文档内容
2026年菁优杭州中考数学终极押题密卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）3的相反数为（ ）
1 1
A．﹣3 B．- C． D．3
3 3
2．（3分）如图，AB∥CD，且∠E＝16°，∠D＝24°，则∠A等于（ ）
A．40° B．32° C．24° D．16°
3．（3分）我国首口超万米科探井——深地塔科1井在地下10910米胜利完钻，成为亚洲第一、世界第
二垂深井，这是我国继“深空”“深海”之后，在“深地”领域取得的又一重大进展，让世界深井之
林有了新的“中国深度”．将10910用科学记数法表示为（ ）
A．0.1091×105 B．1.091×104
C．10.91×103 D．109.1×102
4．（3分）如图是某一景德镇青花瓷，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3
5．（3分）对于反比例函数y=- ，下列说法正确的是（ ）
x
A．图象位于第一、第三象限
B．经过点（1，3）
C．图象关于原点成中心对称
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
第1页（共32页）6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为（﹣2，0），点C坐
标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C．若点A′的坐
标为（2，﹣3），点B′的坐标为（1，0），则点A的坐标为（ ）
3 5 3 5
A．(-3， ) B．(- ， ) C．（﹣3，2） D．(- ，2)
2 2 2 2
7．（3分）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺
帽，要使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，设分配生产螺栓 x人，生产螺帽的人数为y人，则下列方
程组中正确的是（ ）
{ x+ y=90 { x+ y=90
A． B．
15x⋅2=24 y 15x=24 y⋅2
{x+ y=90 {2x+ y=90
C． D．
15x=24 y 15x=24 y
8．（3分）综合题
阅读下面的材料，回答后面的两个问题：
材料一：小雪是二十四节气中的第二十个节气．这时节，色满天，寒凝大地，降水形成由淅沥小雨而
凝结成飘飘瑞雪．但此时下雪的几率还小，即便下了，也多是那种飞扬的零星小雪，落到地面很快融
化了，小孩子是堆不了雪人、打不成雪仗的．
小雪之后的下一个节气是大雪．月令•七十二侯集解》记载：“大雪，十一月节，至此而雪盛也．“大
雪节气的雪量开始增加，晶莹剔透白洁无瑕的雪，总令古代文人墨客们吟诵赞美．
农谚云：“小雪铲白菜，大雪收菠菜．”“小雪不砍菜，必定有一害．”此时，庄户人家开始砍收地
里的大白菜，精心盘扎入窑储藏．那一棵棵青青白白的大白菜透着清灵之气，那种清甜清香是寻常人
家饭桌上的至美之味．白居易云：“晚来天欲雪，能饮一杯无？”寒风里，约三五好友，温一壶清酒，
聊家事国事，赏雪飘雪落．“能饮一杯无？”这千古一问，与岁月温情相拥，用真心温暖寒冬，人生
惬意之事，便莫过于此了．
第2页（共32页）下列对材料一有关内容的概括和分析，正确的一项是（ ）
A．小雪时节，地寒未甚，这个时节的降雪几率不小，但所下的多是飞扬的零星小雪．
B．大雪是阳历十一月份的节气，这个时候的雪量相对小雪时节有所增加．
C．“小雪不砍菜，必定有一害”从反面强调了在小雪时节要抓住时机砍收地里大白菜．
D．白居易通过“能饮一杯无？”这个设问句，表达了他与好友共赏雪落的文人情怀．
9．（3分）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，中线AD⊥中线CE，且相交于F，已知AC＝4，则
AB的长为（ ）
8 8
A．2√3 B．4√3 C． √3 D．
3 3
10．（3分）家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°
＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮
角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气
的旋钮角度约为（ ）
A．30° B．35° C．38° D．46°
第3页（共32页）二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1
11．（3分）计算√9+(2cos60°) 2023-( ) -2-(3-2√3) 0= ．
2
{2x-1＞3
12．（3分）关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 ．
x-a＜0
13．（3分）视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与 所成的角叫做仰角．
14．（3 分）从数字 4，5，6 中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是
．
15．（3分）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
根据规律计算：22022﹣22021+22020﹣22019+⋯+24﹣23+22﹣2的值 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，以AC为直径的 O交AB于点D，点E是^AD的中点，连接CE交AB
于点F，且BC＝BF． ⊙
（1）求证：BC是 O的切线；
3 ⊙
（2）若sinA= ，AC＝8，求AF的长．
5
三．解答题（共8小题，满分72分）
1
17．（8分）先化简，再求值：x（x+2y）﹣（x+y）2，其中x＝1，y=- ．
