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第六章 机械能守恒定律
【机械能守恒定律的单元知识体系】
知识点 36：功和功率
考点一：做功的判断及计算
【知识思维方法技巧】
（1）做功正负的判断方法：
①根据F的方向与位移l的方向间的夹角α来判断：常用于恒力做功的判断。
②根据F的方向与瞬时速度v的方向间的夹角α来判断：常用于曲线运动中的功。
0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不
做功。
③根据能量守恒或功能关系：此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的
判断。
（2）几个结论：
①无论静摩擦力还是滑动摩擦力都是既可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．一对
静摩擦力所做功的代数和总等于零，一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值。
②人行走、跑步、起跳时地面对人不做功．
③一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这
一对力所做的功一定是数值相等，一正一负或均为零。
④一对相互作用力可以都做正功、都做负功、可以一正一负，一对相互作用力做的总功W
＝Flcos α。l是相对位移，α是F与l间的夹角，一对相互作用力做的总功可正、可负，也
可为零。
题型一：判断某个力对物体做功
【典例1拔尖题】 (多选)如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面
间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运
动中物体m与斜面体相对静止．则下列关于斜面对m的支持力和摩擦力的说法中正确的是
( )
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1A．支持力一定做正功
B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功
D．摩擦力可能做负功
【典例1拔尖题对应练习】(多选)如图，一辆卡车要将叠放在车厢上的A、B两块钢材卸
下，A钢材叠放在B钢材的上面，A与B、B与车厢间的动摩擦因数分别为μ和μ，已
1 2
知μ＞μ，现在随着卡车的液压杆缓慢撑起，车厢会绕车厢末端O顺时针转动，下列说
1 2
法正确的是( )
A. 在A、B均未滑动过程中，A所受的合外力不变
B. 在A、B均未滑动过程中，车厢对B的摩擦力不做功
C. 在A、B均未滑动时，B对A的支持力对A不做功
D. 随着转动角度增大，A会先滑动
题型二：判断物体对物体做功
【知识思维方法技巧】
一个物体对另一个物体的作用力就是物体对另一个物体弹力与摩擦力的合力，以物体为对
象，则物体只受重力与作用力二个力的作用，再根据加速度的方向，从而可以确定作用力
的大小和方向，依据W ＝F lcos α判断。
合 合
【典例2拔尖题】如图所示，在匀减速向右运动的车厢内，一人用力向前推车厢，该人与
车厢始终保持相对静止，则下列说法中正确的是( )
A．人对车厢的推力不做功 B．人对车厢的推力做负功
C．车厢对人的作用力做正功 D．车厢对人的作用力做负功
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2考点二：恒力做功的计算
【知识思维方法技巧】
恒力做功的计算公式是W＝Flcos α。L为物体对地的位移，α是力与位移方向之间的夹角。
（1）计算功时要指明是哪个力的功，如机车的功实际是指牵引力的功，电流做功实际是电
场力做功，电场力做功也可用W＝qU＝UIt计算。
（2）物体沿斜面下滑过程中克服摩擦力做的功，与底边长有关，如图甲、乙分别从顶端
A、B滑至底端C 克服摩擦力做的功W＝W＝μmgcos θ·＝μmgL。
1 2
（3）合外力做的功
方法一：先求合外力F ，再用W ＝F lcos α求功．
合 合 合
方法二：先求各个力做的功W 、W 、W…，再应用W ＝W ＋W ＋W ＋…求合外力做的
1 2 3 合 1 2 3
功．
方法三：利用动能定理W ＝E －E .
