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2025年北京市东城区中考数学二模试卷
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）（2025•东城区二模）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）（2024•雅安）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（
）
A．55° B．45° C．35° D．30°
3．（2分）（2025•东城区二模）某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为4×1012比特．后续发射的升级
型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到m比特，则m的值为（ ）
A．4×1012 B．4×1014 C．1×1014 D．1×1015
4．（2分）（2025•东城区二模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
5．（2分）（2025•东城区二模）若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
（ ）
第1页（共36页）A．b＜a B．ab＜0 C．|b|＜|c| D．a+c＜0
6．（2分）（2024•济南）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩
转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们
恰好选到同一个活动的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
9 6 3 3
7．（2分）（2025•东城区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．分别以A，B为圆心，大于
1
AB长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE交AC于点F，连接BF．下列说法中，错误的是
2
（ ）
A．AF＝BF B．BF是∠ABC的平分线
1
C．CF= BF D．S ＝3S
2 △ABF △BCF
8．（2分）（2025•东城区二模）如图，将正五边形纸片沿着虚线剪开，记阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分
别为S，S ，S ．
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
给出以下结论：
①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰三角形；
②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形；
③S
Ⅰ
+S
Ⅲ
＝4S
Ⅱ
；
④I中最大内角的度数是最小内角度数的3倍．
第2页（共36页）上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）（2017•深圳）因式分解：a3﹣4a＝ ．
10．（2分）（2025•南通）若√x-3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
k
11．（2分）（2025•东城区二模）如图，已知直线y＝mx与双曲线y= 的一个交点坐标为（3，4），则
x
它们的另一个交点坐标是 ．
2 3x
12．（2分）（2025•东城区二模）分式方程 + =1的解为 ．
x-2 2-x
13．（2分）（2015•泰州）如图， O的内接四边形ABCD中，∠A＝115°，则∠BOD等于 ．
⊙
14．（2分）（2025•东城区二模）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作
建立了从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法
测量海岛上一座山峰AB的高度，分别在C，D两点观察山顶点A，测得仰角分别为45°，26.5°，同时
测得CD长为200米，则山峰AB的高度约为 米．
（sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）
第3页（共36页）15．（2分）（2025•东城区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝15，点E是CD边上的一点，
S
连 接 AE ， 将 △ ADE 沿 AE 翻 折 ， 使 点 D 恰 好 落 在 BC 边 上 的 点 F 处 ， 则 △ECF =
S
△FBA
．
16．（2分）（2025•东城区二模）图为一个3×3的开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，
每次只能按一个开关．按任意一个开关一次将导致自身和所有相邻（上、下、左、右）的开关改变状
态．例如，按开关E一次将导致B，D，E，F，H改变状态．如果按任意一个开关一次，则至少导致
个开关改变状态；如果要求只改变A，E，I的状态，则最少按 次开关．
三、解答题（共.68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21-23题每题5分，第24-26题每题6分，
第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明
17．（5分）（2025•东城区二模）计算：2-1+4cos30°+(π-3.14) 0-√12．
2x-1 3x-2
18．（5分）（2025•东城区二模）解不等式 ≥ -1，并写出此不等式的非负整数解．
3 2
19．（5分）（2025•东城区二模）已知3a2+2a＝1，求代数式3a（a+2）+（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+1）的
值．
20．（6分）（2025•东城区二模）某地区防风林工程种植乔木和灌木，要求乔木种植面积占比不超过
10%．今年已种植乔木、灌木的面积共1000公顷；计划明年种植乔木和灌木的面积共1450公顷，其
中乔木的面积比今年减少40%，灌木的面积比今年增加60%．判断经过今明两年种植后该地区乔木面
积占比是否符合防风林工程要求，并说明理由．
21．（5分）（2025•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象过点
1
（0，2）和（1，3）．
（1）求k，b的值；
第4页（共36页）（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y ＝kx+b的值与函数y ＝mx（m≠0）的值之和都大于6，直
1 2
接写出m的取值范围．
22．（5分）（2025•东城区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为线段OD上一点，
且AE＝CE． ▱
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
