三角恒等变换题集(教师版)_高中三年全科资料_高中_学而思高中数学（暑假衔接）面授升高..高二.高三_学而思高中面授升高三暑假讲义+题集（小一轮）

三角恒等变换 一、 选择 1. 若 ， 为锐角，且满足 ， ，则 的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵ ， 为锐角， ， ∴ ， 又 ，且 ， ∴ ， ∴ ． 故选 ． 【标注】【知识点】利用正弦和差角公式凑角求值 2. 若 ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解： ， ． 故选：B． 【标注】【知识点】二倍角的余弦 3. 已知 ，且 ，则 （ ）． 1A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 ， 得 ， 解得 或 （舍）， 又∵ ，则 ， ∴ ． 故选 ． 【标注】【知识点】半角公式；二倍角的余弦 4. 已知 为任意角，则“ ”是“ ”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】∵ 为任意角， ， ， ∴ ， 则 为任意角， ， 则 为任意角， 不是 的充分条件， ∵ ， ∴ ． 2则 ， 则 为任意角， 是 的必要条件， 所以 为任意角， 是 的必要不充分条件， 故 正确． 故选 ． 【标注】【知识点】半角公式；二倍角的余弦；充要条件与三角函数结合 5. 已知 ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ．故选A． 【标注】【知识点】二倍角的正弦 6. 设 ， ，且 ，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵ ， ∴ ， ， ∵ ，∴ ， 即 ， 化简，得 ， ∵ ，∴ ， ， ∴ ，得 ，即 ． 故选 ． 【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的正弦 7. 关于函数 的描述正确的是（ ）． 3A. 其图象可由 的图象向左平移 单位得到 B. 在 单调递增 C. 在 有 个零点 D. 在 的最小值为 【答案】ACD 【解析】A 选项：函数 ， 将 的图象向左平移 单位得到函数 的图象， 故选项 正确， B 选项：令 ， ，解得 ， ， 即函数 的单调递增区间为 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故选项 不正确， C 选项：令 ， ， ，即 ， ， ∵ ， ∴ 取 ， ，即 在 有 个零点， 故选项 正确， D 选项：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 所以 在 的最小值为 ， 故选项 正确， 所以关于函数 的描述正确的是 ， ， ． 故选 A C D . 【标注】【素养】数学运算；逻辑推理 4【知识点】诱导公式；辅助角公式；二倍角的余弦；已知正弦型函数判定结论正误；正余弦型、正 切型函数图象变换 8. 已知函数 ， ，则（ ）． A. B. 在区间 上只有 个零点 C. 的最小正周期为 D. 为 图象的一条对称轴 【答案】ACD 【解析】 ． 选项：∵ ， ∴ ，故 正确； 选项：∵ ，∴ ， ∴ ， ∴当 或 时， 均成立，∴ 有 个零点，故 错误； 选项： ，∴ 的最小正周期为 ，故 正确； 选项： 的对称轴满足 ， ， 即 ， ，∴ 是 的一条对称轴，故 正确； 故选 ． 【标注】【知识点】求正弦型函数的对称轴；倍角、和差角公式综合 9. 已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵ ， 且 在 上有两个零点， ∴ 在 上有两个解， 5当 时， ， ∴原问题转化为： 关于 的不等式 有且仅有两个解， ∴ 和 ，则 ， 解得 ， ∴ 的取值范围为 ． 故选 ． 【标注】【知识点】正弦函数的图象和性质；正弦型函数的图象与性质；辅助角公式；倍角、和 差角公式综合；函数零点的概念 二、 填空 10. 已知 ， ，则 ． 【答案】 【解析】解： ， 两边平方，得 ，① ， 两边平方，得 ，② 由① ②得： ，即 ， ， ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】倍角、和差角公式综合；和差角公式化简求值综合运用 11. 已知实数 ，若函数 的最大值为 ，则 的 值为 ． 【答案】 【解析】 6令 ，则 ， ，故 ， 则函数可化为 ， 其图象的对称轴为 ， ①当 ，即 时最大，即 ， 解得 ； ②当 ，即 时最大，即 ， 解得 或 ，均不符． 综上， ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】类二次三角函数问题 三、 解答 12. 已知函数 ， （ 1 ） 若 是第一象限角，且 ，求 的值； （ 2 ）求使 成立的 的取值集合． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ） 【解析】（ 1 ） . （ 2 ） ． 【标注】【知识点】三角函数不等式 13. 7已知函数 ， ． （ 1 ）求 的最小正周期； （ 2 ）求 在闭区间 上的最大值和最小值． 【答案】（ 1 ） 的最小正周期为 ． （ 2 ）函数 在闭区间 上的最大值为 ，最小值为 ． 【解析】（ 1 ） 由已知，有 ． 所以， 的最小正周期为 ． （ 2 ）方法一：因为 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数． ， ， ． 所以，函数 在闭区间 上的最大值为 ，最小值为 ． 方法二： 时， ， ，从而 ． 即函数 在闭区间 上的最大值为 ，最小值为 ． 【标注】【知识点】求固定区间正弦型函数值域；倍角、和差角公式综合 8