文档内容
2025年四川省成都市温江区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目
要求）
1
1．（4分）（2025•温江区二模）在- ，﹣5，﹣3，2这四个数中，最小的数是（ ）
2
1
A．- B．﹣5 C．﹣3 D．2
2
2．（4分）（2025•温江区二模）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为
（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）（2025•温江区二模）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2x）2＝﹣4x2
B．5x+12x＝17x2
C．（x﹣2）2＝x2﹣2x+4
D．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2
4．（4分）（2025•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是（
）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
5．（4分）（2025•温江区二模）某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：
次）：39，45，42，37，41，39，这组数据的众数、中位数分别是（ ）
A．45，39 B．39，39 C．39，40 D．45，41
6．（4分）（2025•温江区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列说法正确
的是（ ）
第1页（共42页）A．AB＝AC B．∠ABC＝∠BAC C．AC⊥BD D．AC＝AD
7．（4分）（2025•温江区二模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，
大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重
量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
{ 5x+6 y=16 { 5x+6 y=16
A． B．
5x+ y=6 y+x 4x+ y=5 y+x
{ 6x+5 y=16 { 6x+5 y=16
C． D．
6x+ y=5 y+x 5x+ y=4 y+x
8．（4分）（2025•临淄区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于
1
AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，直线MN与AB相交于点D，连接CD，
2
若BD＝5，AC＝8，则BC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）（2025•平湖市二模）因式分解：x2﹣4x＝ ．
1 2-x
10．（4分）（2025•温江区二模）方程 - =2的解是 ．
1-x x-1
11．（4分）（2025•温江区二模）如图，PA，PB是 O的切线，A，B为切点，若∠P＝60°，OA＝3，则
图中阴影部分的面积为 ． ⊙
12．（4分）（2025•温江区二模）在平面直角坐标系xOy中，若点A（x ，y ），B（x ，y ）都在反比例
1 1 2 2
第2页（共42页）2-m
函数y= 的图象上，当x ＜0＜x 时，有y ＜y ，则m的取值范围是 ．
x 1 2 1 2
13．（4分）（2025•温江区二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，M是BC的中点，点P是
CD上一动点，连接PA，PM，则PA+PM的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
1 -1
14．（12分）（2025•温江区二模）（1）计算：( ) +2cos30°-√16+|1-√3|．
3
{3x-2＞2(x+1)
（2）解不等式组： x-3 x-1 ．
≤
2 3
15．（8分）（2025•温江区二模）2024年中国新能源汽车产销量突破了1300万辆，这个数字是全球的
70%，也是连续10年全球排名第一．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元
技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了一批优秀的新能源车企．在某次汽车展览会
上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一
种类型），并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
类型 人数 所占百分比
纯电 22 a%
混动 b%
氢燃料 4
油车 15%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出表中a，b的值；
（2）若此次汽车展览会的参展人员共有6000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车
的人数；
（3）在喜欢氢燃料的4人中有两名男士和两名女士，若从中随机抽取两人进行活动参观感想交流，请
利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女士的概率．
第3页（共42页）16．（8分）（2025•岳西县三模）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑
动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2.2m，CF＝1.1m，∠DPE
＝16°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为 73°时，
要使遮阳效果最佳，求 AP 的长．（结果精确到 0.1m；参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，
sin73°≈0.96，cos73°≈0.29）
17．（10分）（2025•温江区二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°， O与边BC相切于点D，与AB，
AC分别相交于点E，F，AD与OE相交于点G． ⊙
（1）求证：∠C＝∠ADE；
3
（2）若CF＝4，sinC= ，求 O的半径和DG的长．
5
⊙
k
18．（10分）（2025•成都三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+m与反比例函数y=
x
第4页（共42页）的图象相交于点A（a，4），B两点，与x轴相交于点C（3，0），过点B作AB的垂线交反比例函数
的图象于另一点D．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点E是坐标轴上一点，点F是直线BD上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，求E，F
两点的坐标；
（3）设点P是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接AP交BD于点Q，若△ABQ与△PDQ相似，
求点P的坐标．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）（2025•温江区二模）如图，已知△ABC≌△FDE，AD＝2，BD＝3，则FD的值为 ．
20．（4分）（2025•温江区二模）若m，n是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，则（m﹣3）2﹣2n
的值为 ．
21．（4分）（2025•温江区二模）在平面直角坐标系 xOy中，若二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上存在A