1
（2）若AB＝BE＝5，tan∠CAE= ，求AC的长．
3
23．（5分）（2025•东城区二模）某气象站对四月份30天的气温（单位：℃）进行了监测，数据分为上
旬（4月1日﹣10日）、中旬（4月11日﹣20日）和下旬（4月21日﹣30日）三部分．
a．上旬10天的日平均气温如下：
21 23 24 25 26 26 26 27 27 28
b．中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组15≤x＜20，第2组20≤x＜
25，第3组25≤x＜30，第4组30≤x＜35，第5组35≤x＜40）：
c．上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如表：
平均数 众数 中位数
上旬 25.3 26 m
中旬 24.6 26 24.5
下旬 27.5 26 27
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为 ；
（2）4月份30天的日平均气温的平均数是 ，气温为25℃及以上的天数为 天；
（3）根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于22℃，则视为入夏．
立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区入夏的是
．
A．平均数为25，中位数为22
B．平均数为23，众数为25
C．中位数为23，众数为25
第5页（共36页）D．平均数为25，方差≤1
24．（6分）（2025•东城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作 O，交AC于点
D，过点O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
13⊙
（2）已知OE= ，CD＝9，求 O的半径．
2
⊙
25．（6分）（2025•东城区二模）某团队设计了一款智能灯，它可以根据自然光照度自动开启或关闭，
当自然光照度小于或等于k勒克斯（勒克斯为光照度单位）时，自动开启；大于k勒克斯时，自动关
闭．该团队通过模拟自然光照度进行了一次实验，记录了实验中模拟自然光照度 y（单位：勒克斯）
与时间t（单位：分钟）的关系数据，如下表所示：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 32.9 30.0 27.5 25.6 24.2 23.3 22.9 23.0 23.7 24.8 26.5 28.7 31.4
（1）团队成员发现可以用函数刻画模拟自然光照度y与t之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，
描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
第6页（共36页）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
（2）若k＝30．
①智能灯首次开启时，t＝ ；
②智能灯的工作时长约为 分钟；（结果保留小数点后一位）
（3）设当k为30，27，24时，智能灯工作时长分别为t ，t ，t ，则t ﹣t t ﹣t .（填“＞”
1 2 3 1 2 2 3
“＝”或“＜”）
26．（6分）（2025•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+2tx+c（a≠0）经过点
（1，2t+c﹣1），点A（t﹣1，y ），B（t+2，y ）在抛物线G上．
1 2
（1）求a的值；
（2）将抛物线G向右平移2个单位长度得到抛物线G′，点C（2t+2，y ）在抛物线G′上，且总有y ＜
3 2
y ＜y ，求t的取值范围．
3 1
27．（7分）（2025•东城区二模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，D为AC上一点，BC＝BD，∠ABD＝
（0°＜ ＜45°），过点C作CE⊥BD于点E，交AB于点F． α
（1）求α∠BCF的度数（用含 的式子表示）；
（2）用等式表示线段BF与AαD之间的数量关系，并证明．
28．（7分）（2025•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和不在直线AB上的点M，给
第7页（共36页）出如下定义：若存在点 N，满足点 N 与点 M 在直线 AB 的异侧，NA2+MB2＝NB2+MA2，且
∠MAN+∠MBN≤180°，则称点N为点M关于线段AB的“平衡点”．
（1）已知点A（4，0），M（1，1）．
①在点N （3，﹣1），N （1，﹣2），N （2，﹣1）中，点 是点M关于线段OA的“平衡
1 2 3
点”；
②若直线y＝﹣2x+b上存在点M关于线段OA的“平衡点”，直接写出b的取值范围；
（2）已知 O半径为2，CD是 O的弦，且CD＝2．点P（t，0），Q（t+1，1），以PQ为对角线作
正方形．若⊙正方形边上存在点O⊙关于线段CD的“平衡点”，直接写出t的取值范围．
第8页（共36页）2025年北京市东城区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C B D C D D
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）（2025•东城区二模）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
【解答】解：A．图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
B．图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
C．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D．图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个
图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形
绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
2．（2分）（2024•雅安）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（
）
第9页（共36页）A．55° B．45° C．35° D．30°
【考点】垂线．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】已知OE⊥AB，∠1＝35°，可得∠AOC的度数，因为对顶角∠2＝∠AOC，即得∠2的度数．
【解答】解：∵OE⊥AB，∠1＝35°，
∴∠AOC＝55°，
∴∠2＝∠AOC＝55°，
故选：A．
【点评】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质．
3．（2分）（2025•东城区二模）某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为4×1012比特．后续发射的升级
