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专题 01 一元二次方程
思维导图
【类型覆盖】
类型一、配方法的应用
【解惑】学习了公式法 后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式 因式分解：
①
②求多项式 的最小值．
②由①，得 ，因为 ，所以 ．所以，当 时，
的值最小，且最小值为 ．
请你运用上述方法解决下列问题：
(1)将多项式 因式分解；
(2)求多项式 的最小值：【融会贯通】
1．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一些最值问题．例如：
，所以 的最小值为 ，此时 ．
(1)尝试： ，因此当 时，代数式 有最小值，
最小值是 ；
，所以当 时，代数式 有最 （填“大”或“小”）
值．
(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是 ，栅栏如何围能使花
圃面积最大？最大面积是多少？
2．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．
例如：若代数式 ，利用配方法求M的最小值： ， ，
当 时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足 ，用几何法求 的
最小值．如图， 为线段DC的长度， 为线段CE的长度，当 的值最小时，
D、C、E三点共线，所以最小值为 ．
请根据上述材料解决下列问题：(1)若代数式 ，求M的最小值；
(2)已知正数x，y满足 ，求 的最小值．
3．读下列材料：已知实数m，n满足 ，试求 的值．
解：设 ，则原方程变为 ，整理得 ， ，
∴ ，∵ ，∴ ，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用
新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设 ， 满足等式 ，求 的值；
(2)若四个连续正整数的积为 ，求这四个连续正整数．
类型二、换元法的应用
【解惑】阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一
次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将 变形为 ，
．
．
．
．
或 ．
原方程有三个根： ， ， ．
②换元法求解特殊的四次方程：设 ，那么 ，于是原方程可变为 ，解得 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．
【应用新知】
（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法） ；
②（换元法） ；
【拓展延伸】
（2）已知： ，且 ，请综合运用以上方法，通过“降次”求 的值．
【融会贯通】
1．阅读下列材料：为解方程 可将方程变形为 然后设 ，则 ，原
方程化为 ①，解①得 ．当 时， 无意义，舍去；当 时， ，
解得 原方程的解为 ；
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂
的问题转化成简单的问题．
(1)利用换元法解方程 时，新字母设为 ，则 ___________，原方程化为
___________，解得 ___________．
(2)求方程 的解．
2．解方程 时，我们可以将 视为一个整体，设 ，则 ，原
方程化为 ，解此方程，得 ， ，当 时， ， ，∴ ；
当 时， ， ，∴ ．
∴原方程的解为 ， ， ， ．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1) ；
(2) ．
3．阅读材料：
材料1：一元二次方程 （ ， ）的两根 ， 有如下的关系（韦达定理）：
，
材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元
二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数 、 满足 、 ，且 ，则可将 、
看作是方程 的两个不相等的实数根.
方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数 、 满足 、 ，则可以将 、 看作是方程
的两实数根.
根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数 、 满足 、 ，求 的值.
(2)已知实数 、 、 满足 、 ，且 ，求 的最大值.
类型三、根与系数关系的对称式【解惑】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x 、x ，那么x ＋x ＝－p，x ·x ＝q.请根据以上结论，解决下列
1 2 1 2 1 2
问题：
（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的
倒数；
（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求 的值；
（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
【融会贯通】
1．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程 的两个根为 ，则 ， ．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，
∴ ， ，则
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ，则 ___________；
(2)类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足 ， ，且 ，求 的值．
2．阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程 的两个根为 ，则 ， ．
材料2：已知实数m，n满足 ， ，且 ，则m，n是方程 两个不相
等的实数根．
(1)材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则 ______， ______．
(2)应用探究：已知实数m，n满足 ， ，且 ，求 的值．3．【观察思考】
【规律发现】
第1个图案中有“★”的个数为： （个）；
第2个图案中有“★”的个数为： （个）；
第3个图案中有“★”的个数为： （个）；
第4个图案中有“★”的个数为： （个）；
第5个图案中有“★”的个数为 个；（填最简结果）
第 个图案中有“★”的个数为 个．（用含 的式子填空）
【规律应用】第 个图案中有“★”有227个，求 的值．
类型四、一元二次方程中的规律
【解惑】将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察．
(1)第n个图有 个小圆；（用含n的代数式表示）
(2)是否存在某个图，其小圆的个数恰好为 个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由．
【融会贯通】
