文档内容
2025年广东省广州市黄埔区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.）
1．（3分）（2025•黄埔区二模）如图，数轴上点A表示的数是（ ）
1 1
A． B．- C．3 D．﹣3
3 3
2．（3分）（2025•黄埔区二模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为
“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和
“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 5
3．（3分）（2025•黄埔区二模）点P（﹣4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（﹣4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（4，﹣3）
{x=2
4．（3分）（2025•黄埔区二模）若 是关于x，y的二元一次方程x﹣ay＝4的一组解，则a的值为（
y=2
）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
5．（3分）（2025•黄埔区二模）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限
B．图象与x轴交于点（0，1）
C．函数值y随自变量x的增大而减小
D．当x＞﹣1时，y＜0
6．（3分）（2009•长春）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC＝45°，OC=√2，则
点B的坐标为（ ）
A．（√2，1） B．（1，√2） C．（√2+1，1） D．（1，√2+1）
第1页（共33页）7．（3分）（2025•黄埔区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中a＜0，b＜0，c＞0，则该二次函数图
象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2025•黄埔区二模）《九章算术》中有这样的一段记录，译为白话文是：把一份边疆密件用
慢马运送到800里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马加急运送，所需的时间比规定时
间少5天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为
（ ）
800 800 800 800
A． = +5 B． +5=
x 2x x 2x
800 800 800 800
C． = D． =
x+5 2x x 2x+5
9．（3分）（2024•淄博）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接
MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（ ）
A．2 B．√2 C．√3 D．√5
10．（3分）（2025•黄埔区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，
1
以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接
2
AD，以下结论不正确的是（ ）
第2页（共33页）A．∠BAD＝72° B．CA2＝CD•CB
1 CD √5-1
C．EC= BD D． =
2 CB 2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）（2025•盐城）分解因式：x2﹣9＝ ．
12．（3 分）（2025•黄埔区二模）如图， O 的直径 AB 平分弦 CD，若∠D＝30°，则∠A＝
． ⊙
13．（3分）（2025•黄埔区二模）如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝8，AB＝5，BE平分∠ABC
交AD于点E，则DE＝ ．
14．（3分）（2025•黄埔区二模）若a2﹣3a+1＝0，则﹣2a2+6a+1的值是 ．
15．（3分）（2025•黄埔区二模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地
阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图1，舂臼——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用
了杠杆原理工作，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O距地面15cm，且AO：OB＝
4：1，在舂臼使用过程中，若B端上升至距地面10cm处，则A端此时距地面 cm．
k
16．（3分）（2025•黄埔区二模）如图，反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象经过点A（x ，y ），B
x 1 1
第3页（共33页）（x
2
，y
2
），x
1
＜x
2
，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，OB，AB，并延长OA，CB交于点P．若A
是OP的中点，则S ﹣S 的值为 （结果用含k的代数式表示）．
△ABP △OBC
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
{3x+ y=8
17．（4分）（2025•黄埔区二模）解方程组 ．
2x- y=7
18．（4分）（2025•黄埔区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，且BD＝CE．求证：
∠BAD＝∠CAE．