（x ，y ），B（x ，y ）两点，当m﹣2＜x ＜x ＜m时，满足y ＝y ，则m的取值范围为
1 1 2 2 1 2 1 2
．
22．（4分）（2025•温江区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E
3 EG
为AC上一点，AE＝DE．将△ADE沿DE折叠得到△FDE，DF交AC于点G．若sinC= ，则 =
5 GC
．
第5页（共42页）23．（4分）（2025•温江区二模）在综合实践活动中，数学兴趣小组对 1∼n这n个自然数中，任取两数
n
之差的绝对值不大于 的取法种数k进行了探究．发现：当n＝2时，只有{1，2}一种取法，即k＝1；
2
当n＝3时，有{1，2}和{2，3}两种取法，即k＝2；当n＝4时，可得k＝5；⋯．若n＝6时，则k的值
为 ；若n＝23，则k的值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）（2025•温江区二模）在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域
的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有A，B两个工种的工人共100人，
每月发工人工资280000元，A，B两个工种的工人的月工资分别为2500元和3000元．
（1）A，B两个工种的工人各有多少人？
（2）现工厂扩大生产投入，需再招聘A，B两个工种的工人共50名，招聘要求全工厂B工种的人数不
少于A工种人数的2倍，那么此次招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出
最少工资总额．
25．（10分）（2025•温江区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a（a＞0）
与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上
一点．
（1）求线段AB的长；
1
（2）当a= 时，若△ABD的面积是△ACD面积的两倍，求点D的坐标；
2
（3）延长CD交x轴于点F，AD＝DF，试探究直线DE是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；
若不是，请说明理由．
第6页（共42页）26．（12分）（2025•温江区二模）如图，在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，点D是BC边上
一动点（点 D 不与 B，C 重合），连接 AD，以 AD 为边在直线 AD 右侧作△ADE，使得
△ADE∽△ABC．
【初步感知】
（1）如图1，在点D的运动过程中，△ABD与△ACE始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，随着点D位置的变化，DE的位置随之发生变化，当AC的中点M恰好落在DE上时，求
tan∠BAD的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，AC交DE于点F，P为AE的中点．当△PCD为等边三角形时，求DF的长．
第7页（共42页）2025年四川省成都市温江区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B． D D D C C B C
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目
要求）
1
1．（4分）（2025•温江区二模）在- ，﹣5，﹣3，2这四个数中，最小的数是（ ）
2
1
A．- B．﹣5 C．﹣3 D．2
2
【考点】有理数大小比较．
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【专题】数形结合；实数；运算能力．
【答案】B．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数
都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大
小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
1
【解答】解：∵﹣5＜﹣3＜- ＜2，
2
∴最小的数是：﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正
数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．（4分）（2025•温江区二模）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为
（ ）
第8页（共42页）A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】D
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，
所以左视图是选项D，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是掌握简单组合体的三视图的定义，注意：从
左边看得到的图形是左视图．
3．（4分）（2025•温江区二模）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2x）2＝﹣4x2
B．5x+12x＝17x2
C．（x﹣2）2＝x2﹣2x+4
D．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2
【考点】整式的混合运算．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：（﹣2x）2＝4x2，故选项A错误，不符合题意；
5x+12x＝17x，故选项B错误，不符合题意；
（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故选项C错误，不符合题意；
（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．（4分）（2025•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标是（
）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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第9页（共42页）【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】D
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点M（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．（4分）（2025•温江区二模）某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：
次）：39，45，42，37，41，39，这组数据的众数、中位数分别是（ ）
A．45，39 B．39，39 C．39，40 D．45，41
【考点】众数；中位数．
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【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】C
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中
位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．据此解答即可．
【解答】解：从小到大排列此数据为：37、39、39、41、42、45，
数据39出现了两次最多为众数，
39和41处在第3位和第4位，他们的平均数为40，所以40为中位数．
