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知识点 68： 带电粒子(体)在电场中的直线运动
【知识思维方法技巧】
（1）带电粒子(体)在电场中重力的处理方法：
①基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考
虑重力(但并不忽略质量)
②带电体：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽
略重力。
（2）带电粒子(体)做直线运动的条件：
①粒子所受合外力F ＝0，粒子静止或做匀速直线运动。
合
②粒子所受合外力F ≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做变速直线运动，
合
用动能定理qU＝mv2－mv求解。若电场为匀强电场，则带电粒子做匀变速直线运动，用动
力学观点a＝，E＝，v2－v＝2ad或动能定理qU＝mv2－mv。
考点一：带电粒子在电场中的直线运动
题型一：带电粒子在匀强电场中的直线运动
【典例1拔尖题】多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原
理如图所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质
量分析器。质量分析器由两个反射区和长为l的漂移管(无场区域)构成，开始时反射区1、2
均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相
反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质
量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B上被
探测到，可测得离子从A到B的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为 q，不计离子
重力。
(1)求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间T；
1
(2)反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
(3)已知质量为m 的离子总飞行时间为t ，待测离子的总飞行时间为t ，两种离子在质量分
0 0 1
析器中反射相同次数，求待测离子质量m。
1
【典例1拔尖题】【答案】(1) (2) (3)m
0
【解析】(1)设离子经加速电场加速后的速度大小为v，根据动能定理，有qU＝mv2①
离子在漂移管中做匀速直线运动，则T＝②
1
联立①②式，得T＝ 。③
1
1
学科网（北京）股份有限公司(2)根据动能定理，有qU－qEx＝0④
得x＝。⑤
(3)离子在加速电场中运动和反射区电场中每次单向运动均为匀变速直线运动，平均速度大
小均相等，设其为，有＝⑥
通过⑤式可知，离子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的，所以不同离子在电
场区运动的总路程相等，设为L ，在无场区的总路程设为L 。根据题目条件可知，离子在
1 2
无场区速度大小恒为v，设离子的总飞行时间为t ，有t ＝＋⑦
总 总
联立①⑥⑦式，得t ＝(2L＋L) ⑧
总 1 2
可见，离子从A到B的总飞行时间与成正比。
依题意可得＝
可得m＝m。⑨
1 0
题型二：带电粒子在平行板电容器中的直线运动
【典例2拔尖题】如图所示，空间存在两块平行的彼此绝缘的带电薄金属板A、B，间距为
d，中央分别开有小孔O、P.现有甲电子以速率v从O点沿OP方向运动，恰能运动到P点．
0
若仅将B板向右平移距离d，再将乙电子从P′点由静止释放，则( )
A．金属板A、B组成的平行板电容器的电容C不变
B．金属板A、B间的电压减小
C．甲、乙两电子在板间运动时的加速度相同
D．乙电子运动到O点的速率为2v
0
【典例2拔尖题】【答案】C
【解析】两板间距离变大，根据C＝可知，金属板A、B组成的平行板电容器的电容C减