4 y y2-2xy+x2
19．（6分）（2025•黄埔区二模）已知A=( -1)÷ ．
x+3 y 2x+6 y
（1）化简A；
（2）若点（x，y）是直线y=x+√2上的一点，求A的值．
20．（6分）（2025•黄埔区二模）2025年2月，广州市全市推进初中下午课间调整为15分钟的新规，旨
在让学生更好地走出教室、拥抱阳光、快乐活动．新规推行后，某校为了解学生每天课后进行体育锻
炼的时间情况，在4月份某天随机抽取了九年级若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示
的两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息（如图10），解答下列问题：
（1）这次调查共抽取了 名学生；
（2）求扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数；
（3）已知该校九年级有500名学生，请估计该校九年级学生中运动时长在60分钟以上（不含60分
钟）的学生有多少人？
组别 锻炼时间（分钟） 频数（人） 频率
第4页（共33页）A 0≤x≤30 10 0.2
B 30＜x≤60 m 0.4
C 60＜x≤90 15 p
D x＞90 n 0.1
21．（8分）（2025•黄埔区二模）真实情境：如图2，使用无人机进行航拍，无人机在离地面80米的高
度水平飞行．无人机能够拍摄到地面上的一座塔楼（如图1），塔楼的高度为30米．为了获得最佳的
拍摄效果，需要计算无人机与塔楼之间的水平距离，使得无人机的摄像头能够以45°的角度对准塔楼的
顶部．
（1）当无人机位于点B处时，求无人机与塔楼顶部的水平距离；
（2）如果无人机的摄像头角度调整为30°，求无人机向左飞行的水平距离．（结果保留根号）
22．（10分）（2025•黄埔区二模）综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏
壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可
以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】
（1）如表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
时间x（小时） 1 2 3 4 5
圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
第5页（共33页）【探索发现】
（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 y与x之
间的函数表达式；
【结论应用】
（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？
23．（10分）（2025•黄埔区二模）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6．
（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ACD，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，
不写作法）；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）连接BD，交AC于点O，过点O的直线交线段BC于点E，当△OBE是等腰三角形时，求BE的
长．
24．（12分）（2025•黄埔区二模）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx﹣2过点A（4，﹣
2），顶点B不在第四象限．
（1）用含a的式子表示b；
（2）连接OA，OB，AB，求△OAB面积的最小值及此时点B的坐标；
（3）经过探究发现，对于a的每一个确定的值，都有一个最大的正数t，使得当0≤x≤t时，|y|≤3都成
第6页（共33页）立，结合图象，求t的最大值．
25．（12分）（2025•黄埔区二模）已知△ABC，CA＝CB． O是△ABC的外接圆，点D在 O上（AD
＞BD），连接AD，BD，CD． ⊙ ⊙
（1）如图，∠ACB＝120°，点D在优弧AB上．
①证明：DC平分∠ADB；
②若 O的半径为2√3，求四边形ADBC面积的最大值．
（2）⊙若∠ACB＝ ，90°＜ ＜180°，判断AD，BD，CD之间的数量关系并说明理由．
α α
第7页（共33页）2025年广东省广州市黄埔区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A B A C B A A D
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.）
1．（3分）（2025•黄埔区二模）如图，数轴上点A表示的数是（ ）
1 1
A． B．- C．3 D．﹣3
3 3
【考点】数轴．
菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】根据数轴的定义即可得出答案．
【解答】解：由数轴可知，数轴上点A表示的数是﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．
2．（3分）（2025•黄埔区二模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为
“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和
“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 5
【考点】概率公式．
菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，可以求得从中随机抽取一张恰好抽到
“立春”概率．
