文档内容
2026年菁优中考数学解密之锐角三角函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025•镇江）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方
向升高了（ ）
120 120
A． 米 B． 米
tan10° sin10°
C．120tan10°米 D．120sin10°米
2．（2025•台江区校级模拟）如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为 的位置OA 释放到OA处时，两次
1
位置的高度差PA＝h．则秋千绳索OA的长为（ ） α
h h h 1-cosα
A． B． C． D．
1-cosα 1+cosα 1-sinα h
3．（2025•南关区校级二模）如图，已知钟摆的摆长 OA为m米，当钟摆由OA位置摆动至OB位置时，
钟摆摆动的角度为40°，此时摆幅AB的长可以表示为（ ）米．
A．m•sin20° B．m•sin40° C．2m•cos20° D．2m•sin20°
2
4．（2025•江岸区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝60°，sinC= ，则AC的长为（ ）
3
第1页（共36页）A．2 B．3 C．2√3 D．3√3
5．（2025•凉州区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝67.5°，则tanB等于（ ）
1 √2-1
A． B． C．√2+1 D．√2-1
2 2
5
6．（2025•南岗区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB= ，则cosA的值为（ ）
13
5 12 5 12
A． B． C． D．
13 13 12 5
7．（2025•遵义模拟）如图，△ABC的顶点在正方形网格的交点上，则tanC的值为（ ）
1 1 √2
A．1 B． C． D．
3 2 2
8．（2025•南关区校级模拟）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人
机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为 ，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的
距离为（ ） α
50 50
A．50tan m B． m C．50sin m D． m
tanα sinα
α α
9．（2025•港北区三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 G的方向竖直向下，支持
力F 的方向与斜面垂直，摩擦力F 的方向与斜面平行．若斜面的坡角 ＝25°，则摩擦力F 与重力G
1 2 2
方向的夹角 的度数为（ ） α
β
第2页（共36页）A．155° B．125° C．115° D．65°
10．（2025•沅江市模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA=CB=2√5，分别以AC为圆心，以大于
1
AC长为半径画弧，两弧交于PQ两点，连接PQ交AC于点D，连接BD，E为AC延长线上一点，
2
√5
连接EB，∠EBD＝60°．M为BC上的点，连接EM，那么EM+ BM的最小值是（ ）
5
√5+1 2√3-3
A． B．20√3-30 C． D．5
2 2
二．填空题（共10小题）
11．（2025•宁夏一模）如图，热气球探测器显示，从热气球 A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测
得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是 30米，那么这栋楼的高度是
米（精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.7）
12．（2025•徐汇区模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么 sinC的值是
．
第3页（共36页）13．（2025•旌阳区二模）如图，在坡度为1：√3的斜坡CB上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳
光线与水平线成 45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影 BC 长为 20 米，则大树 AB 的高为
米．
14．（2025•南关区校级模拟）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为 20厘米，宽度为30厘米，那么
斜面AB的坡度为i＝1：m，则m＝ ．
15．（2025•湖北模拟）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算
AB的距离，他在点B处测得A处的俯角为30°，则AB＝ m．
16．（2025•武汉模拟）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物 CD的高度，在建筑物旁边
有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处
测得C处的仰角为30°．（AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物CD的高为
第4页（共36页）米．
17．（2025•东坡区校级模拟）如图，在坡度为1：√3的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树 AB，当太
阳光线与水平线成 45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影 BC 的长为 18m，则大树 AB 的高为
m．
18．（2025•盐山县校级模拟）如图是一个港湾，A是码头，OA，OD是笔直的海岸，B是海岛，D在点O
的正东方向上，点A在点O北偏东25°的方向上，点B在点O北偏东65°的方向上，OA＝3km，点O与
点B的距离为4km．现有一艘货船按计划从码头A出发后，先停靠OD海岸上任意点C处装货后再开
往海岛B，则按此计划，货船行驶的水路最短为 km．