所以本题这组数据的中位数是40，众数是39．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数和众数，解题的关键是根据它们的定义来解答．
6．（4分）（2025•温江区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列说法正确
的是（ ）
A．AB＝AC B．∠ABC＝∠BAC C．AC⊥BD D．AC＝AD
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
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【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
第10页（共42页）【答案】C
【分析】由菱形的性质可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
不能得出AB＝AC，∠ABC＝∠BAC，AC＝AD．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7．（4分）（2025•温江区二模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中记载了一个问题，
大意是：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重
量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
{ 5x+6 y=16 { 5x+6 y=16
A． B．
5x+ y=6 y+x 4x+ y=5 y+x
{ 6x+5 y=16 { 6x+5 y=16
C． D．
6x+ y=5 y+x 5x+ y=4 y+x
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式
求出答案．
【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
{ 5x+6 y=16
．
4x+ y=5 y+x
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的
等式是解题关键．
8．（4分）（2025•临淄区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于
1
AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，直线MN与AB相交于点D，连接CD，
2
若BD＝5，AC＝8，则BC的长为（ ）
第11页（共42页）A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】先由线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，则可得到∠A＝∠ACD，再证明∠B＝∠BCD得到
BD＝CD，据此求出AB的长，再由勾股定理求出BC的长．
【解答】解：由作图方法可知MN垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴AB＝AD+BD＝2BD＝10，
∴BC=√AB2-AC2=√102-82=6，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，等腰三角形的性质与判定等
等，掌握以上性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）（2025•平湖市二模）因式分解：x2﹣4x＝ x （ x ﹣4 ） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
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【答案】见试题解答内容
【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出即可．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
第12页（共42页）1 2-x
10．（4分）（2025•温江区二模）方程 - =2的解是 x ＝﹣ 1 ．
1-x x-1
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣1．
【分析】根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出 x的值，然后检验
即可．
1 2-x
【解答】解： - =2，
1-x x-1
方程两边同时乘（x﹣1），得﹣1﹣（2﹣x）＝2（x﹣1），
去括号，得﹣1﹣2+x＝2x﹣2，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入x﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
11．（4分）（2025•温江区二模）如图，PA，PB是 O的切线，A，B为切点，若∠P＝60°，OA＝3，则
图中阴影部分的面积为 3 ． ⊙
π
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
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【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】3 ．
【分析】根π据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形内角和是360°求出∠AOB，再根据扇形面
积公式计算即可．
【解答】解：∵PA，PB是 O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB， ⊙
∵∠P＝60°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
120π×32
∴S阴影部分 ＝S扇形AOB =
360
=3 ，
π
第13页（共42页）故答案为：3 ．
【点评】本题π考查的是切线的性质、扇形面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关
键．
12．（4分）（2025•温江区二模）在平面直角坐标系xOy中，若点A（x ，y ），B（x ，y ）都在反比例
1 1 2 2
2-m
函数y= 的图象上，当x ＜0＜x 时，有y ＜y ，则m的取值范围是 m ＜ 2 ．
x 1 2 1 2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】m＜2．
2-m
【分析】根据反反比例函数y= 的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．
x
2-m
【解答】解：∵点A（x ，y ），B（x ，y ）都在反比例函数y= 的图象上，当x ＜0＜x 时，有
1 1 2 2 x 1 2
y ＜y ，
1 2
∴2﹣m＞0，
解得m＜2，
故答案为：m＜2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的
性质解答．
13．（4分）（2025•温江区二模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，M是BC的中点，点P是
CD上一动点，连接PA，PM，则PA+PM的最小值为 6 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
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【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】6．