2
x-2 3
18．（8分）解方程： -1= ．
x+1 x-2
19．（8分）如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF．要修建两条路
BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
【探究】若去掉“DE＝CF”这一个条件，将两个结论中的一个作为条件，能推出另一个结论成立吗？
（1）若已知BE＝AF，则BE⊥AF成立吗？
第4页（共32页）（2）若已知BE⊥AF，则BE＝AF成立吗？
20．（8分）数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、
八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和
分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下
面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统
计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 86 87 b
八年级 86 a 90
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为
“优秀”（x≥90）的总共有多少人？
21．（8分）我们知道√2≈1.414，于是我们说：“√2的整数部分为1，小数部分则为√2-1”．
（1）√2+1的整数部分为 ，小数部分可以表示为 ；
（2）已知√3+1的小数部分为a，√5-1的小数部分为b，求a+b的值．
22．（10分）如图，在三角形ABC中，点E为AB边上一点，以AE为直径的 O与直线BC相切于点
D，点D在线段BC上，连接AD，若AC＝AD． ⊙
（1）求证：∠CAD＝2∠DAB；
第5页（共32页）3
（2）若BE＝2，sinB= ，求AC的长．
5
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，﹣
6），抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴上找一点Q（不与点O重合），使ABQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P
作PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值及此时P点的坐标．
24．（12分）在正方形ABCD中，E是边AD上的一动点（不与点A，D重合），连接BE，点C关于直
线BE的对称点为F，连接FA，FB．
（1）如图1，若△ABF是等边三角形，则∠ABE＝ °；
（2）如图2，延长BE交FA的延长线于点M，连接CF交BE于点H，连接DM．
①求∠MFH的大小；
② 用 等 式 表 示 线 段 MB ， MD ， AB 之 间 的 数 量 关 系 ， 并 证 明 ．
第6页（共32页）第7页（共32页）2026年菁优杭州中考数学终极押题密卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A． A B． B C B A C B C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）3的相反数为（ ）
1 1
A．﹣3 B．- C． D．3
3 3
【考点】相反数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】A．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（3分）如图，AB∥CD，且∠E＝16°，∠D＝24°，则∠A等于（ ）
A．40° B．32° C．24° D．16°
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形外角性质求出∠ACD＝40°，再根据“两直线平行，内错角相等”求解即可．
【解答】解：∵∠ACD＝∠D+∠E，∠D＝24°，∠E＝16°，
∴∠ACD＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
第8页（共32页）故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线性质和三角形一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和．
3．（3分）我国首口超万米科探井——深地塔科1井在地下10910米胜利完钻，成为亚洲第一、世界第
二垂深井，这是我国继“深空”“深海”之后，在“深地”领域取得的又一重大进展，让世界深井之
林有了新的“中国深度”．将10910用科学记数法表示为（ ）
A．0.1091×105 B．1.091×104
C．10.91×103 D．109.1×102
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：10910＝1.091×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图是某一景德镇青花瓷，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【考点】简单几何体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
第9页（共32页）【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：B．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从
物体的正面，左面，上面看得到的图形．
3
5．（3分）对于反比例函数y=- ，下列说法正确的是（ ）
