文档内容
三角函数的定义与图像和性质
学习目标
①了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．
②借助单位圆理解三角函数 （正弦、余弦、正切）的定义．
③借助图象理解正弦函数、余弦函数．
④结合具体实例，了解 的实际意义．
考试数据
知识模块 考点 新高考卷 模考频次（频率）
任意角的概念 2（5.7%）
三角函数的概念 弧度制 1（2.9%）
任意角的三角函数 3（8.6%）
三角函数的图像和性质 三角函数的图像和性质 山东&海南2020-10 32（91.4%）
高频考点
①齐次式．
②三角函数图像特点．
③正弦型三角函数．
④三角函数图像变换．
难点
① 取值范围．
②三角函数图像性质与变换．
③诱导公式的应用．
易错点
①三角函数图像变换．
②正弦型三角函数．
1一、 任意角的概念
1. 角的概念
角的定义：
基础定义：在平面内，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这两条射线叫做角的边，
这个公共端点叫做角的顶点．
推广定义：如果按照上述基础定义来定义角的话，则角的度数只能限制在 内．
因此在实际生活中，我们通常用另一种方式表示角：
一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角，
这条射线叫做角的始边，旋转到的位置所对的边叫做角的终边，而这个公共端点叫做角的顶点．
角的概念被推广后，便有了新的概念：
①我们通常把逆时针旋转的角称为正角，
②顺时针旋转的角称为负角；
③如果没有进行旋转，也视为形成了一个角，这个角叫做零角．
2. 终边相同的角
若 与 终边相同，则 ．
3. 象限角与轴线角
我们通过移动，让角的始边与 轴正半轴重合，让角的顶点与原点重合．这时，
角的终边落在第几象限，就称为第几象限角；
如果落在坐标轴上，就称为轴线角．
经典例题
1. 判断对错．
1. 终边相同的角大小一定相等．
2. 大小相等的角终边一定相同．
3. 锐角都是第一象限的角．
4. 小于 的角都是锐角．
5. 三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角．
6. 钝角比第三象限角小．
27. 第一象限角都是锐角．
【备注】（1）我们规定： 的角是锐角， 的角是锐角．
（2）轴线角不属于任何象限．
（3）终边相同的角，角度不一定相同；角度相同的角，终边一定相同．
【答案】错对对错错错错
【解析】1 ：错，终边相同的角大小不一定相等，故不正确．
2 ：对，大小相等终边必然相同．
3 ：对，锐角是 ~ 的角，处于第一象限，故正确．
4 ：错，小于 的角不都是锐角，例如负角不是锐角．故不正确．
5 ：错，当三角形为直角三角形时，直角终边在 轴正半轴属于轴线角，既不在第一象限，也不在
第二象限，故不正确．
6 ：错，钝角不一定比第三象限角小，例如 是钝角， 是第三象限，因此不正确．
7 ：错，第一象限不一定是锐角，例如 是第一象限角，但不是锐角，故不正确．
【标注】【知识点】终边相同的角的表示；任意角的表示
2. 已知 是第一象限的角，那么 是第几象限的角（ ）.
A. 第一象限的角 B. 第二象限的角
C. 第三象限的角 D. 第一或第二象限或 轴正半轴上
【备注】第一象限角： ，（ ）
第二象限角： ，（ ）
第三象限角： ，（ ）
第四象限角： ，（ ）
【答案】D
【解析】方法一：根据题意可知： ， ，所以 ， ；
所以 在第一或第二象限或 轴正半轴上．
故选 ．
方法二：将各个象限平分为两个部分，从第一象限开始依次标上 、 、 、 、 、 、 、 ，数字
代表了两倍角所处的区域；根据图像可知第一象限覆盖了数字 、 及 、 的公共边界区域，所以
倍角应该处于一、二象限和他们的公共边界 轴正半轴的部分．
故选 ．
3【标注】【知识点】α/n角所在象限的确定
二、 弧度制
1. 弧度的性质
定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 弧度的角．
2. 弧长与扇形公式
弧度与角度的换算： ， ， ．
弧长与扇形面积公式：①弧长公式： ；②扇形面积公式： ．
经典例题
3. 下列结论中，不正确的是（ ）．
A. ＂度＂与＂弧度＂是度量角的两种度量单位
B. 一度角是圆周的 ，一弧度的角是圆周的
C. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，度量结果与圆的半径有关
4D. 根据弧度定义， 一定等于
【备注】（1）“度”与“角度”是角的两种不同表示方法，类似于 和 的关系．
（2）“弧度”的度量结果与圆的半径无关．
【答案】C
【解析】＂度＂与＂弧度＂是度量角的两种度量单位，判断正确；
一度角是圆周的 ，一弧度的角是圆周的 ，满足两种角的度量定义，正确；
不论是用角度制还是用弧度制度量角，度量结果与圆的半径有关，不正确；
根据弧度定义， 一定等于 ，满足两种角的度量关系，正确．
【标注】【知识点】弧度制
4. 已知扇形的周长为 ，则扇形的最大面积是 ．
【备注】①弧长公式： ；②扇形面积公式： ．
【答案】
【解析】由题意， ，
∴ ，
∴当 时，扇形的面积最大为 ．
【标注】【知识点】弧长公式与扇形面积
【素养】数学运算
巩固练习
5. 若 ，则 的终边落在（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【标注】【知识点】弧度制
