一元二次不等式的解法(教师版)_高中三年全科资料_高中_学而思高中数学（暑假衔接）面授升高..高二.高三_学而思面授班升高一暑期讲义+题集

一元二次不等式的解法 一、 课堂目标 1．掌握解不含参的一元二次不等式的两种解法． 2．掌握一元一次含参不等式的求解方法，了解一元二次含参不等式的求解方法． 3．体会数学中的分类讨论思想． 【备注】目标解读： 关联知识：因式分解、不等式． 本讲解读：本讲的重点是掌握解不含参的一元二次不等式的两种解法；难点是运用分类讨 论的思想解含参的一元二次不等式． 能力素养：本讲主要培养学生数学运算和逻辑推理的能力． 二、 知识讲解 形如 的不等式称为关于 的一元二次不等式． 1. 解不含参的一元二次不等式 因式分解法 当把一元二次不等式化为 的形式后，左边能分解成两个一次因式的乘积的形 式，则求出两根 （ ）．那么“ ”型的解为 或 (俗称两根之外)；“ ” 型的解为 (俗称两根之间)． 例题 1. 解不等式： ． 【答案】 或 ． 【解析】 由题意得 或 ， 1解得： 或 ． 综上， 或 ． 故答案为： 或 ． 【标注】【知识点】高次不等式 思路梳理 本题所考查的知识点： 1． __________________________________ 2． __________________________________ 3． __________________________________ 练习 2. 解不等式： ． 【答案】 或 ． 【解析】∵ ， ∴ 或 ， 解得： 或 ． 【标注】【知识点】高次不等式 例题 3. 解下列不等式： （ 1 ） ． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） 或 或 ． 【解析】（ 1 ） ， ∴ ． （ 2 ）如图： 2∴不等式的解为 或 或 ． 【标注】【知识点】高次不等式 思路梳理 本题所考查的知识点： 1． __________________________________ 2． __________________________________ 3． __________________________________ 练习 4. 计算： ． 【答案】 或 ． 【解析】 ， 故 或 ． 【标注】【知识点】二次项系数为±1的十字相乘 5. 解不等式： ． A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 ， 或 ， 解得原不等式的解集为 ． 【标注】【知识点】高次不等式 例题 6. 解不等式： ． 3【答案】 ． 【解析】 ， ， ， 或 ， 解得原不等式的解集为 ． 【标注】【知识点】高次不等式 思路梳理 本题所考查的知识点： 1． __________________________________ 2． __________________________________ 3． __________________________________ 练习 7. 解不等式： ． 【答案】 或 ． 【解析】原式化简、因式分解可得 ，即 ， ∴ 或 ，解得 或 ． 【标注】【知识点】高次不等式 8. 解不等式： ． 【答案】 或 ． 【解析】原不等式可化为 ，解之可得 或 ． 【标注】【知识点】高次不等式 图象法 4一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象． 1.两个不相等的实数根 ①如果图象与 轴有两个交点 ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根 (也 可由根的判别式 来判断) ． 那么(图1)： 或 2.两个相等的实数根 ②如果图象与 轴只有一个交点 ，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 (也可由根的判别式 来判断) ． 那么(图2)： 无解 3.无实数根 如果图象与 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式 来判断) ． 那么(图3)： 取一切实数 无解 5例题 9. 二次函数 的图象如图所示，则不等式 的解集是（ ）． A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】∵ ， ∴抛物线位于 轴下方的部分， ∴由图象可知： ． 【标注】【知识点】利用二次函数解不等式问题 思路梳理 本题所考查的知识点： 1． __________________________________ 2． __________________________________ 3． __________________________________ 10. 如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式 的解集为（ ）． 6A. B. C. 且 D. 或 【答案】D 【解析】∵由抛物线的对称轴为 以及与 轴的一个交点为 ， ， ∴根据抛物线的对称性可知与 轴另外一个交点为 ， ， ∴ 的解集即图象在 轴下方的部分所对应的 值， ∴ 或 【标注】【题型】图象与系数的关系 思路梳理 本题所考查的知识点： 1． __________________________________ 2． __________________________________ 3． __________________________________ 练习 11. 二次函数 的图象如图所示，当 时，自变量 的取值范围是（ ）． y 1 x –1O 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】由二次函数 的图象可知， 图象与 轴的交点坐标是 ， ， ∴当 时，即图象在 轴下方的部分，此时 的取值范围是： ， 故答案为： ． 【标注】【知识点】利用二次函数解不等式问题 7例题 12. 已知函数 的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使 成立的 的取值 范围是（ ）． 4 y 3 2 1 x –2 –1O 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】由图象知使 成立的 的取值范围是 或 ． 【标注】【知识点】利用二次函数解不等式问题 思路梳理 本题所考查的知识点： 1． __________________________________ 2． __________________________________ 3． __________________________________ 练习 13. 