追及相遇问题
题型一：行车安全中速度小者追速度大者
情景 图像 说明
①t＝t 以前，后面物体与前面物体间距离增
0
大
匀加速追匀速
②t＝t 时，两物体相距最远，为x ＋Δx(x 为
0 0 0
两物体初始距离)
③t＝t 以后，后面物体与前面物体间距离减
0
匀速追匀减速 小
④能追上且只能相遇一次
5
学科网（北京）股份有限公司匀加速追匀减速
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已
经停止运动.
【典例1拔尖题】10辆车组成的车队正在平直的公路上匀速行驶，车队行驶的速度大小为
，相邻两车间距为 ，当车队经过某路段时，由于前方有险情，停在
路旁的一辆摩托车立即启动，追赶车队第一辆车，摩托车出发时，在车队后面离最后一辆
车还有 ，摩托车先以 的加速度做匀加速运动，速度达到
后做匀速运动，到某一时刻时再以 的加速度做匀减速运动，追上车队的第一
辆车时，刚好与车队的速度相同，不计车辆的大小，求
（1）摩托车达到最大速度时，离车队最后一辆车的距离多远；
（2）途中，摩托车以最大速度行驶的时间。
【典例1拔尖题对应练习】汽车前方9m处有一自行车正以6m/s的速度匀速前进，汽车由
静止开始 以6m/s2的加速度追赶自行车，若两车在同一条公路不同车道上做同方向的直线
运动，求：
（1）两车第一次相遇前的最大距离；
（2）汽车第一次追上自行车时，汽车的速度为多大；
（3）若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2m/s2，则再经多长
时间两车第二次相遇。
题型二：行车安全中速度大者追速度小者
【知识思维方法技巧】
情景 图像 说明
开始追赶时，两物体间距离为x ，之后两物体间的
0
匀减速追匀速
距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t 时刻：
0
①若Δx＝x ，则恰能追上，两物体只能相遇一次，
0
这也是避免相撞的临界条件
匀速追匀加速 ②若Δxx ，则相遇两次，设t 时刻Δx＝x ，两物
0 1 0
体第一次相遇，则t 时刻两物体第二次相遇(t －t ＝
匀减速追匀加速 2 2 0
t－t)
0 1
【典例2拔尖题】一辆轿车以v =54km/h的速度匀速行驶在限速v =60km/h的平直公路
1 0
6
学科网（北京）股份有限公司上，由于天气原因路面上出现了一处“团雾”，经过“团雾”后轿车司机发现前方不远处有一
同向行驶在自己所在车道的自行车，于是鸣笛示意让其回到自行车道，但是骑车人没有表
现出变道的意思，仍然以v =18km/h的速度向前匀速行驶，于是轿车司机立即刹车，此时
2
轿车距自行车s =11m，已知轿车加速、减速的加速度大小均为a=5m/s2，忽略司机的反应
0
时间，求：
（1）从轿车开始刹车至减速到与自行车速度大小相同所经过的时间t ；
1
（2）轿车司机能够避免车祸的发生吗？请用数据说明原因；
（3）由于轿车司机受到惊吓，轿车减速到零后停留了t´=10s，随后再加速到原来的速度做
匀速直线运动，整个过程轿车所耽误的时间△t。
【典例2拔尖题对应练习】随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头
看手机，然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故.一辆出租车在平直公
路上以v =15m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方x =37.5m处有一辆电动车，正以
0 0
v =5m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，2.5s后才发现危险，司机经
1
0.5s反应时间后，立即采取紧急制动措施，出租车需要滑行22.5m停下，若从司机发现危
险开始计时。
（1）通过计算，经过多长时间二车相撞；
（2）出租车司机开始刹车的同时给出信号，电动车司机接收到信号立即开始加速(忽略信
号传输时间和电动车司机反应时间)，加速度至少为多大两车恰不相撞。
题型三：行车安全中借道超车问题
【典例3拔尖题】借道超车是指借用反方向行驶的车道进行超车是道路交通安全的极大隐
患之一．如图是借道超车过程的示意图，小汽车(甲车)和货车分别以v＝15 m/s和v＝12
1 2
m/s的速度在平直路面上匀速行驶，其中甲车长L＝5 m、货车长L＝8 m当甲车到距货车
1 2
s＝5 m处时，司机开始加速从货车左侧超车，加速度大小为2 m/s2.假定货车速度保持不
变，不计车辆变道的时间及车辆的宽度．问：
(1)小汽车完成超车(全部超越)至少需要多长时间？
(2)如果开始超车时，司机看到对向车道150 m远处乙车迎面驶来，若乙车的速度恒为14
m/s，甲车能否安全超车？
【典例3拔尖题对应练习】强行超车是道路交通安全的极大隐患之一．下图是汽车超车过
程的示意图，汽车甲和货车均以36 km/h的速度在路面上匀速行驶，其中甲车车身长L＝5
1
7
学科网（北京）股份有限公司m、货车车身长L ＝8 m，货车在甲车前s＝3 m处．若甲车司机开始加速从货车左侧超
2
车，加速度大小为2 m/s2.假定货车速度保持不变，不计车辆变道的时间及车辆的宽度．
（1）甲车完成超车至少需要多长时间？
（2）若甲车开始超车时，看到道路正前方的乙车迎面驶来，此时二者相距 110 m，乙车速
度为54 km/h.甲车超车的整个过程中，乙车速度始终保持不变，请通过计算分析甲车能否
安全超车．
题型四：自由落体与匀变速直线运动的相遇问题
【典例4拔尖题】城市高层建筑越来越多，高空坠物事件时有发生．假设某公路边的高楼
距地面高H＝47 m，往外凸起的阳台上的花盆因受扰动而掉落，掉落过程可看作自由落体
运动．阳台下方有一辆长L＝8 m、高h＝2 m的货车，以v＝9 m/s的速度匀速直行，要
1 0
经过阳台的正下方，花盆刚开始下落时货车车头距花盆的水平距离为L＝24 m(示意图如
2
图所示，花盆可视为质点，重力加速度g＝10 m/s2)．
（1）若司机没有发现花盆掉落，货车保持速度v 匀速直行，请计算说明货车是否被花盆砸
0
到；
（2）若司机发现花盆掉落，采取制动(可视为匀变速，司机反应时间Δt＝1 s)的方式来避
险，使货车在花盆砸落点前停下，求货车的最小加速度；
（3）若司机发现花盆掉落，采取加速(可视为匀变速，司机反应时间Δt＝1 s)的方式来避
险，则货车至少以多大的加速度才能避免被花盆砸到？
8
学科网（北京）股份有限公司
