文档内容
2025年广东省深圳市福田区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）（2025•福田区三模）秦代小篆是汉字演变的重要形态，其笔画匀称端庄．下列四幅小篆的书
法中，不是轴对称的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2025•福田区三模）神舟二十号载人飞船于2025年4月24日（北京时间）在酒泉卫星发射
中心成功发射，搭载长征二号F运载火箭．已知该火箭的总质量约为464000千克，将“464000”用科
学记数法表示为（ ）
A．46.4×104 B．4.64×105 C．4.64×106 D．4.64×107
3．（3分）（2025•福田区三模）深圳是中国科技创新的核心城市，汇聚了“华为、腾讯、比亚迪、大疆
创新”等知名科技企业．若从这4家企业中随机抽取1家，请问抽中“华为”的概率是（ ）
1 1 3
A． B． C． D．1
4 2 4
4．（3分）（2025•福田区三模）下列运算错误的是（ ）
A．a3•a2＝a5 B．（a3）2＝a6 C．a3÷a2＝a D．a6﹣a2＝a4
5．（3分）（2025•福田区三模）近年来，青少年近视问题日益突出，科学用眼成为社会关注焦点．某公
司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计）．如图所示，
AB∥ED，经光学测试发现，当∠ABC＝130°，∠BCD＝120°时，光线效果最佳，求此时灯臂CD与底座
DE的夹角∠CDE的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
6．（3分）（2025•福田区三模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：
“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各
第1页（共30页）几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共 3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出
售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，
根据题意可列方程是（ ）
896 896 896 896
A． -120= B． + =120
30-x x 30-x x
896 896 896 896
C．120+ = D． = +120
x 30+x x 30-x
7．（3分）（2025•福田区三模）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分
1
（图中阴影部分△CEG）的面积是△ABC的面积的 ，已知 BC＝3，则△ABC平移的距离 BE为
3
（ ）
A．1 B．3 C．√3 D．3-√3
8．（3分）（2025•福田区三模）如图，坐标平面内，点A是抛物线y＝x2上异于点O的任一点，AO与抛
OA
物线y＝2x2的交点记为A′，现请你考查 这一比值，它是否会随着点A的位置改变而发生改变？若
OA'
改变，说明比值变化的规律；若不变，请说出该比值大小．下列对上述问题的回答正确的是（ ）
A．改变；该比值会随x的增大而增大
B．改变；该比值会随|x|的增大而减小
C．不变；比值大小为2
第2页（共30页）D．不变；比值大小为√2
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）（2019•攀枝花）分解因式：a2b﹣b＝ ．
{2x-6＜3x，
10．（3分）（2020•黔西南州）不等式组 x+2 x-1 的解集为 ．
- ≥0
5 4
11．（3分）（2025•福田区三模）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别
以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作^BC，^AC，^AB．三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三
角形．若AB＝6，则阴影部分面积为 ．（结果保留 ）
π
12．（3分）（2025•福田区三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，OC边与x轴重合，
k
OA＝4，∠AOC＝60°，点M为菱形OABC的对称中心，反比例函数y= 的图象经过点M，则k的值
x
为 ．
13．（3分）（2025•福田区三模）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为边AB上一点，∠ACD＝
1
∠ABC，E 为 CD 延长线上一点，连接 BE，且∠EBD＝2∠ACD，若tan∠ACD= (n＞1)，则
n
ED
= ．（用含n的代数式表示）
DC
第3页（共30页）三、解答题（本题共7小题，共61分）
{ x- y=2
14．（7分）（2025•福田区三模）（1）解二元一次方程组： ；
2x+4 y=3
（2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下：
第1步，由x﹣y＝2，可设x＝1+m，﹣y＝1﹣m，即y＝m﹣1；