二次函数 （ ， ， ， 为常数）的图象如图， 有实数根 的条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 8【解析】一元二次方程 有实数根， 可以理解为 和 有交点， 可见， ， 故选： ． 【标注】【知识点】二次函数与一元二次方程的关系 2. 解一元一次含参不等式 一元一次不等式最终可以化为 的形式． (1) 当 时，不等式的解为： ； (2) 当 时，不等式的解为： ； (3) 当 时，不等式化为： ； ① 若 ，则不等式的解是全体实数； ② 若 ，则不等式无解． 例题 14. 若不等式 的解集是 ，则 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】由题意得 ， ． 【标注】【知识点】由不等式（组）的解集求参数的范围 练习 思路梳理 本题所考查的知识点： 1． __________________________________ 2． __________________________________ 3． __________________________________ 15. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是 ． 9【答案】 【解析】∵ 的解集为 ∴ ， ． 【标注】【知识点】由不等式（组）的解集求参数的范围 例题 16. 、 为参数，解不等式 ． 【答案】当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为任意数． 【解析】不等式化简为 ， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时， ，解集为任意数． 【标注】【知识点】分类讨论一元一次不等式解的情况 思路梳理 本题所考查的知识点： 1． __________________________________ 2． __________________________________ 3． __________________________________ 练习 17. 解关于 的不等式： ． 【答案】当 时， ；当 时， ， 为任意实数；当 时， ． 10【解析】当 时， 即 时， ； 当 时， 即 时， ， 为任意实数； 当 时， 即 时， ． 【标注】【知识点】分类讨论一元一次不等式解的情况 3. 解一元二次含参不等式 参数不在二次项系数上，无一次项型 如： ， （1）当 时， 恒成立； （2）当 时， 由 ，得 或 ； 由 ，得 ． 参数在二次项系数上，无一次项型 如： ， （1）当 时， 恒成立； （2）当 时， 恒成立； （3）当 时， 由 ，得 ； 由 ，得 或 ． 参数不在二次项系数上，能因式分解型 11如： ， （1）当 时， 恒成立； （2）当 时， 由 ，得 或 ； 由 ，得 ． （3）当 时， 由 ，得 或 ； 由 ，得 ． 参数在二次项系数上，能因式分解型 如： ， （1）当 时， 恒成立； （2）当 时， 由 ，得 或 ； 由 ，得 ． （3） ， 恒成立； （4） 时， 由 ，得 ； 由 ，得 或 ． （5） 时， 由 ，得 ； 由 ，得 或 ． 参数不在二次项系数上，不能因式分解型 如： ， （1）当 ，即 时， 恒成立． （2）当 ，即 或 时， 由 ，得 或 ； 由 ，得 ． 12参数在二次项系数上，不能因式分解型 如： ， （1）当 时， 由 ，得 ； 由 ，得 ． （2）当 时， （i）当 时，即 恒成立； （ii）当 时，即 由 ，得 或 ; 由 ，得 ． （3）当 时， 由 ，得 ． 由 ，得 或 ． 例题 18. 求关于 的不等式 的解． 【备注】【注意】老师在讲解的过程中，不要以集合或区间的形式表示取值范围，用无解表示空集. 【答案】当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ． 【解析】①若 时，不等式为 ，解得 ； ②若 ，不等式为 ． 当 时，不等式变为 ，又 ，故 ； 当 时，不等式变为 比较 与 ： （i）若 ，即 ，解得： 或 ； 13（ii）若 ，即 ，解得： 或 ； （iii）若 ，即 ，解得 ． 综上知：当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ． 【标注】【知识点】一元二次不等式；含字母系数的不等式；解不等式中的分类讨论 思路梳理 本题所考查的知识点： 1． __________________________________ 2． __________________________________ 3． __________________________________ 练习 19. 解关于 的不等式： ． 【备注】【注意】老师在讲解的过程中，不要以集合或区间的形式表示取值范围，用无解表示空集. 【答案】 时， ， 时， ， 时， ， 时， ， 时， ． 【解析】（ ）当 时， ， （ ）当 时， ， ， ， （ ）当 时，等价于 ， 14①当 时， ，解集为 ， ②当 时， ，解集为 ， ③当 时，解集为 ，， （ ）当 时，解集为 ， 综上： 时， ， 时， ， 时， ， 时， ， 时， ． 【标注】【知识点】一元二次不等式；解不等式中的分类讨论；含字母系数的不等式 三、 思维导图 你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！ 【备注】 四、 出门测 20. 如果关于 的不等式 的解集为 ，那么 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 15【答案】D 【解析】（ ）当 时，原不等式变形为： ． （ ）当 时，原不等式变形为： ． 【标注】【知识点】由不等式（组）的解集求参数的范围 21. 抛物线 如图，则关于 的不等式 的解集是（ ）． A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】由图可知，不等式 的解集 ． 故选C． 【标注】【知识点】利用二次函数解不等式问题 22. 已知不等式 的解集为 ． （ 1 ）求出 、 的值． （ 2 ）求 的解集． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） ． 【解析】（ 1 ）∵ 的解集为 ∴ ， 是方程 的两个根，且 分别代入得， ，解得 ． （ 2 ）不等式可化为 16解得： ． 【标注】【知识点】高次不等式 23. 解关于 的不等式： 【答案】① 即 ， ， ② 即 ， 为任意数， ③ 即 ， ． 【解析】 ， ① 即 ， ， ② 即 ， 为任意数， ③ 即 ， ． 【标注】【知识点】分类讨论一元一次不等式组解的情况 17