x
A．图象位于第一、第三象限
B．经过点（1，3）
C．图象关于原点成中心对称
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【考点】反比例函数的性质．
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【专题】反比例函数及其应用；几何直观．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A选项中，k＝﹣3＜0，∴函数图象的两个分支位于二、四象限，故本选项错误；
B选项中，∵当x＝1时，y＝﹣3≠3，∴点（1，3）不在此函数图象上，故本选项错误；
C选项中，∵反比例函数的图象是双曲线，∴图象关于原点成中心对称，故本选项正确；
D选项中，∵k＝﹣3＜0，∴在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为（﹣2，0），点C坐
标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C．若点A′的坐
标为（2，﹣3），点B′的坐标为（1，0），则点A的坐标为（ ）
3 5 3 5
A．(-3， ) B．(- ， ) C．（﹣3，2） D．(- ，2)
2 2 2 2
第10页（共32页）【考点】位似变换；坐标与图形性质．
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【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，过点 A′作 A′F⊥x 轴于点 F，根据题意可得出
△ABC∽△A′B′C，△AEC∽△A′FC，结合相似三角形的性质即可求出AE和OE的长，即得出点
A的坐标．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，
∵B（﹣2，0），C（﹣1，0），A′（2，﹣3），B′（1，0），
∴OB＝2，OC＝OB′＝1，OF＝x
A′
＝2，A′F＝|y A′|＝3，
∴BC＝1，B′C＝2，CF＝3．
∵△ABC的位似图形为△A′B′C，
∴△ABC∽△A′B′C，
AC BC 1
∴ = = ．
A'C B'C 2
∵AE⊥x轴，A′F⊥x轴，
∴AE∥A′F，
∴△AEC∽△A′FC，
AE CE AC 1
∴ = = = ，
A'F CF A'C 2
1 3 1 3
∴AE= A'F= ，CE= CF= ，
2 2 2 2
3 5
∴OE=OC+CE=1+ = ，
2 2
5 3
∴点A的坐标为(- ， )．
2 2
故选：B．
第11页（共32页）【点评】本题考查位似的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握位似
图形的性质．
7．（3分）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺
帽，要使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，设分配生产螺栓 x人，生产螺帽的人数为y人，则下列方
程组中正确的是（ ）
{ x+ y=90 { x+ y=90
A． B．
15x⋅2=24 y 15x=24 y⋅2
{x+ y=90 {2x+ y=90
C． D．
15x=24 y 15x=24 y
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据“该车间共有90名工人，且生产螺帽的总数是生产螺栓总数的2倍”，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵该车间共有90名工人，
∴x+y＝90；
∵每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，且一个螺栓配套两个螺帽，
∴2×15x＝24y．
即30x＝24y．
{ x+ y=90
根据题意可列方程组 ．
15x⋅2=24 y
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
8．（3分）综合题
阅读下面的材料，回答后面的两个问题：
材料一：小雪是二十四节气中的第二十个节气．这时节，色满天，寒凝大地，降水形成由淅沥小雨而
凝结成飘飘瑞雪．但此时下雪的几率还小，即便下了，也多是那种飞扬的零星小雪，落到地面很快融
化了，小孩子是堆不了雪人、打不成雪仗的．
小雪之后的下一个节气是大雪．月令•七十二侯集解》记载：“大雪，十一月节，至此而雪盛也．“大
雪节气的雪量开始增加，晶莹剔透白洁无瑕的雪，总令古代文人墨客们吟诵赞美．
农谚云：“小雪铲白菜，大雪收菠菜．”“小雪不砍菜，必定有一害．”此时，庄户人家开始砍收地
第12页（共32页）里的大白菜，精心盘扎入窑储藏．那一棵棵青青白白的大白菜透着清灵之气，那种清甜清香是寻常人
家饭桌上的至美之味．白居易云：“晚来天欲雪，能饮一杯无？”寒风里，约三五好友，温一壶清酒，
聊家事国事，赏雪飘雪落．“能饮一杯无？”这千古一问，与岁月温情相拥，用真心温暖寒冬，人生
惬意之事，便莫过于此了．
下列对材料一有关内容的概括和分析，正确的一项是（ ）
A．小雪时节，地寒未甚，这个时节的降雪几率不小，但所下的多是飞扬的零星小雪．
B．大雪是阳历十一月份的节气，这个时候的雪量相对小雪时节有所增加．
C．“小雪不砍菜，必定有一害”从反面强调了在小雪时节要抓住时机砍收地里大白菜．
D．白居易通过“能饮一杯无？”这个设问句，表达了他与好友共赏雪落的文人情怀．
【考点】条形统计图；扇形统计图．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】结合材料逐一进行分析即可得出答案；
【解答】解：A、降雪几率不小，与材料中说的小雪下雪的几率还小，不符，故该选项错误，不符合
题意；