【分析】根据题意，作点A关于CD的对称点N，然后根据两点之间线段最短，可知AN就是PA+PM
的最小值，推导出△ABM≌△ADE（AAS），求得AM＝AE＝2√3，进而推导出AN的值，由勾股定理求
得MN即可．
第14页（共42页）【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，M是BC的中点，如图，作点A关于CD的对称点
N，连接AN，交CD于点E，连接AM，AC，CN，则MN就是PA+PM的最小值，
∴AN⊥CD，AN＝2AE，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝AD，∠B＝∠D，∠ACM＝∠ACE＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
√3
∴△ABM≌△ADE（AAS），AM= AB＝2√3，
2
∴∠BAM＝DAE＝30°，
∴∠CAE＝∠ANC＝30°，
∴∠ECN＝60°，
∴∠ACM+∠ACE+∠ECN＝180°，
∴MCN三点共线，
∴△AMN为直角三角形，
在直角三角形AMN中，AM＝AE＝2√3，AN＝2AE＝4√3，
∴MN=√(4√3) 2-(2√3) 2=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解答本题的关键
是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
1 -1
14．（12分）（2025•温江区二模）（1）计算：( ) +2cos30°-√16+|1-√3|．
3
{3x-2＞2(x+1)
（2）解不等式组： x-3 x-1 ．
≤
2 3
【考点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；实数的运算；负整数指数幂．
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第15页（共42页）【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）2√3-2；
（2）4＜x≤7．
【分析】（1）先分别根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
√3
【解答】解：（1）原式＝3+2× -4+√3-1
2
＝3+√3-4+√3-1
＝2√3-2；
{3x-2＞2(x+1)①
（2） x-3 x-1 ，
≤ ②
2 3
解不等式①得，x＞4，
解不等式②得，x≤7，
故不等式的解集为：4＜x≤7．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小
小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（8分）（2025•温江区二模）2024年中国新能源汽车产销量突破了1300万辆，这个数字是全球的
70%，也是连续10年全球排名第一．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元
技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了一批优秀的新能源车企．在某次汽车展览会
上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一
种类型），并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
类型 人数 所占百分比
纯电 22 a%
混动 b%
氢燃料 4
油车 15%
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出表中a，b的值；
（2）若此次汽车展览会的参展人员共有6000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车
的人数；
（3）在喜欢氢燃料的4人中有两名男士和两名女士，若从中随机抽取两人进行活动参观感想交流，请
第16页（共42页）利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到两名女士的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；统计表；条形统计图；概率公式．
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【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）a＝55，b＝20．
（2）约5100人．
1
（3） ．
6
【分析】（1）用条形统计图中“油车”的人数除以表格中“油车”的百分比可得调查的人数，用“纯
电”的人数除以调查的人数乘以100%可得a%，用“混动”的人数除以调查的人数乘以100%可得
b%，进而可得a，b的值．
（2）根据用样本估计总体，用6000乘以纯电、混动、氢燃料所占的百分比之和，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到两名女士的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，调查的人数为6÷15%＝40（人），
∴a%＝22÷40×100%＝55%，b%＝（40﹣22﹣4﹣6）÷40×100%＝20%，
∴a＝55，b＝20．
（2）6000×（1﹣15%）＝5100（人）．
∴估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的人数约5100人．
（3）列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
第17页（共42页）共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名女士的结果有2种，
2 1
∴恰好抽到两名女士的概率为 = ．
12 6
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、统计表、用样本估计总体、概率公式，能够读懂
统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键．
16．（8分）（2025•岳西县三模）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑
动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2.2m，CF＝1.1m，∠DPE
＝16°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．若太阳光线与地面的夹角为 73°时，
要使遮阳效果最佳，求 AP 的长．（结果精确到 0.1m；参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，
sin73°≈0.96，cos73°≈0.29）
【考点】解直角三角形的应用．
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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】AP的长约为1.6m．
【分析】根据四边形内角和定理及所给角的度数可得∠APE的度数，进而可得∠CPF的度数，结合PF
的长度，可得MP的长度，易得△CPF为等腰三角形，则PC＝2PM，取AC的长度，减去PC的长度，
即为AP的长度．
【解答】解：作FM⊥CP于点M，则∠FMC＝∠FMP＝90°，
由题意得：∠A＝∠BEP＝90°，∠B＝73°，
∴∠APE＝360°﹣2×90°﹣73°＝107°，
∵∠DPE＝16°，
∴∠CPD＝180°﹣107°﹣16°＝57°，
第18页（共42页）∵PD＝2.2m，F为PD的中点，
∴PF＝1.1（m），
∴MP＝1.1×cos57°≈0.59（m），
∵CF＝1.1m，
∴FC＝FP，
∴PC＝2PM＝1.18（m），
