文档内容
知识点 4：运动的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
运动追及相遇问题的解题方法：
（1）物理法（临界条件法）：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审
题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x ，当v ＝v 时，若x >x ＋x ，则能追上；若
0 B A B A 0
x ＝x ＋x，则恰好追上；若x 0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
（3）图象法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．若用位移—时间图像求解，如果两
个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。v－t图象在已知出发点的前提下，可
由图象“面积”判断相距最远、最近及相遇．
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经
停止运动。
考点一：运动图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
常规运动图像中的追及相遇问题的处理技巧：
（1）识图像画草图：首先用函数斜率面积法，对给出运动图像的截距、交点、拐点、面积、
斜率进行识别，然后根据图像所反映的物体的运动情况，画出物体的运动草图。
（2）找关系列方程：根据运动草图反映的物理过程，找出物体运动的时间关系、位移关系、
速度关系。列出物体的运动学方程，求出结果并对结果的合理性进行讨论。
题型一：xt图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
x－t图像中的追及相遇问题：xt图像中两图线的交点表示两物体相遇。
【典例1基础题】甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移—时
间图像如图所示，则在0～t 时间内( )
1
A．甲的速度总比乙大 B．甲、乙位移相同
C．甲经过的路程比乙小 D．甲、乙均做加速运动
【典例1基础题】【答案】B
【解析】位移—时间图像中，图线斜率大小等于物体速度大小。由图可知，甲做匀速直线
运动，乙做变速直线运动，D错误；靠近t 时刻时乙的斜率大于甲的斜率，即乙的速度大
1
于甲的速度，故A错误；在该时间段内，甲、乙物体的初位置和末位置相同，故位移相同，
学科网（北京）股份有限公司B正确；由于甲、乙物体做的是单向直线运动，故位移大小等于路程，两者的路程也相同，
故C错误。
【典例1基础题对应练习】（多选）甲、乙两物块在同一直线上运动的x－t图像如图所
示，乙物块做匀变速运动，加速度大小为0.2 m/s2，两图线相切于坐标点(5 s，－3
m)，下列说法正确的是( )
A. 前5 s内甲、乙的运动方向一直相同 B. t＝5 s时甲、乙相遇且速度相同
C. 乙的初速度大小为1.8 m/s D. t＝0时甲、乙相距2.8 m
【典例1基础题对应练习】【答案】AB
【解析】x-t图像斜率表示速度，前5 s内甲、乙的斜率一直为负，运动方向一直相同，
A项正确；t＝5 s时甲、乙斜率相同，位移、时间都相同，所以甲、乙相遇且速度相同，
B项正确；由甲图线知t＝5 s时，速度大小为0.6 m/s，乙做匀变速运动，有v＝v ＋
0
at，解得乙的初速度v ＝－1.6 m/s，C项错误；乙的位置坐标x＝x ＋v t＋ at2，代入(5
0 0 0
s，－3 m)及v 的值，可得x ＝2.5 m，D项错误。
0 0
题型二：vt图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
v－t图像中的追及相遇问题：
①vt图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇。
②v－t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度．v－t图线与t轴所围“面积”表示这段时间
内物体的位移．
③有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
【典例2基础题】（多选）甲、乙两车在一条平直的公路上同向并排行驶，t＝0时刻甲车
开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图甲所示；以t＝0时刻甲车所在位置为坐标原