B、大雪是农历十一月份的节气，并不是阳历十一月份，故该选项错误，不符合题意；
C、“小雪不砍菜，必定有一害”从反面强调了在小雪时节要抓住时机砍收地里大白菜，分析正确，
符合题意；
D、白居易通过“能饮一杯无？”是疑问句，不是设问句，且诗句表达的是邀请共饮，不是人文情怀，
故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查条形图和扇形图，从统计图中有效的获取信息是解题的关键．
9．（3分）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，中线AD⊥中线CE，且相交于F，已知AC＝4，则
AB的长为（ ）
第13页（共32页）8 8
A．2√3 B．4√3 C． √3 D．
3 3
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的重心．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由三角形重心的性质推出EF：CF＝1：2，令EF＝x，则CF＝2x，由直角三角形斜边中线的
2√3
性质得到AE＝CE＝3x，由勾股定理得到（2x）2+8x2＝42，求出x= ，即可得到AB＝2CE＝6x＝4
3
√3．
【解答】解：∵AD、CE是△ABC的中线，
∴F是△ABC的重心，
∴EF：CF＝1：2，
令EF＝x，则CF＝2x，
∴CE＝EF+CF＝3x，
∵∠ACB＝90°，
1
∴CE= AB，
2
∵E是AB的中点，
∴AE＝CE＝3x，
∴AF2＝AE2﹣EF2＝8x2，
∵AC2＝CF2+AF2，
∴（2x）2+8x2＝42，
2√3
∴x= ，
3
∴AB＝2CE＝6x＝4√3．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的重心，勾股定理，关键是由三角形重心的性质得
到EF：CF＝1：2，由勾股定理得到（2x）2+8x2＝42．
第14页（共32页）10．（3分）家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°
＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮
角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气
的旋钮角度约为（ ）
A．30° B．35° C．38° D．46°
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称轴x的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，
18+54 18+72
∴抛物线对称轴x＞ 且x＜ ，
2 2
∴36＜x＜45，
∴旋钮的旋转角度x在36°和45°之间，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故C符合题意，其他选ABD不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
第15页（共32页）二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1
11．（3分）计算√9+(2cos60°) 2023-( ) -2-(3-2√3) 0= ﹣ 1 ．
2
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、乘方、负整数指数幂和零次幂，再计算加减．
1
【解答】解：√9+（2cos60°）2023﹣（ ）﹣2﹣（3﹣2√3）0
2
1
＝3+（2× ）2023﹣4﹣1
2
＝3+12023﹣4﹣1
＝3+1﹣4﹣1
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
{2x-1＞3
12．（3分）关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 a ≤ 2 ．
x-a＜0
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】a≤2．
【分析】先求出不等式组的解集，利用不等式组的解集是无解可知，x应该是“大大小小找不到”，
所以可以判断出a≤2．
【解答】解：解不等式2x﹣1＞3，得x＞2，
解不等式x﹣a＜0，得x＜a，
{2x-1＞3
∵关于x的不等式组 无解，
x-a＜0
∴a≤2，
故答案为：a≤2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能求出关于a的不等式是解此题的关
键．
13．（3分）视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与 水平线 所成的角叫做仰角．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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第16页（共32页）【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】水平线．
【分析】根据仰角的定义即可求出答案．
【解答】解：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角．
故答案为：水平线．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角的定义是解本题的关键．
2
14．（3分）从数字4，5，6中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是 ．
3
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
2