∵AC＝2.8m，
∴AP＝2.8﹣1.18≈1.6（m），
答：AP的长约为1.6m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用．求得∠CPF的度数并把∠CPF整理到直角三角形中是解题
的关键．
17．（10分）（2025•温江区二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°， O与边BC相切于点D，与AB，
AC分别相交于点E，F，AD与OE相交于点G． ⊙
（1）求证：∠C＝∠ADE；
3
（2）若CF＝4，sinC= ，求 O的半径和DG的长．
5
⊙
【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
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【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；
推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，根据切线性质得∠ODB＝90°，则∠BDE+∠ODA+∠ADE＝90°，由弦切角定理
得∠BDE＝∠BAD，根据 OA＝OD 得∠ODA＝∠OAD，进而得∠BAC+∠ADE＝90°，然后根据
∠C+∠BAC＝90°即可得出结论；
（2）延长OE交CB的延长线于点P，过点O作OH∥BC交AD于点H，在Rt△ODC中，根据sinC
OD 3
= = ，设OD＝3k，OC＝5k，则CD＝4k，进而得OA＝OD＝OF＝3k，CF＝2k，根据CF＝4，得
OC 5
第19页（共42页）k＝2，则 O的半径为6；再求出OC＝5k＝10，CD＝4k＝8，AC＝16，证明△ODC和△ABC相似，利
⊙
48 64 24 24√5
用相似三角形性质得AB= ，CB= ，BD= ，则AD= ，证明∠P＝∠C得△OPC是等腰三
5 5 5 5
9√5
角形，则PD＝CD＝8，再证明△AOH和△ACD相似，利用相似三角形性质得AH= ，OH＝3，则
5
HG OH 3
DH＝AD﹣AH=3√5，然后证明△OH和△PDG相似得 = = ，设HG＝3x，DG＝8x，则DH
DG PD 8
＝HG+DG＝11x＝3√5，由此求出x即可得出DG的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵ O与边BC相切于点D，
∴O⊙D⊥BC，
∴∠ODB＝90°，
即∠BDE+∠ODA+∠ADE＝90°，
由弦切角定理得：∠BDE＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠BAD+∠OAD+∠ADE＝90°，
即∠BAC+∠ADE＝90°，
在Rt△ABC中，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ADE；
（2）延长OE交CB的延长线于点P，过点O作OH∥BC交AD于点H，如图2所示：
第20页（共42页）∵OD⊥BC，
OD 3
∴在Rt△ODC中，sinC= = ，
OC 5
设OD＝3k，OC＝5k，
由勾股定理得：CD=√OC2-OD2=√(5k) 2-(3k) 2=4k，
∴OA＝OD＝OF＝3k，
∴CF＝OC﹣OF＝5k﹣3k＝2k，
∵CF＝4，
∴2k＝4，
解得：k＝2，
∴OA＝OD＝OF＝3k＝6，
故 O的半径为6；
∵O⊙C＝5k＝10，CD＝4k＝8，
∴AC＝OA+OC＝6+10＝16，
∵OD⊥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，
∴OD∥AB，
∴△ODC∽△ABC，
OD CD OC
∴ = = ，
AB CB AC
6 8 10
∴ = = ，
AB BC 16
48 64
∴AB= ，CB= ，
5 5
64 24
∴BD＝CB﹣CD= -8= ，
5 5
第21页（共42页）√ 24 48 24√5
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=√BD2+AB2= ( ) 2+( ) 2= ，
5 5 5
在Rt△PBE中，∠P+∠PEB＝90°，
∴∠PEB＝∠AEO，
∴∠P+∠AEO＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠AEO＝∠BAC，
∴∠P+∠BAC＝90°，
又∵∠C+∠BAC＝90°，
∴∠P＝∠C，
∴△OPC是等腰三角形，
∵OD⊥BC，
∴PD＝CD＝8，
∵OH∥BC，
∴△AOH∽△ACD，
AH OH OA
∴ = = ，
AD CD AC
AH OA
由 = ，得AH•AC＝AD•OA，
AD AC
24√5
∴AH×16= ×6，
5
9√5
∴AH= ，
5
OH OA
由 = ，得：OH•AC＝CD•OA，
CD AC
∴OH×16＝8×6，
∴OH＝3，
24√5 9√5
∴DH＝AD﹣AH= - =3√5，
5 5
∵OH∥BC，
∴△OHG∽△PDG，
HG OH 3
∴ = = ，
DG PD 8
设HG＝3x，DG＝8x，
第22页（共42页）∴DH＝HG+DG＝11x=3√5，
3√5
∴x= ，
11
24√5
∴DG＝8x= ．
11
【点评】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，理解切线的性质，圆周角定理，
熟练掌握锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构
造相似三角形是解决问题的难点．
k
18．（10分）（2025•成都三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+m与反比例函数y=
x
的图象相交于点A（a，4），B两点，与x轴相交于点C（3，0），过点B作AB的垂线交反比例函数
的图象于另一点D．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点E是坐标轴上一点，点F是直线BD上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，求E，F
两点的坐标；
（3）设点P是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接AP交BD于点Q，若△ABQ与△PDQ相似，
求点P的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
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【专题】代数几何综合题；运算能力．
4
【答案】（1）反比例函数的表达式为：y= ，B（2，2）；
x
（2）E（0，1），F（4，3）或E（﹣2，0），F（6，4）；
1
（3）点P的坐标为（- ，﹣8）或（﹣2，﹣2）．
2
第23页（共42页）【分析】（1）根据点C（3，0）代入y＝﹣2x+m中可得m＝6，从而得一次函数的解析式y＝﹣2x+6，
再代入可得点A的坐标，根据k＝xy可得反比例函数的表达式，联立解析式建立方程组可得点B的坐
标；
（2）分三种情况：①如图1，点E在y轴上，四边形AECF是菱形，过点B作GH⊥y轴于G，过点C
作CH⊥GH于H，②如图2，点E在x轴上，四边形AECF是菱形，③AC为边时，根据平移的性质
确定点F的坐标即可；
（3）联立方程组可得点D的坐标为（﹣4，﹣1），如图3，△ABQ∽△PDQ，则AB∥PD，可得PD的
解析式PD的解析式为：y＝﹣2x﹣9，联立方程组即可得点P的坐标；如图4，△ABQ∽△DPQ，根据
4
勾股定理得AD2＝PD2+AP2，设点P的坐标为（p， ），即可解答．
p
【解答】解：（1）把点C（3，0）代入y＝﹣2x+m中得：﹣6+m＝0，
∴m＝6，
∴y＝﹣2x+6，
当y＝4时，﹣2a+6＝4，
∴a＝1，
∴A（1，4），
∴k＝1×4＝4，
4
∴反比例函数的表达式为：y= ，
x
4
∴﹣2x+6= ，
x
解得：x ＝1，x ＝2，
1 2
∴B（2，2）；