1．下图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”，其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数
都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数
记为 ，第2个数记为 ，第3个数记为 ．，第 个数记为 ．(1)根据这列数的规律， ______， ______；
(2)这列数中有66这个数吗？如果有，求 ；如果没有，请说明理由．
2．【阅读材料】
一般地，我们把按一定顺序排列的一列数称为数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差
等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我
们可以用公式 来计算等差数列的和，公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值．
例如：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21．
就是一个等差数列，公差 ， ， ，
所以 ．
用上面的知识解决下列问题
【完成任务】
（1）等差数列：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43．则 _____， _____，
_____；
【能力提升】
（2）有一等差数列的和为450，用式子表示为： ，求这个数列中数的
个数n；
【延伸拓展】
（3）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2011年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际
面积按一定规律减少，下表为2011、2012、2013、2014四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可
以将全县所有坡荒地全部种上树木．
2011年 2012年 2013年 2014年
植树后坡荒地的实际面积(公顷) 25200 24000 22400 204003．定义：在直角梯形中，如果有两条邻边相等，那么称这个梯形为邻等梯形，相等两邻边的夹角称为邻
等角．
(1)如图 ，在梯形 中， ， ，对角线 平分 ．请判断梯形 是否为
邻等梯形并说明相应理由．
(2)如图2，在 的方格纸中， ， ， 三点均在格点上，若四边形 是邻等梯形，请在答题卷的
网格图中画出三个不同的格点 ，并用 标明．
(3)如图 ，四边形 是邻等梯形， ， 为邻等角，连结 ，过点 作
，交 的延长线于点 若 ， ，求四边形 的周长．
类型五、一元二次方程中的新定义
【解惑】定义：已知 ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若 ，且
，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程 的两根为 ， ，
因为 ， ，所以一元二次方程 为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程 是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且方程的两根 、 满足，求k的值．
【融会贯通】
1．【阅读理解】
【定义】如果关于 的方程 （ 是常数）与 （
是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足 ，
，则这两个方程互为“对称方程”．
【举例】求方程 的“对称方程”，这样思考：由方程 可知， ，
，根据 ，求出 就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
(1)写出方程 的“对称方程”是______；
(2)若关于 的方程 与 互为“对称方程”，求 的值．
2．定义：若关于x的一元二次方程 中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方
程就叫做常数根一元二次方程．
(1)已知关于x的方程 是常数根一元二次方程，则c的值为_____________；
(2)如果关于x的方程 是常数根一元二次方程，则m的值；
(3)若关于x的常数根一元二次方程 中不含零根，求证：关于y的方程
是常数根一元二次方程．
3．如图，在 中， ， ，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动，与
此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．如果 ， 分别从 ， 同时出发，当
点 运动到点 时，两点停止运动．设运动时间为 ．(1)填空： _____ ， _____ ；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时， 的长度等于 ？
(3)是否存在t的值，使得四边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明
理由．
类型六、一元二次方程应用——几何动点
【解惑】如图， 、 、 、 为矩形的 个顶点， ， ，动点 从点 出发，沿
方向运动，动点 同时从点 出发，沿 方向运动，如果点 、 的运动速度均为 ，经过多长时间
、 两点之间的距离是 ？
【融会贯通】
1．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，点P从点A出
发沿边 以 的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边 以 的速度向点D移动，当一
点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 ．
(1) ， （用含x的代数式表示）；(2)当P、Q两点间的距离是 时，求x的值；
(3)填空：①当 时，四边形 是菱形；
②当 时，四边形 是矩形．
2．如图所示， 中， ．
(1)点P从点A开始沿 边向B以 的速度移动，点Q从B点开始沿 边向点C以 的速度移动，
如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是 ？
(2)点P从点A开始沿 边向B以 的速度移动，点Q从B点开始沿 边向点C以 的速度移动．
如果P，Q分别从A，B同时出发，线段 能否将 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；
若不能说明理由；
(3)若P点沿射线 方向从A点出发以 的速度移动，点Q沿射线 方向从C点出发以 的速度
移动，P，Q同时出发，问几秒后， 的面积为 ？
3．阅读理解：
材料1：对于一个关于x的二次三项式 （a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，
爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令 （a≠0），然后移项可得：
，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：
例：求 的取值范围；
解：令
∴