小，选项A错误；根据Q＝CU，Q不变，C减小，则U变大，选项B错误；根据E＝＝
＝，可知当d变大时，两板间的场强不变，则甲、乙两电子在板间运动时的加速度相同，
选项C正确；根据e·E·2d＝mv2，e·E·d＝mv，可知，乙电子运动到O点的速率v＝v ，选
0
项D错误．
【典例2拔尖题对应练习】(多选)如图为某直线加速器简化示意图，设n个金属圆筒沿轴线
排成一串，各筒相间地连到正负极周期性变化的电源上，带电粒子以一定的初速度沿轴线
射入后可实现加速，则( )
2
学科网（北京）股份有限公司A．带电粒子在每个圆筒内都做加速运动
B．带电粒子只在圆筒间的缝隙处做加速运动
C．带电粒子穿过每个圆筒时，电源正负极要改变
D．从左向右各筒长度之比为1∶3∶5∶7…
【典例2拔尖题对应练习】【答案】BC
【解析】由于同一个金属筒所在处的电势相同，内部无场强，故带电粒子在筒内必做匀速
直线运动；而前后两筒间有电势差，故带电粒子每次穿越缝隙时将被电场加速，故 B正确，
A错误；带电粒子要持续加速，下一个金属筒的电势要低，所以电源正负极要改变，故 C
正确；设带电粒子进入第n个圆筒中的速度为v ，则第n个圆筒的长度为L＝v ，根据动能
n n
定理得(n－1)qU＝mv 2－mv 2，联立解得 L＝，可知从左向右各筒长度之比不等于
n 0
1∶3∶5∶7…，故D错误．
题型三：带电粒子在交变电场中的直线运动
【知识思维方法技巧】
（1）常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等．
（2）粒子可以做单向直线运动和做往返直线运动。
（3）解题技巧：
①按周期性分段研究，化变为恒。
②抓住运动具有周期性和对称性的特征，将――→a－t图像――→v－t图像
【典例3拔尖题】如图甲所示，A和B是真空中正对面积很大的平行金属板，O点是一个
可以连续产生粒子的粒子源，O点到A、B的距离都是l.现在A、B之间加上电压，电压
U 随时间变化的规律如图乙所示．已知粒子源在交变电压的一个周期内可以均匀产生 300
AB
个粒子，粒子质量为m、电荷量为－q.这种粒子产生后，在电场力作用下从静止开始运动．
设粒子一旦碰到金属板，它就附在金属板上不再运动，且电荷量同时消失，不影响 A、B
板电势．不计粒子的重力，不考虑粒子之间的相互作用力．已知上述物理量l＝0.6 m，U
0
＝1.2×103 V，T＝1.2×10－2 s，m＝5×10－10 kg，q＝1.0×10－7 C.
(1)在t＝0时刻产生的粒子，会在什么时刻到达哪个极板？
(2)在t＝0到t＝这段时间内哪个时刻产生的粒子刚好不能到达A板？
(3)在t＝0到t＝这段时间内产生的粒子有多少个可到达A板？
3
学科网（北京）股份有限公司【典例3拔尖题】【答案】(1)×10－3 s到达A极板 (2)4×10－3 s时刻 (3)100个
【解析】(1)根据题图乙可知，从t＝0时刻开始，A板电势高于B板电势，粒子向A板运动．
因为x＝2＝3.6 m>l，所以粒子从t＝0时刻开始，一直加速到达A板．
设粒子到达A板的时间为t，则l＝·t2
解得t＝×10－3 s.
(2)在0～时间内，粒子的加速度大小为
a＝＝2×105 m/s2
1
在～T时间内，粒子的加速度大小为
a＝＝4×105 m/s2
2
可知a＝2a，若粒子在0～时间内加速Δt，再在～T时间内减速刚好不能到达A板，则l＝
2 1
aΔt2＋aΔt·－a·2或l＝aΔt·Δt
1 1 2 1
解得Δt＝2×10－3 s
因为＝6×10－3 s，
所以在0～时间内4×10－3 s时刻产生的粒子刚好不能到达A板．
(3)因为粒子源在一个周期内可以产生300个粒子，而在0～时间内的前时间内产生的粒子
可以到达A板，所以到达A板的粒子数n＝300××＝100(个)．
【典例3拔尖题对应练习】如图所示，在两平行金属板中央有一个静止的电子(不计重力)，
当两板间的电压分别如图中甲、乙、丙、丁所示时，电子在板间运动(假设不与板相碰)，
下列说法正确的是( )
A．电压是甲图时，在0～T时间内，电子的电势能一直减少
B．电压是乙图时，在0～时间内，电子的电势能先增加后减少
C．电压是丙图时，电子在板间做往复运动
D．电压是丁图时，电子在板间做往复运动