（2）∵A（1，4），B（2，2），点C（3，0），
∴AB=√(2-1) 2+(4-2) 2=√5，BC=√(3-2) 2+22=√5，
∴AB＝BC，
∵BD⊥AC，
分三种情况：
①如图1，点E在y轴上，四边形AECF是菱形，过点B作GH⊥y轴于G，过点C作CH⊥GH于H，
第24页（共42页）∴∠BGE＝∠H＝90°，
∴∠BCH+∠CBH＝90°，
∵BD⊥AB，
∴∠CBE＝90°，
∴∠CBH+∠GBE＝90°，
∴∠BCH＝∠GBE，
∵BG＝CH＝2，
∴△CHB≌△BGE（ASA），
∴BH＝EG＝1，
∴E（0，1），
∵A（1，4），点C（3，0），且四边形AECF是菱形，
∴F（4，3）；
②如图2，点E在x轴上，四边形AECF是菱形，
由①知：BD与y轴交于点（0，1），
第25页（共42页）∴设BD的解析式为：y＝nx+1，
把B（2，2）代入得：2n+1＝2，
1
∴n= ，
2
1
∴BD的解析式为：y= x+1，
2
∴E（﹣2，0），
∵四边形AECF是菱形，
∴F（6，4）；
③如图，AC为边时，由平移得点F的横坐标为﹣2，
当x＝﹣2时，y＝0，
∴F（﹣2，0），
∴E（0，﹣4），
此时AC=√22+42=2√5，CE＝5，AC≠CE，不符合题意；
综上，E（0，1），F（4，3）或E（﹣2，0），F（6，4）；
1 4
（3） x+1= ，
2 x
解得：x ＝2，x ＝﹣4，
1 2
∴点D的坐标为（﹣4，﹣1），
如图3，△ABQ∽△PDQ，
第26页（共42页）∴∠BAQ＝∠QPD，
∴AB∥PD，
设PD的解析式为：y＝﹣2x+b，
把点D的坐标（﹣4，﹣1）代入得：8+b＝﹣1，
∴b＝﹣9，
∴PD的解析式为：y＝﹣2x﹣9，
4
∴﹣2x﹣9= ，
x
1
解得：x ＝﹣4，x =- ，
1 2 2
1
∴点P的坐标为（- ，﹣8）；
2
如图4，△ABQ∽△DPQ，
∴∠ABQ＝∠DPQ＝90°，
∴AD2＝PD2+AP2，
第27页（共42页）4
设点P的坐标为（p， ），
p
∵A（1，4），点D的坐标（﹣4，﹣1），
4 4
∴（1+4）2+（4+1）2＝（p﹣1）2+（ -4）2+（p+4）2+（ +1）2，
p p
∴p4+3p3﹣8p2+16﹣12p＝0，
（p4﹣8p2+16）+（3p3﹣12p）＝0，
∴（p2﹣4）2+3p（p2﹣4）＝0，
∴（p2﹣4）（p2﹣4+3p）＝0，
∴（p+2）（p﹣2）（p+4）（p﹣1）＝0，
∵p＜0，
∴p ＝﹣2，p ＝﹣4（舍），
1 2
∴点P的坐标为（﹣2，﹣2），
1
综上，点P的坐标为（- ，﹣8）或（﹣2，﹣2）．
2
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形相似的性质和
判定，菱形的性质，联立方程组求两函数的交点等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方
程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）（2025•温江区二模）如图，已知△ABC≌△FDE，AD＝2，BD＝3，则FD的值为 5 ．
【考点】全等三角形的性质．
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【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由全等三角形的对应边相等，即可得到答案．
【解答】解：∵AD＝2，BD＝3，
∴AB＝AD+BD＝5，
∵△ABC≌△FDE，
∴FD＝AB＝5．
故答案为：5．
第28页（共42页）【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
20．（4分）（2025•温江区二模）若m，n是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，则（m﹣3）2﹣2n
的值为 ﹣ 1 ．
【考点】根与系数的关系；代数式求值．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】﹣1．
【分析】根据根与系数的关系先求出m2﹣4m+2＝0，m+n＝4，然后再代入（m﹣3）2﹣2n求值即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根，
∴m2﹣4m+2＝0，m+n＝4，
∴即m2﹣4m＝﹣2，m+n＝4，
∴（m﹣3）2﹣2n＝m2﹣6m+9﹣2n＝m2﹣4m﹣2（m+n）+9＝﹣2﹣8+9＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
21．（4分）（2025•温江区二模）在平面直角坐标系 xOy中，若二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上存在A
（x ，y ），B（x ，y ）两点，当m﹣2＜x ＜x ＜m时，满足y ＝y ，则m的取值范围为 1 ＜ m ＜ 3
1 1 2 2 1 2 1 2
．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】1＜m＜3．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征先求出对称轴为直线x＝1，再根据条件画出图象，根据图
象和条件m﹣2＜x ＜x ＜m时，满足y ＝y ，得到m的取值范围即可．
1 2 1 2
b 2
【解答】解：二次函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x=- =- =1，
2a -2
∵A（x ，y ），B（x ，y ）两点在抛物线上，且y ＝y ，
1 1 2 2 1 2
∴点A（x ，y ）与点B（x ，y ）关于对称轴直线x＝1对称，
1 1 2 2
∵当m﹣2＜x ＜x ＜m时，满足y ＝y ，
1 2 1 2
{m-2＜1
∴ ，
m＞1
解得1＜m＜3．
∴m的取值范围为1＜m＜3．
第29页（共42页）故答案为：1＜m＜3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键．
22．（4分）（2025•温江区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E
3 EG
为AC上一点，AE＝DE．将△ADE沿DE折叠得到△FDE，DF交AC于点G．若sinC= ，则 =
5 GC
3
．
8
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；角平分线的定义．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及
其应用；运算能力；推理能力．
3
【答案】 ．
8
BD AE DE
【分析】作FH⊥BC于点H，交AC于点L，推导出∠EDA＝∠BAD，则DE∥AB，所以 = = ，
CD CE CE
AB 3 DE CE
设AC＝10m，由 =sinC= ，求得AB＝6m，则BC＝8m，可证明△EDC∽△ABC，得 = ，则
AC 5 AB AC
第30页（共42页）BD AE DE AB 3 15
= = = = ，求得 BD＝3m，AE= m，由折叠得∠FDE＝∠ADE，可证明
CD CE CE AC 5 4
HL 3 CH 4
△FHD≌△ABD，则HD＝BD＝3m，FH＝AB＝6m，所以CH＝2m，由 =tanC= ， = cosC=
CH 4 CL 5
3 5 9 15 EG DE 5
，求得HL= m，CL= m，则FL= m，EL= m，再证明△DEG∽△FLG，得 = = ，求得
2 2 2 4 LG FL 6
75 50 EG 3
EG= m，则GC= m，所以 = ，于是得到问题的答案．
44 11 GC 8
【解答】解：作FH⊥BC于点H，交AC于点L，则∠CHL＝∠DHF＝90°，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AE＝DE，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴∠EDA＝∠BAD，
