文档内容
考点 02 充要条件与量词
【命题解读】
充要条件.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体
丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何
线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．
关于存在性命题与全称命题，一般考查命题的否定
【基础知识回顾】
1、 充分条件与必要条件
（1）充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是
⇒
q的充分不必要条件 p q且q⇏p
p是q的必要不充分条件 p ⇒⇏q且q p
p是q的充要条件 p q
⇒
p是q的既不充分也不必要条件 p ⇔⇏q且q⇏p
（2）从集合的角度：
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A B可得，p是q的充分条件，请
写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系． ⊆
提示 若A B，则p是q的充分不必要条件；
若A B，则p是q的必要条件；
若A⊇ B，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
2、全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”❷在逻辑中通常叫作全称量词．
(2)全称命题：含有全称量词的命题．
(3)全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．
3、存在量词与特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”❷“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
(2)特称命题：含有存在量词的命题．
(3)特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x，使p(x)成立”的命题，用符号简记为∃x∈M，p(x)．
0 0 0 0
1、命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是( )
A．∃x∈R，x＋x≤0 B．∃x∈R，x＋x＜0
0 0 0 0
C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x＜0
【答案】B
【解析】由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．故选B.
2、“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】选B 若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值
也可能为－2.
3、 命题“∃x∈[0，1]，x2－1≥0”是________命题(选填“真”或“假”)．
【答案】 真
【解析】 取x＝1，则x2－1＝0，所以为真命题．
4、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知 ,则“ ”是“直线
平行”的____条件．
（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”中选择一个）.
【答案】充要
【解析】当两直线平行时 ,解得 ,但当 时,直线重合,故 .所以为充要条件.
5、(一题两空)已知p：|x|≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________；若p
是q的必要条件，则m的最小值为________．
【答案】1 4
【解析】由|x|≤m(m>0)，得－m≤x≤m.
若p是q的充分条件⇒⇒00}．
(1)若m＝1，则p是q的什么条件？
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解析】 (1)因为p：＝{x|－2≤x≤10}，
q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}＝{x|0≤x≤2}，
显然{x|0≤x≤2}{x|－2≤x≤10}，所以p是q的必要不充分条件．
(2)由(1)，知p：{x|－2≤x≤10}，因为p是q的充分不必要条件，
所以
解得m≥9，即m∈[9，＋∞)．
方法总结：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数
的不等式(或不等式组)求解．
考向三 含有量词的命题
例3、（1）写出下列命题的否定，并判断真假．
（1） ，都有 ；
（2） ， ；
（3） 至少有一个二次函数没有零点；
（4） 存在一个角 ，使得 ．
（2）下列四个命题：
① x∈(0，＋∞)， ；
∃
② x∈(0,1)， ；
∃
③ x∈(0，＋∞)，x> ；
∀
④ x∈，x< .
