文档内容
三角函数的定义与图像和性质
一、 任意角的概念
1. 角的概念
角的定义：
基础定义：在平面内，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这两条射线叫做角的边，
这个公共端点叫做角的顶点．
推广定义：如果按照上述基础定义来定义角的话，则角的度数只能限制在 内．
因此在实际生活中，我们通常用另一种方式表示角：
一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角，
这条射线叫做角的始边，旋转到的位置所对的边叫做角的终边，而这个公共端点叫做角的顶点．
角的概念被推广后，便有了新的概念：
①我们通常把逆时针旋转的角称为正角，
②顺时针旋转的角称为负角；
③如果没有进行旋转，也视为形成了一个角，这个角叫做零角．
2. 终边相同的角
若 与 终边相同，则 ．
3. 象限角与轴线角
我们通过移动，让角的始边与 轴正半轴重合，让角的顶点与原点重合．这时，
角的终边落在第几象限，就称为第几象限角；
如果落在坐标轴上，就称为轴线角．
经典例题
1. 判断对错．
1. 终边相同的角大小一定相等．
2. 大小相等的角终边一定相同．
3. 锐角都是第一象限的角．
14. 小于 的角都是锐角．
5. 三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角．
6. 钝角比第三象限角小．
7. 第一象限角都是锐角．
2. 已知 是第一象限的角，那么 是第几象限的角（ ）.
A. 第一象限的角 B. 第二象限的角
C. 第三象限的角 D. 第一或第二象限或 轴正半轴上
二、 弧度制
1. 弧度的性质
定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 弧度的角．
2. 弧长与扇形公式
弧度与角度的换算： ， ， ．
弧长与扇形面积公式：①弧长公式： ；②扇形面积公式： ．
2经典例题
3. 下列结论中，不正确的是（ ）．
A. ＂度＂与＂弧度＂是度量角的两种度量单位
B. 一度角是圆周的 ，一弧度的角是圆周的
C. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，度量结果与圆的半径有关
D. 根据弧度定义， 一定等于
4. 已知扇形的周长为 ，则扇形的最大面积是 ．
巩固练习
5. 若 ，则 的终边落在（ ）．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为 的线段 ，并作等边三角
形 ，第一次画线：以点 为圆心、 为半径逆时针画圆弧，交线段 的延长线于点 ，第二次
画线：以点 为圆心、 为半径逆时针画圆弧，交线段 的延长线于点 ；以此类推，得到的螺线
（如图所示），则（ ）．
A. 第二次画线的圆弧长度为
B. 前三次画线的圆弧总长度为
C. 在螺线与直线恰有 个交点（不含 点）时停止画线，此时螺线的总长度为
D. 在螺线与直线恰有 个交点（不含 点）时停止画线，此时螺线的总长度为
三、 任意角的三角函数
1. 任意角三角函数的定义
在直角坐标系中，设 是一个任意角， 终边上任意一点 （除了原点）的坐标为 ， 它与原点的距
离为 ，那么：
3①比值 叫做 的正弦，记作 ，即 ；
②比值 叫做 的余弦，记作 ，即 ；
③比值 叫做 的正切，记作 ，即 ；
经典例题
7. 已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
巩固练习
8. 已知角 终边上有一点 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
2. 三角函数的符号问题
正弦值 对于第一、二象限为正 ，对于第三、四象限为负 ；
余弦值 对于第一、四象限为正 ，对于第二、三象限为负 ；
正切值 对于第一、三象限为正（ 同号），对于第二、四象限为负（ 异号）．
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
经典例题
9. 若 ，则（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 常用三角函数表
44. 三角函数线
单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆．
设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与 轴交点分别为 ， ，而与 轴的交点分别为
， ．由三角函数的定义可知，点 的坐标为 ，即 ．其中
， ．
有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向．具有方向的线段叫做有向
5线段．规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负．
三角函数线的定义：设任意角 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点
，过 作 轴的垂线，垂足为 ；过点 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延长线交与
点 ．我们就分别称有向线段 ， ， 为正弦线、余弦线、正切线．
经典例题
10. 已知 为锐角，利用三角函数线的有关知识证明： ．
四、 同角三角函数基本关系式
1. 正弦、余弦、正切，知一求二
经典例题
11. 若 ，且 为第四象限角，则 的值等于( )
A. B. C. D.
2.
