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知识点 40： 轻杆连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE ＝ΔE ，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
减 增
加量。E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
③有外力做功的表达式：W ＝ΔE，ΔE为能量的增加量。
F
考点一：轻杆连接体绕固定轴转动模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
轻杆连接体同轴转动，角速度相等，线速度与半径成正比。
题型一：物体异侧转动模型
【典例1提高题】质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长
为L，在离P球处有一个光滑固定转轴O，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，
Q球顺时针摆动到最低位置，则(重力加速度为g)( )
A．小球P在最高位置的速度大小为
B．小球Q在最低位置的速度大小为
C．小球P在此过程中机械能增加量为mgL
D．小球Q在此过程中机械能减少mgl
【典例1提高题】【答案】C
【解析】Q球顺时针摆动到最低位置时的速度为v ，此时P运动到最高点的速度为v ，整
1 2
个系统机械能守恒，有2mg×L－mg×＝×2mv 2＋mv 2，又由于两球都绕O点转动，角速度
1 2
相同，因此v ＝2v ，解得v ＝，v ＝，A、B错误；在此过程中，小球P机械能增加量ΔE
1 2 1 2
＝mg×＋mv 2＝mgL，由于整个系统机械能守恒，因此小球 Q机械能减少量也为mgL，C
2
正确，D错误．
1
学科网（北京）股份有限公司题型二：物体同侧转动模型
【典例2提高题】（多选）轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的
小球，中点C固定一个质量为m的小球．AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动．现将
杆置于水平位置，如图所示，然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，则下列说法正
确的是( )
A．AB杆转到竖直位置时，角速度为
B．AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为mgL
C．AB杆转动过程中杆CB对B球做正功，对C球做负功，杆AC对C球做正功
D．AB杆转动过程中，C球机械能守恒
【典例2提高题】【答案】AB
【解析】在AB杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以B球的最低点为零势能点，根
据机械能守恒定律有：mg·2L＋2mg(2L)＝mgL＋×2m(ω·2L)2＋m(ωL)2，
解得角速度ω＝，A项正确．在此过程中，B端小球机械能的增量为：ΔE ＝E －E ＝
B 末 初
·2m(ω·2L)2－2mg·(2L)＝mgL，B项正确．AB杆转动过程中，杆AC对C球不做功，杆CB
对C球做负功，对B球做正功，C项错．C球机械能不守恒，B、C球系统机械能守恒，D
项错．
【典例2提高题对应练习】（多选）一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为 m和
2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩
擦转动，如图所示．开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则(
)
A．A球的最大速度为2
B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为
D．A、B两球的最大速度之比v∶v＝3∶1
A B
【典例2提高题对应练习】【答案】BC
【解析】由机械能守恒可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能
最小，所以B正确；根据题意知无论何时两球的角速度均相同，线速度大小之比均为v ∶v
A B
2
学科网（北京）股份有限公司＝ω·2l∶ωl＝2∶1，故D错误；当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒得：mg·2lcos
θ－2mg·l(1－sin θ)＝mv 2＋·2mv 2，解得：v 2＝gl(sin θ＋cos θ)－gl，由数学知识知，当θ
A B A
＝45°时，sin θ＋cos θ有最大值，最大值为v ＝，所以A错误，C正确．
A
考点二：轻杆连接体滑动模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
轻杆连接体在滑动时，沿杆分速度大小相等，两物体速度大小不一定相等。
题型一：轻杆连接体在固定杆上滑动模型
【典例1提高题】如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面
相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、
b可视为质点，重力加速度大小为g，则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【典例1提高题】【答案】D
【解析】当a到达底端时，b的速度为零，b的速度在整个过程中先增大后减小，动能先增
大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，A错误；a落地时，b的速度为零，根据系
统机械能守恒得：mgh＝mv 2，解得v ＝，B错误；b的速度在整个过程中先增大后减小，
a a
杆对b的作用力先是动力后是阻力，所以杆对 a的作用力就先是阻力后是动力，所以在 b
减速的过程中，杆对a是斜向下的拉力，此时a的加速度大于重力加速度，C错误；a、b
及杆系统的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到杆的推力为零，
b只受到重力和支持力的作用，结合牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，D正
确．
题型二：轻杆连接体其他形式滑动模型
【典例2提高题】如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg
和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水
平面的高度h＝0.1 m．两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能
损失，g取10 m/s2.则下列说法中正确的是( )．
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学科网（北京）股份有限公司A．下滑的整个过程中A球机械能守恒
B．下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒
C．两球在光滑地面上运动时的速度大小为2 m/s
D．系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为 J
【典例2提高题】【答案】B
【解析】设A球的质量为m，A、B组成的系统机械能守恒，有mg(h＋Lsin 30°)＋2mgh＝
(2m＋m)v2，解得两球在光滑地面上运动的速度v＝ m/s，则B正确，A、C错误；B球下滑
过程中，机械能的增加量ΔE＝×2mv2－2mgh＝ J，则D错误．
【典例2提高题对应练习】(多选)如图所示，A、B两物体的质量分别为m、2m，中间用
轻杆相连，放在光滑的斜面上。现将它们从静止释放，在下滑的过程中( )
A．两物体下滑的加速度相同
B．轻杆对A做正功，对B做负功
C．系统的机械能守恒
D．任意时刻两物体重力的功率相同
【典例2提高题对应练习】【答案】AC
【解析】因为两物体用轻杆连接，一起运动，加速度相同，两物体整体受力分析得：(2m
＋m)gsin θ＝(2m＋m)a，整体加速度a＝gsin θ，A正确；设杆对B的力为F，隔离B可得：
2mgsin θ＋F＝2ma，且a＝gsin θ，所以F＝0，B错误；只有重力对系统做功，动能和重
力势能相互转化，机械能守恒，C正确；因为重力功率等于P＝mgv，虽然两物体速度相
y
同，但是质量不一样，重力功率不一样，D错误。
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