型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到m比特，则m的值为（ ）
A．4×1012 B．4×1014 C．1×1014 D．1×1015
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意列式计算后将结果用科学记数法表示出来即可．
【解答】解：m＝4×1012×25
＝100×1012
＝1×1014，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．（2分）（2025•东城区二模）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
第10页（共36页）D．没有实数根
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程
无实数根．
5．（2分）（2025•东城区二模）若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
（ ）
A．b＜a B．ab＜0 C．|b|＜|c| D．a+c＜0
【考点】实数与数轴；绝对值．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】D
【分析】观察数轴可知：a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|，再根据有理数的乘法和加法法则判断ab和a+c的
正负即可．
【解答】解：观察数轴可知：a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|，
∴ab＞0，a+c＜0，
∴A、B、C选项不正确，D选项正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握有理数的乘除加减法则．
6．（2分）（2024•济南）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩
转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们
恰好选到同一个活动的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
9 6 3 3
【考点】列表法与树状图法．
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第11页（共36页）【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同同一个活动的结果有 3种，再由
概率公式求解即可．
【解答】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，
3 1
∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为 = ，
9 3
故选：C．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从
中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是
解题的关键．
7．（2分）（2025•东城区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．分别以A，B为圆心，大于
1
AB长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE交AC于点F，连接BF．下列说法中，错误的是
2
（ ）
A．AF＝BF B．BF是∠ABC的平分线
1
C．CF= BF D．S ＝3S
2 △ABF △BCF
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
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【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
第12页（共36页）【分析】利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质一一判断即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
由作图可知DE垂直平分线段AB，
∴AF＝BF，故选项A正确，不符合题意，
∴∠FBA＝∠A＝30°，
∴∠CBF＝∠ABF＝30°，
1
∴BF是∠ABC的平分线，CF= BF，故选项B，C正确，不符合题意；
2
∴AF＝BF＝2CF，
∴S ＝2S ，故选项D错误，符合题意，
△ABF △CBF
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角
形30度角的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
8．（2分）（2025•东城区二模）如图，将正五边形纸片沿着虚线剪开，记阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分
别为S，S ，S ．
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
给出以下结论：
①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰三角形；
②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰梯形；
③S
Ⅰ
+S
Ⅲ
＝4S
Ⅱ
；
④I中最大内角的度数是最小内角度数的3倍．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④
【考点】正多边形和圆；图形的剪拼；等腰三角形的判定与性质；等腰梯形的性质．
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【专题】正多边形与圆；应用意识．
【答案】D
【分析】根据正五边形可知Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个三角形的角度及边长关系，据此一一分析即可得解．
第13页（共36页）【解答】解：如图，
由题可知AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD＝∠CAE＝36°，
∴∠DAE＝36°，
∴∠BAE＝∠BEA＝72°，
∴I和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个等腰三角形，
故①正确；
如图，
将两个108°的等腰三角形拼成菱形，再与36°的等腰拼接可拼成一个等腰梯形，
故②正确；
∵△ABD∽△ABC，
S AB
∴
△ABD=
，
S BC
△ABC
S 2 2
若S+S ＝4S ，即 △ABD= = ，
Ⅰ Ⅲ Ⅱ S 4+1 5
△ABC
AB √10
∴ = 矛盾，
BC 5
故③错误；
∵Ⅰ中最大内角为∠ADB＝108°，最小内角为∠BAD＝36°，故④正确，
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