经典例题
12. 设 ，且 ，则（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
13. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
14. 若 ， ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
63. 齐次式的运用（ 的代换）
经典例题
15. 已知 满足 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
16. 已知 ，且 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
五、 诱导公式
方法总结
经典例题
17. 已知 ，则 ．
18. 若 ， 为锐角，且 ，则（ ）．
A. B. C. D.
六、 三角函数的图象与性质
1. 正弦函数的图象与性质
（1）图象：
7（2）定义域： ．
（3）值域： ．
（4）单调性：增区间： （ ）；
减区间： （ ）．
（5）奇偶性：奇函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称轴 ；对称中心 ．
2. 余弦函数的图象与性质
（1）图象：
（2）定义域： ．
（3）值域： ．
（4）单调性：增区间： （ ）；
减区间： （ ）．
（5）奇偶性：偶函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称轴 ；对称中心 ．
经典例题
19. 函数 在 上的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）．
y
x
A. B.
8C. D.
巩固练习
20. 关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数 ② 在区间 单调递增
③ 在 有 个零点 ④ 的最大值为
其中所有正确结论的编号是 ．
3. 正切函数的图象与性质
（1）图象：
（2）定义域： ．
（3）值域： ．
（4）单调性：增区间： （ ）．
（5）奇偶性：奇函数．
（6）最小正周期： ．
（7）对称性：对称中心 ．
经典例题
21. “ ”是“ ”成立的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 正弦型三角函数
（1）定义域： ．
9（2）值域： ．
（3）最小正周期： ．
（4）单调性：
① ，
增区间： ；
减区间： ．
② ，
增区间： ；
减区间： ．
（5）对称性：对称轴 ；对称中心 ．
经典例题
22. 已知函数 ，给出下列结论：
①函数 的最小正周期为
②函数 的一个对称中心为
③函数 的一条对称轴为
④函数 的图象向右平移 个单位后所得函数为偶函数
⑤函数 在区间 上是减函数
其中，所有正确结论的序号是 ．
23. 下图是函数 的部分图象，则 （ ）．
y
OOO x
A. B. C. D.
巩固练习
24. 已知函数 ，则（ ）．
A. 的最小正周期为
B. 将 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，可得到 的图象
C. 在 上单调递增
D. 点 是 图象的一个对称中心
1025. 函数 ，则（ ）．
A. 函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位得到
B. 函数 的图象关于直线 轴对称
C. 函数 的图象关于点 中心对称
D. 函数 在 上为增函数
26. 若函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 ， ．
七、 三角函数的图像变换
1. 平移变换
函数 的图像可以看做将函数 的图像上的所有的点向左（当 时）或向右
（当 时）平移 个单位而得到．
2. 伸缩变换
函数 （ 且 ）的图像可以看做是把 的图像上所有的点的横坐标缩短
为（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
3. 振幅变换
函数 （ 且 ）的图像可以看做是将 的图像上所有的点的纵坐标伸
长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到．
经典例题
27. 将函数 的图象向左平移 个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的 倍，得到
函数 的图象，则下列关于函数 的说法错误的是（ ）．
A. 最小正周期为 B. 图象关于直线 对称
C. 图象关于点 对称 D. 初相为
1128. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点（ ）．
A. 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
B. 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
巩固练习
29. 已知函数 ，将 的图象上所有点向左平移 个单位，然后纵
坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的图象．若 为偶函数，且最小正周期为 ，
则（ ）．
A. 图象关于 对称 B. )在 单调递增
C. 在 有且仅有 个解 D. 在 有仅有 个极大值点
30. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，且 的图象
相邻两条对称轴间的距离为 ，下列说法正确的是（ ）．
A.
B. 是 的一条对称轴
C.
当 时， 的值域为
D. 在区间 上单调递增
4. 取值范围
31. 已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
32. 设函数 ，若对于任意实数 ， 在区间 上至少有 个零点，至
多有 个零点，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
33. 已知函数 ， ，若 在区间 内没有零点，则
的取值范围是 ．
34. 已知函数 ， ， 为 的零点， 为 图象的对称
轴，且 在 单调，则 的最大值为 ．
导图总结
1213出门测
35. 已知角 的终边过点 ，则 的值是( )
A. B. C. D.
36. 若函数 的部分图象如右图所示，则下说法正确的是（
）．
A. ． B. 函数 的图象关于 对称．
C. 函数 的图象关于点 对称． D. 时， 的值域为 ．
37. 已知 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
1438. 已知曲线 ： ， ： ，则下面结论正确的是（ ）．
A. 把曲线 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长
度，得到曲线
B. 把曲线 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位
长度，得到曲线
C. 把曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位
长度，得到曲线
D. 把曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位
长度，得到曲线
39. 已知函数 ，函数 的图象由 图象向右平移 个单位长度得到，则下列关于
函数 的说法正确的是（ ）．
A. 的图象关于直线 对称 B. 的图象关于点 对称
C. 在 单调递增 D. 在 单调递减
40. 已知函数 的图象的一条对称轴为 ，则下列结论中正确的是( )
A. 是最小正周期为 的奇函数
B. 是 图象的一个对称中心
C. 在 上单调递增
D. 先将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移 个
单位长度，即可得到函数 的图象
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