点，以甲车速度方向为正方向，乙车的位置随时间变化的图像如图乙所示，图像为顶点在
x＝30 m处的抛物线的一部分．下列说法正确的是( )
A. 乙车在做匀变速直线运动，加速度大小为4.5 m/s2
B. 当t＝2 s时，乙车在甲车前方10 m处
C. 当t＝4 s时，两车速度大小相等
D. 在0～7 s内，两车共相遇两次
【典例2基础题】【答案】CD
【解析】由题意结合题图乙知，乙车做初速度为零的匀加速直线运动，根据运动学公式及
学科网（北京）股份有限公司题图乙中数据，由x＝30 m＋ at2，可得a＝2.5 m/s2，故A错误；由v－t图像的斜率可得
2 2
甲车的加速度大小为a＝ ＝2.5 m/s2，t＝0时，甲车在x＝0处，乙车在x＝30 m处，t
1 1 2
＝2 s时，甲车的位置x′＝vt－ at2＝35 m，乙车的位置x′＝x＋ at2＝35 m＝x′，即两
1 0 1 2 2 2 1
车在t＝2 s时相遇，故B错误；t＝4 s时，甲车的速度v＝v－at＝10 m/s，乙车的速度v
1 0 1 2
＝at＝10 m/s＝v，故C正确；t＝2 s时甲车追上乙车，t＝7 s时甲车的位置x″＝vt－
2 1 1 1 01
at2＝78.75 m，乙车的位置x″＝x＋ at2＝91.25 m>x″＝78.75 m，所以在0～7 s内，两
11 2 2 21 1
车共相遇两次，故D正确．
【典例2基础题对应练习】一辆汽车出厂前需经过多项严格的质量检测，才能被贴上“产
品合格证”和“3C强制产品认证”标识，其中的转翼检测就是进行低速实验，检测多项安
全性能，在水平平行的两条车道上检测甲、乙两车，在t＝0时刻，甲、乙两车并排，两车
的速度－时间关系图像如图所示，则0～6 s内( )
A. 在t＝1 s时，两车相距最远 B. 在t＝2 s时，乙车改变运动方向
C. 在t＝4 s时，甲车在乙车前 D. 甲、乙两车相遇两次
【典例2基础题对应练习】【答案】D
【解析】由题意知在t＝0时刻，甲、乙两车并排，由题图可知当t＝1 s时和t＝4 s时两车
共速．因为v－t图像中图线与t轴所围面积表示位移，由题图知当t＝1 s时甲车在乙车前
面且两车距离为Δx＝ ×1×10 m＝5 m，t＝4 s时乙车在甲车前面且两车距离为Δx＝
1 2
×2×10 m＝10 m，所以t＝4 s时两车相距最远，故A、C错误；由题图知0～6 s内乙车速度
一直为正，故速度方向未改变，故B错误；因为v－t图像中图线与t轴所围面积表示位移，
由题图可得甲、乙两车相遇两次，分别是t＝2 s和t＝6 s，故D正确．
考点二：行车安全与生活实际的追及相遇问题
题型一：行车安全中速度小者追速度大者
情景 图像 说明
①t＝t 以前，后面物体与前面物体间距离增
0
大
匀加速追匀速
②t＝t 时，两物体相距最远，为x ＋Δx(x 为
0 0 0
两物体初始距离)
③t＝t 以后，后面物体与前面物体间距离减
0
匀速追匀减速 小
④能追上且只能相遇一次
学科网（北京）股份有限公司匀加速追匀减速
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已
经停止运动.
类型一：匀加速追匀速模型
【典例1a基础题】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 a＝3 m/s2的加速度
开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车
从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
【典例1a基础题】【答案】2 s 6 m
【解析】解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，
两车间的距离为Δx，则有v＝at，所以t＝＝2 s，Δx＝vt－at2＝6 m。解法二(极值法)：设
汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－at2，代入已知数据得Δx＝6t
－t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m，所以t＝2 s时两车相距最远，为
Δx＝6 m。解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇
前，t 时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
1
v＝6 m/s，所以有t＝＝ s＝2 s，Δx＝＝ m＝6 m.