6. 某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为 的线段 ，并作等边三角
形 ，第一次画线：以点 为圆心、 为半径逆时针画圆弧，交线段 的延长线于点 ，第二次
5画线：以点 为圆心、 为半径逆时针画圆弧，交线段 的延长线于点 ；以此类推，得到的螺线
（如图所示），则（ ）．
A. 第二次画线的圆弧长度为
B. 前三次画线的圆弧总长度为
C. 在螺线与直线恰有 个交点（不含 点）时停止画线，此时螺线的总长度为
D. 在螺线与直线恰有 个交点（不含 点）时停止画线，此时螺线的总长度为
【答案】D
【解析】第一次画线：以点 为圆心， ，旋转 ，
划过的圆弧长为 ，
第二次画线：以点 为圆心， ，旋转 ，
划过的圆弧长为 ，
故 错误，交累计 次；
第三次画线：以点 为圆心， ，旋转 ，
划过的圆弧长为 ，
故 错误，交累计 次；
第四次画线：以点 为圆心， ，旋转 ，
划过的圆弧长为 ，
第五次画线：以点 为圆心， ，旋转 ，
划过的圆弧长为 ，交累计 次；
前五次累计画线 ，
第六次画线：以点 为圆心， ，旋转 ，
划过的圆弧长为 ，交累计 次，
累计画线 ，故 错误；
第七次画线：以点 为圆心， ，旋转 ，
划过的圆弧长为 ，
第八次画线：以点 为圆心， ，旋转 ，
6划过的圆弧长为 ，交累计 次；
第九次画线：以点 为圆心， ，旋转 ，
划过的圆弧长为 ，交累计 次，
累计画线 ，故 正确．
故选 ．
【标注】【知识点】弧长公式与扇形面积
三、 任意角的三角函数
1. 任意角三角函数的定义
在直角坐标系中，设 是一个任意角， 终边上任意一点 （除了原点）的坐标为 ， 它与原点的距
离为 ，那么：
①比值 叫做 的正弦，记作 ，即 ；
②比值 叫做 的余弦，记作 ，即 ；
③比值 叫做 的正切，记作 ，即 ；
经典例题
7. 已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
【备注】 在直角坐标系中，设 是一个任意角， 终边上任意一点 （除了原点）的坐标为 ， 它
与原点的距离为 ，那么：
①比值 叫做 的正弦，记作 ，即 ；
②比值 叫做 的余弦，记作 ，即 ；
③比值 叫做 的正切，记作 ，即 ；
7【答案】C
【解析】 ，即 ，
，
，
又 ， ，
角 的终边应在第三象限，
， ．
【标注】【知识点】计算任意角的三角函数值
巩固练习
8. 已知角 终边上有一点 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ ，
，
∴角 终边上有一点 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】计算任意角的三角函数值；利用诱导公式直接求值
2. 三角函数的符号问题
正弦值 对于第一、二象限为正 ，对于第三、四象限为负 ；
余弦值 对于第一、四象限为正 ，对于第二、三象限为负 ；
正切值 对于第一、三象限为正（ 同号），对于第二、四象限为负（ 异号）．
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
经典例题
9. 若 ，则（ ）．
8A. ， B. ，
C. ， D. ，
【备注】正弦值 对于第一、二象限为正 ，对于第三、四象限为负 ；
余弦值 对于第一、四象限为正 ，对于第二、三象限为负 ；
正切值 对于第一、三象限为正（ 同号），对于第二、四象限为负（ 异号）．
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
【答案】D
【解析】由题意得，
，则 ．
在第三象限，
所以 ， ．
故选择 ．
【标注】【知识点】判断各象限三角函数值的正负
3. 常用三角函数表
94. 三角函数线
单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆．
设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与 轴交点分别为 ， ，而与 轴的交点分别为
， ．由三角函数的定义可知，点 的坐标为 ，即 ．其中
， ．
有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向．具有方向的线段叫做有向
10线段．规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负．
三角函数线的定义：设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点
，过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延长线交与
点 ．我们就分别称有向线段 ， ， 为正弦线、余弦线、正切线．
经典例题
10. 已知 为锐角，利用三角函数线的有关知识证明： ．
【备注】当 时，角的终边始终在第一象限内，
根据三角函数线可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，
再根据弧长公式 ，
即图中黑色弧线的长度表示 ，
∵红线长度>弧线长度>蓝线长度
（严格证明需用到三角形面积和扇形面积的比较），
∴ ， ，
∴当 为锐角时， ．
【答案】证明见解析.
