文档内容
专题 01 一元二次方程
思维导图
【类型覆盖】
类型一、一元二次方程的定义与一般形式
【解惑】下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个
未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，
再去进行判断．
【详解】解：A、 含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、 未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意；
C、 是一元二次方程，不符合题意；D、 不是整式方程，不符合题意；
故选：C．
【融会贯通】
1．若将关于x的一元二次方程 化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，
则该方程中的一次项系数为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为 ，把原方
程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式，进而求出a的值，即可求出答案．
【详解】解： ，
，
，
将关于x的一元二次方程 化成一般形式后，其二次项系数为1，
，
解得： ，
，
则该方程中的一次项系数为5，
故选A．
2．已知一元二次方程 ，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
先把化方程为一般式，从而得到常数项．
【详解】解： ，
去括号，得 ，
合并，得 ，所以常数项是 ．
故答案为： ．
3．若关于x的方程 是一元二次方程，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程中二次项系数不能为0、未知数的最高次数为
2，即可求解．
【详解】解：由题意知 ，
解得 ，
故答案为：3．
类型二、根据判别式确定方程的根
【解惑】一元二次方程 根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键．
根据方程的根的判别式 ，即可得出该方程没有实数根．
【详解】解：在方程 中，
，
方程 没有实数根．
故选：A．
【融会贯通】
1．不解方程，判断关于x的方程 的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据题意求出 ，最后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】由题意得：
∴方程有两个不相等的实数根
故选：C．
2．关于 的一元二次方程 根的情况是 ．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】
本题考查了一元二次方程根和系数的关系，非负数的性质，解题关键是掌握 方程有两个不相等的实数
根； ，方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根．．利用根的判别式，得到 ，
再结合偶次方的非负性，即可得到答案．
【详解】解： ，
， ， ，
，
，
，
即方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
3．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则整数a的值可以是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】
本题考查了一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的情况，可得 ，解出 的取值
范围，即可进行判断．
【详解】
解：根据题意，得 ，
解得 ，，
的值可以为2，
故答案为：2．
类型三、解方程——直接开平方法
【解惑】解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程，直接开方法解方程即可．
【详解】解：
，
∴ ，
∴ ．
【融会贯通】
1．用直接开平方法解下列一元二次方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【详解】解：（1）两边同除以9，得 ．
直接开平方，得 ，即 ， ．
（2）原方程可化为 ，直接开平方，得 ，解得 ．
2．解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ， ．
【分析】（1）用直接开平方法解方程；
（2）用求根公式解方程；
【详解】（1）解： ，
，
∴ ， ；
（2）整理得： ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握适合的解方程的方法是解题关键．
3．求下列各式中的x：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2) ，
【分析】（1）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可；
（2）首先把二次项系数化1，再方程两边开平方，计算即可．
【详解】（1）∵ ，
∴二次项系数化1，可得： ，
方程两边开平方，可得： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ．
【点睛】本题主要考查了利用开平方法解一元二次方程，熟练掌握并学会灵活变形是解题关键．
类型四、解方程——配方法
【解惑】用适当的方法解方程：
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
， ．
【融会贯通】1．用配方法解方程：
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题关键.
【详解】
解： ，
，
∴ ，
解得： .