1 1
【典例1a基础题对应练习】一辆值勤的警车停在一条长直公路的路边，当警员发现从他旁
边以v＝8 m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经Δt＝2.5 s警车发动
起来，以加速度a＝2 m/s2做匀加速直线运动。
（1）警车发动起来后要多长时间才能追上违章的货车？
（2）若警车能达到的最大速度v ＝12 m/s，达到最大速度后以该速度匀速行驶，则警车
max
发动起来后要多长时间才能追上违章的货车？
（3）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
【典例1a基础题对应练习】【答案】(1)10 s（2）14 s(3)36 m
【解析】解法一：物理分析法
(1)设警车经时间t 追上违章货车，则对警车有x＝at
1 1
对货车有x＝v(t＋Δt)联立解得t＝10 s(另一解不合题意已舍去)。
1 1 1
(2)设警车发动起来后经t 时间速度达到最大，经t 时间追上货车，则有v ＝at
0 2 max 0
t＋v (t－t)＝v(t＋Δt)联立上述两式，并代入数据解得t＝14 s。
0 max 2 0 2 2
(3)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们之间的距离最大，设警车发动后经
过t 时间两车的速度相等，有v＝at，则t 时间内，货车的位移大小x＝v(t＋Δt)
3 3 3 1 3
则t 时间内，警车的位移大小x＝at，两车间的最大距离Δx＝x－x＝36 m。
3 2 1 2
解法二：图像法
(1)警车、货车的速度—时间图像如图甲所示。
学科网（北京）股份有限公司警车追上货车时，图甲中两块阴影面积相等，则8×(t＋2.5)＝vt，对警车有v＝2t
1 11 1 1
联立以上两式，并代入数据解得t＝10 s(另一解不合题意已舍去)。
1
故警车发动起来后经过10 s才能追上违章的货车。
(2)若警车能达到的最大速度是v ＝12 m/s，则警车、货车的速度—时间图像如图乙所示。
max
警车追上货车时，图乙中两块阴影面积相等，则8×(t＋2.5)＝[(t＋2.5－8.5)＋t]×12
2 2 2
解得t＝14 s。故此种情况下，警车发动起来后经过14 s才能追上违章的货车。
2
(3)由图甲知，警车在追赶货车的过程中，当t＝6.5 s时两车间的距离最大，且为Δx＝×(2.5
＋6.5)×8 m＝36 m。
类型二：匀加速追匀减速模型
【典例1b基础题】某公交车从站点出发，由静止开始做匀加速直线运动，行驶10m时，
发现站点上还有一名乘客没有上车，正不停向司机招手示意公交车停下，司机立即刹车做
匀减速直线运动至停车。与此同时乘客立即由静止开始匀加速追赶，公交车停止运动时该
乘客恰好赶到。公交车从启动到停止总共历时10s，行进了25m。人和车均可视为质点。
求：
（1）公交车运行的最大速度；
（2）追赶公交车过程中该乘客的加速度大小。(结果保留2位有效数字)
【典例1b基础题】【答案】(1)4s；(2)1.4m/s2
【解析】(1)设公交车运行的最大速度为v，加速过程所用时间为t，位移为x，减速过程所
1 1
用时间为t，由运动学规律可得 ， ，其中 ，联
2
立解得 ， (2)设人追赶车的加速度为a，由运动学公式有 ，得
【典例1b基础题】公交车已成为现代城市交通很重要的工具，它具有方便、节约、缓解城
市交通压力等许多作用．某日，某中学黄老师在家访途中向一公交车站走去，发现一辆公
交车正从身旁平直的公路驶过，此时，他的速度是 1 m/s，公交车的速度是15 m/s，黄老师
距车站的距离为50 m．假设公交车在行驶到距车站25 m处开始刹车，刚好到车站停下，
停车时间为8 s．而黄老师因年龄、体重、体力等因素最大速度只能达到6 m/s，最大起跑
加速度只能达到2.5 m/s2.
（1）若公交车刹车过程视为匀减速运动，其加速度大小是多少？
（2）试计算分析，黄老师是应该上这班车，还是等下一班车．
【典例1b基础题】【答案】（1）4.5 m/s2（2）黄老师应该上这班车
【解析】(1)公交车刹车的加速度a ＝＝ m/s2＝－4.5 m/s2，故其加速度的大小为4.5 m/s2.
1
(2)公交车从相遇处到开始刹车用时t ＝＝ s＝ s，公交车刹车过程用时t ＝＝ s，黄老师以
1 2
最大加速度加速达到最大速度用时t ＝＝ s＝2 s，黄老师加速过程中的位移x ＝t ＝7 m，
3 2 3
学科网（北京）股份有限公司以最大速度跑到车站的时间t ＝＝ s≈7.2 s，t ＋tt，所以小明追上汽车所需的时间为7 s，故B正确，A、C、D错误．
1
【典例1c基础题对应练习】汽车A以v ＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相
A
距x ＝7 m处、以v ＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持
0 B
不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：
（1）A追上B前，A、B间的最远距离；
（2）经过多长时间A恰好追上B.
【典例1c基础题对应练习】【答案】(1)16 m (2)8 s
【解析】汽车A和B的运动过程如图所示．
学科网（北京）股份有限公司(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝v －at＝v ，触得t＝3 s此时汽
B A
车A的位移x ＝v t＝12 m，汽车B的位移x ＝v t－at2＝21 m，故最远距离Δx ＝x ＋x
A A B B max B 0
－x ＝16 m.(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t＝＝5 s，运动的位移x ′＝＝25 m
A 1 B
汽车A在t 时间内运动的位移x ′＝v t＝20 m，此时相距Δx＝x ′＋x－x ′＝12 m，汽
1 A A1 B 0 A
车A需再运动的时间t＝＝3 s，故A追上B所用时间t ＝t＋t＝8 s.