19．（2025•安州区模拟）如图，小刚准备运用锐角三角函数的相关知识测量电线杆 AB的高度，他将测
角仪放在与电线杆的水平距离为9m的C处．若测角仪CD的高度为1.8m，在D处测得电线杆顶端A
的仰角为 36°，则电线杆 AB 的高度约为 m（计算结果精确到 0.1m，参考数据：
sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．
第5页（共36页）20．（2025•恩施市二模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿
正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处的距离是
海里．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
三．解答题（共5小题）
21．（2025•晋中二模）研学实践：在“传承红色文化，弘扬革命精神”的主题研学实践活动中，某中学
数学社团的师生们怀着崇敬的心情，专程前往山西省阳泉市狮脑山的百团大战纪念馆开展实地研学，
在参观结束后，同学们利用测量工具测量了百团大战纪念碑的相关数据．
数据采集：在阳光下，小华在纪念碑的影子顶端C处竖立一根标杆CD，CD的影长CE＝3m，标杆CD
＝2m，然后在纪念碑影子上的F处安装测倾器FG，测得纪念碑顶端A的仰角为42°，量得FG＝1m，
CF＝17m．
数据应用：已知图中各点在同一竖直平面内，点B，F，C，E在同一水平直线上．请根据上述数据，
计算百团大战纪念碑顶部点 A 到地面的距离 AB．（结果精确到 1m；参考数据：sin42°≈0.67，
cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
22．（2025•南雄市校级模拟）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱CD（与桌面MN
第6页（共36页）垂直）的高为6cm，支架BC长为20cm，支架AB长为25cm．若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC
与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离（精确到1cm）．
（参考数据：sin46°＝cos44°≈0.72，√3≈1.73）
23．（2025•石家庄模拟）2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观
众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保
持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB＝45°，胳膊AB＝40cm，OB＝
30cm，旋转的手绢近似圆形，半径OC＝25cm，OC与手臂OB保持垂直．肘关节B与手绢旋转点O之
间的水平宽度为12cm（即BD的长度）．
（1）求∠ABO的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm．在图2中，机器人与舞者之间
距离为100cm．问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后
一位）（参考数据：sin .4°≈0.92，cos .4°≈0.40，sin .6°≈0.40，√2≈1.414）
66 66 23
24．（2025•阳泉模拟）毛主席有诗云“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”．这是因为地球围绕地轴自
转时，除两个极点以外，每个在地球表面静止的物体相对于地轴来说都是运动的．地球赤道的全长为
40076千米（1千米＝2里），这就是诗句中“坐地日行八万里”所指的意思．小聪同学计划计算一下
我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米，于是他进行了如下数学实践，请阅读并回答问
第7页（共36页）题．
实践名称 坐地日行几万里
实践目的 计算我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米
方案设计 ①如图， O为地球截面示意图，SN为地轴，CD为赤道所在
平面，地球的平均半径约为6371千米，即OA＝OB＝6371km．
点B是北回⊙归线（北纬23.5°）上一点，即∠BOC＝23.5°；
②太阳光线可近似地看作平行线，即AE∥BF；
③l
1
，l
2
分别为A、B两点的地平面，即l
1
，l
2
为 O的切线，切
点分别是A、B；
⊙
④太阳高度角：太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，如
∠1，∠2；
⑤夏至口正午时，太阳光直射北回归线，即点O，B，F三点共
线，∠2＝90°；
⑥夏至日正午时分小聪在漠河某地（点A），他利用阳光下的
影长测量出当时的太阳高度角∠1＝63.5°．
… …
任务：
（1）求出点A的纬度．
（2）结合小聪的方案，计算漠河某地（点A）每日绕地轴旋转大约多少千米．（结果保留 ．参考数
据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） π
25．（2025•湖北三模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底
面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕
塑，其底座的底面为矩形
ABCD，其形状如图所示：
第8页（共36页）测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得
点C，B，E在同一条直线
上；
②过点E作GH⊥CE，并沿
EH方向前进到点F，用皮尺
测得EF的长为4米；
③在点F处用测角仪测得
∠CFG＝60.3°，∠BFG＝
45°，∠AFG＝21.8°；
④用计算器计算得：
sin60.3°≈0.87，
cos60.3°≈0.50，
tan60.3°≈1.75，
sin21.8°≈0.37，cos21.8°
°≈0.93，tan21.8°≈0.40．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段BC的长度；
（2）求底座的底面ABCD的面积．
