文档内容
一元二次方程根与系数的关系
一、 课堂目标
1．掌握因式分解的公式法、分组分解法、十字相乘法的求解技巧．
2．掌握一元二次方程的根的判断式及应用．
3．掌握一元二次方程的根与系数的关系及应用．
二、 知识讲解
1. 因式分解
公式法
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
例题
1. 因式分解： 的结果为（ ）．
A. B.
C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 下列能够利用平方差或完全平方式分解因式的是（ ）．
A. B. C. D.
1思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
3. 因式分解 的结果是（ ）．
A. B. C. D.
分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项
式，如 既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处
理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．一般包括两种
形式：
（1）分组后能提取公因式
（2）分组后能直接运用公式
例题
4. 分解因式： ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
5. 分解因式： ．
例题
6. 将多项式 分解因式为（ ）．
A. B.
C. D.
2思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
7. 把 分解因式的结果是（ ）．
A. B.
C. D.
十字相乘法
1. 型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．
因此，
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
2.一般二次三项式 型的因式分解
因为 ．
反过来，就得到：
我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成 ，这里按斜线交叉
相乘，再相加，就得到 ，如果它正好等于 的一次项系数 ，那么
就可以分解成 ，其中 位于上一行， 位于下一行．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
例题
8. 请用十字相乘法因式分解： （ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
33． __________________________________
9. 分解因式： ．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
10. 对 分解因式正确的是（ ）．
A. B. C. D.
例题
11. 分解因式： ．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
12. 分解因式： ．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
13. 分解因式： ．
42. 一元二次方程根的判断式
一元二次方程 ，用配方法将其变形为：
(1) 当 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
(2) 当 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：
(3) 当 时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 叫做一元二次方程
的根的判别式，表示为：
例题
14. 一元二次方程 的根的情况是（ ）．
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
15. 若关于 的方程 有两个相等实根，则代数式 的值为 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
16. 已知关于 的方程 有两个实数根，那么 的取值范围是 ．
17. 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
3. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
5一元二次方程 的两个根为：
所以： ，
定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么：
例题
18. 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 和 ，则 和 的值分别是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
19. 如果关于 的一元二次方程 的两根分别为 ， ，那么这个一元二次方程
是（ ）．
A. B. C. D.
例题
20. 已知 ， 是方程 的两实数根，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
621. 方程 的两个根为 、 ，则 的值等于 ．
例题
22. 已知一元二次方程 的两根为 ， ，则 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
23. 若 、 是一元二次方程 的两根，则 （ ）．
A. B. C. D.
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
24. 分解因式 正确的是（ ）．
A. B. C. D.
25. 下列因式分解完全正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
26. 下列方程中，没有实数解的方程是（ ）．
A. B. C. D.
27. 已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则
．
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