【答案】 ．
3
【分析】共有6种等可能的结果数，其中组成的数是偶数的结果数有4种，然后用概率公式即可求解，
【解答】解：列表如下：
4 5 6
4 45 46
5 54 56
6 64 65
共有6种等可能的结果数，其中组成的数是偶数的结果为46，54，56，64，共4种，
4 2
∴组成的数是偶数的概率= = ，
6 3
2
故答案为： ．
3
【点评】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
15．（3分）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
22023-2
根据规律计算：22022﹣22021+22020﹣22019+⋯+24﹣23+22﹣2的值 ．
3
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】猜想归纳；运算能力．
第17页（共32页）22023-2
【答案】 ．
3
【分析】将原式变形后，利用规律计算即可．
【解答】解：原式＝22022﹣22021+22020﹣22019+⋯+24﹣23+22﹣2+1﹣1
＝（22022﹣22021+22020﹣22019+⋯+24﹣23+22﹣2+1）﹣1
＝[（﹣2）2022+（﹣2）2021+（﹣2）2020+（﹣2）2019+⋯+（﹣2）4+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1]﹣1
1
=- ×（﹣2﹣1）[（﹣2）2022+（﹣2）2021+（﹣2）2020+（﹣2）2019+⋯+（﹣2）4+（﹣2）3+（﹣2）
3
2+（﹣2）+1]﹣1
1
=- ×[（﹣2）2023﹣1]﹣1
3
22023+1
= -1
3
22023-2
= ，
3
22023-2
故答案为： ．
3
【点评】本题考查数式规律的探索问题，将原式进行正确的变形是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，以AC为直径的 O交AB于点D，点E是^AD的中点，连接CE交AB
于点F，且BC＝BF． ⊙
（1）求证：BC是 O的切线；
3 ⊙
（2）若sinA= ，AC＝8，求AF的长．
5
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理；圆周
角定理；切线的判定与性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其
应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）AF的长为4．
第18页（共32页）【分析】（1）连接CD，由^AE=^DE，得∠ACE＝∠DCE，因为AC为 O的直径，所以∠ADC＝
90°，由BC＝BF，得∠BCF＝∠BFC，可证明∠ACB＝∠ACE+∠BCF＝∠⊙DCE+∠BFC＝90°，进而证
明BC是 O的切线；
（2）由
⊙BC
=sinA=
3
，得BC=
3
AB，由AC=√AB2-BC2=
4
AB＝8，求得AB＝10，则BC＝BF＝
AB 5 5 5
6，所以AF＝AB﹣BF＝4．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵点E是^AD的中点，
∴^AE=^DE，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵AC为 O的直径，
∴∠ADC⊙＝90°，
∵BC＝BF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCF＝∠DCE+∠BFC＝90°，
∵OC是 O的半径，且BC⊥OC，
∴BC是⊙O的切线．
⊙ 3
（2）解：∵∠ACB＝90°，sinA= ，AC＝8，
5
BC 3
∴ =sinA= ，
AB 5
3
∴BC= AB，
5
√ 3 4
∴AC=√AB2-BC2= AB2-( AB) 2= AB＝8，
5 5
∴AB＝10，
3
∴BC＝BF= ×10＝6，
5
∴AF＝AB﹣BF＝10﹣6＝4，
∴AF的长为4．
第19页（共32页）【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数
与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
1
17．（8分）先化简，再求值：x（x+2y）﹣（x+y）2，其中x＝1，y=- ．
2
【考点】整式的混合运算—化简求值．
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【专题】整式；运算能力．
1
【答案】﹣y2，- ．
4
【分析】根据单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将 y的值代
入化简后的式子计算即可．
【解答】解：x（x+2y）﹣（x+y）2
＝x2+2xy﹣x2﹣2xy﹣y2
＝﹣y2，
1 1 1
当y=- 时，原式＝﹣（- ）2=- ．
2 2 4
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
x-2 3
18．（8分）解方程： -1= ．
x+1 x-2
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
1
【答案】x= ．
2
【分析】方程两边都乘（x+1）（x﹣2）得出（x﹣2）2﹣（x+1）（x﹣2）＝3（x+1），求出方程的解，
再进行检验即可．
x-2 3
【解答】解： -1= ，
x+1 x-2
方程两边都乘（x+1）（x﹣2），得（x﹣2）2﹣（x+1）（x﹣2）＝3（x+1），
x2﹣4x+4﹣x2+2x﹣x+2＝3x+3，
第20页（共32页）x2﹣4x﹣x2+2x﹣x﹣3x＝3﹣4﹣2，
﹣6x＝﹣3，
1
x= ，
2