合 k2 k1
题型一：某个力对物体做功的计算
【典例1拔尖题】质量m＝20 kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做
直线运动.0～2 s内F与运动方向相反，2～4 s内F与运动方向相同，物体的v－t图象如图
所示．g取10 m/s2，则( )
A．拉力F的大小为100 N
B．摩擦力的大小为40 N
C．4 s内拉力所做的功为480 J
D．4 s内物体克服摩擦力做的功为320 J
【典例1拔尖题对应练习】一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此
刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力 F，力F、滑块的速率v随时间的变化规律
分别如图甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W 、
1
W、W，则以下关系正确的是( )
2 3
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3A.W＝W＝W B．WW B．W＝W C．W＝0 D．W＝W＋W
1 2 1 2 3 3 1 2
考点四：功率的计算及分析
题型一：功率的计算
【知识思维方法技巧】
求解功率时应注意的三个问题：
（1）首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。
（2）平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内
做功的平均功率。平均功率的计算方法：P＝或P＝Fvcos α，其中v为物体运动的平均速度。
（3）瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。瞬时功率的计算方法：
P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度，α是F与v的夹角。
类型一：功率的计算
【典例1a拔尖题】(多选)质量为m的物体静止在粗糙的水平地面上，从t＝0时刻开始物体
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10受到方向恒定的水平拉力F作用，拉力F与时间t的关系如图甲所示．物体在t 时刻开始
0
运动，其运动的vt图象如图乙所示，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则( )
A．物体与地面间的动摩擦因数为
B．物体在t 时刻的加速度大小为
0
C．物体所受合外力在t 时刻的功率为2F v
0 0 0
D．水平力F在t～2t 时间内的平均功率为F
0 0 0
【典例1a拔尖题对应练习】(多选)质量为m的物体静止于地面上，现用一外力F向上提
升物体，外力大小F与物体重力大小(mg，g为重力加速度)的比值随时间t变化的图像如
图所示．不计空气阻力，则( )
A. 时刻F的功率为mg2t
0
B. 0～t 时间内F做的功为 mg2t2
0 0
C. 0～2t 时间内F的平均功率为mg2t
0 0
D. 3t 时刻物体的速度为0
0
类型二：平均功率的估算
【典例1b拔尖题】引体向上是中学生体育测试的项目之一，引体向上运动的吉尼斯世界纪
录是53次/分钟。若一个普通中学生在30秒内完成12次引体向上，该学生此过程中克服重
力做功的平均功率最接近于( )
A．5 W B．20 W C．100 W D．400 W
【典例1b拔尖题对应练习】下列表述中最符合实际情况的是( )
A．某高中同学做一次引体向上的上升过程中克服重力做功约为25 J
B．将一个鸡蛋从胸前举过头顶，克服重力做功约为10 J
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11C．篮球从2 m高处自由下落到地面的过程中，重力做功的功率约为20 W
D．某高中同学步行上楼时克服重力做功的功率约为10 kW
题型二：功率的分析
【典例2拔尖题】 (多选)如图所示，在外力作用下某质点运动的v－t图象为正弦曲线．从
图中可以判断( )
A．在0～t 时间内，外力的功率先增大后减小
1
B．在0～t 时间内，外力的功率逐渐为零
1
C．在t 时刻，外力的功率为零
2
D．在t 时刻，外力的功率最大
3
【典例2拔尖题对应练习】如图所示，一半圆槽固定在水平面上，A、B两点为最高点，O
为最低点，一个小球在外力控制下沿AOB做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．半圆槽对小球的支持力先做正功后做负功
B．合力对小球先做负功后做正功
C．小球在最低点O时，所受合力的功率最大
D．整个过程中小球重力的功率先减小后增大
考点五：机车功率的问题
【知识思维方法技巧】
（1）机车启动问题的两种求解思路：
①机车以恒定功率启动：
②机车以恒定加速度启动：
（2）解决机车启动问题的两点注意：
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12①分清是匀加速启动还是恒定功率启动：
匀加速启动过程中，机车功率是不断增大的，当功率达到额定功率时匀加速运动速度达到
最大，但不是机车能达到的最大速度。
以额定功率启动的过程中，牵引力是不断减小的，机车做加速度减小的加速运动，牵引力
的最小值等于阻力。
②无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P＝Fv ，P为机车的额定功率。
