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专题 01 一元二次方程
思维导图
【类型覆盖】
类型一、整体代入
【解惑】若a是关于x的方程 的一个根，则 的值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【融会贯通】
1．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
2．已知关于 的一元二次方程 （ 均为常数，且 ）的解是 ， ，则关
于 的一元二次方程 的解是 ．3．已知关于 的方程 （ ， ， 均为常数，且 ）的两个解是 和 ，则方
程 的解是 ．
类型二、变形求值
【解惑】已知实数 是一元二次方程 的根，求代数式 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【融会贯通】
1．已知a是方程 的根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．2
2．已知a是方程 的一个根，则 的值为 ．
3．已知 是方程 的一个根，则 .
类型三、赋值求解
【解惑】若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定
【融会贯通】
1．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），若4a﹣2b十c＝0，则它的一个根是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝ C．x＝﹣4 D．x＝2
2．关于 的方程 的解分别是 、 （ ， ， 均为常数，a≠0），则方程
的解是 ．3．若 则关于x的方程 的解是 .
类型四、降次
【解惑】若a是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
【融会贯通】
1．若a是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A．2023 B． C．2022 D．
2．已知 为方程 的根，那么 的值为 ．
3．已知m为方程 的一个根，则代数式 的值为 ．
类型五、根据根的情况求参
【解惑】关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【融会贯通】
1．若一元二次方程 没有实数根，则代数式 的值一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1
2．若关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围为 ．
3．方程 有两个实数根，则实数m的取值范围为类型六、根与系数关系变形求解
【解惑】已知实数 满足 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．若关于x的一元二次方程 两根为 、 ，且 ，则p的值为（ ）
A． B． C． D．6
2．若实数 满足 ，且 ，则 的值为 ．
3．设 ， 是 的两根，则 ．
类型七、一元二次方程的应用——图形问题
【解惑】如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃 ，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面
用篱笆围成，篱笆总长为24米．若围成的花圃面积为40平方米时，求 的长．
【融会贯通】
1．一个矩形蔬菜大棚长 ，宽 ，其中有两横两竖四条小路，横竖小路的宽度相同，小路的面积占
整个大棚面积的 ．(1)小路的宽度是多少？
(2)蔬菜的种植需要两组工人来完成，甲组每平方米50元，乙组每平方米60元，若完成此大棚的种植不超
过30000元，至少安排甲组种植多少平方米？
2．巩固脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴．某鸡农申请了微型养鸡项目，打算搭建一个如图所示的矩形
鸡舍，该鸡舍的长边靠墙，另外三边用钢丝网搭建．该鸡舍的面积为150平方米，且长比宽多5米．
(1)求该鸡舍的长和宽分别是多少米？
(2)该鸡农打算在鸡舍中饲养跑山鸡，根据养殖经验，需购买高度为2.4米的钢丝网，鸡舍内的鸡才不会飞
出．若该鸡农购买的这种钢丝网价格为每平方米12.5元，求该鸡农购买钢丝网需要多少元？
3．如图，要建一个面积为 的长方形花园 ，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另
三边用栅栏围成， 边留有 的门 ，如果栅栏的长为 ．
(1)若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？
(2)若给定墙长为 ，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 ．
类型八、一元二次方程的应用——销售问题
【解惑】某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元．在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价
x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)直接写出y与 的函数关系式________（不要求写出自变量 的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是750元，则当天玩具的销售单价是多少元？
【融会贯通】
1．某商场销售一批运动服， 平均每天可售出 30 套， 每套盈利 100 元， 为了扩大销售， 增加盈利，
减少库存， 商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现， 每套运动服每降价 2 元， 商场平均每天可
多售出 1 套．
(1)当每套运动服降价 ( 是偶数) 元时，商场每天可售出运动服 套 (用含 的代数式表示)；
(2)若商场每天要盈利 3150 元， 则每套运动服应降价多少元？
2．某商场经营一种成本为每千克40元的产品．
(1)已知四月份该产品的销售量为 ，经过适当调价后，6月份该产品的销量为 ，求 月份该
产品销售的月平均增长率．
(2)经市场调查发现，当该产品的售价为每千克50元时，月销售量为 ，每千克售价每涨价1元，月销
售量将减少 ，该商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，要使月销售利润达到8000元，问
销售该产品时每千克应涨多少元？
3．十年树一桃，新品种破解“甜蜜密码”．经过近十年研发，无锡阳山的果林里成功培育出了新品种桃
树，新品种的水蜜桃抗病性提高，将提升水蜜桃产量及成果率．
(1)据测算，新品种水蜜桃的产量将比旧品种提高m%，因研发成本提高，故果农也将把每颗水蜜桃的价格
提高 %．此时新品种水蜜桃的总价（产量×每颗价格）将比旧品种的总价提高32%．求m的值．
(2)在（1）的条件下，某水果店计划批发新、旧品种的水蜜桃共100盒，每盒水蜜桃均装有8颗桃子，已知
旧品种的水蜜桃每颗8元，在总费用不超过6720元的情况下，最多可以购买多少盒新品种水蜜桃？
【一览众山小】
1．如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 ）的矩形鸭舍，其面积为 ，
在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其它材料制成），则 长为（ ）A． 或 B． 或 C． D．
2．已知 、 、 是 的三条边的长，那么方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根
3．已知两个不等实数 ， 满足 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
4．如图，一个三角点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点 第n行有n个点
则78是前 行的点数和．
5．已知关于x的一元二次方程 （ 都是常数，且 ）的解为 ，则方程
（ 都是常数，且 ）的解为 ．
6．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为 ，且 ，求m的值．
7．阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，
求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次
方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一
个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方
程．例如，一元三次方程 ，可以通过因式分解把它转化为 ，解方程 和
，可得方程 的解．
(1)问题：方程 的解是： ， ；
(2)拓展：用“转化”思想求方程 的解；
(3)应用：如图，已知矩形草坪 的长 m，宽 m，点P在 上（ ），小华把一
根长为 m的绳子一段固定在点B，把长绳 段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点
C，求 的长．
8．芬芳的鲜花，能驱散内心的疲惫，让人心灵得到放松，感受生活的美好．某花店抓住市场需求，计划
第一次购进玫瑰和向日葵共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支向日葵的进价为4元，
售价定为10元．
(1)若花店在无损耗的情况下将玫瑰和向日葵全部售完，要求总获利不低于1200元，求花店最多购进玫瑰
多少支？
(2)花店在第二次购进玫瑰和向日葵时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和向日葵共
360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加 支，售价比第一次提高m元，向日葵售
价不变，但向日葵在运输过程中有10%已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为
1800元，求m的值．
