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知识点32：宇宙速度
【知识思维方法技巧】
（1）运行速度是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度，满足v＝，其
大小随轨道半径的增大而减小，当r为地球半径（近地卫星）时，对应的速度有最大值v＝
7.9 km/s。
（2）发射速度是指卫星在地面附近离开发射装置的初速度（相对地球），第一、二、三宇
宙速度都是指卫星相对于地球的不同发射速度，卫星在发射过程中要克服地球引力做功，
发射越远所需发射速度越大，最小发射速度为第一宇宙速度v＝7.9 km/s。
（3）发射速度越大，卫星运行的圆周轨道半径越大，卫星的运行速度越小，当v ＝11.2
发
km/s时，卫星可挣脱地球引力的束缚；当v ＝16.7 km/s时，卫星可挣脱太阳引力的束缚。
发
考点一：第一宇宙速度
题型一：地球第一宇宙速度
【知识思维方法技巧】
地球第一宇宙速度的特点：
（1）地球第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度，地球第一宇宙
速度为7.9 km/s。由G＝m，得v＝＝ m/s＝7.9 km/s
1
由mg＝m，得v＝＝ m/s＝7.9 km/s。
1
（2）地球第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星的最大环绕速
度。
【典例1拔尖题】地球赤道上有一物体随地球自转，所需的向心力为 F ，向心加速度为
1
a ，线速度为v ，角速度为ω；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所需
1 1 1
的向心力为F ，向心加速度为a，线速度为v，角速度为ω；地球的同步卫星所需的向心
2 2 2 2
力为F ，向心加速度为a ，线速度为v ，角速度为ω；地球表面的重力加速度为g，第一
3 3 3 3
宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )
A. F ＝F >F B. a＝a＝g>a C. v＝v＝v>v D. ω＝ω<ω
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2
【典例1拔尖题】【答案】D
【解析】地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即ω＝ω，根据关
1 3
系式v＝ωr和a＝ω2r可知，vv，a>a，
2 3 2 3
ω>ω；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即
2 3
v＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a＝g；所以v＝v>v>v，g＝a>a>a，ω>ω＝
2 2 2 3 1 2 3 1 2 3
ω，又因为F＝ma，所以F >F >F .由以上分析可知，选项A、B、C错误，D正确．
1 2 3 1
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学科网（北京）股份有限公司题型二：某星球第一宇宙速度
【知识思维方法技巧】
某星球第一宇宙速度是物体在某星球附近绕某星球做匀速圆周运动时的速度。
（1）由G＝m，得v＝，R是某星球的半径。
1
（2）由mg＝m，得v＝，g是某星球表面的重力加速度。
1
【典例2拔尖题】某天文爱好者在观测某行星时，测得绕该行星的卫星做圆周运动的半径r
的三次方与运动周期T的平方满足如图所示的关系，图中a、b、R已知，且R为该行星的
半径．
(1)求该行星的第一宇宙速度；
(2)若在该行星上高为h处水平抛出一个物体，水平位移也为h，则抛出的初速度为多大？
【典例2拔尖题】【答案】(1)2π (2)
【解析】(1)卫星运行时，由万有引力提供向心力得G ＝mr( )2；由题图可知 ＝ ，
设第一宇宙速度为v，由万有引力提供向心力得G ＝m 解得v＝2π .
1 1
(2)设该行星表面的重力加速度为g，则G ＝mg，解得g＝ ，设平抛运动的初速度
为v，根据平抛运动规律有h＝ gt2，h＝vt，解得v＝ .
0 0 0
【典例2拔尖题对应练习】(多选)如图甲所示，假设某星球表面上有一倾角为θ的固定斜面，
一质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上运动，其速度—时间图像如图乙所示．已知小
物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝，该星球半径为R＝6×104 km，引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，π取3.14，则下列说法正确的是( )
A．该星球的第一宇宙速度v＝3.0×104 m/s
1
B．该星球的质量M＝8.1×1026 kg
C．该星球的自转周期T＝1.3×104 s
D．该星球的密度ρ＝896 kg/m3
【典例2拔尖题对应练习】【答案】ABD
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2
学科网（北京）股份有限公司【解析】物块上滑过程中，根据牛顿第二定律，在沿斜面方向上有μmgcos θ＋mgsin θ＝
ma ，下滑过程中，在沿斜面方向上有mgsin θ－μmgcos θ＝ma ，又知vt图像的斜率表示
1 2
