文档内容
三角恒等变换
学习目标
①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．
②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公
式，了解它们的内在联系．
③能运用上述公式进行简单的恒等变换．
④会用三角函数解决简单的实际问题．
考试数据
知识模块 考点 新高考卷 模考频次（频率）
山东&海南2020-10
三角恒等变换 三角恒等变换 （与三角函数图像联合 94.3%
考查）
高频考点
①和差角公式．
②二倍角公式．
③半角公式．
④辅助角公式．
难点
① 取值范围．
②配凑角度直接的关系．
③利用三角函数建模．
易错点
①忽略角度范围．
②开方忘记判定符号．
一、 和差角公式
1公式推导
我们运用平面向量的知识进行探究
如下图：
在平面直角坐标系 内作单位圆 ，以 为始边作角 ， ，它们的终边与单位圆 的交点分别为
， ．则 ， ．
由向量数量积的坐标表示，有
．
设 与 的夹角为 ，则
．
根据上面图形的两种情况可以总结得到： ，所以
．
上面两式联立，就有了下面的公式：
此公式给出了任意角 ， 的正弦、余弦值与其差角 的余弦值之间的关系．称为差角的余弦公式，
简记作 ．
有了公式 以后，我们只要知道 、 、 、 的值，就可以求得 的值了．
请自己用两角差的余弦，结合诱导公式推出其余五个公式并把下面的公式补充完整！
公式总结
2公式变换
1． 与 相加减可以得到 和 ，相比得到
2． 与 相加减可以得到 和 ，相比得到
经典例题
1.
已知 ， ，则 的值为 ．
【备注】本题主要考查和差角公式和完全平方公式的综合应用．
【答案】
【解析】 ①
②
① ②得：
，
，
．
【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的正弦
2.
已知 ， ， ， ，则
（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【核心考点】
寻找题目中的角度关系： ．
【答案】C
【解析】因为 ， ，
所以 ，
，
又 ，
3所以 ，
，
，
．
故选 ．
【标注】【知识点】两角和与差的余弦；同角三角函数的基本关系式的化简和求值
巩固练习
3. 已知 、 ， 与 是方程 的两个根，则 （ ）．
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】由 ， 是方程 的两根，
可得： ，
，
与 是同号，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】韦达定理；利用正切和差角公式直接求值
4. 若 ， 为锐角，且满足 ， ，则 的值为（ ）．
4A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ， 为锐角， ，
∴ ，
又 ，且 ，
∴ ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】利用正弦和差角公式凑角求值
5. 若 ， ，则 ．
【答案】
【解析】∵ ，
，
∴ ，
，
∴ ．
【标注】【知识点】积化和差与和差化积；两角和与差的余弦；和差角公式化简求值综合运用；
同角三角函数的基本关系式；同角三角函数的基本关系式的化简和求值
6. 已知 ， ，且 ，求 ．
【答案】 ．
【解析】由题可知， ， ，
5所以， ， ，
．
【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的正弦
二、 二倍角公式
1. 二倍角公式
我们以公式 为基础，推导出了六个和（差）角公式，下面将以和（差）角公式为基础来推导倍角
公式．
（1） ;
变形式 ．
（2） ；
变形式 ； ．
（3） ．
经典例题
7. 已知 ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】解题思路：利用倍角公式将 ，然后换元，解方程即可．
【答案】A
【解析】由 ，
得 ，
解得 或 （舍），
又∵ ，则 ，
6∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】半角公式；二倍角的余弦
8. 已知 ， 满足 ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】核心考点：找出题中角度关系
．
【答案】D
【解析】由
，
得 ，
所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用正弦和差角公式凑角求值
巩固练习
9. 已知 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解： ，
，
， ， ，
，
，
解得 ．
7故选：B．
【标注】【知识点】二倍角的余弦；二倍角的正弦
10.
已知 、 均为锐角，且 ， ，则 ．
【答案】
【解析】
∵ 、 均为锐角，且 ，
故 ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
，
则
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用余弦和差角公式凑角求值；二倍角的余弦；二倍角的正弦
2. 二倍角公式的常见变换
1．链式变换：
2．平方差变换：
3．降幂变换：
8；
4．升幂变换：
；
经典例题
11. 的化简结果是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题主要考查二倍角公式与完全平方公式的综合应用．
易错点：注意开方以后的正负．
【答案】D
【解析】原式
，
∵ ，∴ ， ．
∴原式 ．
【标注】【知识点】二倍角的余弦；半角公式
12. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】本题考查 的代换与齐次式的应用．
【答案】B
【解析】
．
故选 ．
9【标注】【知识点】二倍角的余弦；二倍角的正弦；同角关系构造齐次式化简求值
3. 半角公式
由二倍角公式，
可得
即
； ．
所以
： ；
： ；
将上面两式相除，得到
： ．
上面三个公式，称作半角公式．
在半角公式中，根号前的正负号，由角 所在象限确定．
经典例题
13.