1
检验：当x= 时，（x+1）（x﹣2）≠0，
2
1
所以分式方程的解是x= ．
2
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19．（8分）如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF．要修建两条路
BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
【探究】若去掉“DE＝CF”这一个条件，将两个结论中的一个作为条件，能推出另一个结论成立吗？
（1）若已知BE＝AF，则BE⊥AF成立吗？
（2）若已知BE⊥AF，则BE＝AF成立吗？
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
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【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】BE＝AF，BE⊥AF，理由见解答过程；
【探究】（1）成立，理由见解答过程；（2）成立，理由见解答过程．
【分析】根据正方形的性质及DE＝CF得AE＝DF，进而可依据“SAS”判定△ABE和△DAF全等，则
BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，继而得∠BAG+∠ABE＝90°，则∠BGA＝90°，再根据垂直定义得
BE⊥AF，据此可得出答案；
【探究】（1）根据BE＝AF，BA＝AD可依据“HL”判定Rt△ABE和Rt△DAF全等，则∠ABE＝
∠DAF，同理可得出∠BGA＝90°，据此即可得出答案；
（2）先根据BE⊥AF证明∠ABE＝∠DAF，进而可依据“ASA”判定△ABE和△DAF全等，然后根据
全等三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：BE＝AF，BE⊥AF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
第21页（共32页）∴BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°，
∴AE+DE＝DF+CF，
又∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△ABE和△DAF中，
{
BA=AD
∠BAE=∠D=90°，
AE=DF
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，
∵∠BAG+∠DAF＝∠BAE＝90°，
∴∠BAG+∠ABE＝90°，
在△ABG中，∠BGA＝180°﹣（∠BAG+∠ABE）＝90°，
∴BE⊥AF；
【探究】（1）成立，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
{BE=AF
，
BA=AD
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL），
∴∠ABE＝∠DAF，
同理得：∠BGA＝90°，
∴BE⊥AF；
（2）成立，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，
∴∠BAG+∠DAF＝90°，
∵BE⊥AF，
∴∠BAG+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
第22页（共32页）{∠BAE=∠D=90°
BA=AD ，
∠ABE=∠DAF
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴BE＝AF．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全
等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
20．（8分）数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、
八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和
分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下
面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统
计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 86 87 b
八年级 86 a 90
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 8 8 ，b＝ 8 7 ，m＝ 4 0 ；
（2）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为
“优秀”（x≥90）的总共有多少人？
【考点】众数；用样本估计总体；中位数．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）88；87；40；（2）共有310人．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，先求出把年级A组的人数，进而可求出m
的值；
（2）用七年级的人数乘以七年级样本中优秀的人数占比求出七年级优秀人数，用八年级的人数乘以八
第23页（共32页）年级样本中优秀的人数占比求出八年级优秀人数，再二者求和即可得到答案．
【解答】解：（1）八年级C组的人数为10×20%＝2人，而八年级B组有4人，则把八年级10名学生
的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分，
88+88