2．用配方法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】先把常数项移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上9，左边是完全平
方式，右边等于6，可以解答．
【详解】解： ，
，
，
，
，
解得： ， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉配方法是解题的关键．
3．解方程：(1) ．
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
解得： ， ；
（2） ，
，
，
，
解得： ， ．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
类型五、解方程——公式法【解惑】用公式法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是先求出 的值，再代入公式求出方
程的解．
【详解】解： ，
， ， ，
，
，
所以 ， ．
【融会贯通】
1．（1）用配方法解方程： ；
（2）用公式法解方程： ．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．
（1）移项、配方、开方，即可解答；
（2）将原方程化为一般形式，根据公式法即可解答．
【详解】解：（1） ，
移项得： ，
配方得： ，
即 ，
开方得： ，
∴ ；（2） ，
原方程可化为： ，
∵ ，
∴ ，
2．解下列方程：
(1) （用公式法）
(2) （用配方法）
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用
合适的方法．配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为
1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】（1）
， ，
∴
∴
解得 ， ；
（2）∴
解得 ， ．
3．用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2) ，
(3)方程无解
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键；
（1）由题意易得 ，然后根据公式法可进行求解；
（2）由题意易得 ，然后根据公式法可进行求解；
（3）由题意易得 ，然后根据公式法可进行求解．
【详解】（1）解：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（2）解：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：
∴ ，
∴ ，
∴原方程无解．
类型六、解方程——因式分解法
【解惑】请用两种不同的方法解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．利用因式分解法和公式法即可求解．
【详解】解：因式分解法求解： ，
∴ ；
公式法求解：∵ ，
∴
∴
【融会贯通】
1．解一元二次方程： .
【答案】 ， .【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法，得 ，即可作答．
【详解】解： ，
，
或 ，
解得 ， .
2．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，要注意不同的方程要用不同的方法，关键是方程有根．
（1）先把左边配成完全平方的形式，再进行开方，即可求出答案；
（2）将 看作公因式，用提公因式法解答；
【详解】（1）解：
或
．
（2）解：或 ．
， ．
3．解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4)
【分析】
（1）利用直接开平方法求解比较简便；
（2）先整理方程，利用因式分解（十字相乘）法求解比较简便；
（3）先整理方程，利用求根公式求解比较简便；
（4）先移项，利用因式分解（提公因式）法求解比较简便．
【详解】（1）解：∴ ，
（2）
解：移项并整理，得
∴ ．
∴ ，或 ．
∴ ，
（3）解：整理，得 ，
这里 ， ， ，
∴
（4）解：移项，得 ，
∴ ．
∴ 或 ．
∴
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的直接开平方法、公式法和因式分解法的一般步骤是解
决本题的关键．
类型七、一元二次方程的应用——数字问题
【解惑】“五一国际劳动节”是世界上 多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于 年
月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是 年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数
（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为 ，求这个最小的数（请用方程知识
解答）．【答案】8
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设这个最小的数为x，则最大的数为 ．依题意得 ，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设这个最小的数为x，则最大的数为 ．
依题意得 ．
解得 ， （不合题意，舍去）．
∴这个最小的数为8．
【融会贯通】
1．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小
到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题．
(1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，
的最大值为 ．
(2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．(3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明
理由．
【答案】(1) ； ； ；
(2)10
(3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
（1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出 的最大
值；
（2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，
即可得出结论；
（3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这
四个数的和为124，可列出关于 的一元二次方程，解之可得出 的值，由 在最后一列，可得出假设
不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
【详解】（1）解：由题意得， ；
∵a是正整数，
∴ 也是正整数，
∴当a越大时，b也越大，
根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24，
∴ 的最大值为 ；
故答案为： ； ； ； ；
（2）解：根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