若 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】解题思路： ．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ．又 ，
所以 ，所以 ．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式
14. 若 ，且 ，则 等于（ ）．
10A. B. C. D.
【备注】解题思路：
将原式平方，利用齐次式和 的代换，得到 ，再得出 ．
【答案】B
【解析】由 ，两边同时平方，则 知
，又由 ，即 ，则
，又由 ，故 ，故选 ．
【标注】【知识点】半角公式
巩固练习
15.
若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，
所以 ．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式的化简和求值；同角三角函数的基本关系式
4. 化简求值
16. 回答下列问题．
（ 1 ）
．
（ 2 ）已知 ，则 （ ）．
11A. B. C. D.
【备注】易错点：注意开方以后的正负．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）A
【解析】（ 1 ）原式 ，当 时， ，
所以 ，
所以原式 ．
（ 2 ）
.
故选 ．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式；同角三角函数的基本关系式的化简和求值；二
倍角的正弦；半角公式
17. 求值： ．
【备注】破题关键：配凑一个 即可．
【答案】 ．
【解析】
．
【标注】【知识点】半角公式；二倍角的正弦
巩固练习
18.
求值： （ ）．
A. B. C. D.
12【答案】D
【解析】
．
故选： ．
【标注】【知识点】辅助角公式；二倍角的余弦；二倍角的正弦
19. ．
【答案】
【解析】
13．
【标注】【知识点】半角公式
三、 辅助角公式
下面介绍利用和角公式推导出来的一个很有用的结论，即辅助角公式：
对于形如 （ 是不同时为零的实数）这样的表达式，如何去研究它的值域、周期
以及单调区间呢，由于之前我们学习过正弦型函数的相关性质，一个自然的想法是，若可以把它恒等变
化为正弦型函数，问题自然就解决了，那么是否能够将其整合成为一个正弦型函数呢？答案是肯定的，
如下：
考察以 为坐标的点 ，设以 为终边的一个角是 ，则由三角函数的定义，有：
， ．
于是：
其中 角所在象限由 、 的符号确定， 角的值由 ， 共同确定．
经典例题
1420. 化简下列式子为 形式或 形式：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
【备注】
，
其中 所在的象限由 、 的符号确定， 角的值由 确定．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ）
．
（ 4 ）
．
【标注】【知识点】倍角、和差角公式综合；辅助角公式
21. 关于函数 有以下四个结论：
①函数 的最大值为 ；
②把函数 的图象向右平移 个单位可得到函数 的图象；
③函数 在区间 上单调递增；
④函数 图象的对称中心为 ．
其中正确的结论是 ．
【备注】核心考点：
①降幂公式 辅助角公式得到正弦型三角函数 ．
②正弦型三角函数的性质——单调性，对称性，最值等．
【答案】③④
【解析】 ．
函数 的最大值为 ，①错误；
把函数 的图象向右平移 个单位可得到函数 的图象，②错误；
当 时， ，函数 单调递增，③正确；
15由 ， 得 ， ，
则函数 图象的对称中心为 ，④正确，
故正确结论是③④．
【标注】【知识点】已知正弦型函数判定结论正误；倍角、和差角公式综合
巩固练习
22.
已知 ，则 ．
【答案】
【解析】
由已知得， ，即 ，所以
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】半角公式
23. 已知函数 ，给出下列四个选项，正确的有（ ）．
A. 函数 的最小正周期是
B. 函数 在区间 上是减函数
C. 函数 的图象关于点 对称
D. 函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到．
【答案】AB
【解析】∵
，
对于 ：因为 ，则 的最小正周期 ，结论正确．
对于 ：当 时， ，
则 在 上是减函数，结论正确．
对于 ：因为 ，得到函数 图象的一个对称中心为 ，结论不正确．
16对于 ：函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位再向下平移 个单位得
到，结论不正确．
故正确结论有 ， ，
故选 ．
【标注】【知识点】正弦型函数的图象与性质；正余弦型、正切型函数图象变换；正弦函数的图
象和性质
24. 已知函数 ，则（ ）．
A. 的最大值为 B. 的图象关于直线 对称
C. 的图象关于点 对称 D. 在 上单调递增
【答案】BC
【解析】
．
选项，当 时， ，故 错误；
选项， ，
，
时， ，故 正确；
选项， ， ，故 正确；
选项， ，
，
∴ 在 上不单调，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】求固定区间正弦型函数值域
25. 已知函数 给出下面四个结论：
① 是最小正周期为 的奇函数；
② 图象的一条对称轴是 ；
③ 图象的一个对称中心是 ；
④ 的单调递增区间为 ．
17其中正确的结论是（ ）．
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ①②③
【答案】B
【解析】
．
① 不是奇函数，故①错误；
②对称轴为 ， ，
即 ， ，
当 时， ，故②正确，
③对称中心： ， ，
， ，
当 时， ，故 为对称中心，故③正确；
④单调递增区间： ， ，
， ，故④错误．
综上，②③正确．
故选 ．
【标注】【知识点】求正弦型函数的对称中心；求正弦型函数的对称轴；求正弦型函数的单调区
间；求正弦型函数的周期；辅助角公式
综合应用
26. 函数 的值域为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
18【解析】 ，
则
，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
【标注】【知识点】二倍角的正弦；同角三角函数的基本关系式的化简和求值
27.