第2步，将x＝1+m，y＝m﹣1代入2x+4y＝3中，得到 ；
第3步，解得m＝ ；
第4步，即可求出方程组的解．
请你完成上面的填空．
1 a2-9
15．（7分）（2025•福田区三模）先化简，再代入求值：(1+ )÷ ，其中a＝1．
a+2 a2+4a+4
16．（7分）（2025•福田区三模）为助力“城市文明典范”建设，深圳市文化广电旅游体育局计划从 300
名报名者中选拔“文化志愿者”，参与深圳图书馆、博物馆、非遗保护中心等机构的公共服务．现随
机收集了30名报名者的面试成绩（百分制，取整数），并对这30个数据进行了整理，描述和分析．
下面给出了部分信息：
①30个数据的频数分布直方图如图（数据分5组：45≤x＜55，55≤x＜65，65≤x＜75，75≤x＜85，85≤x
＜95）
②30个数据在65x＜75这一组的是：
65 66 66 67 69 71 72 72 73 73 73 74
根据以上信息，回答下列问题：
（1）频数分布直方图中m的值是 ，这30个数据的中位数是 ；
（2）若本次面试成绩在85≤x＜95之间的志愿者为“优秀文化志愿者”，则300名报名者中，“优秀
文化志愿者”约为 名；
（3）将本次面试成绩从高到低排序，面试成绩在前30%的报名者可以被录用为“文化志愿者”．若一
名报名者的面试成绩为75分，判断他能否被录用，并说明理由．
第4页（共30页）17．（9分）（2025•福田区三模）某校九年级“综合与实践”小组开展“测量春笋大厦高度”实践活动．
如图，在距离“春笋大厦”底部中心N点右侧有一个处观测点A，AN＝285米，在B处有一架测量无
185
人机，观测点 A 到无人机 B 的距离AB= √5米，在点 A 处用测角仪测得无人机 B 的仰角为
2
1
∠BAN，BC∥AN，且tan∠BAN= ，在点 B 处用无人机测得“春笋大厦”最高点 M 的仰角为
2
∠MBC，且tan∠MBC＝3，点A，B，C，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计．
（1）求点B到水平地面NA的距离；
（2）求“春笋大厦”MN的高度．
18．（9分）（2025•福田区三模）【综合与实践】
新学期，同学们回校布置教室．如图1所示，教室前门ABCD宽度AB＝1m，门轴A到墙角E的距离
AE＝0.5m，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被教室黑板墙 EB阻挡，EB′⊥EA，门边BC靠在墙
B′C′的位置．
（1）门打开的最大角度∠BAB′＝ ；
（2）教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧PR与墙EA的距离为0.5m，且该矩形
课桌PIQR的边PI与教室前墙EB′平行，若要使得开关门不受阻挡，则PI与EB'的距离需大于多少？
（结果保留根号）
（3）如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后△AB′E中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直
径为35cm的圆柱形桶，能放的进吗？请说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24）
第5页（共30页）19．（10分）（2025•福田区三模）甲、乙、丙三个同学研究了二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a≠0）的图
象和性质，并交流了自己的学习成果．
（1）甲同学的说法：当x＝0和x＝2时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由．
（2）乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶
点的三角形的面积为3．根据乙同学的发现，求出此时a的值．
（3）丙同学的探索：若a＞0，当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的
结论，求出a的取值范围．
20．（12分）（2025•福田区三模）如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），点E是线段CD上的一动点，
连接BE．作点C关于BE的对称点F．连接CF并延长，交AD或AB于点G，过点A作AH⊥CG的延
长线于点H．
（1）若CF的延长线交AD于点G时，求证：∠BFH＝∠BAH；
（2）连接BD交CH于点I，且AB＝4，AD＝3．
1
①若CF的延长线交AD于点G时，如图2，若CE= CD，求CI的长；
4
GH GH
②在E点的运动过程中， 是否存在最大值？若存在，请求出 的最大值；若不存在，请说明理
CG CG
第6页（共30页）由．
第7页（共30页）2025年广东省深圳市福田区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B． A D C B D C
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）（2025•福田区三模）秦代小篆是汉字演变的重要形态，其笔画匀称端庄．下列四幅小篆的书
法中，不是轴对称的图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
据此进行判断即可．