其中真命题的序号为________．
∀
【解析】（1）(1) 是全称命题． ： ，所以 是真命题．
(2) 是全称命题． ： ， ，如 时，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1，即(－1)3≤(－1)2，所以
是真命题．
(3) 是存在性命题． ：所有二次函数都有零点，如二次函数 . ，.因为 是真命题，所以 是假命题．
(4) 是存在性命题． ： ，设任意角 终边与单位圆的交点为 则
显然有 ，所以 是真命题．
（2） ②④ 对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有x>x成立，故①是假命题；
对于②，当x＝时，有 成立，故②是真命题；
对于③，当01>x，故③是假命题；
对于④，∀x∈，x<1< ，故④是真命题
变式1、设有一组圆C：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四个命题：
k
A．存在一条定直线与所有的圆均相切；
B．存在一条定直线与所有的圆均相交；
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交；
D．所有的圆均不经过原点．
其中为真命题的是（ ）．
【答案】：B D
【解析】：圆C：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4的圆心坐标为(k－1,3k)，则圆心在直线3x－y＋3＝0上，由k＝
k
1,2,3可作图观察出所有圆都与y轴相交，即(k－1)2＋(y－3k)2＝2k4关于y的方程有解；所有圆均不经过原
点，即关于k的方程(k－1)2＋9k2＝2k4，即2k4－10k2＋2k－1＝0，没有正整数解，因此四个命题中B D正确．
方法总结：
1、判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存
在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立．
2、全称(或存在性)命题的否定是将其全称(或存在)量词改为存在量词(或全称量词)，并把结论否定．
考向四 全称（存在）量词命题的综合应用
例4、已知函数 ， ，若对 ， ，使得 ，求
实数 的取值范围是．
【解析】：因为 在 上是增函数，所以 ；因为
在 上是减函数，所以 ．若命题成立，只要 ，则 ，所以 ．
变式1、若命题“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．
【答案】[－4,0]
【解析】“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题．即 Δ＝m2＋
4m≤0，
∴－4≤m≤0
变式2、若命题“∃x∈R，使得3x＋2ax＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是____________．
0 0
【答案】：[－，]
【解析】命题“∃x∈R，使得3x＋2ax＋1<0”是假命题，即“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝
0 0
4a2－12≤0，解得－≤a≤ .
变式3、 若命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (2，＋∞)
【解析】“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则其否定“对任意x∈R，ax2＋4x＋a>0”为真命题，
当a＝0,4x>0不恒成立，故不成立；当a≠0时，解得a>2，所以实数a的取值范围是(2，＋∞)．
方法总结：应用含有量词的命题求参数的策略：（1）对于全称量词命题 （或 ）
为真的问题实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求 的最大值（或最小值），即 （或
）．（2）对于存在量词命题 （或 ）为真的问题实质就是不等式能成
立问题，通常转化为求 的最小值（或最大值），即 （或 ）．
1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
∥
【解析】由面面平行的判定定理知： 内有两条相交直线都与 平行是 的充分条件；∥
由面面平行的性质定理知，若 ，则 内任意一条直线都与 平行，所以 内有两条相交直线都
∥
与 平行是 的必要条件.
故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.
故选B．
2、 (2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】|a－3b|＝|3a＋b| (a－3b)2＝(3a＋b)2 a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝0 a⊥b，因此|a－3⇔b|＝|3a＋b|是“a⊥⇔b”的充要条件.
3、.(2018·浙江⇔卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ⊂
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若m⊄α，n α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n α，不一定推出
m∥n，直线m与n可能异⊂面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件. ⊂
4、（2020届山东省泰安市高三上期末）“ ”是“ ， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
必要性：设 ，当 时， ，所以 ，即 ；
当 时， ，所以 ，即 .故 或 .
充分性：取 ，当 时， 成立.
答案选A5、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）将函数 的图象向右平
移 个单位，得到函数 的图象.则“ ”是“函数 为偶函数”的________条件，（从
“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）
【答案】充分不必要
【解析】由题意，将函数 的图象向右平移 个单位，可得 的
图像，
当 时，可得 ，显然 为偶函数，
所以“ ”是“函数 为偶函数”的充分条件；
若函数 为偶函数，则 ，
即 ，不能推出 ，
所以“ ”不是“函数 为偶函数”的必要条件，
因此“ ”是“函数 为偶函数”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
6、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知集合 ，
集合 ，若y∈A是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围为_____．【答案】
【解析】 集合 , ；
又 集合 ,而y∈A是 的必要不充分条件,
, ；在此处键入公式。
故实数 的取值范围为
故答案为：
7、若f (x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x∈[－1,2]，∃x∈[－1,2]，使g(x)＝f (x)，求则实数a的取值范
1 0 1 0
围．
【答案】
【解析】 由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x∈[－1,2]，使得g(x)＝f (x)，因此问
0 1 0
题等价于函数g(x)的值域是函数f (x)值域的子集．函数f (x)的值域是[－1,3]，因为a>0，所以函数g(x)的值
域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤.故a的取值范围是.
