文档内容
三角恒等变换
一、 和差角公式
公式推导
我们运用平面向量的知识进行探究
如下图：
在平面直角坐标系 内作单位圆 ，以 为始边作角 ， ，它们的终边与单位圆 的交点分别为 ，
．则 ， ．
由向量数量积的坐标表示，有
．
设 与 的夹角为 ，则
．
根据上面图形的两种情况可以总结得到： ，所以
．
上面两式联立，就有了下面的公式：
此公式给出了任意角 ， 的正弦、余弦值与其差角 的余弦值之间的关系．称为差角的余弦公式，
简记作 ．
有了公式 以后，我们只要知道 、 、 、 的值，就可以求得 的值了．
请自己用两角差的余弦，结合诱导公式推出其余五个公式并把下面的公式补充完整！
公式总结
1公式变换
1． 与 相加减可以得到 和 ，相比得到
2． 与 相加减可以得到 和 ，相比得到
经典例题
1. 已知 ， ，则 的值为 ．
2. 已知 ， ， ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
3. 已知 、 ， 与 是方程 的两个根，则 （ ）．
A. B. C. D. 或
4. 若 ， 为锐角，且满足 ， ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
5. 若 ， ，则 ．
6. 已知 ， ，且 ，求 ．
二、 二倍角公式
1. 二倍角公式
我们以公式 为基础，推导出了六个和（差）角公式，下面将以和（差）角公式为基础来推导倍角
公式．
（1） ;
变形式 ．
2（2） ；
变形式 ； ．
（3） ．
经典例题
7. 已知 ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
8. 已知 ， 满足 ，且 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
9. 已知 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
10. 已知 、 均为锐角，且 ， ，则 ．
2. 二倍角公式的常见变换
1．链式变换：
2．平方差变换：
3．降幂变换：
；
4．升幂变换：
；
经典例题
11. 的化简结果是（ ）．
3A. B. C. D.
12. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
3. 半角公式
由二倍角公式，
可得
即
； ．
所以
： ；
： ；
将上面两式相除，得到
： ．
上面三个公式，称作半角公式．
在半角公式中，根号前的正负号，由角 所在象限确定．
经典例题
13. 若 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
14. 若 ，且 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
15.
若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
4. 化简求值
416. 回答下列问题．
（ 1 ） ．
（ 2 ）已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
17. 求值： ．
巩固练习
18. 求值： （ ）．
A. B. C. D.
19. ．
三、 辅助角公式
考察以 为坐标的点 ，设以 为终边的一个角是 ，则由三角函数的定义，有：
， ．
于是：
其中 角所在象限由 、 的符号确定， 角的值由 ， 共同确定．
经典例题
20. 化简下列式子为 形式或 形式：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
21. 关于函数 有以下四个结论：
①函数 的最大值为 ；
5②把函数 的图象向右平移 个单位可得到函数 的图象；
③函数 在区间 上单调递增；
④函数 图象的对称中心为 ．
其中正确的结论是 ．
巩固练习
22. 已知 ，则 ．
23. 已知函数 ，给出下列四个选项，正确的有（ ）．
A. 函数 的最小正周期是
B. 函数 在区间 上是减函数
C. 函数 的图象关于点 对称
D. 函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到．
24. 已知函数 ，则（ ）．
A. 的最大值为 B. 的图象关于直线 对称
C. 的图象关于点 对称 D. 在 上单调递增
25. 已知函数 给出下面四个结论：
① 是最小正周期为 的奇函数；
② 图象的一条对称轴是 ；
③ 图象的一个对称中心是 ；
④ 的单调递增区间为 ．
其中正确的结论是（ ）．
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ①②③
综合应用
26. 函数 的值域为（ ）．
A. B. C. D.
27. 已知函数 在 上恰有三个零点则正数 的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
28. 已知函数 ，若 在 上无零点，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
6实际应用
29. 某实验室一天的温度（单位： ）随时间 （单位： ）的变化近似满足函数关系：
， ．
（ 1 ）求实验室这一天的最大温差；
（ 2 ）若要求实验室温度不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？
30. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形 ）
及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形 和 ）组成，其中半圆的圆心为 ，半径为
米，矩形 的一边 在 上，矩形 的一边 在 上，点 ， ， ， 在圆周上， ，
在直径上，且 ，设 ，若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为 万元和
万元．记病床区及休闲区的总造价为 （单位：万元）．
（ 1 ）求 的表达式．
（ 2 ）为进行改建预算，当 为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．
导图总结
你学会了吗？画出导图总结本节课所学吧！
出门测
31. 若 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
32. （ ）．
A. B. C. D.
33. 已知 ， ，则 ．
34. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）．
A. 的最大值为
B. 由 的图象向左平移 个单位
C. 的最小正周期为
D. 的单调递增区间为
735. 已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）．
A. 的最小正周期是 B. 关于 对称
C. 在 上单调递减 D. 的最小值为
36. 已知函数 的图象的一条对称轴为 ，则下列结论中正确的是( )
A. 是最小正周期为 的奇函数
B. 是 图象的一个对称中心
C. 在 上单调递增
D. 先将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移 个
单位长度，即可得到函数 的图象
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