第14页（共36页）【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、正多边形、等腰梯形的判定、相似三角形的性质等内容，
熟练掌握相关知识是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）（2017•深圳）因式分解：a3﹣4a＝ a （ a +2 ）（ a ﹣2 ） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
10．（2分）（2025•南通）若√x-3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 x ≥3 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥3．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
k
11．（2分）（2025•东城区二模）如图，已知直线y＝mx与双曲线y= 的一个交点坐标为（3，4），则
x
它们的另一个交点坐标是 （﹣ 3 ，﹣ 4 ） ．
【考点】反比例函数图象的对称性．
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【答案】见试题解答内容
第15页（共36页）【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
k
【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y= 的两个分支关于原点对称，
x
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案为：（﹣3，﹣4）．
【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．
2 3x
12．（2分）（2025•东城区二模）分式方程 + =1的解为 x ＝ 1 ．
x-2 2-x
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程
的解．
【解答】解：去分母得：2﹣3x＝x﹣2，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故答案为：x＝1
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．（2分）（2015•泰州）如图， O的内接四边形ABCD中，∠A＝115°，则∠BOD等于 130 ° ．
⊙
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
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【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，再根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵∠A＝115°
∴∠C＝180°﹣∠A＝65°
∴∠BOD＝2∠C＝130°．
故答案为：130°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
第16页（共36页）14．（2分）（2025•东城区二模）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作
建立了从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法
测量海岛上一座山峰AB的高度，分别在C，D两点观察山顶点A，测得仰角分别为45°，26.5°，同时
测得CD长为200米，则山峰AB的高度约为 20 0 米．
（sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】200．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB＝BC，求得BD＝BC+CD＝（AB+200）米，根据三角函
数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∵CD长为200米，
∴BD＝BC+CD＝（AB+200）米，
AB AB
∴tanD＝tan26.5°= = ≈0.5，
BD AB+200
∴AB＝200，
答：山峰AB的高度约为200米，
故答案为：200．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
15．（2分）（2025•东城区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝15，点E是CD边上的一点，
S 1
连接AE，将△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处，则 △ECF = ．
S 9
△FBA
第17页（共36页）【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
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【专题】图形的相似；运算能力．
1
【答案】 ．
9
【分析】根据折叠的性质，可得 AD＝AF＝15，DE＝EF，BF=√AF2-AB2=12；∠AFE＝ADE＝
EF AF 15 5
90°，∠ABF＝∠AFE＝∠FCE＝90°，△ABF∽△FCE， = = = ；设DE＝EF＝x，则EC＝9
EC BF 12 4
EF x 5 EF 5 1 S EF 1 1
﹣x， = = ，解得：x＝5，则 = = ；△ECF∽△FBA， △ECF =( ) 2=( ) 2= ．
EC 9-x 4 AF 15 3 S AF 3 9
△FBA
【解答】解：在矩形ABCD中，根据折叠的性质，可得AD＝AF＝15，DE＝EF，∠AFE＝ADE＝90°，
BF=√AF2-AB2=√152-92=12；
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∵∠AFB+∠FAB＝90°，
∴∠EFC＝∠FAB，
∵∠ABF＝∠FCE＝90°，
∴△FBA∽△ECF，
EF AF 15 5
∴ = = = ；
EC BF 12 4
设DE＝EF＝x，则EC＝9﹣x，
EF 5
∵ = ，
EC 4
x 5
∴ = ，解得：x＝5，
9-x 4
第18页（共36页）EF 5 1
∴ = = ；
AF 15 3
∵△ECF∽△FBA，
S EF 1 1
∴ △ECF =( ) 2=( ) 2= ．
S AF 3 9
△FBA
1
故答案为： ．
9
【点评】本题考查了形似三角形的性质，熟练掌握矩形、折叠变换、相似三角形的性质是解本题的关
键，综合性较强，难度适中．
16．（2分）（2025•东城区二模）图为一个3×3的开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，
每次只能按一个开关．按任意一个开关一次将导致自身和所有相邻（上、下、左、右）的开关改变状
态．例如，按开关E一次将导致B，D，E，F，H改变状态．如果按任意一个开关一次，则至少导致
3 个开关改变状态；如果要求只改变A，E，I的状态，则最少按 3 次开关．