第9页（共36页）2026年菁优中考数学解密之锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D D D A B B C B
一．选择题（共10小题）
1．（2025•镇江）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方
向升高了（ ）
120 120
A． 米 B． 米
tan10° sin10°
C．120tan10°米 D．120sin10°米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：由题意可知：在Rt△ABC中，AB＝120米，∠A＝10°，
BC
∵sinA= ，
AB
∴BC＝AB•sinA＝120sin10°（米），
故选：D．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．（2025•台江区校级模拟）如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为 的位置OA 释放到OA处时，两次
1
位置的高度差PA＝h．则秋千绳索OA的长为（ ） α
第10页（共36页）h h h 1-cosα
A． B． C． D．
1-cosα 1+cosα 1-sinα h
【考点】解直角三角形的应用．
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【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】由题意可知，OA＝OA ，再根据余弦的定义求解即可．
1
【解答】解：由题意可知，OA＝OA ，
1
OP
∵cos = ，
OA
1
α
OP
∴OA = ，
1 cosα
又∵OP＝OA﹣PA＝OA ﹣PA＝OA ﹣h，
1 1
OA -h
∴OA❑ = 1 ，
1 cosα
h
∴OA＝OA = ，
1 1-cosα
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟记三角形函数的定义是解题的关键．
3．（2025•南关区校级二模）如图，已知钟摆的摆长 OA为m米，当钟摆由OA位置摆动至OB位置时，
钟摆摆动的角度为40°，此时摆幅AB的长可以表示为（ ）米．
A．m•sin20° B．m•sin40° C．2m•cos20° D．2m•sin20°
【考点】解直角三角形的应用．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
第11页（共36页）【答案】D
1 1
【分析】过点O作 OD⊥AB于点D．因为OA＝OB，推出AD= AB，∠AOD= ∠AOB=20°．
2 2
AD
在 Rt△AOD 中，sin∠AOD= ，推出 AD＝OA•sin∠AOD＝m•sin20°（米）．则 AB＝2AD＝
OA
2m•sin20°（米）．
【解答】解：过点O作 OD⊥AB于点D．
∵OA＝OB，
1 1
∴AD= AB，∠AOD= ∠AOB=20°．
2 2
AD
在Rt△AOD中，sin∠AOD= ，
OA
∴AD＝OA•sin∠AOD＝m•sin20°（米）．
∴AB＝2AD＝2m•sin20°（米）．
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识．
2
4．（2025•江岸区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝60°，sinC= ，则AC的长为（ ）
3
A．2 B．3 C．2√3 D．3√3
【考点】解直角三角形．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】过点A作BC的垂线，先利用∠B的正弦，求出垂线段的长，再结合∠C的正弦即可解决问题．
第12页（共36页）【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
AM
sinB= ．
AB
∵∠B＝60°，AB＝4，
AM √3
∴ = ，
4 2
则AM=2√3．
在Rt△ACM中，
AM
sinC= ，
AC
2√3 2
∴ = ，
AC 3
∴AC=3√3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解
题的关键．
5．（2025•凉州区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝67.5°，则tanB等于（ ）
1 √2-1
A． B． C．√2+1 D．√2-1
2 2
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
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【专题】推理能力．
【答案】D
【分析】先求出∠B＝22.5°，在BC上取点D，使得AD＝BD，得到∠B＝∠BAD＝22.5°，利用三角形
外角的性质得到∠ADC＝45°，证明△ACD是等腰直角三角形，设AC＝CD＝x，求出BD=AD=√2x，
第13页（共36页）则BC=CD+BD=(1+√2)x，然后根据正切的定义求解即可．
【解答】解：在BC上取点D，使得AD＝BD，
∵∠C＝90°，∠A＝67.5°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝22.5°+22.5°＝45°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
设AC＝CD＝x，
∴BD=AD=√2x，
∴BC=CD+BD=(1+√2)x，
AC x
∴tanB= = =√2-1．
BC (1+√2)x
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题
的关键．
5
6．（2025•南岗区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB= ，则cosA的值为（ ）
13
5 12 5 12
A． B． C． D．
13 13 12 5
【考点】互余两角三角函数的关系．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据正弦和余弦的定义即可得出答案．
AC 5
【解答】解：∵∠C＝90°，sinB= = ，