【解答】解：A，C，D是轴对称的图形，B不是轴对称的图形，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）（2025•福田区三模）神舟二十号载人飞船于2025年4月24日（北京时间）在酒泉卫星发射
中心成功发射，搭载长征二号F运载火箭．已知该火箭的总质量约为464000千克，将“464000”用科
学记数法表示为（ ）
A．46.4×104 B．4.64×105 C．4.64×106 D．4.64×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：464000＝4.64×105．
第8页（共30页）故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2025•福田区三模）深圳是中国科技创新的核心城市，汇聚了“华为、腾讯、比亚迪、大疆
创新”等知名科技企业．若从这4家企业中随机抽取1家，请问抽中“华为”的概率是（ ）
1 1 3
A． B． C． D．1
4 2 4
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】直接根据概率公式求解即可．
1
【解答】解：若从这4家企业中随机抽取1家，抽中“华为”的概率为 ，
4
故选：A．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出
现的结果数．
4．（3分）（2025•福田区三模）下列运算错误的是（ ）
A．a3•a2＝a5 B．（a3）2＝a6 C．a3÷a2＝a D．a6﹣a2＝a4
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；
C、a3÷a2＝a，故此选项不符合题意；
D、a6与﹣a2不能合并，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项，熟练掌
握运算法则是解题的关键．
5．（3分）（2025•福田区三模）近年来，青少年近视问题日益突出，科学用眼成为社会关注焦点．某公
司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计）．如图所示，
AB∥ED，经光学测试发现，当∠ABC＝130°，∠BCD＝120°时，光线效果最佳，求此时灯臂CD与底座
第9页（共30页）DE的夹角∠CDE的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】过C作CK∥AB，得到CK∥DE，推出∠BCK+∠ABC＝180°，∠DCK+∠CDE＝180°，即可求解．
【解答】解：过C作CK∥AB，
∵AB∥ED，
∴CK∥AB∥ED，
∴∠BCK+∠ABC＝180°，∠DCK+∠CDE＝180°，
∵∠ABC＝130°，∠BCD＝120°，
∵∠BCK＝50°，∠DCK＝120°﹣50°＝70°，
∴∠CDE＝110°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是过C作CK∥AB，得到CK∥AB∥ED，由平行线的性质来解决
问题．
6．（3分）（2025•福田区三模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：
“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各
第10页（共30页）几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共 3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出
售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，
根据题意可列方程是（ ）
896 896 896 896
A． -120= B． + =120
30-x x 30-x x
896 896 896 896
C．120+ = D． = +120
x 30+x x 30-x
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】等量关系式：绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文，据此列方程，即可求解．
【解答】解：由绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文得方程为：
896 896
+ =120，
x 30-x
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
7．（3分）（2025•福田区三模）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分
1
（图中阴影部分△CEG）的面积是△ABC的面积的 ，已知 BC＝3，则△ABC平移的距离 BE为
3
（ ）
A．1 B．3 C．√3 D．3-√3
【考点】三角形的面积；平移的性质．
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【专题】三角形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平移的性质、相似三角形的判定与性质计算即可．
【解答】解：由平移的性质，得AB∥DE，