【解答】解：由题意可得，
第8页（共33页）2 1
从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是 = ，
4 2
故选：A．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
3．（3分）（2025•黄埔区二模）点P（﹣4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（4，3） B．（﹣4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（4，﹣3）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【答案】A
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：点P（﹣4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（4，3），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
{x=2
4．（3分）（2025•黄埔区二模）若 是关于x，y的二元一次方程x﹣ay＝4的一组解，则a的值为（
y=2
）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】二元一次方程的解．
菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】将方程的解代入方程可得2﹣2a＝4，求出a即可．
{x=2
【解答】解：将 代入x﹣ay＝4得：
y=2
2﹣2a＝4，
得：a＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，解决本题的关键是将方程的解代入方程．
5．（3分）（2025•黄埔区二模）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限
B．图象与x轴交于点（0，1）
第9页（共33页）C．函数值y随自变量x的增大而减小
D．当x＞﹣1时，y＜0
【考点】一次函数的性质．
菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据解析式y＝x+1逐一判断选项，即可解答．
【解答】解：由题意可得k＝1＞0，b＝1＞0，
∴图象经过第一、二、三象限，故A正确；
函数值y随自变量x的增大而增大，故C错误；
当y＝0，可得0＝x+1，解得x＝﹣1，
∴图象与x轴交于点（﹣1，0），故B错误；
∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴当x＞﹣1时，y＞0，故D错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数性质是关键．
6．（3分）（2009•长春）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC＝45°，OC=√2，则
点B的坐标为（ ）
A．（√2，1） B．（1，√2） C．（√2+1，1） D．（1，√2+1）
【考点】坐标与图形性质；菱形的性质．
菁优网版权所有
【专题】数形结合．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质，作CD⊥x轴，先求C点坐标，然后求得点B的坐标．
【解答】解：作CD⊥x轴于点D，
∵四边形OABC是菱形，OC=√2，
∴OA＝OC=√2，
又∵∠AOC＝45°
∴△OCD为等腰直角三角形，
第10页（共33页）∵OC=√2，
∴OD＝CD＝OC×sin∠COD＝OC×sin45°＝1，
则点C的坐标为（1，1），
又∵BC＝OA=√2，
∴B的横坐标为OD+BC＝1+√2，
B的纵坐标为CD＝1，
则点B的坐标为（√2+1，1）．
故选：C．
【点评】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，综合性较强．
7．（3分）（2025•黄埔区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其中a＜0，b＜0，c＞0，则该二次函数图
象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象．
菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
【分析】根据a＜0，可知该函数图象开口向下，再根据左同右异，可知对称轴在y轴右侧，根据c＜
0，可知图象与y轴交于负半轴，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c，a＜0，b＜0，c＞0，
∴该函数图象开口向下，对称轴在y轴的左侧，与y轴交于正半轴，
第11页（共33页）故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（3分）（2025•黄埔区二模）《九章算术》中有这样的一段记录，译为白话文是：把一份边疆密件用
慢马运送到800里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马加急运送，所需的时间比规定时
间少5天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为
（ ）
800 800 800 800
A． = +5 B． +5=
x 2x x 2x
800 800 800 800
C． = D． =
x+5 2x x 2x+5
【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．
菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设慢马的速度为x里/天，则分别可列出两马运送800里所需天数，再根据用快马加急运送，