AB 13
AC 5
∴cosA= = ，
AB 13
第14页（共36页）5
故cosA的值为 ．
13
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，理解和掌握三角函数的定义是解题的关键．
7．（2025•遵义模拟）如图，△ABC的顶点在正方形网格的交点上，则tanC的值为（ ）
1 1 √2
A．1 B． C． D．
3 2 2
【考点】解直角三角形．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝6，
AD 2 1
∴tanC= = = ，
CD 6 3
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．（2025•南关区校级模拟）如图．点A是地平面上的一点，淇淇在点A的正上方放飞无人机，他将无人
机升高至50m（AC＝50m），此时测得点B的俯角为 ，点A，B，C在同一平面内，则点A，B间的
距离为（ ） α
50 50
A．50tan m B． m C．50sin m D． m
tanα sinα
α α
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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第15页（共36页）【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】在Rt△ABC中，根据正切的定义求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝ ，AC＝50m，
αAC 50
由三角函数可得：AB= = m．
tanα tanα
故选：B．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，关键是根据正切的定义求解．
9．（2025•港北区三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 G的方向竖直向下，支持
力F 的方向与斜面垂直，摩擦力F 的方向与斜面平行．若斜面的坡角 ＝25°，则摩擦力F 与重力G
1 2 2
方向的夹角 的度数为（ ） α
β
A．155° B．125° C．115° D．65°
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意结合图形可知 是重力G与斜面形成的三角形的外角，从而可求得 的度数．
【解答】解：∵重力G的方向竖直β 向下， β
∴重力G与水平方向夹角为90°，
由题意可得：
∴ ＝∠1＝ +90°＝115°，
β α
第16页（共36页）故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，正确进行计算是解题关键．
10．（2025•沅江市模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA=CB=2√5，分别以AC为圆心，以大于
1
AC长为半径画弧，两弧交于PQ两点，连接PQ交AC于点D，连接BD，E为AC延长线上一点，
2
√5
连接EB，∠EBD＝60°．M为BC上的点，连接EM，那么EM+ BM的最小值是（ ）
5
√5+1 2√3-3
A． B．20√3-30 C． D．5
2 2
【考点】解直角三角形；垂线段最短；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
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【专题】数形结合；运算能力．
【答案】B
√5 √5
【分析】过点M作MF⊥DB，可得FM= BM，则可得EM+ BM的最小值为点E到BD的垂线
5 5
段的长度，根据所给条件分别表示出EF的长度，列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点M作MF⊥DB，
，
由题意可得QD为AC的垂直平分线，
∴DC=√5，
∴BD=√DC2+CB2=5，
第17页（共36页）CD √5
∴sin∠CBD= = ，
BD 5
FM √5
∴ =sin∠CBD= ，
BM 5
√5
∴FM= BM，
5
√5
∴EM+ BM=EM+FM，
5
√5
∴当E，M，F三点共线时，EM+ BM最小，为点E到BD的垂线段的长度，
5
如图，
，
设BF＝x，则DF＝5﹣x，
∵∠EBF＝60°，
∴EF=BF⋅tan60°=√3x，
EF BC
∵ =tan∠CDB= =2，
DF CD
∴EF＝10﹣2x，
∴√3x=10-2x，
解得：x=20-10√3，
∴EF=20√3-30，
故选：B．
√5
【点评】本题考查了解直角三角形的相关知识．判断出EM+ BM的最小值是点E到BD的垂线段
5
的长度是解决本题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025•宁夏一模）如图，热气球探测器显示，从热气球 A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测
得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 73. 5
米（精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.7）
第18页（共36页）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝30米，在Rt△ADB中和Rt△ACD中，根据锐角三角函数
中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得，∠CAD＝37°，∠BAD＝60°，AD＝30米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
CD
在Rt△ADC中，tan∠CAD= ，
AD
∴CD＝AD•tan37°≈30×0.75＝22.5（米），
BD
在Rt△ADB中，tan∠BAD= ，
AD
∴BD＝AD•tan60°＝30×√3=30√3，
∴BC＝BD+CD＝22.5+30√3≈73.5（米），
即这栋楼的高度BC是73.5米．
故答案为：73.5．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明