【典例3拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】电压是题图甲时，0～T时间内，电场力先向左后向右，则电子先向左做匀加速直
线运动，后做匀减速直线运动，即电场力先做正功后做负功，电势能先减少后增加，故 A
错误；电压是题图乙时，在0～时间内，电子向右先加速后减速，即电场力先做正功后做
负功，电势能先减少后增加，故B错误；电压是题图丙时，电子先向左做加速度先增大后
4
学科网（北京）股份有限公司减小的加速运动，过了后做加速度先增大后减小的减速运动，到 T时速度减为0，之后重
复前面的运动，故电子一直朝同一方向运动，故C错误；电压是题图丁时，电子先向左加
速，到后向左减速，后向右加速，T后向右减速，T时速度减为零，之后重复前面的运动，
故电子做往复运动，故D正确．
考点二：带电体在电场中的直线运动
题型一：带电体在匀强电场中的直线运动
类型一：匀强电场模型
【典例1a拔尖题】如图所示，在竖直平面内有一匀强电场，一带电荷量为＋q、质量为m
的小球在力F的作用下，沿图中虚线由M至N做竖直向上的匀速运动．已知力F和MN之
间的夹角为45°，MN之间的距离为d，重力加速度为g.则下列说法正确的是( )
A．电场的方向可能水平向左
B．电场强度E的最小值为
C．当qE＝mg时，小球从M运动到N时电势能变化量为零
D．F所做的功一定为mgd
【典例1a拔尖题】【答案】BC
【解析】小球受力情况：小球受到重力mg、拉力F与电场力qE，因为小球做匀速直线运
动，合力为零，则F与qE的合力与mg大小相等、方向相反，作出F与qE的合力，如图
所示，
根据图可知，电场力方向指向右侧，由于小球带正电，电场方向与电场力方向相同，故指
向右侧，故A错误；由图可知，当电场力qE与F垂直时，电场力最小，此时场强也最小．
则得：qE＝mgsin θ，所以电场强度的最小值为E＝＝，故B正确；当mg＝Eq时，根据几
何关系，电场力水平向右，与MN垂直，小球从M运动到N电场力不做功，即小球从M
运动到N时电势能变化量为零，故C正确；由于电场力变化时，F大小也跟随着改变，所
以做功也不能确定具体值，故D错误．
【典例1a拔尖题对应练习】如图所示，在竖直平面内有匀强电场(图中未画出)，一个质量
为m的带电小球，从A点以初速度v沿直线运动．直线与竖直方向的夹角为θ(θ<90°)，不
0
5
学科网（北京）股份有限公司计空气阻力，重力加速度为g.以下说法正确的是( )
A．小球一定做匀变速运动
B．小球在运动过程中可能机械能守恒
C．小球运动过程中所受电场力不小于mgsin θ
D．当小球速度为v时，其重力的瞬时功率P＝mgvsin θ
【典例1a拔尖题对应练习】【答案】BC
【解析】小球从A点以初速度v 沿直线运动，受到重力和电场力作用，若电场力与重力平
0
衡时，小球做匀速直线运动；若电场力与重力不平衡时，两者的合力与速度共线，而且合
力是恒力，则小球做匀变速直线运动，故A错误；若电场力与速度方向垂直时，电场力不
做功，则小球的机械能守恒，故B正确；当电场力与速度方向垂直时，电场力最小，由垂
直于速度方向的力平衡得到：电场力的最小值为mgsin θ，故C正确；当小球速度为v时，
其重力的瞬时功率P＝mgvcos θ，故D错误．
类型二：组合匀强电场模型
【典例1b拔尖题】真空中存在电场强度大小为E 的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖
1
直向上做匀速直线运动，速度大小为v。在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增
0
大到某值，但保持其方向不变。持续一段时间t 后，又突然将电场反向，但保持其大小不
1
变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点。重力加速度大小为g。
(1)求油滴运动到B点时的速度；
(2)求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t 和v
1 0
应满足的条件。已知不存在电场时，油滴以初速度v做竖直上抛运动的最大高度恰好等于
0