∴Δ＝4﹣4×(5﹣y)≥0∴y≥4
∴ ．
材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元
二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：
若关于x的一元二次方程 （a＞0）有两个不相等的实数根
则关于x的一元二次不等式 （a＞0）的解集为： 或
则关于x的一元二次不等式 （a＞0）的解集为：
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)若关于x的二次三项式 （a为常数）的最小值为﹣6，求a的值；
(2)求出代数式 的取值范围；
类型七、阅读理解
【解惑】阅读理解：对于 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式．
理解运用：如果 ，那么 ，
即有 或 ，
因此，方程 和 的所有解就是方程 的解．
解决问题：解方程 ．【融会贯通】
1．阅读理解：回顾我们学过的各类方程的解法，不难发现：各类方程的解法虽各不相同，但是它们的一
个共同的基本数学思想——转化，即化未知为已知．
用转化的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如：一元三次方程 ,可以通过因式分解把
它转化为 ，解一元一次方程 和一元二次方程 ，可得 ， ， ；
操作尝试：解一元三次方程 ．
2．阅读理解：
转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问
题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．
由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键
是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增
根，所以解无理方程也必须检验．
例如：解方程
解：两边平方得：
解得： ，
经检验， 是原方程的根，
代入原方程中不合理，是原方程的增根．
∴原方程的根是 ．
解决问题：
（1）填空：已知关于x的方程 有一个根是 ，那么a的值为 ；
（2）求满足 的x的值；
（3）代数式 的值能否等于8 ? 若能，求出 的值；若不能，请说明理由．
3．如图， 分别是 轴上关于 轴对称的点，点 坐标 ，连接 ， ， ．(1)如图1，求 点坐标．
(2)如图2，点 是线段 上一点（点 不与点 、点 重合），设点 的横坐标为 ， 的面积为 ，
求 与 之间的函数关系式．（不要求写出自变量 的取值范围）
(3)如图3，在（2）的条件下，直线 经过点 ，点 在线段 上，点 在直线 上，连接 ，
过点 作 轴垂线 ，连接 ，当四边形 和四边形 均为矩形时，求 的面积．
类型八、一元二次方程与图形几何结合
【解惑】在如图所示的平面直角坐标系中，正方形 边长为 ，点 的坐标为 ．
(1)如图1，动点 在 边上，将 沿直线 折叠，点 落在点 处，连接 并延长，交 于点
．
①当 时，点 的坐标是 ；
②若点 是线段 的中点，求此时点 与点 的坐标；
(2)如图2，动点 ， 分别在边 ， 上，将四边形 沿直线 折叠，使点 的对应点 始终
落在边 上（点 不与点 ， 重合），点 落在点 处， 交 于点 ．设 ，四边形
的面积为 ，直接写出 与 的关系式．
【融会贯通】
1．已知，点P是边长为4的正方形 对角线 上的一动点， 于E， 于F，连结、 、 、 ，记 、 、 的面积分别为 、 、 ，令 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， 则 的值是______．
(3)①求 （用x的代数式表示）
②若 ，求x的值
③是否存在实数k，使 的值与P点在 上的位置无关．若存在，请求出k的值；若不存在，请
说明理由；
2．在平面直角坐标系中，四边形 为矩形， ， ，且 ．点 从 点
出发沿 运动，点 从 点出发沿 运动，点 从 点出发沿 运动．
(1)如图1，将 沿 折叠，点 恰好落在点 处，则 点的坐标为 ， 点的坐标为 ；
(2)如图2，若 ， 两点以相同的速度同时出发运动，使 ，求 的值；
(3)如图3，已知点 为 的中点，若 ， 两点以相同的速度同时出发运动，连接 ，作 于
，直接写出 的最大值．3．若关于 的一元二次方程 的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发
现，任何一个“快乐方程”的判别式 一定为完全平方数．现规定 为该“快乐方
程”的“快乐数”．例如“快乐方程” ，的两根均为整数，其“快乐数”
，若有另一个“快乐方程” 的“快乐数”
，且满足 ，则称 与 互为“开心数”．
(1)“快乐方程” 的“快乐数”为________；
(2)若关于 的一元二次方程 （ 为整数，且 ）是“快乐方程”，求
的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于 的一元二次方程 与 （ 、 均为整数）都是“快乐方程”，
且其“快乐数”互为“开心数”，求 的值．
【一览众山小】
1．已知等腰 的底边长为5，其余两边长恰好是关于 的方程 的两个根，则
的值是（ ）
A．2 B．2或10 C．4 D．4或10
2．如图①，在矩形 中（ ），动点 从点 出发，沿 匀速运动，运动到点 处停
止．设点 的运动路程为 ， 的周长为 ， 与 的函数图象如图②所示，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．63．若 是关于 的方程 的根，则 的值为（ ）
A． B．15 C． D．16
4．如图，在平面直角坐标系中，点 点B在x轴正半轴上，且 ，则 的长是
．
5．如图， 中， ， ， ，点 从点 出发向终点 以1个单位长度 移动，
点 从点 出发向终点A以2个单位长度 移动， 、 两点同时出发，一点先到达终点时 、 两点同
时停止，则 秒后， 的面积等于4．
6．（1）当 __________时，多项式 的最小值为__________．
（2）当 __________时，多项式 的最大值为__________．
（3）当 、 为何值时，多项式 取最小值？并求出这个最小值．
7．已知 是等腰直角三角形， ．(1)当 时，
①如图①，将直角的顶点D放至 的中点处，与两条直角边分别交 于点E、F，请说明 为
等腰直角三角形；
②如图②，将直角顶点D放至 边的某处，与 另两边的交点分别为点E、F，若 为等腰直角
三角形且面积为4，求 的长．
(2)若等腰直角 三个顶点分别在等腰直角 的三边上，等腰直角 的直角边长为1时，求等
腰直角 的直角边长的最大值．
8．阅读材料后解答问题∶
材料1：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m， n，求 的值．
解： ∵一元二次方程 的两个实数根分别为m， n，
∴ ， ， 则 ．
材料2：已知实数a、b满足 ， ，且 ，求 的值．
解：依题意得：a与b为方程 的两根，
∴ ， ，∴
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 和 ，则 ， ．
(2)类比应用：已知一元二次方程 的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足 ， ，且 ，求 的值．