所需的时间比规定时间少5天即可列式．
【解答】解：设慢马的速度为x里/天，
则快马的速度为2x里/天，
800 800
则慢马运送800里需要 天，快马送800里需要 天，
x 2x
由用快马加急运送，所需的时间比规定时间少5天，
800 800
可得 = +5，
x 2x
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意列出代数式并找出等式是解题关键．
9．（3分）（2024•淄博）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接
MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（ ）
A．2 B．√2 C．√3 D．√5
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；勾股定理；矩形的性质．
菁优网版权所有
第12页（共33页）【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接AC交MN于点F，设AB＝2m，则BC＝2AB＝4m，求得AC=√AB2+BC2=2√5m，因
为点C与点A关于直线MN对称，所以AM＝CM，MN垂直平分AC，则AF＝CF=√5m，由AB2+BM2
5 √5
＝AM2，得（2m）2+（4m﹣AM）2＝AM2，求得 AM= m，则 MF=√AM2-AF2= m，所以
2 2
AF
tan∠AMN= =2，于是得到问题的答案．
MF
【解答】解：连接AC交MN于点F，设AB＝2m，则BC＝2AB＝4m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC=√AB2+BC2=√(2m) 2+(4m) 2=2√5m，
∵将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线MN对称，
∴AM＝CM，MN垂直平分AC，
1
∴BM＝BC﹣CM＝4m﹣AM，∠AFM＝90°，AF＝CF= AC=√5m，
2
∵AB2+BM2＝AM2，
∴（2m）2+（4m﹣AM）2＝AM2，
5
∴AM= m，
2
√ 5 √5
∴MF=√AM2-AF2= ( m) 2-(√5m) 2= m，
2 2
AF √5m
= = =
∴tan∠AMN MF √5 2，
m
2
解法2：∵∠ABC＝∠CFM，∠ACB＝∠ACB，
∴△ABC∽△MFC，
∴∠AMF＝∠CMF＝∠BAC，
BC
∵tan∠BAC= =2，
AB
∴tan∠AMF＝2；
第13页（共33页）故选：A．
【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出
辅助线是解题的关键．
10．（3分）（2025•黄埔区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，
1
以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接
2
AD，以下结论不正确的是（ ）
A．∠BAD＝72° B．CA2＝CD•CB
1 CD √5-1
C．EC= BD D． =
2 CB 2
【考点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图—基本作图．
菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝36°，由线段垂直平分线的性质推出DA＝DC，AE＝
EC，得到∠DAC＝∠C＝36°，求出∠BAD＝72°，判定△CAD∽△CBA，推出AC2＝CD•BC，由等角对
1 CD 3-√5
等边得到BD＝AC，因此CE = BD，令CD＝x，BC＝y，得到（y﹣x）2＝xy，求出 = ．
2 BC 2
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
1
∴∠B＝∠C= ×（180°﹣108°）＝36°，
2
由题意知：DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，AE＝EC，
∴∠DAC＝∠C＝36°，
第14页（共33页）∴∠BAD＝∠∠BAC﹣∠DAC＝72°，
故A不符合题意；
∵∠DAC＝∠B＝36°，∠ACD＝∠ACB，
∴△CAD∽△CBA，
∴AC：BC＝CD：AC，
∴AC2＝CD•BC，
故B不符合题意；
∵∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝72°，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴BD＝BA，
∴BD＝AC，
1
∵CE= AC，
2
1
∴CE= BD，
2
故C不符合题意；
令CD＝x，BC＝y，
∴BD＝BC﹣CD＝y﹣x，
∵AC2＝CD•BC，
∴（y﹣x）2＝xy，
x 3-√5
∴ = ，
y 2
CD 3-√5
∴ = ，
BC 2
故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，作图﹣基
本作图，关键是由线段垂直平分线的性质推出 DA＝DC，判定△CAD∽△CBA，推出AC：BC＝CD：
AC．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）（2025•盐城）分解因式：x2﹣9＝ （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【考点】因式分解﹣运用公式法；平方差公式．
菁优网版权所有
【答案】（x+3）（x﹣3）．
第15页（共33页）【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、