确题意，利用锐角三角函数解答．
12．（2025•徐汇区模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么 sinC的值是
9√10
．
50
第19页（共36页）【考点】解直角三角形．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
9√10
【答案】 ．
50
【分析】过点A作BC的垂线，结合面积法及正弦的定义即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
令小正方形网格的边长为a，
则由勾股定理得，
BC=√(3a) 2+(4a) 2=5a，
AC=√a2+(3a) 2=√10a．
由面积法可知，
1 1
×5a×AM= ×3a×3a，
2 2
9
所以AM= a．
5
在Rt△ACM中，
9
a
sinC AM 5 9√10．
= = =
AC √10a 50
9√10
故答案为： ．
50
【点评】本题主要考查了解直角三角形，巧用面积法就熟知正弦的定义是解题的关键．
第20页（共36页）13．（2025•旌阳区二模）如图，在坡度为1：√3的斜坡CB上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳
光线与水平线成 45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影 BC 长为 20 米，则大树 AB 的高为 （
10√3-10） 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行投影．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（10√3-10）．
【分析】过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，根据题意可得：∠ACD＝45°，再根据已知易得在
BD √3
Rt△CBD中，tan∠BCD= = ，从而可得∠BCD＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性质求
CD 3
出BD和CD的长，最后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用线段的和差
关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
由题意得：∠ACD＝45°，
∵斜坡CB的坡度为1：√3，
BD 1 √3
∴ = = ，
CD √3 3
BD √3
在Rt△CBD中，tan∠BCD= = ，
CD 3
∴∠BCD＝30°，
第21页（共36页）∵BC＝20米，
1
∴BD= BC＝10（米），CD=√3BD＝10√3（米），
2
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD•tan45°＝10√3（米），
∴AB＝AD﹣BD＝（10√3-10）米，
故答案为：（10√3-10）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行投影，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．（2025•南关区校级模拟）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为 20厘米，宽度为30厘米，那么
3
斜面AB的坡度为i＝1：m，则m＝ ．
2
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
3
【答案】 ．
2
【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．
【解答】解：∵某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，
20 2
∴tan∠B= = ，
30 3
∴斜面AB的坡度为2：3＝1：m，
3
∴m= ，
2
3
故答案为： ．
2
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽
度l的比是解题的关键．
15．（2025•湖北模拟）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算
AB的距离，他在点B处测得A处的俯角为30°，则AB＝ 10 0 m．
第22页（共36页）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据由等高线可知A、B两地的高度差为50米，然后点B处测得A处的俯角为30°求值即可．
【解答】解：作示意图如下：
由题意知：A、B两地的实际高度差为AH：550﹣500＝50（m），∠B＝30°，∠AHB＝90°，
AH 50
∴sinB= ，即sin30°= ，
AB AB
解得：AB＝100，
故答案为：100．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是根据题意，作出直
角三角形解决问题．
16．（2025•武汉模拟）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物 CD的高度，在建筑物旁边
有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处
测得C处的仰角为30°．（AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物 CD的高为
15 米．
第23页（共36页）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】15．
【分析】作AE⊥CD于点E，在Rt△BCD中，用CD表示BD，在Rt△ACE中，用CD表示AE，再利用
AE＝BD列方程即可求出CD．
【解答】解：如图，作AE⊥CD于点E，
四边形ABDE是矩形DE＝AB＝10米，AE＝BD，
CD √3
在Rt△BCD中，BD= = CD，
tan60° 3
CE
在Rt△ACE中，AE= =√3（CD﹣10），
tan30°
√3
∴√3（CD﹣10）= CD，
3