f m
题型一：机车功率的计算问题
类型一：机车在水平面运动模型
【典例1a拔尖题】某汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车质量为5 t，汽车在运动中所受
阻力的大小恒为车重的0.1倍．(g取10 m/s2)
(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多大？当汽车速度达到5 m/s时，
其加速度是多大？
(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s2启动，则其匀加速过程能维持多长时间？
【典例1a拔尖题对应练习】某汽车在某次测试过程中数据如下表所示，请根据表中数据回
答问题。
行驶中整车质量 1 500 kg
额定功率 80 kW
加速过程 车辆从静止加速到72 km/h所需时间为20 s
制动过程 车辆以36 km/h行驶时的制动距离为5.0 m
某天张华驾驶该汽车从甲地点沿平直公路到乙地点送货，张华启动汽车后先以恒定的加速
度(该加速度大小与测试过程中加速过程的加速度大小相同)运动一段时间，汽车功率达到
额定功率后，保持额定功率继续行驶，达到最大速度后以最大速度行驶，快到乙地点时，
开始制动汽车，刚好到乙地点停下。已知汽车在平直公路上沿直线行驶时所受阻力f大小
恒定，为制动过程中汽车所受阻力的，甲地点到乙地点的距离为d＝3 km，取重力加速度g
＝10 m/s2。
（1）求汽车在平直公路上行驶的最大速度v ；
m
（2）张华由甲地点到乙地点共经历多长时间？
类型二：机车在斜面运动模型
【典例1b拔尖题】2019年12月17日，中国首艘自主建造的国产航母“山东”舰正式入役，
中国海军真正拥有了可靠的航母作战能力，国产航母上的“歼15”舰载机采用滑跃式起飞。
如图所示，AB为水平甲板，BC为倾斜甲板，倾角为θ，B处由光滑圆弧平滑连接。舰载
机从A点启动做匀加速直线运动，经过2 s到达B点时速度为60 m/s，此时舰载机发动机
的功率恰好达到额定功率，随后滑上倾斜甲板继续加速，在C点实现起飞。已知舰载机总
质量为1.0×104 kg，滑跑过程中受到的阻力(空气阻力与摩擦阻力总和)恒为自身重力的0.1
倍，方向与速度方向相反。倾斜甲板舰艏高度H＝4 m，sin θ＝0.2，g＝10 m/s2，舰载机
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13可视为质点，航母始终处于静止状态。
(1)求航母水平甲板AB之间的距离和舰载机发动机的额定功率；
(2)若舰载机在倾斜甲板上继续以额定功率加速，又经过2 s最终飞离航母。通过计算判断
舰载机能否安全起飞(已知舰载机的安全起飞速度至少为80 m/s)?
类型三：竖直提升重物模型
【典例1c拔尖题】有一台最大功率为P =8×103W的起重机，将一个质量为m=1000kg的物
m
体竖直向上吊起，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，则
(1)若起重机以最大功率工作时，物体最终能达到的最大速度为多少？
(2)若物体以v=0.4m/s的速度匀速上升，起重机的实际功率是多少？
(3)若物体从静止气以a=2m/s2的加速度匀加速上升，则维持此加速度的时间是多少？
【典例1c拔尖题对应练习】小明用额定功率为1 200 W、最大拉力为300 N的提升装置，
把静置于地面的质量为20 kg的重物竖直提升到高为85.2 m的平台，先加速再匀速，最后
做加速度大小不超过5 m/s2的匀减速运动，到达平台速度刚好为零，g取10 m/s2，则提升
重物的最短时间为( )
A．13.2 s B．14.2 s C．15.5 s D．17.0 s
【典例1c拔尖题对应练习】【答案】C
题型二：与图像结合的机车功率的计算问题
类型一：与v－t图像结合的机车启动问题
【典例2a拔尖题】如图甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车(可视为质
点)，正以10 m/s的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个
ABC路段的vt图像如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机
的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力
等)各自有恒定的大小。求：
(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力f 的大小；
1
(2)汽车刚好开过B点时加速度a的大小；
(3)BC路段的长度。
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14甲 乙
【典例2a拔尖题对应练习】某中学生对刚买来的一辆小型遥控车的性能进行研究．他让这
辆小车在水平地面上由静止开始沿直线轨道运动，并将小车运动的全过程通过传感器记录
下来，通过数据处理得到如图所示的v－t图象．已知小车在0～2 s内做匀加速直线运动，2
～11 s内小车牵引力的功率保持不变，9～11 s内小车做匀速直线运动，11 s末开始小车失去
动力而自由滑行．已知小车质量m＝1 kg，整个过程中小车受到的阻力大小不变，试求
(1)在2～11 s内小车牵引力的功率P的大小；
(2)小车在2 s末的速度v 的大小；
x
(3)小车在2～9 s内通过的距离x.