异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
12．（3分）（2025•黄埔区二模）如图， O的直径AB平分弦CD，若∠D＝30°，则∠A＝ 30 ° ．
⊙
【考点】圆周角定理．
菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】30°．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．
【解答】解：∵∠D＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13．（3分）（2025•黄埔区二模）如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝8，AB＝5，BE平分∠ABC
交AD于点E，则DE＝ 3 ．
【考点】平行四边形的性质．
菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出
∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
第16页（共33页）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵BC＝8，CD＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据
平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE＝∠AEB．
14．（3分）（2025•黄埔区二模）若a2﹣3a+1＝0，则﹣2a2+6a+1的值是 3 ．
【考点】代数式求值．
菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】3．
【分析】由已知可得a2﹣3a＝﹣1，进而整体代入代数式计算即可求解．
【解答】解：由条件可知a2﹣3a＝﹣1，
∴﹣2a2+6a+1＝﹣2（a2﹣3a）+1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．
15．（3分）（2025•黄埔区二模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地
阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图1，舂臼——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用
了杠杆原理工作，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O距地面15cm，且AO：OB＝
4：1，在舂臼使用过程中，若B端上升至距地面10cm处，则A端此时距地面 3 5 cm．
【考点】相似三角形的应用．
菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过B作BD⊥地面于D，过A作AH⊥地面于H，过O作OC⊥地面于C，过B作BE⊥AH于E交
OC于F，根据相似三角形的判定与性质即可得到结论．
第17页（共33页）【解答】解：点O距地面15cm，且AO：OB＝4：1，如图，过B作BD⊥地面于D，过A作AH⊥地面
于H，过O作OC⊥地面于C，过B作BE⊥AH于E交OC于F，则OC∥AH，EH＝CF＝BD＝10cm，
OB 1
∴ = ，
AB 5
∵OC∥AH，
∴△BOF∽△BAE，
OF OB
∴ = ，
AE AB
∵OC＝15cm，
∴OF＝OC﹣CF＝15﹣10＝5（cm），
5 1
∴ = ，
AE 5
∴AE＝25cm，
∴AH＝AE+EH＝35cm，
∴A端此时距地面35cm，
故答案为：35．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质
是解答本题的关键．
k
16．（3分）（2025•黄埔区二模）如图，反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象经过点A（x ，y ），B
x 1 1
（x
2
，y
2
），x
1
＜x
2
，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，OB，AB，并延长OA，CB交于点P．若A
1
是OP的中点，则S ﹣S 的值为 k （结果用含k的代数式表示）．
△ABP △OBC 4
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
第18页（共33页）1
【答案】 k．
4
1 1
【分析】作AE⊥x轴，根据题意可得S
△AOE
=
2
k，S
△AOB
＝S
△APB
，S
△OBC
=
2
k，利用相似得到S
△POC
＝
1
4S ＝4× k=2k，从而求出S 即可计算出所求．
△AOE 2 △PAB
【解答】解：如图，作AE⊥x轴，
∵点A在反比例函数图象上，且是OP的中点，
1 1
∴S = k，S ＝S ，S = k，
△AOE 2 △AOB △APB △OBC 2
∵AE∥CP，
∴△OAE∽△OCP，
S OA 1
∴ △AOE =( ) 2= ，
S OP 4
△POC
1
∴S ＝4S ＝4× k=2k，
△POC △AOE 2
1 1 3
∴S = ×（2k- k）= k，
△PAB 2 2 4
3 1 1
∴S ﹣S = k- k= k．
△ABP △OBC 4 2 4
1
故答案为： k．
4
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握相似三角形的性质求出 S ＝4S ＝4
△POC △AOE
1
× k=2k是关键．
2
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
{3x+ y=8
17．（4分）（2025•黄埔区二模）解方程组 ．