加速度，则上滑和下滑过程中物块的加速度大小分别为 a ＝ m/s2＝10 m/s2，a ＝ m/s2＝5
1 2
m/s2，联立解得g＝15 m/s2，该星球的第一宇宙速度为v＝＝ m/s＝3.0×104 m/s，故选项A
1
正确；根据黄金代换式GM＝gR2可得该星球的质量为M＝＝ kg＝8.1×1026 kg，故选项B
正确；根据所给条件无法计算出该星球的自转周期，故选项C错误；该星球的密度ρ＝＝
＝896 kg/m3，故选项D正确．
考点二：第二宇宙速度（脱离速度）
【知识思维方法技巧】
第二宇宙速度（脱离速度）的特点：
（1）地球第二宇宙速度(脱离速度)为第一宇宙速度的倍，v ＝11.2 km/s，也是使物体挣脱
2
地球引力束缚的最小发射速度。
（2）某星球第二宇宙速度(脱离速度)是使物体挣脱某星球引力束缚的最小发射速度。
（3）黑洞的逃逸速度为光速c，即黑洞的第二宇宙速度，是黑洞第一宇宙速度的倍。
题型一：地球第二宇宙速度
【典例1拔尖题】近年来，我国的航天事业飞速发展，2019年1月3号“嫦娥奔月”掀起
高潮。“嫦娥四号”进行人类历史上的第一次月球背面登陆。若“嫦娥四号”在月球附近
轨道上运行的示意图如图所示，“嫦娥四号”先在圆轨道上做圆周运动，运动到A点时变
轨为椭圆轨道，B点是近月点，则下列有关“嫦娥四号”的说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．“嫦娥四号”要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点加速
C．“嫦娥四号”在椭圆轨道上运行的周期比圆轨道上运行的周期要长
D．“嫦娥四号”运行至B点时的速率大于月球的第一宇宙速度
【典例1拔尖题】【答案】D
【解析】“嫦娥四号”的发射速度应大于地球的第一宇宙速度 7.9 km/s，小于地球的第二
宇宙速度11.2 km/s，故A错误；“嫦娥四号”要想从圆轨道变轨到椭圆轨道，必须在A点
进行减速，故B错误；由开普勒第三定律知＝，由题图可知，圆轨道的半径 r大于椭圆轨
道的半长轴a，故“嫦娥四号”在圆轨道上运行的周期 T 大于在椭圆轨道上运行的周期
1
T ，所以C错误；“嫦娥四号”要想实现软着陆，运行至B点时必须减速才能变为环月轨
2
道，故在B点时的速率大于在环月轨道上运行的最大速率，即大于月球的第一宇宙速度，
故D正确。
题型二：某星球第二宇宙速度
【典例2拔尖题】宇航员在一行星上以速度v 竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，
0
经2t后落回手中，已知该星球半径为R.求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为
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学科网（北京）股份有限公司r时的引力势能E ＝－G.(G为万有引力常量)
p
【典例2拔尖题】【答案】(1) (2)
【解析】(1)由题意可知星球表面重力加速度为g＝；由万有引力定律知mg＝m
解得v＝＝.
1
(2)由星球表面万有引力等于物体重力知＝mg，又E ＝－G，解得E ＝－
p p
由机械能守恒有mv
2
2－＝0；解得v2 ＝.
【典例2拔尖题对应练习】牛顿说：“我们必须普遍地承认，一切物体，不论是什么，都
被赋予了相互引力的原理”。任何两个物体间存在的相互作用的引力，都可以用万有引力
定律 计算，而且任何两个物体之间都存在引力势能，若规定物体处于无穷远
处时的势能为零，则二者之间引力势能的大小为 ，其中m 、m 为两个物体
1 2
的质量， r为两个质点间的距离（对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距
离），G为引力常量。设有一个质量分布均匀的星球，质量为M，半径为R。
（1）该星球的第一宇宙速度是多少？
（2）为了描述电场的强弱，引入了电场强度的概念，请写出电场强度的定义式。类比电场
强度的定义，请在引力场中建立“引力场强度”的概念，并计算该星球表面处的引力场强
度是多大？
（3）该星球的第二宇宙速度是多少？
（4）如图所示是一个均匀带电实心球的剖面图，其总电荷量为+Q（该带电实心球可看作
电荷集中在球心处的点电荷），半径为R，P为球外一点，与球心间的距离为r，静电力常
量为k。现将一个点电荷-q（该点电荷对实心球周围电场的影响可以忽略）从球面附近移动
到p点，请参考引力势能的概念，求电场力所做的功。
【典例2拔尖题对应练习】【答案】（1） ；（2） ；（3）
；（4）
【解析】(1)设靠近该星球表面做匀速圆周运动的卫星的速度大小为 ，万有引力提供卫星
做圆周运动的向心力 ；解得： ；
(2)电场强度的定义式 ；设质量为m的质点距离星球中心的距离为r，质点受到该
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学科网（北京）股份有限公司星球的万有引力 ，质点所在处的引力场强度 ，得
该星球表面处的引力场强度
(3)设该星球表面一物体以初速度 向外抛出，恰好能飞到无穷远，根据能量守恒定律
解得： ；
(4)点电荷-q在带电实心球表面处的电势能
点电荷-q在P点的电势能 ；点电荷-q从球面附近移动到P点，电场力所做
的功 解得： 。
考点三：宇宙速度与运动轨迹的关系
【知识思维方法技巧】
宇宙速度与运动轨迹的关系：
（1）v ＜7.9 km/s时，被发射物体最终仍将落回地面。
发
（2）v ＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
发
（3）7.9 km/s