2 总 1 2
题型二：行车安全中速度大者追速度小者
【知识思维方法技巧】
情景 图像 说明
开始追赶时，两物体间距离为x ，之后两物体间的
0
匀减速追匀速
距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t 时刻：
0
①若Δx＝x ，则恰能追上，两物体只能相遇一次，
0
这也是避免相撞的临界条件
匀速追匀加速 ②若Δxx ，则相遇两次，设t 时刻Δx＝x ，两物
0 1 0
体第一次相遇，则t 时刻两物体第二次相遇(t －t ＝
匀减速追匀加速 2 2 0
t－t)
0 1
类型一：匀减速追匀速模型
【典例2a基础题】一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发
现其正前方120 m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车
刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时
间，则货车的速度大小为( )
A. 21.6 km/h B. 18 km/h C. 16 km/h D. 12 km/h
【典例2a基础题】【答案】A
【解析】轿车速度为v ＝72 km/h＝20 m/s，设货车速度为v ，当二者速度相等时，距离
轿 货
最近，有t＝ ； t＋22 m＝v t＋120 m，解得：v ＝6 m/s＝21.6 km/h，故A
货 货
正确，B、C、D错误．
【典例2a基础题对应练习】A、B两辆列车在能见度很低的雾天里在同一轨道上同向行驶，
A车在前，速度v ＝10 m/s，B车在后，速度v ＝30 m/s.当B车发现A车时就立刻刹车．
A B
已知B车在进行刹车测试时发现，若车以30 m/s的速度行驶时，刹车后至少要前进1800 m
才能停下，假设B车刹车过程中加速度恒定．为保证两辆列车不相撞，则能见度至少要达到
( )
学科网（北京）股份有限公司A．400 m B．600 m C．800 m D．1600 m
【典例2a基础题对应练习】【答案】C
【解析】解法一：基本公式法
对B车，由运动学公式有0－v＝2ax，解得a＝ m/s2＝－0.25 m/s2，所以B车刹车的最大加
速度为0.25 m/s2，当B车速度减小到v＝10 m/s时，两车相距最近，此时B车的位移为x
1
＝，A车的位移x ＝v t，t＝，联立解得x ＝1 600 m，x ＝800 m，能见度至少为Δx＝x －
2 A 1 2 1
x＝800 m，选项C正确．
2
解法二：相对运动法
对B车，由运动学公式有0－v＝2ax，解得a＝ m/s2＝－0.25 m/s2，选A车为参考系，B车
相对A车的初速度为v ＝v －v ＝30 m/s－10 m/s＝20 m/s，相对加速度为－0.25 m/s2，
0相对 B A
当两车速度相等时相距最近，此时两车不相撞，则以后也不能相撞，所以此时B车相对A
车的速度为v ＝0，由运动学公式有v－v＝2ax ，代入数据得相对位移x ＝800 m，
相对 相对 相对
选项C正确．
解法三：图象法
对B车，由运动学公式有0－v＝2ax，解得a＝ m/s2＝－0.25 m/s2，作出A、B两车运动过
程中的速度—时间图象如图所示，
图线的交点的横坐标为两车速度相等的时刻，有t＝＝80 s，当两车速度相等时相距最近，
此时两车不相撞，则以后也不能相撞，由v－t图象与时间轴所围面积表示位移可知，图象
中阴影三角形的面积为能见度的最小值，则x ＝×(30－10)×80 m＝800 m，选项C正确．
min
答案：C
方法感悟：解法一注重对过程的分析，抓住两车间距离为极值时速度应相等这一关键条件
来求解；解法二通过巧妙地选取参考系，使两车的运动关系变得简明；解法三通过图象使
两车的速度和位移关系更直观．运动学问题虽然处理方法较多，但同学们仍要以最为常规
的解法为主，如本题的解法一，不必过于纠结其他解法．
类型二：匀减速追匀加速模型
【典例2b基础题】一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前
方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后，司机开始
刹车，则：
（1）为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
（2）若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速
度匀加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
【典例2b基础题】【答案】(1)5 m/s2 (2)1 m/s2
【解析】(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v ＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m
汽
自行车的位移为x ＝v (t＋t)汽车的位移为x ＝v (t＋t)－at2，假设汽车能追上自行车，
自 自 0 汽 汽 0
此时有x ＝x ＋d代入数据整理得at2－10t＋10＝0，要保证不相撞，即此方程至多只有一