∴△GEC∽△ABC，
第11页（共30页）EC S 1
∴（ ）2= △GEC = ，
BC S 3
△ABC
EC √3
∴ = ，
BC 3
√3
∴EC= BC=√3，
3
∴BE＝BC﹣EC＝3-√3．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的面积、平移的性质，掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的
关键．
8．（3分）（2025•福田区三模）如图，坐标平面内，点A是抛物线y＝x2上异于点O的任一点，AO与抛
OA
物线y＝2x2的交点记为A′，现请你考查 这一比值，它是否会随着点A的位置改变而发生改变？若
OA'
改变，说明比值变化的规律；若不变，请说出该比值大小．下列对上述问题的回答正确的是（ ）
A．改变；该比值会随x的增大而增大
B．改变；该比值会随|x|的增大而减小
C．不变；比值大小为2
D．不变；比值大小为√2
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】C
【分析】假设A点坐标，写出直线OA的解析式，代入另一个抛物线，求得A′坐标，从而可以求得
第12页（共30页）OA
．
OA'
【解答】解：设A（a，a2），
∴直线OA的解析式为：y＝ax，
代入抛物线y＝2x2，ax＝2x2，
a
∴x＝0或 ，
2
a a2
∴A′（ ， ），
2 2
∴A′是OA的中点，
OA
∴ =2，
OA'
即比值不变，恒为2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，题目较为简单．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）（2019•攀枝花）分解因式：a2b﹣b＝ b （ a +1 ）（ a ﹣1 ） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】整式．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a2b﹣b
＝b（a2﹣1）
＝b（a+1）（a﹣1）．
故答案为：b（a+1）（a﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
{2x-6＜3x，
10．（3分）（2020•黔西南州）不等式组 x+2 x-1 的解集为 ﹣ 6 ＜ x ≤1 3 ．
- ≥0
5 4
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可．
第13页（共30页）{
2x-6＜3x①
【解答】解： x+2 x-1 ，
- ≥0②
5 4
解①得：x＞﹣6，
解②得：x≤13，
不等式组的解集为：﹣6＜x≤13，
故答案为：﹣6＜x≤13．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；
大小小大中间找；大大小小找不到．
11．（3分）（2025•福田区三模）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别
以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作^BC，^AC，^AB．三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三
角形．若AB＝6，则阴影部分面积为 6 ﹣ 9√3 ．（结果保留 ）
π π
【考点】作图—复杂作图；等边三角形的性质；扇形面积的计算．
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【专题】作图题；几何直观；运算能力．
【答案】6 ﹣9√3．
【分析】阴π影部分的面积＝扇形ABC的面积﹣△ABC的面积．
60π×62 √3
【解答】解：阴影部分的面积= - ×62＝6 ﹣9√3．
360 4
π
故答案为：6 ﹣9√3．
【点评】本题π考查作图﹣复杂作图，等边三角形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握分割法求阴
影部分面积．
12．（3分）（2025•福田区三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，OC边与x轴重合，
k
OA＝4，∠AOC＝60°，点M为菱形OABC的对称中心，反比例函数y= 的图象经过点M，则k的值
x
为 3√3 ．
第14页（共30页）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；中心对称．
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【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】3√3．
【分析】根据菱形的性质得出OC＝OA＝4，M是AC的中点，解直角三角形求得A的坐标，进而求得
k
M的坐标，由反比例函数y= 的图象经过点M即可求出k的值．
x
【解答】
解：过A作AD⊥x轴于D，
∵OA＝4，
∵四边形ABCO是菱形，
∴OC＝OA＝4，M是AC的中点，
∵∠AOC＝60°，
1 √3
∴OD= OA=2，AD= OA＝2√3，
2 2
∴A（2，2√3），