【解析】当 时，角的终边始终在第一象限内，
11根据三角函数线可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，
再根据弧长公式 ，
即图中黑色弧线的长度表示 ，
∵红线长度>弧线长度>蓝线长度
（严格证明需用到三角形面积和扇形面积的比较），
∴ ， ，
∴当 为锐角时， ．
【标注】【知识点】单位圆与三角函数线的运用；三角函数线
四、 同角三角函数基本关系式
【三角恒等式】：平方关系： ．商数关系： ．
1. 正弦、余弦、正切，知一求二
经典例题
11. 若 ，且 为第四象限角，则 的值等于( )
A. B. C. D.
【备注】【三角恒等式】：平方关系： ．商数关系： ．
【答案】D
【解析】解：因为 ，
12所以 ．
又因为 为第四象限角，所以 ，
于是 ．故选D．
【标注】【知识点】判断各象限三角函数值的正负
【知识点】同角三角函数的基本关系式的化简和求值
【知识点】同角三角函数的基本关系式
2.
经典例题
12. 设 ，且 ，则（ ）．
A. B. C. D.
【备注】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选 ．
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】计算任意角的三角函数值
【素养】数学运算
巩固练习
13. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
13【解析】 ，
∴ ．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式的化简和求值；同角三角函数的基本关系式
14. 若 ， ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，且 ，
所以
，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式的化简和求值；和差角公式化简求值综合运用
3. 齐次式的运用（ 的代换）
14经典例题
15. 已知 满足 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【备注】由题意， ，
∴
，
∴ ，
∵
．
故选 ．
【答案】D
【解析】由题意， ，
∴
，
∴ ，
∵
．
故选 ．
15【标注】【知识点】同角三角函数的基本关系式的化简和求值；二倍角的正弦
巩固练习
16. 已知 ，且 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】同角关系齐次式化简求值；二倍角的正切