2x- y=7
【考点】解二元一次方程组．
菁优网版权所有
第19页（共33页）【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】运用加减消元法求解即可．
{3x+ y=9 ①
【解答】解： ，
2x- y=7 ②
①+②得5x＝15，
解得x＝3，
将x＝3代入①得3×3+y＝8，
解得y＝﹣1．
{ x=3
∴原方程组的解为 ．
y=-1
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．
18．（4分）（2025•黄埔区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，且BD＝CE．求证：
∠BAD＝∠CAE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
{
AB=AC
∠B=∠C，
BD=CE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠BAD＝∠CAE．
第20页（共33页）【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解
题的关键．
4 y y2-2xy+x2
19．（6分）（2025•黄埔区二模）已知A=( -1)÷ ．
x+3 y 2x+6 y
（1）化简A；
（2）若点（x，y）是直线y=x+√2上的一点，求A的值．
【考点】分式的化简求值；一次函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
2
【答案】（1）- ；
x- y
（2）√2．
【分析】（1）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可；
（2）利用整体代入的方法计算．
4 y-(x+3 y) 2(x+3 y)
【解答】解：（1）A= •
x+3 y (x- y) 2
-(x- y) 2(x+3 y)
= •
x+3 y (x- y) 2
2
=- ；
x- y
（2）∵y＝x+√2，
∴x﹣y=-√2，
2
∴A=- =√2．
-√2
【点评】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，解题时可根据
题目的具体条件选择合适的方法．
20．（6分）（2025•黄埔区二模）2025年2月，广州市全市推进初中下午课间调整为15分钟的新规，旨
在让学生更好地走出教室、拥抱阳光、快乐活动．新规推行后，某校为了解学生每天课后进行体育锻
炼的时间情况，在4月份某天随机抽取了九年级若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示
的两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息（如图10），解答下列问题：
（1）这次调查共抽取了 5 0 名学生；
（2）求扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数；
（3）已知该校九年级有500名学生，请估计该校九年级学生中运动时长在60分钟以上（不含60分
第21页（共33页）钟）的学生有多少人？
组别 锻炼时间（分钟） 频数（人） 频率
A 0≤x≤30 10 0.2
B 30＜x≤60 m 0.4
C 60＜x≤90 15 p
D x＞90 n 0.1
【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
菁优网版权所有
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）50；
（2）108°；
（3）200．
【分析】（1）由A组频数及频率可得被调查的总人数；
（2）用360°乘对应人数所占比例即可；
（3）总人数乘以C、D组人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为10÷0.2＝50（名），
故答案为：50；
15
（2）扇形统计图中C组所对应的圆心角的度数为360°× =108°；
50
15+50×0.1
（3）500× =200（人），
50
答：估计该校九年级学生中运动时长在60分钟以上（不含60分钟）的学生有200人．
【点评】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体．解题的关键是读懂统计图，
能从频数分布表，扇形统计图中得到准确的信息．
21．（8分）（2025•黄埔区二模）真实情境：如图2，使用无人机进行航拍，无人机在离地面80米的高
度水平飞行．无人机能够拍摄到地面上的一座塔楼（如图1），塔楼的高度为30米．为了获得最佳的
拍摄效果，需要计算无人机与塔楼之间的水平距离，使得无人机的摄像头能够以45°的角度对准塔楼的
顶部．
第22页（共33页）（1）当无人机位于点B处时，求无人机与塔楼顶部的水平距离；
（2）如果无人机的摄像头角度调整为30°，求无人机向左飞行的水平距离．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用．
菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）无人机与塔楼顶部的水平距离为50米；
（2）无人机向左飞行的水平距离为36.5米．
【分析】（1）如图所示，塔楼的底部为点E，AE⊥地面，延长EA交CB于点D，DE＝80米，AE＝30
米，则AD＝50米，根据题意得到△ABD是等腰直角三角形，由此即可求解；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到DC≈86.5米，由BC＝DC﹣BD＝86.5﹣50＝
36.5米，即可求解．
【解答】解：（1）塔楼的底部为点E，AE⊥地面，延长EA交CB于点D，DE＝80米，AE＝30米，