【考点】推理与论证．
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【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】3，3．
【分析】若按如果按任意一个开关一次，可以导致3、4、5个开关改变状态，则至少导致3个开关改
变状态，然后逐一分析推理得解．
【解答】解：由题意可知，若按如果按任意一个开关一次，可以导致3、4、5个开关改变状态，则至
少导致3个开关改变状态，
如果只改变A，E，I的状态，
其中A由A、B、D影响，
E由B、D、E、F、H影响，
I由F、H、I影响，
要使得它们三个改变，则A、B、D被按次数总和为奇数次，
同理E与I一样分析，
所以3个奇数加起来至少为3次，
那么看3次能否能完成，当按下的刚好是A、E、I，则A改变1次，B改变2次，D改变2次，E改变1
第19页（共36页）次，F改变2次，H改变2次，I改变1次，
故3次符合题意，
故答案为：3，3．
【点评】本题主要考查了推理与论证，正确理解题意是解题的关键．
三、解答题（共.68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21-23题每题5分，第24-26题每题6分，
第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明
17．（5分）（2025•东城区二模）计算：2-1+4cos30°+(π-3.14) 0-√12．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】1.5．
【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值，二次根式的性质计算后再算加减即可．
1 √3
【解答】解：原式= +4× +1﹣2√3
2 2
1
= +2√3+1﹣2√3
2
＝1.5．
【点评】本题考查实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算
法则是解题的关键．
2x-1 3x-2
18．（5分）（2025•东城区二模）解不等式 ≥ -1，并写出此不等式的非负整数解．
3 2
【考点】一元一次不等式的整数解；解一元一次不等式．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≤2，0，1，2．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可．
【解答】解：去分母得，2（2x﹣1）≥3（3x﹣2）﹣6，
去括号得4x﹣2≥9x﹣6﹣6，
移项得4x﹣9x≥﹣6﹣6+2，
合并同类项得﹣5x≥﹣10，
系数化为1得x≤2，
∴非负整数解为：0，1，2．
【点评】本题考查求一元一次不等式的整数解．正确的计算是关键．
19．（5分）（2025•东城区二模）已知3a2+2a＝1，求代数式3a（a+2）+（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+1）的
第20页（共36页）值．
【考点】整式的混合运算—化简求值；完全平方公式；平方差公式．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】3a2+2a+5，原式＝6．
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把3a2+2a＝1代
入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：3a（a+2）+（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+1）
＝3a2+6a+a2﹣4a+4﹣a2+1
＝3a2+2a+5，
当3a2+2a＝1时，原式＝1+5＝6．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算
是解题的关键．
20．（6分）（2025•东城区二模）某地区防风林工程种植乔木和灌木，要求乔木种植面积占比不超过
10%．今年已种植乔木、灌木的面积共1000公顷；计划明年种植乔木和灌木的面积共1450公顷，其
中乔木的面积比今年减少40%，灌木的面积比今年增加60%．判断经过今明两年种植后该地区乔木面
积占比是否符合防风林工程要求，并说明理由．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】今明两年种植后该地区乔木面积占比符合防风林工程要求，理由见解析．
【分析】设今年种植乔木面积为x公顷，种植灌木面积为y公顷，则明年种植乔木面积为（1﹣40%）x
公顷，种植灌木面积为（1+60%）y公顷，根据今年已种植乔木、灌木的面积共1000公顷；计划明年
种植乔木和灌木的面积共1450公顷，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：今明两年种植后该地区乔木面积占比符合防风林工程要求，理由如下：
设今年种植乔木面积为x公顷，种植灌木面积为y公顷，则明年种植乔木面积为（1﹣40%）x公顷，
种植灌木面积为（1+60%）y公顷，
{ x+ y=1000
由题意得： ，
(1-40%)x+(1+60%)y=1450
{x=150
解得： ，
y=850
∴（1﹣40%）x＝0.6x＝90，（1+60%）y＝1.6y＝1360，
∴今明两年种植乔木面积为150+90＝240（公顷），灌木面积为850+1360＝2210（公顷），
第21页（共36页）∴今明两年总种植面积为：240+2210＝2450（公顷），
240
∴乔木种植面积占比为 ×100%≈9.8%＜10%，
2450
∴今明两年种植后该地区乔木面积占比符合防风林工程要求．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的
关键．
21．（5分）（2025•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象过点
1
（0，2）和（1，3）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y ＝kx+b的值与函数y ＝mx（m≠0）的值之和都大于6，直
1 2
接写出m的取值范围．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
{k=1
【答案】（1） ；
b=2
（2）m≥3．
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）根据函数的图象，结合数形结合思想求解．
{ b=2
【解答】解：（1）由题意得： ，
k+b=3
{k=1
解得： ；
b=2
（2）当x＝1时，y＝x+2＝3，
把（1，3）代入y＝mx得m＝3，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y ＝x+2的值与函数y ＝mx（m≠0）的值之和都大于6，
1 2
由图象得：当m≥3时，函数y ＝x+2的值与函数y ＝mx（m≠0）的值之和都大于6．
1 2
第22页（共36页）【点评】本题考查了待定系数法求一个函数的解析式，一次函数图象与系数的关系，掌握待定系数法
及数形结合思想是解题的关键．