五、 诱导公式
方法总结
16经典例题
17. 已知 ，则 ．
【备注】【核心考点】
寻找角度之间的关系： ．
【答案】
【解析】由题可知，
，
而
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用诱导公式配凑求值；二倍角的余弦
18. 若 ， 为锐角，且 ，则（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）正弦与余弦互化：
或 ．
（2）若 ，则 或 ．
若 ，则 或 ．
【答案】C
【解析】∵ 是锐角，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 或 ，
17∴ 或 （舍去）．
【标注】【知识点】诱导公式；利用诱导公式化简
六、 三角函数的图象与性质
1. 正弦函数的图象与性质
（1）图象：
（2）定义域： ．
（3）值域： ．
（4）单调性：增区间： （ ）；
减区间： （ ）．
（5）奇偶性：奇函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称轴 ；对称中心 ．
2. 余弦函数的图象与性质
（1）图象：
（2）定义域： ．
（3）值域： ．
（4）单调性：增区间： （ ）；
减区间： （ ）．
（5）奇偶性：偶函数．
（6）最小正周期： ．
18（7）对称性：对称轴 ；对称中心 ．
【注意事项】
由正弦曲线可知，函数 的值域为 ，
当 时， 取最大值 ；
当 时， 取最小值 ．
由余弦曲线可知，函数 的值域为 ，
当 时， 取最大值 ；
当 时， 取最小值 ．
利用 和 的值域和最值可求出由它们复合而成的函数的值域和最值．
经典例题
19. 函数 在 上的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）．
y
x
A. B.
C. D.
【备注】由函数图象可得，函数图象关于 轴对称，
可得 是偶函数，
由于 ，故 错误；
又因为 经过 ，
所以 ，与 选项 矛盾，故 错误；
若 ，
当 ， ，
所以 ，
故当 时，
即 时， 取得最小值 ，
与图中的最小值 互相矛盾，故 错误．
故选 ．
【答案】B
19【解析】由函数图象可得，函数图象关于 轴对称，
可得 是偶函数，
由于 ，故 错误；
又因为 经过点 ，
所以 ，与 选项 矛盾，故 错误；
若 ，
当 ， ，
所以 ，
故当 时，
即 时， 取得最小值 ，
与图中的最小值 互相矛盾，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
巩固练习
20. 关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数 ② 在区间 单调递增
③ 在 有 个零点 ④ 的最大值为
其中所有正确结论的编号是 ．
【答案】①④
【解析】 ，则函数 是偶函数，故①正确，
当 时， ， ，
则 为减函数，故②错误，
当 时， ，
由 得 得 或 ．
由 是偶函数，得在 上还有一个零点 ，即函数 在 上有 个零点，故③错
误，
20当 ， 时， 取得最大值 ，故④正确，
故正确的是①④．
【标注】【知识点】函数零点的概念；正弦型函数的图象与性质
3. 正切函数的图象与性质
（1）图象：
（2）定义域： ．
（3）值域： ．
（4）单调性：增区间： （ ）．
（5）奇偶性：奇函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称中心 ．
21经典例题
21. “ ”是“ ”成立的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【备注】
【易错点辨析】
①正切函数的最小正周期是 ，而正弦与余弦函数的最小正周期是 ．
②正切函数不仅所有的零点都是对称中心，而且所有渐近线与 轴的交点都是对称中心．
【答案】A
【解析】当 时， 成立，
当 时， 或 ，
故 是 成立的充分不必要条件．
故选 ．
【标注】【知识点】正切函数的图象和性质；充要条件与三角函数结合
【易错点辨析】
①正切函数的最小正周期是 ，而正弦与余弦函数的最小正周期是 ．
②正切函数不仅所有的零点都是对称中心，而且所有渐近线与 轴的交点都是对称中心．
4. 正弦型三角函数
（1）定义域： ．
（2）值域： ．
（3）最小正周期： ．
（4）单调性：
① ，
增区间： ；
减区间： ．
② ，
增区间： ；
减区间： ．
（5）对称性：对称轴 ；对称中心 ．
22经典例题
22. 已知函数 ，给出下列结论：
①函数 的最小正周期为
②函数 的一个对称中心为
③函数 的一条对称轴为
④函数 的图象向右平移 个单位后所得函数为偶函数
⑤函数 在区间 上是减函数
其中，所有正确结论的序号是 ．
【备注】（1）定义域： ．
（2）值域： ．
（3）最小正周期： ．
（4）单调性：
① ，
增区间： ；
减区间： ．
② ，
增区间： ；
减区间： ．
（5）对称性：对称轴 ；对称中心 ．
【答案】①③④
【解析】对于②当 时， ，∴ 不是一个对称中心，∴②不正确．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质；正弦型函数的图象与性质；单调性；对称性；奇偶
性
23. 下图是函数 的部分图象，则 （ ）．
y
OOO x
A. B. C. D.
【备注】①观察函数特点，确定函数周期 ，再利用 ，得到 ．
23②在找出函数最值，假设 在 处取得最大值，即 ，求出 即可．
【答案】CD
【解析】由图观察可知 ，
则 ，
∴ ．
又函数的图象过点 ，
∴ ，
由五点作图法可得： ，
解得： ，
∴可得函数解析式为： ．
故选： ．
【标注】【知识点】已知正弦型函数图象求参数值
巩固练习
24. 已知函数 ，则（ ）．
A. 的最小正周期为
B. 将 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，可得到 的图象
C. 在 上单调递增
D. 点 是 图象的一个对称中心
【答案】ACD
【解析】A 选项：对于函数 ，它的最小正周期为 ，
故 正确；
B 选项：将 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，
可得到 的图象，
故 错误；
C 选项：当 时， ， 单调递增，
故 正确；
D 选项：令 ，求得 ，
可得点 是 图象的一个对称中心，
故 正确；
24故选 A C D .
