文档内容
专题 01 一元二次方程
题型1 一元二次方程的有关概念 题型9 判断一元二次方程根的情况（常考点）
题型2 直接开平方 题型10 确定字母的取值或范围（重点）
题型3 配方法（重点） 题型11 根与系数关系的综合应用（重点）
题型4 因式分解法（重点） 题型12 与几何图形的综合应用（常考点）
题型5公式法 题型13 增长率问题（常考点）
题型6 用适当的方法解方程（常考点） 题型14 传染问题
题型7 含绝对值的一元二次方程 题型15 经济问题（重点）
题型8 换元法（难点） 题型16 动态几何问题（重点）
题型一 一元二次发方程有关的概念 （共 3 小题）
1．（24-25九年级上·福建漳州·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．7x2+6=3x C．x3−2x−4=0 D．2x2−5 y=0
2．（24-25九年级上·广西钦州·期中）将方程x2−2x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数
为1，一次项系数，常数项分别是（ ）
A．−2,−10 B．−2,10 C．2,−10 D．2，10
3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如果a是一元二次方程x2−3x−1=0的根，则代数式a2−3a+2024
的值为 ．
题型 二 直接开平方（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）方程x2−4=0的解是（ ）
A．x=2 B．x=−2 C．x=±2 D．没有实数根
2．（23-24九年级上·青海西宁·期中）解方程： ．
4(2x−1) 2=9
3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）解方程：
(3+x) 2−49=0题型 三 配方法（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）用配方法解一元二次方程x2−2x−2023=0，则方程可变形为
（ ）
A． B．
(x−2) 2=2025 (x+2) 2=2025
C． D．
(x−1) 2=2024 (x+1) 2=2024
2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）把方程 化为 的形式，则 的值是
x2−6x+3=0 (x+m) 2=n m+n
（ ）
A．7 B．3 C．−3 D．6
3．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）用配方法解方程：x2−20x+75=0．
题型 四 因式分解法（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）方程x2−2x=0的根是（ ）
A．x =0，x =−2 B．x =0，x =2
1 2 1 2
C．x=0 D．x=2
2．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程
x2−14x+48=0的一根， 则这个三角形的周长为（ ）
A．20 B．18 C．15 D．18或20
3．（24-25九年级上·天津·期中）解下列方程：
(1)x2−3x−4=0；
(2)(x+1)(x−2)=x+1
4．（24-25九年级上·青海西宁·期中）解方程：
(1)x2−2x−3=0
(2)3x(x−1)=2x−2题型 五 公式法（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）用公式法解方程x2−2=−3x时，二次项系数、一次项系数和常数项
的值依次是（ ）
A．0，−2，−3 B．1，−3，−2 C．1，3，−2 D．1，−2，−3
2．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）用公式法解方程：5x2−4x−1=0．
3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：2x2−5x−1=0．
题型 六 用适当的方法解方程（共 5 小题）
1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）解方程：
(1) ； (2) ．
x2+4x−2=0 (x−3) 2=2(x−3)
2．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）用适当的方法解下列方程：
(1)3x2=54 (2)(x+1)(3x−1)=1
(3) (4)
x2−8x+15=0 (2x−1) 2−x(2x−1)=03．（24-25九年级上·福建厦门·期中）解方程：
(1)x2+2x−3=0； (2)2x2−4x−5=0．
4．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）用适当的方法解下列方程：
(1) ； (2) ．
x2−6x−11=0 2(2x−1) 2=6x−3
5．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）用适当的方法解下列方程
(1) (2)
(3x−1) 2=(x+1) 2 x2−2x−3=0
题型 七 含绝对值的一元二次方程（共 3 小题）
1．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期末）根据绝对值定义：可将
|a)
表示为
|a)=
{ a(a≥0) )，故化简
−a(a<0)
|a)+|b)可得a+b，a−b，−a−b或−a+b四种不同结果，给出下列说法：
①化简|x)+|y)+|z)一共有8种不同的结果；
②化简|x)+|x−1)+|x+2)一共有8种不同的结果；
③若a =|2n−9)，S =a +a +…+a （n为正整数），则当S =916时，n=34．
n n 1 2 n n
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（24-25九年级上·河南安阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和
“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程：
例：解方程x2−2|x|−3=0．
解：①当x≥0时，原方程为x2−2x−3=0，
解得x =−1（与x≥0矛盾，舍去），x =3．
1 2
②当x<0时，原方程为x2+2x−3=0，解得x =1（与x<0矛盾，舍去），x =−3．
1 2
所以原方程的根是x =3，x =−3．
1 2
在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——
分类讨论．
任务：请参照上述方法解方程：x2−|x|−2=0．
3.（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题，
材料：解含绝对值的方程：x2−3|x)−10=0．
解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为：x2−3x−10=0解得x =5，x =−2（舍去）；
1 2
②当x<0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得____________
综上所述，原方程的解是______
请参照上述方法解方程：x2+2|x+2)−4=0．