∴八年级学生成绩的中位数a= =88，
2
∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多，
∴七年级的众数b＝87，
10-4-10×20%
由题意得，m%= ×100%=40%，
10
∴m＝40．
故答案为：88；87；40；
3
（2）500× +400×40%
10
＝150+160
＝310（人）．
∴该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有310人．
【点评】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
21．（8分）我们知道√2≈1.414，于是我们说：“√2的整数部分为1，小数部分则为√2-1”．
（1）√2+1的整数部分为 2 ，小数部分可以表示为 √2-1 ；
（2）已知√3+1的小数部分为a，√5-1的小数部分为b，求a+b的值．
【考点】估算无理数的大小．
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【专题】实数；推理能力．
【答案】（1）2，√2-1；
（2）√3+√5-3．
【分析】（1）先估算出√2的取值范围，再确定√2+1的整数部分和小数部分；
（2）先估算出√3+1和√5-1的取值范围，再确定a与b的值，最后代入代数式计算即可．
【解答】解：（1）∵1＜2＜4，
∴1＜√2＜2，
∴√2的整数部分是1，
∴√2+1的整数部分为2，小数部分为√2+1-2=√2-1，
故答案为：2，√2-1；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜√3＜2，
第24页（共32页）∴√3的整数部分是1，
∴√3+1的整数部分为2，小数部分为a=√3+1-2=√3-1，
∵√5-1的整数部分为1，小数部分为b=√5-1-1=√5-2，
∴a+b=(√3-1)+(√5-2)=√3+√5-3．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．
22．（10分）如图，在三角形ABC中，点E为AB边上一点，以AE为直径的 O与直线BC相切于点
D，点D在线段BC上，连接AD，若AC＝AD． ⊙
（1）求证：∠CAD＝2∠DAB；
3
（2）若BE＝2，sinB= ，求AC的长．
5
【考点】切线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；相似三角形的判定与性
质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直
角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∵以AE为直径的 O与直线BC相切于点D，
∴BC⊥OD， ⊙
∴∠ODA+∠ADC＝∠ODC＝90°，
∴2∠ODA+2∠ADC＝180°，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠DAB，
∴2∠DAB+2∠ADC＝180°，
∵AC＝AD，
∴∠C＝∠ADC，
∴∠CAD+∠C+∠ADC＝∠CAD+2∠ADC＝180°，
∴∠CAD+2∠ADC＝2∠DAB+2∠ADC，
第25页（共32页）∴∠CAD＝2∠DAB．
12√5
（2）AC的长是 ．
5
【分析】（1）由切线的性质得BC⊥OD，则∠ODA+∠ADC＝∠ODC＝90°，所以2∠ODA+2∠ADC＝
180°，而∠ODA＝∠DAB，则 2∠DAB+2∠ADC＝180°，由 AC＝AD，得∠C＝∠ADC，则
∠CAD+2∠ADC＝180°，即可由∠CAD+2∠ADC＝2∠DAB+2∠ADC，证明∠CAD＝2∠DAB．
OD 3
（2）作DF⊥AB于点F，因为∠ODB＝90°，所以 =sinB= ，设OB＝5m，则OA＝OE＝OD＝
OB 5
OF OD
3m，由BE＝2m＝2，得m＝1，则OA＝OD＝3，OB＝5，可证明△FOD∽△DOB，得 = ，则
OD OB
OD2 9 24 144 12√5
OF= = ，求得AF= ，DF2＝OD2﹣OF2= ，所以AC＝AD=√AF2+DF2= ．
OB 5 5 25 5
【解答】（1）证明：∵以AE为直径的 O与直线BC相切于点D，
∴BC⊥OD， ⊙
∴∠ODA+∠ADC＝∠ODC＝90°，
∴2∠ODA+2∠ADC＝180°，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠DAB，
∴2∠DAB+2∠ADC＝180°，
∵AC＝AD，
∴∠C＝∠ADC，
∴∠CAD+∠C+∠ADC＝∠CAD+2∠ADC＝180°，
∴∠CAD+2∠ADC＝2∠DAB+2∠ADC，
∴∠CAD＝2∠DAB．
（2）解：作DF⊥AB于点F，则∠AFD＝∠BFD＝90°，
∵∠ODB＝90°，
OD 3
∴ = sinB = ，
OB 5
3
设OB＝5m，则OA＝OE＝OD= OB＝3m，
5
∵BE＝OB﹣OE＝2m＝2，
∴m＝1，
第26页（共32页）∴OA＝OD＝3，OB＝5，
∵∠OFD＝∠ODB＝90°，∠FOD＝∠DOB，
∴△FOD∽△DOB，
OF OD
∴ = ，
OD OB
OD2 32 9
∴OF= = = ，
OB 5 5
9 24 9 144
∴AF＝OA+OF＝3+ = ，DF2＝OD2﹣OF2＝32-( ) 2= ，
5 5 5 25
√ 24 144 12√5
∴AC＝AD=√AF2+DF2= ( ) 2+ = ，
5 25 5
12√5
∴AC的长是 ．
5
【点评】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形
的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，﹣