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换
25. 函数 ，则（ ）．
A. 函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位得到
B. 函数 的图象关于直线 轴对称
C. 函数 的图象关于点 中心对称
D. 函数 在 上为增函数
【答案】BCD
【解析】由题意，对于选项 ，函数 的图象向右平移 个单位，
可得到 ，
所以选项 错误；
对于选项 ， ，取到了最大值，
所以函数 的图象关于直线 轴对称，
所以选项 正确，
对于选项 ， ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，所以选项 正确；
对于选项 ，函数 在 上为增函数， 时，
，单调递增，
所以函数 在 上为增函数，
所以选项 正确；
综上，答案选 ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换
26. 若函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 ， ．
25【答案】 ;
【解析】由图像可知函数的一条对称轴为 ，
另一条对称轴为 ，
则 ，故 ，
故 ，
由上求得的对称轴知 ，
即 ，
∴ ．
又 ，∴ ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
七、 三角函数的图像变换
1. 平移变换
函数 的图像可以看做将函数 的图像上的所有的点向左（当 时）或向右
（当 时）平移 个单位而得到．
2. 伸缩变换
函数 （ 且 ）的图像可以看做是把 的图像上所有的点的横坐标缩短
为（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
3. 振幅变换
函数 （ 且 ）的图像可以看做是将 的图像上所有的点的纵坐标伸
长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到．
经典例题
27. 将函数 的图象向左平移 个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的 倍，得到
函数 的图象，则下列关于函数 的说法错误的是（ ）．
A. 最小正周期为 B. 图象关于直线 对称
C. 图象关于点 对称 D. 初相为
26【备注】对于正弦型三角函数： 常见概念：
是振幅， 是初像， 是周期， 是频率．
左右平移变换和伸缩变换只针对于 本身．
例如： 向右平移 个单位，得到 ．
【答案】C
【解析】将函数 的图象向左平移 个单位，
得到 的图象，
再把所有的点的横坐标伸长到原来的 倍，
得到 的图象，
A．① ，故 正确；
BC．③当 时，函数为最值，故图象关于 对称，故 正确， 错误．
D．②初相为 ，故 正确；
故选 ．
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质；正弦型函数的图象与性质；正余弦型、正切型函数
图象变换
28. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点（ ）．
A. 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
B. 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
【备注】正弦与余弦互化： 或 ．
【答案】D
【解析】据三角形函数图象性质，首先需将横坐标伸长到原来的 倍，得到 ，
再向左平移 个单位可得 ，
故本题正确答案为 ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换
巩固练习
2729. 已知函数 ，将 的图象上所有点向左平移 个单位，然后纵
坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的图象．若 为偶函数，且最小正周期为 ，
则（ ）．
A. 图象关于 对称 B. )在 单调递增
C. 在 有且仅有 个解 D. 在 有仅有 个极大值点
【答案】AC
【解析】函数 ，
将 的图象上所有点向左平移 个单位，然后纵坐标不变，可得 的图
象；
再把横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的图象．
∴ 的最小正周期为 ，则 ，又 为偶函数，
∴ ，
∴ ， ．
令 ，求得 ，故 正确；
在 上， ， 没有单调性，故 错误；
在 有且仅有 个解，
即 在 有且仅有 个解，
化简得： 在 有且仅有 个解，
令 ，解得 ，
又 ，可得 或 或 ，
故 正确；
在 上， ， 有极大值点 ， ，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换；正弦函数的图象和性质
30. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，且 的图象
相邻两条对称轴间的距离为 ，下列说法正确的是（ ）．
A.
B. 是 的一条对称轴
C.
当 时， 的值域为
28D. 在区间 上单调递增
【答案】BCD
【解析】A 选项：把 的图象向右平移 个长度单位后得
到函数 的图象，
∵ 的图象相邻两条对轴间的距离为 ，
∴ ，
故 ，故 错误；
B 选项：令 ，求得 ，为最大值，故 是 的一条对称轴，故 正确；
C 选项：当 时， ，故当 时， 取得最大值为 ，当
时， 取得最小值为
，故 正确；
D 选项：在区间 上， ，故 在区间 上单调递增，故 正确．
故选 B C D .