解得CD＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．（2025•东坡区校级模拟）如图，在坡度为1：√3的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树 AB，当太
阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC的长为18m，则大树AB的高为 （ 9√3-
9 ） m．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行投影．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
第24页（共36页）【答案】见试题解答内容
【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系计算AB、BD的长即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，则∠ACD＝45°，
1 √3
∵斜坡BC的坡比为1：√3，即tan∠BCD= = ，
√3 3
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝18m，
√3 1
∴CD= ×18＝9√3（m），BD= BC＝9（m），
2 2
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD＝9√3m，
∴AB＝AD﹣BD
＝（9√3-9）m，
故答案为：（9√3-9）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作垂线
构造直角三角形是解决问题的关键．
18．（2025•盐山县校级模拟）如图是一个港湾，A是码头，OA，OD是笔直的海岸，B是海岛，D在点O
的正东方向上，点A在点O北偏东25°的方向上，点B在点O北偏东65°的方向上，OA＝3km，点O与
点B的距离为4km．现有一艘货船按计划从码头A出发后，先停靠OD海岸上任意点C处装货后再开
往海岛B，则按此计划，货船行驶的水路最短为 5 km．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；线段的性质：两点之间线段最短．
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第25页（共36页）【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】作点A关于直线OD的对称点A′，连接AA′，OA′，由题意得到当A′、C、B三点共线时，路线
最短，即可得到答案．
【解答】解：作点A关于直线OD的对称点A′，连接AA′，OA′，连接A′B交直线OD于点C，连接
AC，
∴OA＝OA′，
则AC＝A′C，∠AOD＝∠A′OD，
∴A′C+BC≥A′B，
即AC+BC≥A′B，
仅当A′、C、B三点共线时，路线最短，
∵∠AOD＝90°﹣25°＝65°，
∴∠A′OD＝65°，
∠BOD＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BOA′＝65°+25°＝90°，
则OA′＝OA＝3km，OB＝4km，
∴A'B=√OA'2+OB2=5km．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握线段最短来解题是解题的关键．
19．（2025•安州区模拟）如图，小刚准备运用锐角三角函数的相关知识测量电线杆 AB的高度，他将测
角仪放在与电线杆的水平距离为9m的C处．若测角仪CD的高度为1.8m，在D处测得电线杆顶端A
的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为 8.4 m（计算结果精确到0.1m，参考数据：sin36°≈0.59，
cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．
第26页（共36页）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】8.4．
【分析】作DE⊥AB于点E，推出四边形BCDE是矩形，得到BE＝CD＝1.8m，DE＝BC＝9m，∠AED
AE
＝90°，继而得到 tan∠ADE= ≈0.73，求出 AE＝9×0.73＝6.57m，得到 AB＝AE+BE＝
DE
8.37≈8.4m，即可得到答案．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝1.8m，DE＝BC＝9m，∠AED＝90°，
∵∠ADE＝36°，
AE
由三角函数可知，tan∠ADE= ≈0.73，
DE
∴AE＝DE•tan∠ADE＝9×0.73＝6.57m，
∴AB＝AE+BE＝6.57+1.8＝8.37≈8.4（m），
故答案为：8.4．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣俯角仰角问题，正确添加辅助线是解题的关键．
20．（2025•恩施市二模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿
正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处的距离是
140 海里．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
第27页（共36页）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】140．
【分析】如图：过 P 作 PC⊥AB 于 C，在 Rt△APC 中解直角三角形可得 PC＝60、AC＝80，再在
Rt△PBC中可得BC＝PC＝60，然后根据线段的和差即可解答．
【解答】解：如图：过P作PC⊥AB于C，
在Rt△APC中，∠A＝37°，AP＝100海里，
∴P C＝A P•sin A≈100×0.6＝60（海里），AC＝AP•cos37°≈100×0.8＝80（海里），
在Rt△PBC中，∠B＝45°，
∴BC＝PC＝60海里，
∴AB＝AC+BC＝80+60＝140（海里）．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．正确作出辅助线构造直角三角形成为解