∴最小数是10；
（3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下：
假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，
根据题意得： ，整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∵ 时，在最后一列，
假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
2．第十四届国际数学教育大会 会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的
文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数 八进制是以 作为进位基数的
数字系统，有 共 个基本数字，八进制数 换算成十进制数是 ，
表示 的举办年份．
(1)请把八进制数 换算成十进制数；
(2)小华设计了一个 进制数 ，换算成十进制数是 ，求 的值（ 为正整数）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法．
（1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以 ， ， ， ，再把所得的结果相加即
可；
（2）根据 进制数和十进制数的计算方法得到关于 的方程，解方程即可．
【详解】（1）
．
故答案为： ；
（2）依题意有： ，解得 ， 负值舍去 ．
故 的值是 ．
3．阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出 的值．我们从这个
算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…， ，…的前 项和：
由
可知 ．
应用以上材料解决下面问题：
(1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第
行有 个点， ．若该三角点阵前 行的点数和为325，求 的值．
(2)在第一问的三角点阵图形中，前 行的点数和能是900吗？如果能，求出 ；如果不能，说明理由．
(3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…， ，…，前 行的点数和能是900吗？
如果能，求出 ；如果不能，说明理由．
【答案】(1)25
(2)不能，理由见解析
(3)能，
【分析】（1）直接由所给公式列一元二次方程求解即可；
（2）由所给公式列方程整理后求解，根据 为正整数判断即可；
（3）根据题意列方程，提公因数3后利用所给公式和一元二次方程的解法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得 ，
即 ，解得 ， （负值舍去），
的值为25；
（2）解：不能，理由为：
由 得 ，
，
，
为正整数， 是无理数，
不存在 值，使前 行的点数和是900．
即在第一问的三角点阵图形中，前 行的点数不能是900；
（3）解：能， ，理由为：
由 得 ，
则 ，
，
解得 ， （负值舍去），
当 时，前 行的点数和是900．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题中公式，正确列出方程并会解一元二次方程是解答的关键．
类型八、一元二次方程的应用——平均变化率问题
【解惑】交警部门提醒广大市民，为保障自身安全，骑车出行必须佩戴安全头盔．某品牌头盔在销售单价
不变的情况下，5月份的月销量比3月份增加了 ．
(1)求该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率（月销售总额＝月销量×单价）；
(2)若该品牌头盔5月销售总额为 元，按此增长率，请你预测7月份该品牌头盔月销售总额是否超过
元？
【答案】(1)
(2)超过
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用是解题的关键．
（1）设该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率为 ，3月份的月销售量为 ，依题意得，
，计算求出满足要求的解即可；
（2）由题意知，7月份该品牌头盔月销售总额为 （元），由 ，判断
作答即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率为 ，3月份的月销售量为 ，
依题意得， ，
解得， 或 （舍去），
∴该品牌头盔3月份到5月份的月销售总额的平均增长率为 ；
（2）解：由题意知，7月份该品牌头盔月销售总额为 （元），
∵ ，
∴7月份该品牌头盔月销售总额超过 元．
【融会贯通】
1．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为400元，2024年
该药剂价格为196元．
(1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率；
(2)该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，要求此种药剂的价格不低于147元，则此次价格的下降率最
多是多少？
【答案】(1)
(2)此次价格的下降率最多是
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出一元二次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为 ，利用2024年该药剂的价格 年该药剂的
价格 年到2024年这种药剂价格的年平均下降率） ，列出一元二次方程，解之取其符合题意的
值即可；（2）设此次价格的下降率是 ，利用2025年该药剂的价格 年该药剂的价格 此次价格的下降
率），结合2025年该药剂的价格不低于147元，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值即可．
【详解】（1）解：设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为 ，
根据题意得 ，解得 ， （不符合题意，舍去），
答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为 ；
（2）设此次价格的下降率是 ，
根据题意得 ，解得 ，
的最大值是 ，
答：此次价格的下降率最多是 ．
2．据调查， 年 月底某景点累计接待游客为 万人次，但 年 月底，该景点火出圈了，接待游
客突破 万人次．景点附近某宾馆有 间房供游客居住，当每间房每天定价为 元时，宾馆会住满；当
每间房每天的定价每增加 元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出
元的费用．
(1)求 年 月底到 年 月底该景点累计接待游客的月平均增长率；
(2)为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天利润为 元．
【答案】(1)景点接待游客的年平均增长率为 ；
(2)当房价定为 元时，宾馆当天的利润为 元．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是等量关系，列出方程．
（1）设景点累计接待游客的月平均增长率为 ，根据 年 月底和 年 月底的游客人数列出方程，
解之即可；