汽 自
个解，即得Δ＝102－20a≤0解得a≥5 m/s2所以，为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为5
m/s2。
(2)设自行车加速度为a′，同理可得v (t＋t)－a t2＝v (t＋t)＋a′t2＋d，整理得(a′＋2)t2－
汽 0 汽 自 0
10t＋10＝0，要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得 Δ＝102－20a′－80≤0，解得
学科网（北京）股份有限公司a′≥1 m/s2，所以，自行车的加速度至少为1 m/s2才能保证两车不相撞。
【典例2b基础题对应练习】在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度
为v、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加
0
速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v 满足什么条件．
0
【典例2b基础题对应练习】【答案】v≤
0
【解析】(图象法)：利用速度—时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象
如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有v ＝v＝v －2at，对B车有v ＝v＝
A 0 B
at，
以上两式联立解得t＝.经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图
中的阴影面积表示，由图象可知x＝v·t＝v·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v 应
0 0 0
满足的条件是v≤．
0
类型三：匀减速追匀减速模型
【典例2c基础题】交通路口是交通事故的多发地，驾驶员到交通路口时应格外小心。现有
甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均
为v ＝9 m/s。当两车快要到十字路口时，甲车司机看到路灯已转换成黄灯，立即紧急刹
0
车，乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急刹车。已知甲车刹车时的加速度大小为 a ＝5
1
m/s2，乙车紧急刹车时的加速度大小为a ＝4.5 m/s2，乙车司机的反应时间为Δt＝0.5 s(乙车
2
司机看到甲车刹车0.5 s后开始刹车)。
（1）若甲车司机看到路灯转换成黄灯时车头距离停车线9 m，他采取上述措施能否避免闯
停车线？
（2）为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车在行驶过程中应保持多大的距离？
【典例2c基础题】【答案】(1)甲车能避免闯停车线 (2)5.4 m
【解析】(1)设甲车减速到零的位移大小为x ，根据速度位移公式可得v2＝2ax ，代入数
甲 0 1 甲
据可解得x ＝8.1 m<9 m，由此可知甲车能避免闯停车线。(2)由题意分析可知，在刹车的
甲
整个过程中两车间的距离在逐渐减小。设乙车减速到零的位移大小为 x ，则有v2＝2ax
乙 0 2
，代入数据解得x ＝9 m，乙车在司机反应时间内的位移大小为 x ′＝vΔt＝4.5 m。设
乙 乙 乙 0
甲、乙两车应保持的距离为Δx，由题分析可知，要保证不相撞，应满足 x ＋x ′≤x ＋
乙 乙 甲
Δx，代入数据可得Δx≥5.4 m。
类型四：匀速追匀速模型
【典例2d基础题】有一人在平直马路边漫步(速度不变)，他发现每隔t 时间有一路公共汽
1
车迎面开过，他还发现每隔t 时间有一辆这路公共汽车从身后开过(公共汽车匀速行驶)，于
2
是他计算出这路车从汽车站发车的时间间隔是( )
A． B． C． D．
【典例2d基础题】【答案】D
【解析】设车的速度是a，人的速度是b，每隔t时间发一辆车。两辆车之间的距离是：at
车从前面来是相遇问题，人与车之间的距离也是：at，那么：at＝t(a＋b)，车从背后超过
1
学科网（北京）股份有限公司是一个追及问题，那么：at＝t(a－b)。则可知，t(a＋b)＝t(a－b)，化简得：b＝
2 1 2
所以，at＝t(a＋b)＝t 化简得：t＝t，从而得出t＝，故D正确，A、B、C错误。
1 1 1
类型五：匀速追匀加速模型
【典例2e基础题】一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距
汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则( )
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
【典例2e基础题】【答案】B
【解析】在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前
进，当汽车加速到6.0 m/s时二者相距最近．汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动