∴DE∥AB，
BD AE DE
∴ = = ，
CD CE CE
设AC＝10m，
∵∠ABC＝90°，
AB 3
∴ =sinC= ，∠EDH＝∠EDB＝90°，
AC 5
3
∴AB= AC＝6m，
5
∴BC=√AC2-AB2=√(10m) 2-(6m) 2=8m，
∵△EDC∽△ABC，
DE CE
∴ = ，
AB AC
BD AE DE AB 6m 3
∴ = = = = = ，
CD CE CE AC 10m 5
3 3 3 3 3 3 15
∴BD= BC= BC= ×8m＝3m，AE＝DE= AC= AC= ×10m= m，
3+5 8 8 3+5 8 8 4
由折叠得∠FDE＝∠ADE，
∴∠EDH﹣∠FDE＝∠EDB﹣∠ADE，
第31页（共42页）∴∠EDH＝∠ADB，
∵∠DHF＝∠B＝90°，FD＝AD，
∴△FHD≌△ABD（AAS），
∴HD＝BD＝3m，FH＝AB＝6m，
∴CH＝8m﹣3m﹣3m＝2m，
HL AB 6m 3 CH BC 8m 4
∵ =tanC= = = ， = cosC= = = ，
CH BC 8m 4 CL AC 10m 5
3 3 3 5 5 5
∴HL= CH= ×2m= m，CL= CH= ×2m= m，
4 4 2 4 4 2
3 9 15 5 15
∴FL＝6m- m= m，EL＝10m- m- m= m，
2 2 4 2 4
∵DE⊥BC，FH⊥BC，
∴DE∥FL，
∴△DEG∽△FLG，
15
m
EG DE 4 5
∴ = = = ，
LG FL 9 6
m
2
5 5 5 15 75
∴EG= EL= EL= × m= m，
5+6 11 11 4 44
15 75 50
∴GC＝10m- m- m= m，
4 44 11
75
m
EG 44 3
∴ = = ，
GC 50 8
m
11
3
故答案为： ．
8
【点评】此题重点考查勾股定理、翻折变换的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、平行
线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的
第32页（共42页）关键．
23．（4分）（2025•温江区二模）在综合实践活动中，数学兴趣小组对 1∼n这n个自然数中，任取两数
n
之差的绝对值不大于 的取法种数k进行了探究．发现：当n＝2时，只有{1，2}一种取法，即k＝1；
2
当n＝3时，有{1，2}和{2，3}两种取法，即k＝2；当n＝4时，可得k＝5；⋯．若n＝6时，则k的值
为 1 2 ；若n＝23，则k的值为 18 7 ．
【考点】规律型：数字的变化类；绝对值．
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【专题】规律型．
【答案】12，187．
【分析】先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可．
【解答】解：当n＝2时，有{1，2}一种取法，则k＝1；
当n＝3时，有{1，2}和{2，3}两种取法，则k＝1+1＝2；
当n＝4时，有{1，2}，{1，3}，{2，3}，{2，4}，{3，4}五种取法，
则k＝2+2+1＝1×2+2+1＝5；
当n＝5时，
1～3有2种：{1，2}，{1，3}，
2～4有2种：{2，3}，{2，4}，
3～5有2种{3，4}，{3，5}，
4～5有1种{4，5}共七种取法，则k＝2+2+2+1＝2×2+2+1＝7；
当n＝6时，
1～4有3种：{1，2}，{1，3}，{1，4}，
2～5有3种：{2，3}，{2，4}，{2，5}，
3～6有3种：{3，4}，{3，5}，{3，6}，
4～6有2种：{4，5}，{4，6}，
5～6有1种：{5，6}，共九种取法，则k＝3+3+3+2+1＝3×3+2+1＝12；
当n＝23时，
1～12有11种，
2～13有11种，
…，
12～23有11种，
13～23有10种，
第33页（共42页）14～23有9种，
…，
22～23有1种，
共k＝11×12+10+9+8+…+1＝187（种）取法．
故答案为：12，187．
【点评】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，从中找出规律求解是解答的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）（2025•温江区二模）在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域
的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有A，B两个工种的工人共100人，
每月发工人工资280000元，A，B两个工种的工人的月工资分别为2500元和3000元．
（1）A，B两个工种的工人各有多少人？
（2）现工厂扩大生产投入，需再招聘A，B两个工种的工人共50名，招聘要求全工厂B工种的人数不
少于A工种人数的2倍，那么此次招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出
最少工资总额．
【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）A工种的工人有40人，B工种的工人有60人；
（2）此次招聘A工种工人10人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额为425000元．
【分析】（1）设A工种的工人有x人，则B工种的工人有（100﹣x）人，根据该工厂每月发工人工资
280000元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出 x的值（即A工种的工人数），再将其代入
（100﹣x）中，即可求出B工种的工人数；
（2）设此次招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人（50﹣m）人，根据招聘要求全工厂B工种的人
数不少于A工种人数的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设每月所
付的工资总额为w元，利用每月所付的工资总额＝A工种工人的工资×A工种工人数+B工种工人的工
资×B工种工人数，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设A工种的工人有x人，则B工种的工人有（100﹣x）人，
根据题意得：2500x+3000（100﹣x）＝280000，
解得：x＝40，
∴100﹣x＝100﹣40＝60（人）．
答：A工种的工人有40人，B工种的工人有60人；
（2）设此次招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人（50﹣m）人，
第34页（共42页）根据题意得：60+（50﹣m）≥2（40+m），
解得：m≤10，
设每月所付的工资总额为w元，则w＝2500（40+m）+3000[60+（50﹣m）]，
即w＝﹣500m+430000，
∵﹣500＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝10时，w取得最小值，最小值为﹣500×10+430000＝425000．
答：此次招聘A工种工人10人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额为425000元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函
数关系式．
25．（10分）（2025•温江区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a（a＞0）
与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上
一点．
（1）求线段AB的长；
1
（2）当a= 时，若△ABD的面积是△ACD面积的两倍，求点D的坐标；
2