题型 八 换元法（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·广西桂林·期中）解方程x4−5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设x2= y，那么x4= y2，于是原方程可变为①，解得y =1,y =4．
1 2
当y =1时，x2=1,x=±1；当y =4时，x2=4,x=±2；
1 2
∴原方程有四个根：x =1,x =−1,x =2,x =−2．
1 2 3 4
(1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现
了数学的转化思想．
(2)已知实数
x,y
满足
(x2+ y2+3) 2 −7x2−7 y2−3=26
，求
x2+ y2
的值；
(3)解方程：
(x2+x) 2 −4(x2+x)−12=0
．2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读并填空：为解方程
(x2−1) 2 −3(x2−1)=0
，我们可以将
x2−1
视
为一个整体，然后设x2−1= y，原方程化为______①
解得______．
当y=0时，x2−1=0,x2=1,∴x=±1．
当y=3时，x2−1=3,x2=4,∴x=±2．
∴原方程的解为x =1,x =−1,x =2,x =−2．
1 2 3 4
在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了“降次”和“整体”的数学
思想．
请你利用上述材料中的方法解方程： ．
(x2+3) 2 −4(x2+3)=0
3．（24-25九年级上·广东韶关·期中）为解方程
(x2−3) 2 −7(x2−3)+6=0
，我们可以将
x2−3
视为一个整
体，然后设x2−3=t，则原方程化为t2−7t+6=0，解此方程得t =1,t =6．当t=1时，
1 2
x2−3=1,∴x=±2．当t=6时，x2−3=6,∴x=±3.∴原方程的解为x =2,x =−2,x =3,x =−3．
1 2 3 4
以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)请用上述方法解方程：x4−5x2+4=0．
(2)已知实数
x,y
满足
(2x2+2y2) 2 −2(2x2+2y2)−15=0
，求
x2+ y2
的值．
4．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）【先阅读，再解题】：解方程 ，
(x−1) 2−5(x−1)+4=0
解：设x−1= y，则原方程化为y2−5 y+4=0，
解得y =1；y =4，
1 2
当y=1时，即x−1=1，解得x=2，
当y=4时，即x−1=4，解得x=5，
所以原方程的解为x =2，x =5，
1 2
上述解法法称为“整体换元法”
请利用“整体换元法”解方程： ．
(2x−5) 2−4(5−2x)+3=0题型 九 判断一元二次方程根的情况（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于一元二次方程x2−x−1=0的根的情况，描述准确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法判定根的情况
2．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程x2−(k+4)x+k+3=0．
(1)求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根是负数，求k的取值范围．
3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关
于x的一元二次方程x2−(m+1)x+3(m−2)=0的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长．
题型 十 确定字母的取值或范围（共 3 小题）
1．（2024·江苏淮安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取
值范围是（ ）
A．k≥4 B．k>4 C．k≤4 D．k<4
2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+2=0有实数根，则m的取值范围
为 ．
3．（2025·江苏镇江·二模）若关于x的一元二次方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则m=
．
题型十 一 根与系数关系的综合应用（共 4 小题）
1．（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知a，b是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则
(a+1)(b+1)的值是( )
A．2022 B．−2022 C．−2023 D．20232．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程x2−3x−2020=0的两个实数根，则n2−2n+m的
值为（ ）
A．2020 B．2022 C．2023 D．2019
1 1
3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知x ,x 是方程x2−2x−5=0的两个实数根，则 + 的值为
1 2 x x
1 2
．
4．（2025·湖北咸宁·二模）若m，n是方程x2−5x−4=0的两个不同的根，则m2+n2= ．
题型十 二 与几何图形的综合应用（共 4 小题）
1．（2024·山西·模拟预测）某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长
18m、宽12m的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，
四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为54m2，求人行通道的宽度．若设人行
通道的宽度为xm，则根据题意可列方程为（ ）
A．(18−x)(12−x)=54 B．(18−x)(12−2x)=54
C．(18−3x)(12−2x)=54 D．(18−3x)(12−2x)=108
2．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）现有可建造60m围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的
仓库，墙长为am．
(1)若a=50，能否围成总面积为225m2的仓库？若能，AD和AB的长分别为多少米？
(2)能否围成总面积为400m2的仓库？说说你的理由．
3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD=52m，AB=28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道
路．已知铺花砖的面积为640m2．
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位
的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入
为10080元？
4．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC
边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38米长的木板（全部使用完），若设AB为x米．