∴AD＝DE﹣AE＝80﹣30＝50米，
∵∠ABD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴DA＝DB＝50米，
∴无人机与塔楼顶部的水平距离为50米；
（2）∠ACD＝30°，AD＝50米，
∴AC＝2AD＝100米，
第23页（共33页）∴DC=√AC2-AD2=√1002-502=50√3≈50×1.73=86.5（米），
∴BC＝DC﹣BD＝86.5﹣50＝36.5（米），
∴无人机向左飞行的水平距离为36.5米．
【点评】本题主要考查仰俯角解直角三角形，勾股定理，含 30度角的直角三角形的性质，掌握仰俯角
解直角三角形的计算是解题的关键．
22．（10分）（2025•黄埔区二模）综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏
壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可
以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】
（1）如表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
时间x（小时） 1 2 3 4 5
圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】
（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 y与x之
间的函数表达式；
【结论应用】
（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？
【考点】一次函数的应用．
菁优网版权所有
第24页（共33页）【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）见解析；
（2）圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午12：30．
【分析】（1）描出各点，并连线，即可画出函数图象；用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）求出当y＝20时对应x的值，即可解决问题．
【解答】解：（1）描出各点，并连接，如图所示：
（2）由（1）中图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵点（1，6），（2，10）在该函数图象上，
{ k+b=6
∴ ，
2k+b=10
{k=4
解得 ，
b=2
∴y与x的函数表达式为y＝4x+2；
（3）当y＝20时，即4x+2＝20，
解得：x＝4.5，
∴8+4.5＝12.5，
所以圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午12：30．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
23．（10分）（2025•黄埔区二模）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6．
（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ACD，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，
不写作法）；
第25页（共33页）（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）连接BD，交AC于点O，过点O的直线交线段BC于点E，当△OBE是等腰三角形时，求BE的
长．
【考点】四边形综合题．
菁优网版权所有
【专题】几何综合题；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作∠CAD＝∠BAC，然后截取AD＝AC，连接CD即可完成作图；
（2）由（1）作图过程可得AD＝AC，DC＝BC，根据△ABC是等边三角形，即可解决问题；
（3）分两种情况讨论：①当BO＝BE时，②当E′O＝BE′时，利用等边三角形的性质证明即可．
【解答】（1）解：如图，△ACD即为所求；
（2）证明：由作图过程可知：AD＝AC，DC＝BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴AB＝AD＝BC＝DC，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）解：如图，分两种情况讨论：
①当BO＝BE时，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABD＝30°，
∵AB＝6，
1
∴AO= AB＝3，
2
∴BO=√3AO＝3√3，
∴BE＝BO＝3√3；
②当E′O＝BE′时，
第26页（共33页）∴∠E′OB＝∠E′BO＝30°，
∴∠CE′O＝60°，
∵∠BCO＝60°，
∴△OE′C是等边三角形，
∴CE′＝E′O，
1
∴CE′＝E′O＝BE′= BC＝3，
2
综上所述：当△OBE是等腰三角形时，BE的长为3√3或3．
【点评】本题是四边形综合题，考查了尺规作图，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等
腰三角形的性质，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
24．（12分）（2025•黄埔区二模）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx﹣2过点A（4，﹣
2），顶点B不在第四象限．
（1）用含a的式子表示b；
（2）连接OA，OB，AB，求△OAB面积的最小值及此时点B的坐标；
（3）经过探究发现，对于a的每一个确定的值，都有一个最大的正数t，使得当0≤x≤t时，|y|≤3都成