题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•晋中二模）研学实践：在“传承红色文化，弘扬革命精神”的主题研学实践活动中，某中学
数学社团的师生们怀着崇敬的心情，专程前往山西省阳泉市狮脑山的百团大战纪念馆开展实地研学，
在参观结束后，同学们利用测量工具测量了百团大战纪念碑的相关数据．
数据采集：在阳光下，小华在纪念碑的影子顶端C处竖立一根标杆CD，CD的影长CE＝3m，标杆CD
第28页（共36页）＝2m，然后在纪念碑影子上的F处安装测倾器FG，测得纪念碑顶端A的仰角为42°，量得FG＝1m，
CF＝17m．
数据应用：已知图中各点在同一竖直平面内，点B，F，C，E在同一水平直线上．请根据上述数据，
计算百团大战纪念碑顶部点 A 到地面的距离 AB．（结果精确到 1m；参考数据：sin42°≈0.67，
cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；平行投影；相似三角形的判定与性质．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】点A到地面的距离AB约为41m．
【分析】过点 G 作 GH⊥AB 于点 H，根据矩形的性质得 FB＝GH、BH＝FG＝1，利用
AH AB BC
tan42°= ≈0.9，设AH＝9x、GH＝10x，先证得△ABC∽△DCE，可得 = ，把各个值代入
GH DC CE
9x+1 10x+17
得 = ，解方程，通过AB＝9x+1即可求解．
2 3
【解答】解：过点G作GH⊥AB于点H，
由题意得：四边形GFBH是矩形，
∴FB＝GH，BH＝FG＝1．
在Rt△AGH，∠AHG＝90°，∠AGH＝42°，
AH
∴tan42°= ≈0.9，
GH
AH 9
∴ = ，
GH 10
设AH＝9xm，GH＝10xm，
第29页（共36页）∴FB＝GH＝10xm，AB＝AH+BH＝（9x+1）m，BC＝FB+CF＝（10x+17）m，
由题意得：AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEC，
∵AB⊥BC，DC⊥CE，
∴∠ABC＝∠DCE＝90°．
∴△ABC∽△DCE，
AB BC
∴ = ，
DC CE
9x+1 10x+17
∴ = ，
2 3
∴解得：x≈4.4．
∴AB＝9x+1＝9×4.4+1≈41（m）．
答：点A到地面的距离AB约为41m．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，解一元一次方程，
熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
22．（2025•南雄市校级模拟）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱CD（与桌面MN
垂直）的高为6cm，支架BC长为20cm，支架AB长为25cm．若支架AB，BC的夹角为106°，支架BC
与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MN的距离（精确到1cm）．
（参考数据：sin46°＝cos44°≈0.72，√3≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，过点A作AH⊥MN于点H，过点B作BK⊥AH于点K，延长DC交BK于点J．解直角三
角形求出AK，JC可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥MN于点H，过点B作BK⊥AH于点K，延长DC交BK于点J．
第30页（共36页）∵∠CDH＝∠KHD＝∠JKH＝90°，
∴四边形DHKJ是矩形，
∴DJ＝KH，∠DJK＝∠BJC＝90°，
∵∠BCD＝150°，
∴∠BCJ＝30°，∠CBJ＝60°，
∵∠ABC＝106°，
∴∠ABK＝46°，
√3
∴CJ＝BC•cos30°＝20× =10√3≈17.3（cm），
2
AK＝AB•sin46°＝25×0.72＝18（cm），
∴AH＝AK+KH＝AK+JC+CD＝18+17.3+6≈41（cm），
∴台灯的旋钮A到桌面MN的距离约为41cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问
题．
23．（2025•石家庄模拟）2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观
众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保
持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角∠NAB＝45°，胳膊AB＝40cm，OB＝
30cm，旋转的手绢近似圆形，半径OC＝25cm，OC与手臂OB保持垂直．肘关节B与手绢旋转点O之
间的水平宽度为12cm（即BD的长度）．
（1）求∠ABO的度数；
（2）机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为30～40cm．在图2中，机器人与舞者之间
距离为100cm．问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后
一位）（参考数据：sin .4°≈0.92，cos .4°≈0.40，sin .6°≈0.40，√2≈1.414）
66 66 23
第31页（共36页）【考点】解直角三角形的应用．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）68.6°；
（2）在规定范围内，理由见解析．
【分析】（1）由题意得∠ABN＝45°，再根据锐角三角函数求出∠OBD即可求解；
（2）过点C作CE⊥OD于E，解Rt△OEC和Rt△OEC求出CE、BN的长，进而求出手绢端点C与舞
者距离即可判断求解．
【解答】解：（1）∵∠ANB＝90°，∠NAB＝45°，
∴∠ABN＝45°，
BD 12
∴cos∠OBD= = =0.4，
OB 30
∴∠OBD＝66.4°，
∴∠ABO＝180°﹣45°﹣66.4°＝68.6°；
（2）在规定范围内，理
过点C作CE⊥OD于E，则∠OEC＝90°，
∵∠BOC＝90°，∠OBD＝66.4°，
∴∠BOD＝90°﹣∠OBD＝90°﹣66.4°＝23.6°
∴∠COE＝90°﹣∠BOD＝90°﹣23.6°＝66.4°，
∴CE＝OC•sin∠COE≈25×0.92＝23cm，