（2）设房价定为 元，根据居住的房间数乘以每间房间的利润等于总利润，列出方程，解之，取较小正数
解即可．
【详解】（1）解：设景点累计接待游客的月平均增长率为 ，
由题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
答：景点接待游客的年平均增长率为 ；
（2）设房价定为 元时，宾馆当天的利润为 元，由题意得： ，
解得： ， ，
为了尽可能让游客享受更低的单价，
，
答：当房价定为 元时，宾馆当天的利润为 元．
3．2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛．某商店为满足龙舟爱好者
的需求，特推出了龙舟模型．已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、
12月销量持续走高，假如12月售出507件．
(1)求11月、12月这两个月的月平均增长率．
(2)为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售．已知模型单价每降低1元，可多售
出5件．若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？
【答案】(1)
(2)10元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．
（1）设11月、12月这两个月的月平均增长率为x，则11月售出 件，12月售出 件，
再根据十二月售出507件列出方程求解即可；
（2）设每件模型应降价m元，则每件模型的利润为 元，销售量为 件，再根据获利
5570元列出方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）设11月、12月这两个月的月平均增长率为x．根据题意，得
，
解得 （不合题意，舍去）．
答：11月、12月这两个月的月平均增长率为 ．
（2）解：设当模型降价m元时，该商店获利5570元．根据题意，得
，解得 （不合题意，舍去）．
答：每件模型应降价10元．
【一览众山小】
1．用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
方程两边同时加上一次项系数一半的平方即 计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，
即 ，
∴ ．
故选：B
2．一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，2，3 B．0，2， C．0， ， D．1，2，
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键在于将方程转化为一元一次方程的一般形式即可解
答. 将方程转化为一元一次方程的一般形式，然后找出方程的二次项系数、一次项系数及常数项即可.【详解】解：方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1， ， ，
故选D
3．某商品原来售价每千克16元，后续由于成本提升，经过连续两次提价，现在售价每千克25元，则该商
品平均每次提价的百分率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键．
设平均每次提价的百分率为 ，根据该商品的原价及经过两次提价后的价格，即可得出关于 的一元二次
方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设平均每次提价的百分率为 ，
依题意，得： ，
解得： (舍去)．
故答案为： ．
4．已知关于x的方程 有一个根为 ，则m为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，理解方程的解的意义是解答的关键．将
代入方程中得到关于m的方程，然后解方程即可解答．
【详解】解：∵方程 的一个根为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：6．
5．解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）先移项，再用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
或 ，
解得： ．
（2）解： ，
，
，
∴ ，
∴ ．
6．解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握方程的解法是解本题的关键；
（1）先移项，化为 ，再利用配方法解方程即可；（2）把方程左边分解因式，利用因式分解的方法解方程即可；
【详解】（1）解：
移项，得 ．
配方，得 ，
．
由此可得 ，
， ．
（2）解： ，
∴ ．
于是得 ，或 ，
， ．
7．下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问
题：
(1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数．
(2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由．
【答案】(1)6
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设左上角的数为x，则右下角的数为 ，列出方程求解即可；
（2）设左上角的数为x，则右下角的数为 ，列出方程解，结合图形进行分析即可．【详解】（1）解：设左上角的数为x，则右下角的数为 ，
，
解得： （舍去），
∴最小的数为6．
（2）解：设左上角的数为x，则右下角的数为 ，
，
解得： （舍去），
由图可知，当最小的数为3时，不能圈出4个数，
∴最小数与最大数的乘积不能为33．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解．
8．为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造老旧小区．某市2021年
投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那
么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？
【答案】(1)年平均增长率为
(2)137个
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列
出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，利用该市改造老旧小区 年投入资金
该市改造老旧小区 年投入资金 （ 该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率） ，即可得出关于
的一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）利用 年计划投入的资金可以改造老旧小区的数量 该市改造老旧小区 年投入资金
改造每个小区的平均费用，即可得出答案．
【详解】（1）解：设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ，依题意，得 ．
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ．
（2）解：根据题意得： （个）
答：2024年计划投入的资金可以改造老旧小区137个．