立，结合图象，求t的最大值．
【考点】二次函数综合题．
菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）b＝﹣4a；
（2）△OAB面积的最小值为2，此时B（2，0）；
（3）t的最大值为2+√6．
【分析】（1）将A点坐标代入即可得解；
第27页（共33页）（2）先求出直线OA解析式，再利用割补法求解即可；
（3）根据顶点，分类讨论，当顶点在y＝3上方时或顶点在y＝﹣3下方时，依据题意建立不等式求解
即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2过点A（4，﹣2），
∴16a+4b﹣2＝﹣2，
∴b＝﹣4a；
（2）y＝ax2﹣4ax﹣2＝a（x﹣2）2﹣2﹣4a，
∴B（2，﹣2﹣4a），
∵顶点B不在第四象限，
∴﹣2﹣4a≥0，
1
∴a≤- ，
2
过点B作BH⊥x轴交OA于点H，
设直线OA的解析式为y＝kx，代入点A（4，﹣2），
得4k＝﹣2，
1
解得k=- ，
2
1
∴直线OA的解析式为y=- x，
2
当x＝2时，y＝﹣1，
∴H（2，﹣1），
∴BH＝﹣2﹣4a﹣（﹣1）＝﹣1﹣4a，
1
∴S =S +S = BH(x -x )=2BH=-2-8a，
△OAB △OBH △ABH 2 A O
第28页（共33页）1
∵a≤- ，
2
∴S ＝﹣2﹣8a≥2，
△OAB
∴△OAB面积的最小值为2，此时B（2，0）；
1
（3）由（2）知a≤- ；
2
5 1
①当﹣2﹣4a＜3，即- ＜a≤- 时，
4 2
ax2﹣4ax﹣2＝﹣3，
4a±√16a2-4a √ 1
解得：x= =2± 4- ，
2a a
5 1
∵- ＜a≤- ，
4 2
4 1
∴ ＜- ≤2，
5 a
24 1
∴ ＜4- ≤6，
5 a
4√30 √ 1
∴ ＜ 4- ≤√6，
5 a
√ 1
∴t=x =2+ 4- ≤2+√6，
E a
1
即当a=- 时，t =2+√6；
2 max
5
②当﹣2﹣4a≥3，即a≤- 时，
4
t＝x ≤2，
F
5
即当a=- 时，t ＝2；
4 max
∵2+√6＞2，
∴t的最大值为2+√6．
第29页（共33页）【点评】本题主要考查了二次函数的解析式、二次函数点的坐标特征、二次函数最值问题等内容，熟
练掌握相关知识是解题的关键．
25．（12分）（2025•黄埔区二模）已知△ABC，CA＝CB． O是△ABC的外接圆，点D在 O上（AD
＞BD），连接AD，BD，CD． ⊙ ⊙
（1）如图，∠ACB＝120°，点D在优弧AB上．
①证明：DC平分∠ADB；
②若 O的半径为2√3，求四边形ADBC面积的最大值．
（2）⊙若∠ACB＝ ，90°＜ ＜180°，判断AD，BD，CD之间的数量关系并说明理由．
α α
【考点】圆的综合题．
菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）①证明见解析；②12√3；
α α
（2）BD+AD=2CD⋅sin 或AD=BD+2CD⋅sin ．
2 2
第30页（共33页）【分析】（1）①由圆周角定理易得∠ADC＝∠BDC＝30°，即可得证；
√3
②将△CBD绕点C顺时针旋转120°，易得S四边形ADBC ＝S
△CBD
+S
△DAC
＝S
△CED
=
4
CD2，进而求解即可；
（2）分类讨论当点D在优弧AB上时或劣弧AB上时，参考（1）中思路，旋转构造等腰三角形求解即
可．
【解答】（1）①证明：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∵^AC=^AC，^BC=^BC，
∴∠ADC＝∠ABC＝30°，∠BDC＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∴DC平分∠ADB；
②解：如图，将△CBD绕点C顺时针旋转120°，
旋转后BC与AC重合，得到△EAC，
∴∠CBD＝∠CAE，
∵四边形ADBC是 O的内接四边形，
∴∠CBD+∠CAD＝1⊙80°，
∴∠CAE+∠CBD＝180°，
∴点E，A，D在同一条直线上，
过点C作CH⊥AD，交AD于点H，
由①得，∠ADC＝30°，
1 √3
∴CH= CD，DH= CD，
2 2
又∵CE＝CD，
√3
∴ED=2DH=2× CD=√3CD，
2
∴S四边形ADBC ＝S
△CBD
+S
△DAC
第31页（共33页）＝S
△CED
1
= ED．CH
2
1 1
= ⋅ CD⋅√3CD
2 2
√3
= CD2，
4
∵半径为2√3，
∴CD最大值为4√3，
√3 √3
∴四边形ADBC的最大值为 ×(4√3) 2= ×48=12√3；
4 4
（2）（i）当点D在优弧^AB上时，如图，将△CBD绕点C顺时针旋转 ，旋转后BC与AC重合，得
到△EAC， α
∴BD＝AE，CE＝CD，
由（1）得，E，H，D在同一条直线上，
过点C作CH⊥AD，交AD于点H，
∵CE＝CD，
1 α
∴∠DCH= ∠DCE= ，DH＝EH，
2 2
α
∴DH＝CD•sin∠DCH＝CD•sin ，
2
α
∴BD+AD＝AE+AD＝ED＝2DH＝2CD•sin ；
2
（ii）当点D在劣弧^AB上时，如图，将△ACD绕点C逆时针旋转 ，旋转后AC与BC重合，得到
△FBC， α
第32页（共33页）∴CD＝CF，∠DCF＝ ，
∵C^D=C^D，
α
∴∠CBD＝∠CAD，
∴点B，D，F在同一条直线上如图，
过点C作CG⊥BF于点G，
1 α
∴∠DCG= ∠DCF= ，
2 2
α
∴DG=CD⋅sin ，
2
α
∴DF=2DG=2CD⋅sin ，
2
α
∴AD＝BF＝BD+DF＝BD+2CD.sin ；
2
α α
综上所述，BD+AD=2CD⋅sin 或AD=BD+2CD⋅sin ．
2 2
【点评】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识
是解题的关键．
第33页（共33页）