6），抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴上找一点Q（不与点O重合），使ABQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P
作PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值及此时P点的坐标．
第27页（共32页）【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数综合题；二次函数图象及其性质；推理能力．
1 1
【答案】（1）y= x2- x﹣6；
4 2
（2）Q（0，﹣6+6√2）或（0，﹣6﹣6√2）或（0，6）；
9√2 33
（3）PM的最大值为 ，点P（3，- ）．
8 4
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当AB＝AQ时，列出等式，即可求解；当AB＝BQ或AQ＝BQ时，同理可解；
√2 √2 √2 1 1 √2 1 3
（3）由PM= PD，得到PM= PD= [x﹣4﹣（ x2- x﹣6）]= （- x2+ x），即可求解．
2 2 2 4 2 2 4 2
【解答】解：（1）根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点为：（﹣4，0），
由题意得：y＝a（x+4）（x﹣6）＝a（x2﹣2x﹣24），
则﹣24a＝﹣6，
1
解得：a= ，
4
1 1
则抛物线的表达式为：y= x2- x﹣6；
4 2
（2）设点Q（0，y），
由点A、B、Q的坐标得，AB2＝72，AQ2＝36+y2，BQ2＝（y+6）2，
当AB＝AQ时，
则72＝36+y2，
解得：y＝﹣6（舍去）或6，
即点Q（0，6）；
当AB＝BQ或AQ＝BQ时，
则72＝（y+6）2或36+y2＝（y+6）2，
解得：y＝﹣6±6√2或0（舍去），
第28页（共32页）故点Q（0，﹣6+6√2）或（0，﹣6﹣6√2），
综上，Q（0，﹣6+6√2）或（0，﹣6﹣6√2）或（0，6）；
（3）由点B、A的坐标知，其和x轴的夹角为45°，直线AB的表达式为：y＝x﹣4，
即∠BAC＝45°＝∠MPD，
√2
则PM= PD，
2
1 1
设点P（x， x2- x﹣6），则点D（x，x﹣4），
4 2
√2 √2 1 1 √2 1 3
则PM= PD= [x﹣4﹣（ x2- x﹣6）]= （- x2+ x），
2 2 4 2 2 4 2
√2 1
∵- × ＜0，故PM有最大值，
2 4
9√2
当x＝3时，PM的最大值为 ，
8
33
此时，点P（3，- ）．
4
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关
系，解决相关问题．
24．（12分）在正方形ABCD中，E是边AD上的一动点（不与点A，D重合），连接BE，点C关于直
线BE的对称点为F，连接FA，FB．
（1）如图1，若△ABF是等边三角形，则∠ABE＝ 1 5 °；
（2）如图2，延长BE交FA的延长线于点M，连接CF交BE于点H，连接DM．
①求∠MFH的大小；
② 用 等 式 表 示 线 段 MB ， MD ， AB 之 间 的 数 量 关 系 ， 并 证 明 ．
第29页（共32页）【考点】四边形综合题．
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【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）15．
（2）①45°．
②MB2+MD2＝2AB2，证明见解答．
【分析】（1）根据正方形的性质及等边三角形的性质即可解答；
（2）①根据正方形的性质及三角形内角和定理即可解答；
②过点 A 作 AN⊥AM 交 BM 于点 N，连接 BD，根据直角三角形的性质及正方形的性质，证明
△AMD≌△ANB（SAS），利用勾股定理即可解答．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD，
∴∠ABC＝90°，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∵点C关于直线BE的对称点为F，
∴∠FBE＝∠CBE，
∴∠FBA+∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE，
∴60°+∠ABE＝90°﹣∠ABE，
∴∠ABE＝15°，
故答案为：15°．
（2）①如图，
第30页（共32页）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，BA＝BC，
∵点F与点C关于直线BE对称，
∴BF＝BC，∠MHF＝90°，
∴BF＝BA，
设∠1＝ ，
在△BFCα中，BF＝BC，
180°-(90°+α) α
∴∠2= =45°- ，
2 2
在△BFA中，BF＝BA，
180°-∠1 α
∴∠BFA= =90°- ．
2 2
α α
∴∠3=∠BFA-∠2=(90°- )-(45°- )=45°．
2 2
②数量关系：MB2+MD2＝2AB2，证明如下：
过点A作AN⊥AM交BM于点N，连接BD，如图，
在Rt△FHM中，∠3＝45°，
∴∠HMF＝45°，
∴∠ANM＝∠AMN＝45°，∠ANB＝135°，
∴AM＝AN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，BD=√2AB，
∴∠4＝∠5，
∴△AMD≌△ANB（SAS），
∴∠AMD＝∠ANB＝135°，
∴∠BMD＝∠AMD﹣∠AMN＝90°，
在Rt△BMD中，由勾股定理得MB2+MD2＝BD2，
第31页（共32页）即MB2+MD2＝2AB2．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，正
方形的性质，掌握这些性质是解题的关键．
第32页（共32页）