∴M（3，√3），
k
∵反比例函数y= 的图象经过点M，
x
∴k＝3√3．
故答案为：3√3．
【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形求出 M的坐标是解
此题的关键．
13．（3分）（2025•福田区三模）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为边AB上一点，∠ACD＝
第15页（共30页）1
∠ABC，E 为 CD 延长线上一点，连接 BE，且∠EBD＝2∠ACD，若tan∠ACD= (n＞1)，则
n
ED 2n2-2
= ．（用含n的代数式表示）
DC n2+1
【考点】解直角三角形．
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【专题】图形的相似；推理能力．
2n2-2
【答案】 ．
n2+1
【分析】作BF⊥EC，作AN⊥EC，交BC于N，交EC于M，设DM＝x，根据锐角三角函数可求出AM
＝nx，MC＝n2x，证明BN＝CN，表示出FD，根据∠EBD＝2∠ACD，而∠FBD＝∠ACD，得到BD＝
ED
BE，然后表示ED＝2DF，进而求出 ．
CD
【解答】解：作BF⊥EC于F，作AN⊥EC交BC于N，交EC于M；
设DM＝x，
∵∠ACD+∠CAM＝∠CAM+∠MAD＝90°，
∴∠ACD＝∠MAD，
AM DM 1
∴tan∠ACD＝tan∠MAD，即： = = ，
MC AM n
∴AM＝nx，AM2＝DM•MC，即n2x2＝x•MC，
∴MC＝n2x，
∵∠ACD＝∠MAD，∠ACD＝∠ABC，
第16页（共30页）∴∠MAD＝∠ABC，
∴BN＝AN，
又∵∠CAN+∠NAB＝∠ACB+∠ABC，
∴∠CAN＝∠ACB，
∴CN＝AN，
∴BN＝CN，
∴N为BC中点，
又∵BF⊥EC，AN⊥EC，
∴BF∥AN，
在Rt△BCF中，NM为中位线，
∴MF＝MC，
∴MF＝n2x，
∴FD＝（n2﹣1）x，
∵∠EBD＝2∠ACD，而∠ACD＝∠DAM，
∴∠EBD＝2∠DAM，
由BF∥AM可得，∠DAM＝∠FBD，
∴∠EBD＝2∠FBD，
∴BF为∠EBD的角平分线，
又∵BF⊥ED，
∴BF为△EBD的中线，BE＝BD，
∴ED＝2DF＝2（n2﹣1）x，
ED 2n2-2
∴ = ．
CD n2+1
【点评】本题主要考查了解直角三角形、中位线性质定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，共61分）
{ x- y=2
14．（7分）（2025•福田区三模）（1）解二元一次方程组： ；
2x+4 y=3
（2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下：
第1步，由x﹣y＝2，可设x＝1+m，﹣y＝1﹣m，即y＝m﹣1；
第2步，将x＝1+m，y＝m﹣1代入2x+4y＝3中，得到 2 （ 1+ m ） + 4 （ m ﹣ 1 ）＝ 3 ；
5
第3步，解得m＝ ；
6
第17页（共30页）第4步，即可求出方程组的解．
请你完成上面的填空．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解一元一次方程；二元一次方程的解．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
11
{x=
6 5
【答案】（1） ；（2）2（1+m）+4（m﹣1）＝3； ．
1 6
y=-
6
1 1 11
【分析】（1）用加减消元法，②﹣①×2求出y=- ，将y=- 代入①求出x= ；
6 6 6
（2）x＝1+m，y＝m﹣1代入2x+4y＝3中，得到2（1+m）+4（m﹣1）＝3，按照解一元一次方程的方
法求出m．
{ x- y=2①
【解答】解：（1） ，
2x+4 y=3②
①×2得：2x﹣2y＝4③，
1
②﹣③得：6y＝﹣1，y=- ，
6
1 11
将y=- 代入①得：x= ，
6 6
11
{x=
6
方程组的解是： ．
1
y=-
6
（2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下：
第1步，由x﹣y＝2，可设x＝1+m，﹣y＝1﹣m，即y＝m﹣1；
第2步，将x＝1+m，y＝m﹣1代入2x+4y＝3中，得到2（1+m）+4（m﹣1）＝3；
5
第3步，解得m= ；
6
第4步，即可求出方程组的解．
5
故答案为：2（1+m）+4（m﹣1）＝3； ．
6
【点评】本题考查了题二元一次方程组的解、解一元一次方程、二元一次方程的解、解二元一次方程
组，解决本题的关键是按照加减消元法解方程组．
第18页（共30页）1 a2-9
15．（7分）（2025•福田区三模）先化简，再代入求值：(1+ )÷ ，其中a＝1．
a+2 a2+4a+4
【考点】分式的化简求值．
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【专题】分式；运算能力．
a+2 3
【答案】 ，- ．
a-3 2
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，再把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式
a+2
= ，然后把a的值代入计算即可．
a-3
a+2+1 (a+2) 2
【解答】解：原式= •