已知函数 在 上恰有三个零点则正数 的取值范围为（
）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 在 上恰有三个零点，
∴ ，
∴ ，
∴正数 的取值范围为 ，
故选 ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；已知正弦型函数图象求参数值
28.
19已知函数 ，若 在 上无零点，则 的取值范围
是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
若 ，则 ，
即 ，
则 ，又 ，解得 ．
又 ，解得 ，
当 时， ；
当 时， ，可得 ．
故 ．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦型函数ω求最值问题；正弦型函数与零点综合问题
实际应用
29. 某实验室一天的温度（单位： ）随时间 （单位： ）的变化近似满足函数关系：
， ．
（ 1 ）求实验室这一天的最大温差；
（ 2 ）若要求实验室温度不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）在 时到 时实验室需要降温．
【解析】（ 1 ）
因为 ，
又 ，所以
当 时， ；当 时， ．
于是 在 上取得最大值 ，取得最小值 ．
20故实验室这一天最高温度为 ，最低温度为 ，最大温差为 ．
（ 2 ）依题意，当 时实验室需要降温
由（1）得 ，故有 ，
即 ．
又 ，因此 ，即
在 时到 时实验室需要降温．
【标注】【知识点】求固定区间正弦型函数值域；正弦函数的图象和性质
30. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形
）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形 和 ）组成，其中半圆的圆心为 ，半径为
米，矩形 的一边 在 上，矩形 的一边 在 上，点 ， ， ， 在圆周
上， ， 在直径上，且 ，设 ，若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别
为 万元和 万元．记病床区及休闲区的总造价为 （单位：万元）．
（ 1 ）求 的表达式．
（ 2 ）为进行改建预算，当 为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） 时， 最大为 万元．
【解析】（ 1 ）如图，
， ，
， ，
，
则
21．
（ 2 ）
，
， ，
∵ ，
∴ ，
， ，
， ，
∴ 在 递增， 递减，
∴当 时， 取得最大为 万元．
【标注】【知识点】利用导数求函数的最值；导数的实际应用；三角函数的实际应用
导图总结
你学会了吗？画出导图总结本节课所学吧！
【备注】
22出门测
31. 若 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解： ，
，
23，
故选A．
【标注】【知识点】利用诱导公式化简
32.
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ．
故选 ．
【标注】【知识点】诱导公式；二倍角的余弦
33. 已知 ， ，则 ．
【答案】
【解析】 ，
两边平方可得： ，①
，
两边平方可得： ，②
由① ②得： ，即 ，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用正弦和差角公式凑角求值
34. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）．
A. 的最大值为
B. 由 的图象向左平移 个单位
C. 的最小正周期为
D. 的单调递增区间为
24【答案】D
【解析】A 选项：
，
显然 的最大值为 ，故 错误；
B 选项： 的图象向左平移 个单位后解析式为
，故 错误；
C 选项： 的最小正周期为 ，故 错误；
D 选项：令 ，
解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，
故 正确．
故选 D .
【标注】【知识点】求正弦型函数的周期；求正弦型函数的单调区间；正余弦型、正切型函数图
象变换
35. 已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）．
A. 的最小正周期是 B. 关于 对称
C. 在 上单调递减 D. 的最小值为
【答案】B
【解析】∵
．
∴最小正周期 ，故 正确；
最小值为 ，故 正确；
时，
，
25∴ 在 上单调递减，故 正确；
时， ，
此时函数值不是最值，
∴ 不关于 对称，
故 错误；
故选 ．
【标注】【知识点】求正弦型函数的周期；求正弦型函数的对称轴；求正弦型函数的单调区间
36. 已知函数 的图象的一条对称轴为 ，则下列结论中正确的
是( )
A. 是最小正周期为 的奇函数
B. 是 图象的一个对称中心
C. 在 上单调递增
D. 先将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移
个单位长度，即可得到函数 的图象
【答案】BD
【解析】解：函数
，
又 图象的一条对称轴为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
所以 ，
所以 的最小正周期为 ，但不是奇函数， 错误；
，
所以 是 图象的一个对称中心， 正确；
当 时， ，
26所以 在 上不是单调函数, 错误；
将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，
得 的图象，
再把所得函数图象向左平移 个单位长度，
得 的图象，
即函数 的图象，所以 正确．
故选： ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换；求正弦型函数的单调区间；求正弦型函数
的周期；求正弦型函数的对称中心
27