距离为6×6 m＝36 m，汽车运动距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7
m，A、C错误，B正确；人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，D
错误．
题型三：体育运动的追及相遇问题
类型一：足球运动的追及相遇问题
【典例3a基础题】足球比赛中，经常使用“边路突破、下底传中”的战术，即攻方队员带
球沿边线前进，到底线附近进行传中。如图所示，某足球场长 90 m、宽60 m，攻方前锋
在中线处将足球沿边线向前踢出，足球在地面上的运动可视为初速度为12 m/s的匀减速直
线运动，减速过程的加速度大小为2 m/s2。
（1）足球从开始减速到停下来的位移为多大？
（2）若足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球，该队员的启
动过程可视为初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为 8
m/s，则该前锋队员经过多长时间才能追上足球？
【典例3a基础题】【答案】(1)36 m (2)6.5 s
【解析】(1)设足球初速度大小为v ，加速度大小为a ，足球做匀减速直线运动的时间为
0 1
t，位移为x，则有v＝at，x＝t，代入数据可解得t＝6 s，x＝36 m。
1 1 0 11 1 1 1 1
(2)设前锋队员的加速度大小为a ，最大速度为v ，前锋队员加速到最大速度所用时间为
2 m
t，位移为x，则有v ＝at，x＝t，代入数据可解得t＝4 s，x＝16 m。
2 2 m 22 2 2 2 2
前锋队员加速到最大速度时，足球的位移x′＝vt －at2＝32 m，故此时队员没有追上足
1 02 12
球。之后前锋队员做匀速直线运动，到足球停止运动时，设前锋队员匀速运动的位移为
x ，则有x ＝v (t －t)，解得x ＝16 m。由于x>x ＋x ，故当足球停止运动时，前锋队员
3 3 m 1 2 3 1 2 3
学科网（北京）股份有限公司仍没有追上足球，设前锋队员又运动了 t 时间才追上足球，则有x －(x ＋x)＝v t ，代入
3 1 2 3 m3
数据解得t＝0.5 s。故前锋队员追上足球所用的总时间t＝t＋t＝6.5 s。
3 1 3
【典例3a基础题】如图所示，某标准足球场长105 m、宽68 m。攻方前锋在中线处将足球
沿边线向前踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为12 m/s的匀减速直线运动，加速
度大小为3 m/s2。则：
(1)足球从开始做匀减速直线运动到停下来的位移大小？
(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球。他的启动过程可
以视为初速度为零、加速度大小为4 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8
m/s，该前锋队员至少经过多长时间能追上足球？
【典例3a基础题】【答案】(1)24 m (2)4 s
【解析】(1)根据运动学公式有x＝ ＝ m＝24 m，(2)该队员的速度达到最大速度
所用时间t＝ ＝ s＝2 s，此时队员的位移为x＝ at2＝ ×4×22m＝8 m。此时足球的
1 1 21
位移为x′＝vt＋ at2＝12×2 m－ ×3×22m＝18 m，足球的速度v′＝v＋at＝6 m/s，此时
1 01 11 1 0 11
队员与足球相距s＝10 m。设此后用时t 追上足球，则有v t＝v′t＋ at2＋s，解得t＝2
2 m2 1 2 12 2
s(另一解不符合实际，舍去)此时足球速度v″＝v′＋at＝0，足球恰好停止，故前锋队员追
1 1 12
上足球至少经过t＝t＋t＝4 s。
1 2
类型二：接力运动的追及相遇问题
【典例3b基础题】如图所示，甲、乙两个同学在直跑道上练习4×100 m接力，他们在奔
跑时有相同的最大速度。乙从静止开始全力奔跑需跑出25 m才能达到最大速度，这一过程
可看成匀变速直线运动。现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。若
要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，则：
（1）乙在接力区需跑出多少距离？
（2）乙应在距离甲多远时起跑？
【典例3b提高题】【答案】(1)16 m (2)24 m
【解析】(1)乙起跑后做初速度为零的匀加速直线运动，设其加速度为a，v2＝2ax。
乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，得v＝v×80%，v＝2ax ，x ＝＝16 m。
1 乙 乙
乙在接力区需跑出的距离为16 m。(2)乙的运动为匀加速直线运动，乙从起跑到接棒的时间
为t，t＝＝，x ＝t；甲做匀速直线运动，其在乙从起跑到接棒的时间 t内的位移为x ＝
乙 甲
vt；乙起跑时距离甲的距离为Δx＝x －x ＝24 m。
甲 乙
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