22．（5分）（2025•东城区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为线段OD上一点，
且AE＝CE． ▱
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
1
（2）若AB＝BE＝5，tan∠CAE= ，求AC的长．
3
【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形；平行四边形的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应
用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）AC的长是6．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，而AE＝CE，即可根据等腰三角形的“三线合一”证
明BD⊥AC，则四边形ABCD是菱形；
OE 1
（2）设OE＝m，因为∠AOE＝90°，所以 =tan∠CAE= ，则OA＝OC＝3OE＝3m，由OA2+OB2＝
OA 3
AB2，且OB＝5﹣m，得（3m）2+（5﹣m）2＝52，求得符合题意的m值为1，则OA＝3，所以AC＝
2OA＝6．
第23页（共36页）【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴OA＝OC，
∵E为线段OD上一点，且AE＝CE，
∴OE⊥AC，即BD⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，且BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
1
（2）解：如图，AB＝BE＝5，tan∠CAE= ，设OE＝m，
3
∵∠AOE＝90°，
OE 1
∴ =tan∠CAE= ，
OA 3
∴OA＝OC＝3OE＝3m，
∵OA2+OB2＝AB2，且OB＝5﹣m，
∴（3m）2+（5﹣m）2＝52，
解得m ＝1，m ＝0（不符合题意，舍去），
1 2
∴OA＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∴AC的长是6．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的“三线合一”、菱形的判定、勾股定理、解
直角三角形等知识，推导出OA＝OC，进而证明BD⊥AC是解题的关键．
23．（5分）（2025•东城区二模）某气象站对四月份30天的气温（单位：℃）进行了监测，数据分为上
旬（4月1日﹣10日）、中旬（4月11日﹣20日）和下旬（4月21日﹣30日）三部分．
a．上旬10天的日平均气温如下：
21 23 24 25 26 26 26 27 27 28
b．中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组15≤x＜20，第2组20≤x＜
25，第3组25≤x＜30，第4组30≤x＜35，第5组35≤x＜40）：
c．上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如表：
第24页（共36页）平均数 众数 中位数
上旬 25.3 26 m
中旬 24.6 26 24.5
下旬 27.5 26 27
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为 2 6 ；
（2）4月份30天的日平均气温的平均数是 25. 8 ，气温为25℃及以上的天数为 2 0 天；
（3）根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于22℃，则视为入夏．
立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区入夏的是D ．
A．平均数为25，中位数为22
B．平均数为23，众数为25
C．中位数为23，众数为25
D．平均数为25，方差≤1
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；方差．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）26；
（2）25.8；20；
（3）D．
【分析】（1）根据中位数的定义即可得解；
（2）根据平均数的定义可得第一空，再结合题干数据可得第二空；
（3）根据平均数、众数、中位数、方差的定义分析判断即可．
26+26
【解答】解：（1）m= =26；
2
故答案为：26；
25.3+24.6+27.5
（2）x= =25.8（天）；
3
第25页（共36页）由上旬数据可知气温为25℃及以上的天数有7天，
由中下旬数据可知为25℃及以上的天数有8+4+1＝13天，
∴7+13＝20（天）；
故答案为：25.8；20；
（3）对于A，平均数为25℃，中位数为22℃，可能出现低于22℃的情况，
例：21，22，22，28，32，
故A不正确；
对于B，平均数为23℃，众数为25℃，也可能出现低于22℃的情况，
例：20，22，23，25，25，
故B不正确；
对于C，中位数为23℃，众数为25℃，也可能出现低于22℃的情况，
例：20，22，23，25，25，
故C不正确；
对于D，当平均数为25℃，总体方差为≤1，根据方差公式求得五天气温的最小值（25-√5）度，大
于22度平均气温，
故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平均数、中位数、方差、众数等数据分析，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24．（6分）（2025•东城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作 O，交AC于点
D，过点O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
13⊙
（2）已知OE= ，CD＝9，求 O的半径．
2
⊙
【考点】切线的判定与性质；圆周角定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其
应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
第26页（共36页）（2） O的半径长为√13．
【分析⊙】（1）连接BD、OD，则OD＝OB＝OA，由AB是 O的直径，得∠BDC＝∠ADB＝90°，因
⊙
BE OB
为 OE∥AC，所以 = =1，则 BE＝CE，可证明 DE＝BE，则∠EDB＝∠EBD，而∠ODB＝
CE OA
∠OBD，所以∠ODE＝∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝∠ABC＝90°，即可证明DE是 O的切线；
BL BE 1 9 ⊙
（2）设BD交OE于点L，由 = =1，得BL＝DL，所以EL= CD= ，求得OL＝OE﹣EL＝2，
DL CE 2 2
OB OL
由cos∠BOE= = ，求得OB=√OL⋅OE=√13，则 O的半径长为√13．
OE OB
⊙
【解答】（1）证明：连接BD、OD，则OD＝OB＝OA，
∵AB是 O的直径，
∴∠BDC⊙＝∠ADB＝90°，