（3）延长CD交x轴于点F，AD＝DF，试探究直线DE是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；
若不是，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数综合题；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）6；
7 27
（2）D（ ，- ）；
2 8
（3）过定点（﹣10，0）．
第35页（共42页）【分析】（1）令y＝ax2﹣4ax﹣5a＝0，则x＝﹣1或5，即可求解；
25 5 3
（2）△ABD的面积是△ACD面积的两倍，则TM＝2TN，则x +2x ＝3x ，即 - m+1﹣2m= m
M N T 2 2 2
15 7
- ，则m= ，即可求解；
2 2
（3）设点D坐标，根据C，D坐标求出直线CD的解析式，从而求得F的坐标，根据AD＝DF可得D
在AF的垂直平分线上，根据横坐标的关系，可以求出D点坐标，然后根据D，E的坐标求出直线DE
的解析式从而求得定点．
【解答】解：（1）令y＝ax2﹣4ax﹣5a＝0，则x＝﹣1或5，
即点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（5，0），
则AB＝6；
1 1 9
（2）当a= 时，抛物线的表达式为：y= （x2﹣4x﹣5），则点C（2，- ），
2 2 2
设D的横坐标为m，
连接AD，分别过点B、C作AD的平行线BM、CN，两条直线和y轴的交点为M、N，
1 5
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝（ m- ）（x+1），
2 2
1 5
则点T（0， m- ），
2 2
25 5 1
同理可得，点M、N的坐标分别为：（0， - m）、（0， -m），
2 2 2
∵△ABD的面积是△ACD面积的两倍，
则TM＝2TN，
则x +2x ＝3x ，
M N T
25 5 3 15 7
即 - m+1﹣2m= m- ，则m= ，
2 2 2 2 2
第36页（共42页）7 27
则点D（ ，- ）；
2 8
（3）过定点，理由：
设D（t，at2﹣4at﹣5a），
∴点C（2，﹣9a），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
{-9a=2k+b
∴ ，
at2-4at-5a=kt+b
解得：k＝a（t﹣2），b＝﹣2at﹣5a，
∴直线CD的解析式为：y＝a（t﹣2）x﹣2at﹣5a，
2t+5
令y＝0，则x= ，
t-2
∵AF＝DF，
∴D在AF的垂直平分线上，
2t+5
∴2t＝﹣1+ ，
t-2
7
解得：t＝﹣1（舍）或 ，
2
7 27
∴D（ ，- a），
2 4
27
- a+5a
4 1
∴k = =- a，
DE 7 2
2
1 1
∴直线DE的解析式为：y=- ax﹣5a=- a（x+10），
2 2
∴直线DE过定点（﹣10，0）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关
系．
26．（12分）（2025•温江区二模）如图，在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，点D是BC边上
一动点（点 D 不与 B，C 重合），连接 AD，以 AD 为边在直线 AD 右侧作△ADE，使得
△ADE∽△ABC．
【初步感知】
第37页（共42页）（1）如图1，在点D的运动过程中，△ABD与△ACE始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，随着点D位置的变化，DE的位置随之发生变化，当AC的中点M恰好落在DE上时，求
tan∠BAD的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，AC交DE于点F，P为AE的中点．当△PCD为等边三角形时，求DF的长．
【考点】相似形综合题．
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【专题】几何综合题；三角形；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；几何
直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）理由见解答；
1
（2） 或1；
2
√30-√10
（3） ．
3
AD AE
【分析】（1）由相似三角形的性质可得 = ，∠BAC＝∠DAE，再证明∠BAD＝∠CAE，即可
AB AC
得证；
1 3
（2）作MF⊥BC于F，则MF∥AB，证明△CMF∽△CAB，求出MF= ，CF= ，
2 2
第38页（共42页）3 3 1
BF=BC-CF= ，再证明△ABD∽△DFM，设BD＝a，则DF= -a，求出BD= 或1，最后由正切
2 2 2
的定义计算即可得解；
（3）连接CE，由（1）可得△ABD﹣△ACE，得出∠ACE＝∠B＝90°，由直角三角形的性质可得PA＝
PE＝PC，由等边三角形的性质可得PC＝PD＝CD，∠CPD＝60°，证明A、D、C、E四点共圆，由圆
1
周 角 定 理 可 得 ∠DEC=∠CAD= ∠CPD=30°， 设 CF ＝ b ， 则 EF ＝ 2b ，
2
CE=√EF2-CF2=√3b，求出AC=√AB2+BC2=√10，AF=AC-CF=√10-a，再由相似三角
5√10-2√30
形的性质求出a= ，即可得解．
3
【解答】解：（1）∵△ADE∽△ABC，
AD AE
∴ = ，∠BAC＝∠DAE，
AB AC
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）如图，作MF⊥BC于F，则MF∥AB，
∵M为AC的中点，
1
∴CM= AC，
2
∵MF∥AB，
∴△CMF∽△CAB，
MF CM CF
∴ = = ，
AB AC BC
1 3
∴MF= ，CF= ，
2 2
第39页（共42页）3
∴BF＝BC﹣CF= ，
2
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B＝90°，
∴∠ADB+∠MDF＝90°，
∵∠DMF+∠MDF＝90°，
∴∠DMF＝∠ADB，
∵∠B＝∠DFM＝90°，
∴△ABD∽△DFM，
AB AD BD
∴ = = ，
DF DM MF
3
设BD＝a，则DF= -a，
2
1 a
=
∴3 1，
-a
2 2
1
解得a= 或a＝1，
2
1
经检验，当a= 或 a＝1，是所列分式方程的解，且符合题意，
2
1
∴BD= 或1，
2
BD BD
∴tan∠BAD= = =BD，
AB 1
1
∴tan∠BAD的值为 或1；
2
（3）如图，连接CE，
第40页（共42页）由（1）可得△ABD∽△ACE，
∴∠ACE＝∠B＝90°，
∵P为AE的中点，
∴PA＝PE＝PC，
∵△PCD为等边三角形，
∴PC＝PD＝CD，∠CPD＝60°，
∴PC＝PD＝PE＝PA，
∴A、D、C、E四点共圆，
1
∴∠DEC=∠CAD= ∠CPD=30°，
2
设CF＝b，则EF＝2b，CE=√EF2-CF2=√3b，
∵在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，
∴AC=√AB2+BC2=√10，
∴AF=AC-CF=√10-a，
∵△ADE∽△ABC，
AD DE
∴∠ADE＝∠B＝90°， = ，
AB BC
1 √10-a
∴DF= AF= ，
2 2
√10-a √30-√3a
∴DE=DF+EF= +2a，AD=√AF2-DF2= ，
2 2
√30-√3a √10-a
+2a
∴ 2 2 ，
=
1 3
第41页（共42页）5√10-2√30
解得：a= ，
3
√10-a √30-√10
∴DF= = ．
2 3
【点评】本题考查了相似形的综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角
定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活应用，添
加适当的辅助线是解此题的关键．
第42页（共42页）