第32页（共36页）∵∠NAB＝45°，AB＝40cm，
√2
∴BN=AB⋅sin∠NAB=40× ≈28.28cm，
2
∴此时手绢端点C与舞者距离为100﹣（28.28+12+23）≈36.7cm，
∵安全距离范围为30∼40cm，
∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（2025•阳泉模拟）毛主席有诗云“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”．这是因为地球围绕地轴自
转时，除两个极点以外，每个在地球表面静止的物体相对于地轴来说都是运动的．地球赤道的全长为
40076千米（1千米＝2里），这就是诗句中“坐地日行八万里”所指的意思．小聪同学计划计算一下
我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米，于是他进行了如下数学实践，请阅读并回答问
题．
实践名称 坐地日行几万里
实践目的 计算我国最北方的城市漠河每日绕地轴旋转大约多少千米
方案设计 ①如图， O为地球截面示意图，SN为地轴，CD为赤道所在
平面，地球的平均半径约为6371千米，即OA＝OB＝6371km．
点B是北回⊙归线（北纬23.5°）上一点，即∠BOC＝23.5°；
②太阳光线可近似地看作平行线，即AE∥BF；
③l
1
，l
2
分别为A、B两点的地平面，即l
1
，l
2
为 O的切线，切
点分别是A、B；
⊙
④太阳高度角：太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，如
∠1，∠2；
⑤夏至口正午时，太阳光直射北回归线，即点O，B，F三点共
线，∠2＝90°；
⑥夏至日正午时分小聪在漠河某地（点A），他利用阳光下的
影长测量出当时的太阳高度角∠1＝63.5°．
… …
任务：
第33页（共36页）（1）求出点A的纬度．
（2）结合小聪的方案，计算漠河某地（点A）每日绕地轴旋转大约多少千米．（结果保留 ．参考数
据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） π
【考点】解直角三角形的应用；平行线的性质；切线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力；应
用意识．
【答案】（1）北纬50°；
（2）大约8154.88 千米．
【分析】（1）利π用平行线的性质得出∠OAE+∠AOB＝180°，再根据切线的性质得到 OA⊥l
1
，得出
∠OAE＝153.5°，进而得出∠AOC的度数，即可得出答案；
（2）过点A作AG⊥SN于点G，在Rt△AOG中利用正弦的定义求出AG的长，再利用圆的周长公式即
可求解．
【解答】（1）解：∵AE∥BF，点O，B，F三点共线，
∴AE∥OF，
∴∠OAE+∠AOB＝180°，
∵l 为 O的切线，
1
∴OA⊥⊙l
1
，
∵∠1＝63.5°，
∴∠OAE＝90°+∠1＝153.5°，
∴∠AOF＝180°﹣153.5°＝26.5°，
∴∠AOC＝∠AOF+∠BOC＝26.5°+23.5°＝50°，
∴点A的纬度为北纬50°．
（2）解：如图，过点A作AG⊥SN于点G，则∠AGO＝90°，
∵NS⊥DC，∠AOC＝50°，
第34页（共36页）∴∠AOG＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，
在Rt△AOG中，
AG
∵sin∠AOG= ，
OA
∴AG＝OA•sin∠AOG＝6371sin40°≈6371×0.64＝4077.44（km），
∴点A每日绕地轴旋转大约2 ×4077.44＝8154.88 千米，
答：漠河某地（点A）每日绕π地轴旋转大约8154.8π8 千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、切线的性π质、平行线的性质，理解题意是解题的关键．
25．（2025•湖北三模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底
面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕
塑，其底座的底面为矩形
ABCD，其形状如图所示：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得
点C，B，E在同一条直线
上；
②过点E作GH⊥CE，并沿
EH方向前进到点F，用皮尺
测得EF的长为4米；
③在点F处用测角仪测得
∠CFG＝60.3°，∠BFG＝
45°，∠AFG＝21.8°；
④用计算器计算得：
sin60.3°≈0.87，
cos60.3°≈0.50，
tan60.3°≈1.75，
sin21.8°≈0.37，cos21.8°
°≈0.93，tan21.8°≈0.40．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段BC的长度；
（2）求底座的底面ABCD的面积．
第35页（共36页）【考点】解直角三角形的应用．
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【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）3米；
（2）18平方米．
CE
【分析】（1）根据题意得tan∠CFE=tan60.3°= ≈1.75，即可确定CE长度，再由∠BFG＝45°
EF
得出BE＝EF＝4米，即可求解；
（2）过点A作AM⊥GH于点M，继续利用正切函数确定AB＝ME＝6米，即可求解面积．
CE
【解答】解：（1）由三角函数可得：tan∠CFE=tan60.3°= ≈1.75（米），
EF
∴CE＝7米；
∵∠BFG＝45°，
∴BE＝EF＝4米，
∴CB＝CE﹣BE＝3米；
（2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示：
AM
由三角函数可得，tan∠AFG=tan21.8°= ≈0.4，
MF
∵AM＝BE＝4米，
∴MF＝10米，
∴AB＝ME＝10﹣4＝6米，
∴底座的底面ABCD的面积为：3×6＝18平方米．
【点评】此题主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．
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