类型二：与a－图像结合的机车启动问题
【知识点的理解与运用】
由F－F＝ma，P＝Fv可得：a＝·－，则斜率k＝；纵截距b＝－；
f
横截距＝。
【典例2b拔尖题】如图甲所示，水平面上一质量为 m的物体在水平力F作用下开始做加
速运动，力F的功率P保持恒定，运动过程中物体所受的阻力f大小不变，物体速度最终
达到稳定值v ，作用过程物体速度的倒数与加速度a的关系图象如图乙所示．在已知功率
m
P的情况下，根据图象所给信息可知以下说法中正确的是 ( )
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15A．可求出m、f和v
m
B．不能求出m
C．不能求出f
D．可求出加速运动时间
【典例2b拔尖题对应练习】一赛车在平直赛道上以恒定功率加速，其功率为200 kW，设
所受到的阻力不变，加速度a和速度的倒数的关系如图所示，则赛车( )
A.做匀加速直线运动
B.质量为400 kg
C.所受阻力大小为2 000 N
D.速度大小为50 m/s时牵引力大小为3 000 N
类型三：与F－图像结合的机车启动问题
【知识思维方法技巧】
如图AB段牵引力不变，做匀加速直线运动；BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率
不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动；B点横坐标对应匀加速运动
的末速度为；C点横坐标对应运动的最大速度，此时牵引力等于阻力。
【典例2c拔尖题】在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103 kg的汽车由静止开始沿
平直公路行驶，达到的最大速度为40 m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵
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16引力F与对应的速度v，并描绘出如图所示的F图像(图线ABC为汽车由静止到达到最大速
度的全过程，AB、BO均为直线)。假设该汽车行驶过程中所受的阻力恒定，根据图线
ABC，求：
(1)该汽车的额定功率；
(2)该汽车由静止开始运动，经过35 s达到最大速度40 m/s，求其在BC段的位移大小。
类型四：与P－t图像结合的机车启动问题
【典例2d拔尖题】一辆汽车在平直的公路上由静止开始启动。在启动过程中，汽车牵引力
的功率及其瞬时速度随时间的变化情况分别如图甲、乙所示。已知汽车所受阻力恒为重力
的 ，重力加速度g取 。下列说法正确的是( )
A．该汽车的质量为
B．
C．在 内，汽车的位移大小约为
D．在前5s内，阻力对汽车所做的功为25kJ
类型五：与其他图像结合的机车启动问题
【典例2e拔尖题】一辆汽车从静止开始沿平直路面运动。运动过程中牵引力F及加速度a
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17与汽车速度v的关系图线分别如图甲、乙所示，已知汽车所受阻力保持恒定，汽车速度由
10m/s增至24m/s的过程中功率保持不变，该过程中汽车的位移为1252m，下列说法正确
的是（ ）
A．甲图中A点坐标为2500
B．汽车的质量为
C．汽车的速度为20m/s时的加速度为
D．汽车从静止到速度刚达到24m/s经过的时间为72s
题型三：根据机车启动情景选择图象的问题
【典例3拔尖题】(多选)发动机额定功率为P 的汽车在水平路面上从静止开始先匀加速启
0
动，最后达到最大速度并做匀速直线运动，已知汽车所受路面阻力恒为 F，汽车刚开始启
f
动时的牵引力和加速度分别为F 和a ，如图所示描绘的是汽车在这一过程中速度随时间以
0 0
及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是( )
【典例3拔尖题对应练习】(多选)动车组列车在启动阶段的运动可视为初速度为零的匀加
速直线运动，当速度达到200 km/h时便保持此速度做匀速直线运动．若列车所受机械阻力
恒定，所受空气阻力与速度大小成正比．该运动过程中列车发动机的功率没有达到其额定
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18值，则列车的牵引力F和功率P随时间t变化的关系图象可能正确的是( )
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19