a+2 (a+3)(a-3)
a+3 (a+2) 2
= •
a+2 (a+3)(a-3)
a+2
= ，
a-3
1+2 3
当a＝1时，原式= =- ．
1-3 2
【点评】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，解题时可根据
题目的具体条件选择合适的方法．
16．（7分）（2025•福田区三模）为助力“城市文明典范”建设，深圳市文化广电旅游体育局计划从 300
名报名者中选拔“文化志愿者”，参与深圳图书馆、博物馆、非遗保护中心等机构的公共服务．现随
机收集了30名报名者的面试成绩（百分制，取整数），并对这30个数据进行了整理，描述和分析．
下面给出了部分信息：
①30个数据的频数分布直方图如图（数据分5组：45≤x＜55，55≤x＜65，65≤x＜75，75≤x＜85，85≤x
＜95）
②30个数据在65x＜75这一组的是：
65 66 66 67 69 71 72 72 73 73 73 74
根据以上信息，回答下列问题：
（1）频数分布直方图中m的值是 6 ，这30个数据的中位数是 7 0 ；
（2）若本次面试成绩在85≤x＜95之间的志愿者为“优秀文化志愿者”，则300名报名者中，“优秀
文化志愿者”约为 2 0 名；
第19页（共30页）（3）将本次面试成绩从高到低排序，面试成绩在前30%的报名者可以被录用为“文化志愿者”．若一
名报名者的面试成绩为75分，判断他能否被录用，并说明理由．
【考点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本估计总体．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）6，70；
（2）20；
（3）面试成绩为75分的面试者一定被录用为“文化志愿者”．
【分析】（1）根据频数之和等于样本容量即可求出m的值，再根据中位数的定义求出这30名学生面
试成绩的中位数即可；
（2）用300乘以样本中成绩在85≤x＜95之间的志愿者人数所占比例即可；
（3）计算样本的30%的人数，确定第9名的成绩，再进行判断即可．
【解答】解：（1）m＝30﹣12﹣8﹣2﹣2＝6，将这30名学生的面试成绩从小到大排列，处在第15、
69+71
第16位的两个数的平均数为 =70（分），即中位数是70分，
2
故答案为：6，70；
2
（2）300× =20（人），
30
答：300名报名者中，“优秀文化志愿者”约为20名．
故答案为：20；
（3）30×30%＝9（人），将这30名学生的面试成绩从大到小排列，处在第9位的数据为74分，而75
＞74，
所以面试成绩为75分的面试者一定被录用为“文化志愿者”．
【点评】本题考查频数分布直方图，用样本估计总体以及中位数，正确理解直方图得到相关信息是解
题的关键．
17．（9分）（2025•福田区三模）某校九年级“综合与实践”小组开展“测量春笋大厦高度”实践活动．
第20页（共30页）如图，在距离“春笋大厦”底部中心N点右侧有一个处观测点A，AN＝285米，在B处有一架测量无
185
人机，观测点 A 到无人机 B 的距离AB= √5米，在点 A 处用测角仪测得无人机 B 的仰角为
2
1
∠BAN，BC∥AN，且tan∠BAN= ，在点 B 处用无人机测得“春笋大厦”最高点 M 的仰角为
2
∠MBC，且tan∠MBC＝3，点A，B，C，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计．
（1）求点B到水平地面NA的距离；
（2）求“春笋大厦”MN的高度．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
185
【答案】（1）点B到水平地面NA的距离为 米；
2
（2）“春笋大厦”MN的高度为392.5米．
【分析】（1）过点B作BD⊥AN，垂足为D，根据题意可得：BD＝CN，BC＝ND，然后在Rt△ADB中，
利用锐角三角函数的定义可设BD＝x米，则AD＝2x米，从而利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论可得BC＝ND＝100米，然后在Rt△BCM中，利用锐角三角函数的定义求出
CM的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AN，垂足为D，
由题意得：BD＝CN，BC＝ND，
1
在Rt△ADB中，tan∠BAN= ，
2
第21页（共30页）BD 1
∴ = ，
AD 2
∴设BD＝x米，则AD＝2x米，
∴AB=√BD2+AD2=√x2+(2x) 2=√5x（米），
185
∵AB= √5米，
2
185
∴√5x= √5，
2
185
解得：x= ，
2
185
∴BD＝CN= 米，AD＝185米，
2
185
∴点B到水平地面NA的距离为 米；
2
（2）∵AN＝285米，AD＝185米，
∴BC＝ND＝AN﹣AD＝285﹣185＝100（米），
在Rt△BCM中，tan∠MBC＝3，
∴MC＝BC•tan∠MBC＝300（米），
∴MN＝MC+CN＝392.5（米），
∴“春笋大厦”MN的高度为392.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
18．（9分）（2025•福田区三模）【综合与实践】
新学期，同学们回校布置教室．如图1所示，教室前门ABCD宽度AB＝1m，门轴A到墙角E的距离