(1)BC的长为 米；（用含x的代数式表示）
(2)仓库的面积能为150m2吗？若能，求出AB的长；若不能，说明理由．
题型十 三 增长率问题 （共 3 小题）
1．（24-25九年级上·广东河源·期末）某校截止2023年底，校园绿化面积为1000平方米，为美化环境，该
校计划2025年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，
则依题意可列方程（ ）
A． B．
1000(1−x) 2=1440 1000(1+x) 2=1440
C． D．
1440(1−x) 2=1000 1440(1+x) 2=10002．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本
地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）
每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的
收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（ ）
A．400(1+x)=1900
B．
400(1+x) 2=1900
C．
400(1+x)+400(1+x) 2=1900
D．
400+400(1+x)+400(1+x) 2=1900
3．（24-25九年级上·云南保山·期末）4月23日，腾冲市第三届全民阅读大会暨2024年“共建书香社会·共
享现代文明”全民阅读系列活动启动仪式在腾冲市新时代文明实践中心举行，活动旨在全社会大力营
造爱读书、读好书、善读书的良好氛围．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室
借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2022年图书借阅总量是
6500本，2024年图书借阅总量是9360本．
(1)求该社区的图书借阅总量从2022年至2024年的年平均增长率；
(2)如果每年的增长率相同，预计2025年图书借阅总量是多少本？
题型十 四 传染 问题（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张
贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有x人，列方程正确的是（ ）
A．x(x−1)=90 B．x(x−1)=180
C．x(x+1)=90 D．x(x+1)=180
2．（2024·辽宁抚顺·二模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主
干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题
意可以列方程为（ ）
A．1+x+x2=91 B．1+x+x(1+x)=91
C． D．
1+x+(1+x) 2=91 1+(1+x)+(1+x) 2=91
3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．若共进行了28场比赛，则学校有 个队参赛．
4．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？
题型十 五 经济 问题（共 3 小题）
1．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设
计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；
经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．
(1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？
2．（24-25九年级上·重庆合川·期中）今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买
T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍．
(1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价；
(2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每
天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为
减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天
的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？
3．（23-24九年级上·河南周口·期末）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，
宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
(1)若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
(2)若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
题型十 六 动态几何 问题（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点
P从点A开始沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC
向点C以4cm/s的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动t(s)；
(1)当移动几秒时，△BPQ的面积为32cm2．
(2)设四边形APQC的面积为Scm2，当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？请说明理由．
2．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点P
从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若
一动点运动到终点，则另一个也随之停止．
(1)如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
(2)在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
3．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P
从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动，设移动
时间为ts(t>0)．
(1)当t为何值时，PQ的长为5cm？
(2)是否存在t的值，使得△PBQ的面积为4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
4．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始
以1cm/s的速度沿AB边向B移动，点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P、Q分
别从A、B同时出发，设移动的时间为t． 求：
(1)当t为多少时，△PQD的面积等于8cm2？
(2)当t为多少时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形？