∵OE∥AC，交BC于点E，
BE OB
∴ = =1，
CE OA
∴BE＝CE，
1
∴DE＝BE= BC，
2
∴∠EDB＝∠EBD，
∵∠ODB＝∠OBD，且∠ABC＝90°，
∴∠ODE＝∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD＝∠ABC＝90°，
∵OD是 O的半径，且DE⊥OE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解⊙：设BD交OE于点L，
13
∵OE∥AC，BE＝CE，OE= ，CD＝9，
2
BL BE
∴ = =1，
DL CE
∴BL＝DL，
1 9
∴EL= CD= ，
2 2
13 9
∴OL＝OE﹣EL= - =2，
2 2
第27页（共36页）∵∠OLB＝∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，
OB OL
∴cos∠BOE= = ，
OE OB
√ 13
∴OB=√OL⋅OE= 2× =√13，
2
∴ O的半径长为√13．
⊙
【点评】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、平行线分线段成比例定理、直角三角形中30°角所对
的直角边等于斜边的一半、切线的判定、三角形中位线定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助
线是解题的关键．
25．（6分）（2025•东城区二模）某团队设计了一款智能灯，它可以根据自然光照度自动开启或关闭，
当自然光照度小于或等于k勒克斯（勒克斯为光照度单位）时，自动开启；大于k勒克斯时，自动关
闭．该团队通过模拟自然光照度进行了一次实验，记录了实验中模拟自然光照度 y（单位：勒克斯）
与时间t（单位：分钟）的关系数据，如下表所示：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 32.9 30.0 27.5 25.6 24.2 23.3 22.9 23.0 23.7 24.8 26.5 28.7 31.4
（1）团队成员发现可以用函数刻画模拟自然光照度y与t之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，
描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
第28页（共36页）（2）若k＝30．
①智能灯首次开启时，t＝ 1 ；
②智能灯的工作时长约为 10. 5 分钟；（结果保留小数点后一位）
（3）设当k为30，27，24时，智能灯工作时长分别为t ，t ，t ，则t ﹣t ＜ t ﹣t .（填“＞”
1 2 3 1 2 2 3
“＝”或“＜”）
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】（1）见解析；
（2）1；10.5；
（3）＜．
【分析】（1）根据描点直接连线即可得解；
（2）由图象观察，当k＝30时，对应的t值，进而即可得解；
（3）分别根据函数图象求出t 、t 、t ，再计算求解即可．
1 2 3
【解答】解：（1）函数的图象如图所示；
（2）由图象可知，当k＝30时，则t＝1或t≈11.5，
①当t＝1时，智能灯首次开启；
②工作时长为11.5﹣1＝10.5分钟；
故答案为：1；10.5；
（3）由（2）知t ≈10.5分钟；
1
由图象可知：当k＝27时，t≈2.1或t≈10.2，则t ＝10.2﹣2.1≈8.1分钟；
2
当k＝24时，t≈3.9或t≈8.1，则t ＝8.1﹣3.9≈4.2分钟；
3
∴t ﹣t ≈2.4分钟，t ﹣t ≈3.9分钟，
1 2 2 3
第29页（共36页）∵2.4＜3.9，
∴t ﹣t ＜t ﹣t ；
1 2 2 3
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了函数的图象，正确理解题意是解体的关键．
26．（6分）（2025•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+2tx+c（a≠0）经过点
（1，2t+c﹣1），点A（t﹣1，y ），B（t+2，y ）在抛物线G上．
1 2
（1）求a的值；
（2）将抛物线G向右平移2个单位长度得到抛物线G′，点C（2t+2，y ）在抛物线G′上，且总有y ＜
3 2
y ＜y ，求t的取值范围．
3 1
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）a＝﹣1；（2）﹣2＜t＜﹣1或1＜t＜2．
【分析】（1）依据题意，由抛物线G：y＝ax2+2tx+c（a≠0）经过点（1，2t+c﹣1），则a+2t+c＝2t+c
﹣1，可得a＝﹣1，进而可以得解；
（2）依据题意，结合（1）可得，抛物线G为y＝﹣x2+2tx+c＝﹣（x﹣t）2+t2+c，又抛物线G向右平
移2个单位长度得到抛物线G′，则抛物线G'为y＝﹣（x﹣t﹣2）2+t2+c，结合点C（2t+2，y ）在抛物
3
线G′上，则y ＝c，又抛物线G为y＝﹣x2+2tx+c，故当x＝0时，y＝c＝y ，又a＝﹣1＜0，且抛物线G
3 3
2t
的对称轴是直线x =- = t，从而此时抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
2×(-1)
又抛物线G经过点点A（t﹣1，y ），B（t+2，y ），y ＜y ＜y ，且抛物线G为y＝﹣x2+2tx+c，则|t+2
1 2 2 3 1
﹣t|＞|t﹣0|＞|t﹣1﹣t|，即2＞|t|＞1，进而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线G：y＝ax2+2tx+c（a≠0）经过点（1，2t+c﹣1），
∴a+2t+c＝2t+c﹣1．
∴a＝﹣1．
（2）由题意，结合（1）可得，抛物线G为y＝﹣x2+2tx+c＝﹣（x﹣t）2+t2+c．
又∵抛物线G向右平移2个单位长度得到抛物线G′，
∴抛物线G'为y＝﹣（x﹣t﹣2）2+t2+c．
又∵点C（2t+2，y ）在抛物线G′上，
3
∴y ＝c．
3
又∵抛物线G为y＝﹣x2+2tx+c，
∴当x＝0时，y＝c＝y ，
3
第30页（共36页）2t
∵a＝﹣1＜0，且抛物线G的对称轴是直线x =- = t，
2×(-1)
∴此时抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵抛物线G经过点点A（t﹣1，y ），B（t+2，y ），y ＜y ＜y ，且抛物线G为y＝﹣x2+2tx+c，
1 2 2 3 1
∴|t+2﹣t|＞|t﹣0|＞|t﹣1﹣t|，即2＞|t|＞1．
{-2＜t＜2
∴ ．
t＞1或t＜-1
∴﹣2＜t＜﹣1或1＜t＜2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，
解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
27．（7分）（2025•东城区二模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，D为AC上一点，BC＝BD，∠ABD＝
（0°＜ ＜45°），过点C作CE⊥BD于点E，交AB于点F． α