AE＝0.5m，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被教室黑板墙 EB阻挡，EB′⊥EA，门边BC靠在墙
B′C′的位置．
（1）门打开的最大角度∠BAB′＝ 120 ° ；
（2）教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧PR与墙EA的距离为0.5m，且该矩形
课桌PIQR的边PI与教室前墙EB′平行，若要使得开关门不受阻挡，则PI与EB'的距离需大于多少？
（结果保留根号）
（3）如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后△AB′E中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直
径为35cm的圆柱形桶，能放的进吗？请说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24）
第22页（共30页）【考点】解直角三角形的应用．
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【专题】数形结合；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）120°；
√3+1
（2）PI与EB'的距离需大于 m；
2
（3）能放进直径为35cm的圆柱形桶．
【分析】（1）易得AB′＝1m，进而可得∠EAB′的余弦值，即可求得∠EAB′的度数，则可以求得∠BAB′
的度数；
（2）作PM⊥AB于点M，连接AP，求得AM的长度，加上AE的长度，即可求得点P到EB'的距离，
进而可得开关门不受阻挡，PI与EB'的距离范围；
（3）求得直角三角形内切圆的半径，进而可得内切圆的直径，和圆桶的直径比较即可得到能否放进去．
【解答】解：（1）∵EB′⊥EA，
∴∠AEB′＝90°，
∵AB＝1m，
∴AB′＝1m，
∵AE＝0.5m，
第23页（共30页）0.5 1
∴cos∠EAB′= = ，
1 2
∴∠EAB′＝60°，
∴∠BAB′＝120°，
故答案为：120°；
（2）在图2中作PM⊥AB于点M，连接AP，则PM＝0.5m，∠AMP＝90°，
由题意得：AP＝AB＝1m，
√3
∴AM=√12-0.52= m，
2
∵AE＝0.5m，
√3 √3+1
∴EM＝0.5+ = （m），
2 2
√3+1
∴PI与EB'的距离需大于 m；
2
（3）能放进直径为35cm的圆柱形桶．理由如下：
如图3，设圆心为O，△AB′E内切圆半径为rm，连接切点OX，OY，OZ，则四边形EYQX为正方形，
∴EX＝EY＝rm，
第24页（共30页）∴AX＝AZ＝（0.5﹣r）m，B′Z＝B′Y，
∵AE＝0.5m，AB′＝1m，∠E＝90°，
√3
∴EB′=√12-0.52= m，
2
√3
∴B′Y＝B′Z＝（ -r）m，
2
∵AB＝1m，
∴AZ+B′Z＝1，
√3
∴0.5﹣r+ -r＝1，
2
√3-1
解得：r= ，
4
√3-1
∴2r= ≈0.366m＝36.6cm＞35m，
2
∴能放进直径为35cm的圆柱形桶．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．用到的知识点为：直角三角形的两直角边为 a，b，斜边为
a+b-c
c，则内切圆的半径= ．
2
19．（10分）（2025•福田区三模）甲、乙、丙三个同学研究了二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a≠0）的图
象和性质，并交流了自己的学习成果．
（1）甲同学的说法：当x＝0和x＝2时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由．
（2）乙同学的发现：a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，且以这三个点为顶
点的三角形的面积为3．根据乙同学的发现，求出此时a的值．
（3）丙同学的探索：若a＞0，当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的
结论，求出a的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数综合题；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）正确，理由见解答；
8
（2）a= ；
9
3
（3） ＜a≤1．
4
【分析】（1）根据函数的对称性即可求解；
第25页（共30页）（2）a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，则这三个点有一个是顶点，进而求
解；
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值，则y＝﹣1，0，1，2，当x＝3时，y＝4a
﹣1，则2＜4a﹣1≤3，即可求解．
【解答】解：（1）正确，
理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，
则x＝0和x＝2关于抛物线的对称轴对称，故函数值相同；
（2）a取某个值时，该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个，则这三个点有一个是顶点，
则到x轴的距离和为2，