B、A两点间距离的两倍。
【典例1b拔尖题】【答案】(1)v－2gt (2)见解析
0 1
【解析】(1)设油滴质量和电荷量分别为m和q，油滴速度方向向上为正。油滴在电场强度
大小为E 的匀强电场中做匀速直线运动，故匀强电场方向向上。
1
在t＝0时，电场强度突然从E 增加至E 时，油滴做竖直向上的匀加速运动，加速度方向
1 2
向上，大小a 满足
1
qE －mg＝ma ①
2 1
油滴在时刻t 的速度为
1
6
学科网（北京）股份有限公司v＝v＋at ②
1 0 11
电场强度在时刻t 突然反向，油滴做匀变速运动，加速度方向向下，大小a 满足
1 2
qE ＋mg＝ma ③
2 2
油滴在时刻t＝2t 的速度为
2 1
v＝v－at ④
2 1 21
由①②③④式得
v＝v－2gt ⑤
2 0 1
(2)由题意，在t＝0时刻前有
qE ＝mg ⑥
1
油滴从t＝0到时刻t 的位移为
1
s＝vt＋at2 ⑦
1 01 11
油滴在从时刻t 到时刻t＝2t 的时间间隔内的位移为
1 2 1
s＝vt－at2 ⑧
2 11 21
由题给条件有
v2＝2g(2h) ⑨
0
式中h是B、A两点之间的距离。
若B点在A点之上，依题意有
s＋s＝h ⑩
1 2
由①②③⑥⑦⑧⑨⑩式得
E ＝E ⑪
2 1
为使E >E ，应有
2 1
2－2＋2>1 ⑫
即当0 ⑭
1
才是可能的；条件⑬式和⑭式分别对应于v>0和v<0两种情形。
2 2
若B点在A点之下，依题意有
s＋s＝－h ⑮
1 2
由①②③⑥⑦⑧⑨⑮式得
E ＝E ⑯
2 1
为使E >E ，应有
2 1
2－2－2>1 ⑰
即t> ⑱
1
另一解为负，不合题意，已舍去。
题型二：带电体在平行板电容器中的直线运动
【典例2拔尖题】(多选)如图所示，带电小球自O点由静止释放，经C孔进入两水平位置
7
学科网（北京）股份有限公司的平行金属板之间，由于电场的作用，刚好下落到D孔时速度减为零。对于小球从C到D
的运动过程，已知从C运动到CD中点位置用时t ，从C运动到速度等于C点速度一半的
1
位置用时t，下列说法正确的是( )
2
A.小球带负电
B.tt
1 2
D.将B板向上平移少许后小球可能从D孔落下
【典例2拔尖题】【答案】AB
【解析】由题图可知，A、B间的电场强度方向向下，小球从C到D做减速运动，受电场
力方向向上，所以小球带负电，选项A正确；由于小球在电场中受到的重力和电场力都是
恒力，所以小球做匀减速直线运动，其速度图象如图所示，由图可知，t2mg，
0 0
即h>h ，可知v>v ，新油滴速度方向向上，设向上为正方向，根据动量守恒定律有 mv
2 1 2 1 0 2
－mv ＝2mv ，可得v >0，新油滴向上加速，达到平衡时有2mg＋ ＝F′，
0 1 0 共 共 0
解得速度大小为v＝，方向向上；若F′<2mg，即h>h ，可知v0，新油滴向下加速，达到平衡时有
0 1 0 2 0 共 共
2mg＝F′＋ 解得速度大小为v′＝，方向向下．
0
题型三：带电体在非匀强电场中的直线运动
【典例3拔尖题】如图所示，在A点固定一正电荷，电荷量为Q，在A点正上方离A高度
为h的B点由静止释放某带电的液珠，液珠开始运动的瞬间加速度大小为(g为重力加速度)．
已知静电力常量为k，两带电物体均可看成点电荷，液珠只能沿竖直方向运动，不计空气
阻力，求：
(1)液珠的比荷(电荷量与质量的比值)；
(2)若液珠开始释放时的加速度方向向上，要使液珠释放后保持静止，可以加一竖直方向的
匀强电场，则所加匀强电场的方向如何？电场强度的大小为多少？
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学科网（北京）股份有限公司【典例3拔尖题】【答案】 (1) (2)竖直向下
【解析】 (1)加速度的方向分两种情况
①加速度向下时，因为mg－k＝m(g)所以＝
②加速度向上时，因为k－mg＝m(g)所以＝
(2)因为液珠开始释放时的加速度方向向上，所以液珠带正电．要使液珠释放后保持静止，
必须加一方向竖直向下的匀强电场．
因为qE－mg＝0所以E＝·＝.
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