（1）求α∠BCF的度数（用含 的式子表示）；
（2）用等式表示线段BF与AαD之间的数量关系，并证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；列代数式．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）2 ；
（2）BF=√2ADα，理由见解答过程．
【分析】（1）先求出∠ADB＝135°﹣ ，则∠BDC＝45°+ ，根据BC＝BD得∠BCD＝∠BDC＝45°
+ ，进而得∠CBD＝90°﹣2 ，然后根据αCE⊥BD即可得出∠αBCF的度数；
（α2）过点C作CM⊥BF于点αM，在CM的延长线上截取MN＝MB，连接BN，FN，则△MBN是等腰直
角三角形，进而得∠BNC＝∠NBM＝∠A＝45°，根据三角形的内角和定理求出∠CFB＝∠CBF＝90°﹣
，∠NBC＝∠ADB＝135°﹣ ，则FC＝BC，由此得CM是线段BF的垂直平分线，继而得BN＝FN，
α则△BFN是等腰直角三角形，α由勾股定理得BF=√2BN，再证明△NBC和△ADB全等得BN＝AD，由
此即可得出线段BF与AD之间的数量关系．
【解答】解：（1）在△ABD中，∠A＝45°，∠ABD＝ （0°＜ ＜45°），
α α
第31页（共36页）∴∠ADB＝180°﹣（∠A+∠ABD）＝180°﹣（45°+ ）＝135°﹣ ，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣（135°﹣ ）＝45α°+ ， α
∵BC＝BD， α α
∴∠BCD＝∠BDC＝45°+ ，
在△BCD中，∠CBD＝1α80°﹣（∠BCD+∠BDC）＝180°﹣（45°+ +45°+ ）＝90°﹣2 ，
∵CE⊥BD， α α α
∴△BCE是直角三角形，
∴∠BCF＝90°﹣∠CBD＝90°﹣（90°﹣2 ）＝2 ；
（2）线段BF与AD之间的数量关系是α：BF= α√2AD，理由如下：
过点C作CM⊥BF于点M，在CM的延长线上截取MN＝MB，连接BN，FN，如图所示：
∴△MBN是等腰直角三角形，
∴∠BNC＝∠NBM＝45°，
∵∠A＝45°，
∴∠BNC＝∠A＝45°，
∵CE⊥BD，∠ABD＝ （0°＜ ＜45°），
在Rt△BEF中，∠CFαB＝90°﹣α∠ABD＝90°﹣ ，
由（1）可知：∠CBD＝90°﹣2 ，∠ADB＝13α5°﹣ ，∠CBD＝90°﹣2 ，
∴∠CBF＝∠CBD+∠ABD＝90°﹣α 2 + ＝90°﹣ ，α∠NBC＝∠ABD+∠αCBD+∠NBM＝ +90°﹣2 +45°＝
135°﹣ ， α α α α α
∴∠CFBα＝∠CBF＝90°﹣ ，∠NBC＝∠ADB＝135°﹣ ，
∴FC＝BC， α α
∵CM⊥BF，
∴BM＝FM，
∴CM是线段BF的垂直平分线，
∴BN＝FN，
又∵∠NBM＝45°，
第32页（共36页）∴△BFN是等腰直角三角形，
由勾股定理得：BF=√BN2+FN2=√2BN，
在△NBC和△ADB中，
{
∠BNC=∠A
∠NBC=∠ADB，
BC=BD
∴△NBC≌△ADB（AAS），
∴BN＝AD，
∴BF=√2AD．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形
的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
28．（7分）（2025•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和不在直线AB上的点M，给
出如下定义：若存在点 N，满足点 N 与点 M 在直线 AB 的异侧，NA2+MB2＝NB2+MA2，且
∠MAN+∠MBN≤180°，则称点N为点M关于线段AB的“平衡点”．
（1）已知点A（4，0），M（1，1）．
①在点N （3，﹣1），N （1，﹣2），N （2，﹣1）中，点N 是点M关于线段OA的“平衡点”；
1 2 3 2
②若直线y＝﹣2x+b上存在点M关于线段OA的“平衡点”，直接写出b的取值范围；
（2）已知 O半径为2，CD是 O的弦，且CD＝2．点P（t，0），Q（t+1，1），以PQ为对角线作
正方形．若⊙正方形边上存在点O⊙关于线段CD的“平衡点”，直接写出t的取值范围．
【考点】圆的综合题．
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【专题】新定义；推理能力．
【答案】（1）①N ；②﹣1≤b＜2；
2
4√3 4√3
（2）- -1≤t＜-√2或√2-1＜t≤ ．
3 3
【分析】（1）①根据定义计算判断即可；
②由定义可知要使得NA2﹣NB2＝MA2﹣MB2，则N一定在直线MH上，且与M在直线AB异侧且
∠MAN+∠MBN≤180°；易得M、O、N、A四点共圆，进而可推直线y＝﹣2x+b与x＝1交点纵坐标满足
﹣3≤y ＜0，即可得解；
N
4√3
（2）由题可推出N在以O为圆心，√3与 为半径的圆环内，可以取外圆上，若正方形边上存在点
3
O关于线段CD的“平衡点”，则正方形与圆环有交点即可，找出四个临界状态即可．
【解答】解：（1）①∵A（4，0），M（1，1），
第33页（共36页）∴MO2﹣MA2＝2﹣（9+1）＝﹣8，N O2-N A2=10-(1+1)=8，
1 1
N O2-N A2=5-(9+4)=-8，N O2-N A2=5-(4+1)=0，
2 2 3 3
故点N 是点M关于线段OA的“平衡点”
2
②由定义NA2+MB2＝NB2+MA2可知，NA2﹣NB2＝MA2﹣MB2，
过点M作MH⊥AB，
∴MA2﹣MB2＝AH2+MH2﹣（BH2+MH2）
＝AH2﹣BH2
＝（AH+BH）（AH﹣BH）
＝AB•（AH﹣BH），
随着M的移动，我们知道AH﹣BH会变化，
要 使 得 NA2﹣NB2 ＝ MA2﹣MB2 ， 则 N 一 定 在 直 线 MH 上 ， 且 与 M 在 直 线 AB 异 侧 且
∠MAN+∠MBN≤180°；
∵M 在 AB 上 方 ， 则 点 M 关 于 线 段 OA 的 “ 平 衡 点 ” 一 定 在 x ＝ 1 上 ， 且 需 要 满 足
∠MON+∠MAN≤180°，
N在M下方时，当∠MON+∠MAN＝180°时，则M、O、N、A四点共圆，
第34页（共36页）∴∠OAM＝∠ONM，
1 1
∵tan∠OAM= = ，
4-1 3
1
∴tan∠ONM= ，此时NH＝3，即N（0，﹣3）
3
∴直线y＝﹣2x+b与x＝1交点纵坐标满足﹣3≤y ＜0，
N
解得﹣1≤b＜2；
（2）对于弦CD，取其中点H，则O关于线段CD的“平衡点”N在直线OH上，且ON＞√3，
当∠OCN+∠ODN＝180°时，
4√3
即∠OCN＝90°，此时ON= ，
3
4√3
∴√3＜ON≤ ，
3
4√3
则N在以O为圆心，√3与 为半径的圆环内，可以取外圆上，
3
第35页（共36页）若正方形边上存在点O关于线段CD的“平衡点”，则正方形与圆环有交点即可，找出四个临界状态
即可，
4√3 4√3
①t+1=- 时，即t=- -1；
3 3
②（t，1）在半径为√3的 O上，
此时t2+12＝3，
⊙
解得t=-√2；
③（t+1，1）在半径为√3的 O上，
此时（t+1）2+12＝3，
⊙
解得t=√2-1；
4√3
④t= ；
3
4√3 4√3
综上所述，- -1≤t＜-√2或√2-1＜t≤ ．
3 3
【点评】本题主要考查了以圆为背景的新定义题型，正确理解题意是解题的关键．
第36页（共36页）
