文档内容
知识点 40：轻杆连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE ＝ΔE ，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
减 增
加量。E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
③有外力做功的表达式：W ＝ΔE，ΔE为能量的增加量。
F
考点一：轻杆连接体绕固定轴转动模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
轻杆连接体同轴转动，角速度相等，线速度与半径成正比。
题型一：物体异侧转动模型
【典例1基础题】（多选）将质量分别为m和2m的两个小球A和B，用长为2L的轻杆相
连，如图所示，在杆的中点O处有一固定水平转动轴，把杆置于水平位置后由静止自由释
放，在B球顺时针转动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )
A．A、B两球的线速度大小始终不相等
B．重力对B球做功的瞬时功率先增大后减小
C．B球转动到最低位置时的速度大小为
D．杆对B球做正功，B球机械能不守恒
【典例1基础题】【答案】BC
【解析】A、B两球用轻杆相连共轴转动，角速度大小始终相等，转动半径相等，所以两球
的线速度大小也相等，选项A错误；杆在水平位置时，重力对B球做功的瞬时功率为零，
杆在竖直位置时，B球的重力方向和速度方向垂直，重力对B球做功的瞬时功率也为零，
但在其他位置重力对B球做功的瞬时功率不为零，因此，重力对B球做功的瞬时功率先增
大后减小，选项B正确；设B球转动到最低位置时速度为v，两球线速度大小相等，对
1
学科网（北京）股份有限公司A、B两球和杆组成的系统，由机械能守恒定律得 2mgL－mgL＝(2m)v2＋mv2，解得v＝，
选项C正确；B球的重力势能减少了2mgL，动能增加了mgL，机械能减少了，所以杆对
B球做负功，选项D错误。
题型二：物体同侧转动模型
【典例2基础题】如图所示，两根轻质杆构成直角支架，O点为水平转轴，OA杆长为L，
A端固定一质量为2m的小球a，OB杆长为2L，B端固定一质量为m的小球b，用手抬着
B端使OB杆处于水平状态，撒手后支架在竖直平面内转动，不计一切摩擦，则以下说法
正确的是( )
A．小球a不可能转到与O点等高处
B．小球b转动的最大速度为
C．转动过程中杆受力一定沿杆方向
D．小球a从最低点运动到最高点的过程中，杆对小球a做的功为mgL
【典例2基础题】【答案】B
【解析】假设小球a恰好转到与O点等高处，设O点所在水平面为零势能面，小球a和b
组成的系统初始位置机械能为E ＝－2mgL，当小球a转到与O点等高处时系统机械能为
1
E ＝－2mgL，即E ＝E ，假设成立，故小球a一定能转到与O点等高处，A错误；设OB
2 1 2
杆与水平方向夹角为θ时，小球b速度为v，则小球a的速度v ＝，由系统机械能守恒得
a
2mgLsin θ－2mgL(1－cos θ)＝2mgLsin(θ＋45°)－2mgL＝mv2＋·2mv，故θ＝45°时，速度最
大为v＝，B正确；在转动过程中小球a的机械能增加，小球b的机械能减少，所以杆对a
和b均做功，存在杆对a和b的力与速度不垂直位置，即存在杆对a和b的力不沿杆的位置，
C错误；设杆对小球a做的功为W，由动能定理得W－2mgL＝0，即W＝2mgL，D错误。
【典例2基础题对应练习】(多选)如图所示，一轻杆长为L，一端固定在O点，杆可绕O
点无摩擦转动．质量为3m的小球A固定在杆的末端，质量为m的小球B固定在杆的中点，
重力加速度为g，轻杆从水平位置由静止释放，小球均可视为质点，则当杆运动至竖直位
置时下列说法正确的有( )
2
学科网（北京）股份有限公司A. 该过程中，轻杆对两小球均不做功
B. 处于竖直位置时，A球的速率一定是B球的两倍
C. 处于竖直位置时，A球的速率为2
D. 该过程中，B球机械能增大了 mgL
【典例2基础题对应练习】【答案】BC
【解析】A、B两球为同轴转动，故角速度相等，由v＝ωr可知处于竖直位置时，A球的速
率一定是B球的两倍，故B正确；下落过程中，对A、B组成的系统由机械能守恒定律得
3mgL＋mg· ＝ mv 2＋ ×3mv 2，且v ＝2v ，解得v ＝2 ，v ＝ ，故C正确；
B A A B A B
对B小球由动能定理得W＋mg· ＝ mv 2，解得W＝－ ，即杆对小球B做负功，则小
B
球B的机械能减小，故A、D错误．
考点二：轻杆连接体滑动模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
轻杆连接体在滑动时，沿杆分速度大小相等，两物体速度大小不一定相等。
题型一：轻杆连接体在固定杆上滑动模型
【典例1基础题】如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆 L 、L ，两杆不接触，且
1 2
两杆间的距离忽略不计．两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L 上，b球
1
套在水平杆L 上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与
2
L 杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为 g.在此后的运动过程中，
2
下列说法中正确的是( )
3
学科网（北京）股份有限公司A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C．b球的最大速度为
D．a球的最大速度为
【典例1基础题】【答案】C
【解析】a球和b球组成的系统没有外力做功，只有a球和b球的动能和重力势能相互转换，
因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆L 的夹角为θ，由
2
运动关联可知vcos θ＝vsin θ，则v＝vtan θ，可知当b球的速度为零时，轻杆L处于水
b a b a
平位置且与杆L 平行，则此时a球在竖直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小为g，
2
B错误；当杆L和杆L 第一次平行时，a球运动到最下方，b球运动到L 和L 交点位置，b
1 1 2
球的速度达到最大，此时a球的速度为0，因此由系统机械能守恒有mg(l＋l)＝mv，解得v
b
＝，C正确；当轻杆L和杆L 第一次平行时，由运动的关联可知此时b球的速度为零，由
2
系统机械能守恒有mg·l＝mv，解得v＝，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速
a
度不是最大，a球将继续向下做加速度减小的加速运动，到加速度为0时速度达到最大，D
错误．
题型二：轻杆连接体其他形式滑动模型
【典例2基础题】如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水
平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，小球可视为质点，开始
时a球处于圆弧上端A点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速
度为g，下列说法正确的是( )
A．a球下滑过程中机械能保持不变
B．b球下滑过程中机械能保持不变
C．a、b球都滑到水平轨道上时速度大小均为
D．从释放a、b球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为mgR
【典例2基础题】【答案】D
【解析】对于单个小球来说，杆的弹力做功，小球机械能不守恒，A、B错误；两个小球
组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，故有 mgR＋mg(2R)＝·2mv2，解得v
＝，选项C错误；a球在滑落过程中，杆对小球做功，重力对小球做功，故根据动能定理
可得W＋mgR＝mv2，联立v＝，解得W＝mgR，故D正确．
【典例2基础题对应练习】如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分
别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小
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学科网（北京）股份有限公司球B距水平面的高度h＝0.1 m．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时
的机械能损失，g取10 m/s2.则下列说法中正确的是( )
A．整个下滑过程中A球机械能守恒
B．整个下滑过程中B球机械能守恒
C．整个下滑过程中A球机械能的增加量为 J
D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为 J
【典例2基础题对应练习】【答案】D
【解析】在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在 B球沿水
平面滑行，而A沿斜面滑行时，杆的弹力对A、B球做功，所以A、B球各自机械能不守恒，
故A、B错误；根据系统机械能守恒得：m g(h＋Lsin θ)＋m gh＝(m ＋m )v2，解得：v＝
A B A B
m/s，系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为m v2－m gh＝ J，故D正确；A球的
B B
机械能减少量为 J，C错误．
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