【标注】【知识点】求正弦型函数的单调区间；求正弦型函数的对称轴；求固定区间正弦型函数
值域
4. 取值范围
31. 已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数 的图象可看作是
由函数 的图象先向左平移 个单位得 的图象，
再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标不变得到的，
而函数 的一个减区间是 ，
所以要使函数 在 上是减函数，
需满足 解得 ．
【标注】【知识点】正弦型函数ω求最值问题
2932. 设函数 ，若对于任意实数 ， 在区间 上至少有 个零点，至
多有 个零点，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令 ， ，
令 ， ，
y
OOO t
对于任意实数 ，
在 上至少有 个零点，
所以区间长度 ，
在 上至多有 个零点，
所以区间长度 ，
所以 ，即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】正弦型函数ω求最值问题；正弦型函数与零点综合问题
33. 已知函数 ， ，若 在区间 内没有零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
．
时， ， ．
，
30．
此时 在 内有零点，
故当 时无零点，
故答案为： ．
【标注】【知识点】已知零点情况求参数的取值范围；函数零点的概念；正弦型函数的图象与性
质；正弦函数的图象和性质
34. 已知函数 ， ， 为 的零点， 为 图象的对称
轴，且 在 单调，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】由题意知，既 为零点，则将点代入得 ， ； 是最值点，
则，则代入得 ， ，两表达式作差得 为奇数；且既然在
上单调，则区间长度应小于等于半个周期，故 ，故可以一一验证：
①当 时，结合 ，代入到表达式中得 ，再验
证是否区间单调即可，将 代入会发现并不单调，舍去；
②当 时，结合 ，代入到表达式中得 ，再验证是
否区间单调即可，将 代入会发现 ，结合正弦函数图象知为调调
的，故可.
【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质
导图总结
3132出门测
35. 已知角 的终边过点 ，则 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由题意可得 ， ， ，
， ，
，
故选：B．
【标注】【知识点】计算任意角的三角函数值
36. 若函数 的部分图象如右图所示，则下说法正确的是（
）．
33A. ． B. 函数 的图象关于 对称．
C. 函数 的图象关于点 对称． D. 时， 的值域为 ．
【答案】ABD
【解析】由图象易知 ， ， ，
则 ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
当 时， ，
则函数 ，
令 ，
解得 ，
当 时， ，即函数 的图象关于 对称，
，
故函数 的图象不关于点 对称，
又∵当 时， ，
∴ 的值域为 ，
综上所述，选： ．
【标注】【知识点】已知正弦型函数图象求参数值；求正弦型函数的对称中心；求正弦型函数的
对称轴；求固定区间正弦型函数值域
37. 已知 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
34∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】二倍角公式化简求值综合运用；同角三角函数的基本关系式的化简和求值
38. 已知曲线 ： ， ： ，则下面结论正确的是（ ）．
A. 把曲线 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长
度，得到曲线
B. 把曲线 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位
长度，得到曲线
C. 把曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位
长度，得到曲线
D. 把曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位
长度，得到曲线
【答案】D
【解析】因为曲线 ： ，则将曲线 上各
点的横坐标缩短为原来的 倍，再向左平移 个单位长度得到曲线 ．
故选 ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换
39. 已知函数 ，函数 的图象由 图象向右平移 个单位长度得到，则下列关于
函数 的说法正确的是（ ）．
A. 的图象关于直线 对称 B. 的图象关于点 对称
C. 在 单调递增 D. 在 单调递减
35【答案】C
【解析】 ，
选项 ： ，故 不是 的最值点，故 的图象不关于 对称，故 错误；
选项 ： ，故 不在 的图象上，不可能是其对称中心，故 错误；
选项 ： ，当 ， ，故此时 ，故 正
确；
选项 ：当 ， ，此时 ，故 错误．
故选 ．
【标注】【知识点】求正弦型函数的对称中心；求正弦型函数的对称轴；求正弦型函数的单调区
间
40. 已知函数 的图象的一条对称轴为 ，则下列结论中正确的是( )
A. 是最小正周期为 的奇函数
B. 是 图象的一个对称中心
C. 在 上单调递增
D. 先将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移 个
单位长度，即可得到函数 的图象
【答案】BD
【解析】解：函数
，
又 图象的一条对称轴为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
所以 ，
所以 的最小正周期为 ，但不是奇函数， 错误；
，
所以 是 图象的一个对称中心， 正确；
当 时， ，
所以 在 上不是单调函数, 错误；
36将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，
得 的图象，
再把所得函数图象向左平移 个单位长度，
得 的图象，
即函数 的图象，所以 正确．
故选： ．
【标注】【知识点】正余弦型、正切型函数图象变换；求正弦型函数的单调区间；求正弦型函数
的周期；求正弦型函数的对称中心
37
