文档内容
一元二次方程根与系数的关系
一、 课堂目标
1．掌握因式分解的公式法、分组分解法、十字相乘法的求解技巧．
2．掌握一元二次方程的根的判断式及应用．
3．掌握一元二次方程的根与系数的关系及应用．
【备注】目标解读：
关联知识：乘法公式、立方和、立方差公式、一元二次方程．
本讲解读：本讲的重点是掌握因式分解的几种方法及一元二次方程根的判断式，难点是掌
握因式分解中的十字相乘法和韦达定理的应用．
能力素养：本讲主要培养学生数学运算和逻辑推理的能力．
二、 知识讲解
1. 因式分解
公式法
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
例题
1. 因式分解： 的结果为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
1【解析】
【标注】【知识点】利用平方差公式因式分解
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 下列能够利用平方差或完全平方式分解因式的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A 选项： 不能分解；
B 选项：
；
C 选项： ，不能分解；
D 选项： ，不能分解．
故选 B .
【标注】【知识点】利用完全平方公式因式分解
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
3. 因式分解 的结果是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】略．
2【标注】【知识点】利用平方差公式因式分解
分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项
式，如 既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处
理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．一般包括两种
形式：
（1）分组后能提取公因式
（2）分组后能直接运用公式
例题
4. 分解因式： ．
【答案】 ．
【解析】
．
【标注】【知识点】分组分解—四项式
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
5. 分解因式： ．
【答案】 ．
【解析】原式
．
3【标注】【知识点】拆添项法
例题
6. 将多项式 分解因式为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】原式
．
故选 .
【标注】【知识点】分组分解—四项式
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
7. 把 分解因式的结果是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
．
故选 ．
4【标注】【知识点】分组分解—四项式
十字相乘法
1. 型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．
因此，
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
2.一般二次三项式 型的因式分解
因为 ．
反过来，就得到：
我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成 ，这里按斜线交叉
相乘，再相加，就得到 ，如果它正好等于 的一次项系数 ，那么
就可以分解成 ，其中 位于上一行， 位于下一行．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
例题
8. 请用十字相乘法因式分解： （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ．
【标注】【知识点】二次项系数为±1的十字相乘
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
9. 分解因式： ．
5A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【标注】【知识点】二次项系数为±1的十字相乘
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
10. 对 分解因式正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ 可分解为 ， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】二次项系数为±1的十字相乘
例题
11. 分解因式： ．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式 ．
【标注】【知识点】二次项系数不为±1的十字相乘
6思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
12. 分解因式： ．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原式 ．
【标注】【知识点】二次项系数不为±1的十字相乘
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
13. 分解因式： ．
【答案】
【解析】
【标注】【知识点】二次项系数不为±1的十字相乘
2. 一元二次方程根的判断式
一元二次方程 ，用配方法将其变形为：
(1) 当 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
7(2) 当 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
(3) 当 时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 叫做一元二次方程
的根的判别式，表示为：
例题
14. 一元二次方程 的根的情况是（ ）．
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】D
【解析】∵ ， ， ，
∴ ，
∴原方程没有实数根．
故选： ．
【标注】【知识点】一元二次方程根的判别式
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
15. 若关于 的方程 有两个相等实根，则代数式 的值为 ．
【答案】
【解析】∵关于 的方程 有两个相等实根，
∴ ．
∴代数式 的值为 ．
【标注】【知识点】由一元二次方程根的情况确定参数
思路梳理
8本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
16. 已知关于 的方程 有两个实数根，那么 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵关于 的方程 有两个实数根，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】一元二次方程根的判别式；由一元二次方程根的情况确定参数
17. 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意得 ．
解得 ．
【标注】【知识点】一元二次方程根的判别式
3. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程 的两个根为：
所以： ，
9定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么：
【备注】【教师可见】一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常
把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是 ．
例题
18. 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 和 ，则 和 的值分别是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可由韦达定理得 ，则 ，
，则 ，
故选 ．
【标注】【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【能力】运算能力
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
19. 如果关于 的一元二次方程 的两根分别为 ， ，那么这个一元二次方程
是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方程两根分别为 ， ，
则 ， ，
∴ ， ，
10∴原方程为 ．
【标注】【知识点】一元二次方程根与系数的关系
例题
20. 已知 ， 是方程 的两实数根，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意得 ， ，
所以 ．
【标注】【知识点】一元二次方程根与系数的关系
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
21. 方程 的两个根为 、 ，则 的值等于 ．
【答案】
【解析】根据题意得 ， ，
∴ ．
【标注】【知识点】一元二次方程根与系数的关系
例题
22. 已知一元二次方程 的两根为 ， ，则 ．
11【答案】
【解析】∵一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ， ，
∴
．
故答案为： ．
【标注】【知识点】一元二次方程根与系数的关系
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
23. 若 、 是一元二次方程 的两根，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若 ， 是方程 的两根，则 ， ，所以
，故选 ．
【标注】【知识点】一元二次方程根与系数的关系
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
12四、 出门测
24. 分解因式 正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】原式 ．
故选 ．
【标注】【知识点】二次项系数为±1的十字相乘
25. 下列因式分解完全正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 、原式 ，错误；
、原式不能分解，错误；
、原式 ，错误；
、原式 ，正确．
【标注】【知识点】判断因式分解结果是否正确
26. 下列方程中，没有实数解的方程是（ ）．
13A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 选项， ， 选项无实数解；
选项， ， 选项有实数解；
选项， ， 选项有实数解；
选项， ， 选项有实数解．
故答案选 ．
【标注】【知识点】一元二次方程根的判别式
27. 已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则
．
【答案】 或
【解析】由韦达定理可得 ， ，
，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【标注】【知识点】一元二次方程根与系数的关系
14