由抛物线的表达式知，其顶点为（1，﹣1），
√2 √2
令y＝ax2﹣2ax+a﹣1＝1，则x＝1± ，则两个点之间的距离为2 ，
a a
1 √2
则3= ×（2 ）×2＝3，
2 a
8
则a= ；
9
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围中恰有4个不同的整数值，则y＝﹣1，0，1，2，
当x＝0时，y＝a﹣1，当x＝3时，y＝4a﹣1，
3
则2＜4a﹣1≤3，则 ＜a≤1．
4
【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到面积的计算、函数的图象和性质等，熟悉函数的图象和性
质是解题的关键．
20．（12分）（2025•福田区三模）如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），点E是线段CD上的一动点，
连接BE．作点C关于BE的对称点F．连接CF并延长，交AD或AB于点G，过点A作AH⊥CG的延
长线于点H．
（1）若CF的延长线交AD于点G时，求证：∠BFH＝∠BAH；
（2）连接BD交CH于点I，且AB＝4，AD＝3．
1
①若CF的延长线交AD于点G时，如图2，若CE= CD，求CI的长；
4
GH GH
②在E点的运动过程中， 是否存在最大值？若存在，请求出 的最大值；若不存在，请说明理
CG CG
由．
第26页（共30页）【考点】四边形综合题．
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【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
12√10
（2）①CI= ；
13
GH 7
② 有最大值为 ．
CG 25
【分析】（1）根据轴对称可得：∠BCF＝∠BFC，根据矩形的性质和四边形的内角和定理即可解答；
（2）①如图2，设BE，CF交于点O，证明△BCE∽△CDG，△BIC∽△DIG，列比例式即可解答；
②连接AC，BD交于点M，先由勾股定理可得AC＝5，由圆周角定理可得点H是以M为圆心，AM为
半径的^AD上，分两种情况：i）若点G在线段AD上，如图3，过点H作HQ⊥AB，ii）若点G在线段
AB上，如图4，过点H作HQ⊥AB，证明△HQG∽△CBG，即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵点C关于BE的对称点为点F，
∴∠BCF＝∠BFC，
∵AH⊥CG，
∴∠H＝90°，
∴∠BCF+∠BAH＝180°，∠BFC+∠BFH＝180°，
第27页（共30页）∴∠BAH＝∠BFH；
（2）解：①如图2，设BE，CF交于点O，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCE＝∠CDG＝90°，BC∥DG，
∵∠CBO+∠BCO＝90°，∠BCO+∠OCE＝90°，
∴∠CBO＝∠OCE，
∴△BCE∽△CDG，
CE DG
∴ = ，
BC CD
1
∵CE= CD，AB＝CD＝4，
4
∴CE＝1，
1 DG
∴ = ，
3 4
4
∴DG= ，
3
∵BC∥DG，
∴△BIC∽△DIG，
4
∴DG GI 3 4，
= = =
BC CI 3 9
在Rt△CDG中，由勾股定理得：CG2＝CD2+DG2，
√ 4 4√10
∴CG=√CD2+DG2= 42+( ) 2= ，
3 3
9 4√10 12√10
∴CI= × = ；
13 3 13
②连接AC，BD交于点M，
第28页（共30页）由勾股定理得：AC=√32+42=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AM＝CM，
∵∠AHC＝90°，
1 5
∴MH= AC= ，点H是以M为圆心，AM为半径的^AD上，
2 2
分两种情况：
i）若点G在线段AD上，如图3，过点H作HQ⊥AB，
∴QH∥CD，
∴△QHG∽△DCG，
HQ GH
∴ = ，
CD CG
∵CD为定值，点H是以M为圆心，AM为半径的圆弧^AD，
5 1
∴HQ有最大值为 -2= ，
2 2
1
HQ
∴ 有最大值为2 1，
CD =
4 8
GH 1
∴若点G在线段AD上， 有最大值为 ；
CG 8
ii）若点G在线段AB上，如图4，过点H作HQ⊥AB，
∵QH∥BC，
∴△HQG∽△CBG，
HQ GH
∴ = ，
BC CG
∵BC是定值，点H是以M为圆心，AM为半径的^AH，
第29页（共30页）∴当E点运动到D点时，HQ有最大值，此时，HB＝BC＝3，且△BCI≌△BHI，
∴∠BIC＝∠BIH＝90°，
∵∠CBG＝∠AHG＝90°，∠BGC＝∠AGH
∴∠HAG＝∠BCG，
3 HQ
∴tan∠HAG=tan∠BCG=tan∠BDC= = ，
4 AQ
设HQ＝3x，AQ＝4x，则BQ＝4﹣4x，BH＝BC＝3，
在Rt△BHQ中，由勾股定理得：BQ2+HQ2＝BH2，
即（4﹣4x）2+（3x）2＝32，
7
解得：x= ，x＝1（舍去），
25
21
∴HQ=3x= ，
25
21
GH
∴若点G在线段AB上， 有最大值为25 7 ，
CG =
3 25
GH 7
综上所述， 有最大值为 ．
CG 25
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，
圆周角定理，勾股定理，三角函数等知识，熟练掌握圆周角定理确定点H的运动轨迹是解题的关键．
第30页（共30页）
