文档内容
2026年菁优武汉中考数学终极押题密卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）第19届亚运于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，
是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列事件中，不是随机事件的是（ ）
A．打开电视机，正播放新闻
B．通过长期努力学习，数学得满分
C．太阳从东边升起
D．明天会是晴天
3．（3分）如图，从左面看这个由5个相同的小正方体组成的立体图形，看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）从“播州视界”获悉，2024国庆中秋假期，播州区累计接待游客93.22万人次．其中93.22万
用科学记数法表示为（ ）
第1页（共35页）A．0.9322×105 B．9.322×105
C．9.322×106 D．93.22×105
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4÷a3＝a3 B．a4﹣a3＝a C．a4•a3＝a7 D．（a4）3＝a7
6．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度 y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图
象描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为100米；③火车整体都在
隧道内的时间为30秒；④隧道长度为1200米．正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①④ D．③④
7．（3分）一副扑克牌共54张，除大小王外有红桃、黑桃、方块、梅花四种花色．在一个不透明的盒子
中，有4张扑克牌，分别是红桃A、黑桃A、方块A、梅花A，将牌洗乱，从中随机摸一张牌，记下花
色后放回洗乱，然后再从中随机摸一张牌，则两次都摸到桃心 A（黑桃 A 或红桃 A）的概率是
（ ）
1 3 1 9
A． B． C． D．
2 8 4 16
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F分别为边 AB，BC上的点，将△BEF沿EF折叠得
△PEF，连结AP，CP，过点P作PD⊥AC于点D，点D恰好是AC的中点．若∠BAC＝50°，AP平分
∠BAC，则∠PFC＝（ ）
第2页（共35页）A．100° B．90° C．80° D．60°
9．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠C＝65°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分
别相交于点D、E，则^DE的长度为（ ）
π 5π 10π 25π
A． B． C． D．
9 9 9 9
10．（3分）如图①所示，点A、B是 O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向
匀速运动到点A，运动时间是x（s）⊙，线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则
图中m的值是（ ）
9 14
A． B． C．5 D．4√2
2 3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1 1
11．（3分）把下列各数填在相应的集合里：﹣4，2.5，- ，﹣15，0，49，2.3，321，﹣2 ．
3 2
负数集合：{ …}．
k
12．（3分）函数y =ax2+bx+c与y = 的图象如图所示，当y ，y 均随着x的增大而减小时，自变量x
1 2 x 1 2
的取值范围是 ．
第3页（共35页）2 1
13．（3分）方程 = 的解为 ．
3x-1 x
14．（3分）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高
AB为33m，则荷塘的宽CD为 m（结果保留根号）．
15．（3分）如图，CD＝2，点B是线段CD上一动点，且∠DCA＝90°，CA＝CB，以AB为底边作等腰
△ABP，则DP的最小值是 ．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（1，0），（﹣2，t）两点，其中t＜0，对称轴为x＝
﹣1．下列四个结论：①bc＜0；②c＝t；③点A（s，y ）、B（s+1，y ）在抛物线上，当s＜﹣1时，
1 2
y ＞y ；④已知关于x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，若关于x的方程
1 2
ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）有整数根，则其根为﹣4和2；其中正确的结论是 （填写序
号）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
第4页（共35页）{
2x+1＞0
17．（8分）解不等式组： x+1 ．
＞x-1
3
18．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD∥AC，点E为AB上一点，且AE＝BD，连接
AD，EC，求证：AD＝EC．
19．（8分）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从
该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据
以上信息，解答下列问题：
（1）m的值是 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 ，并补全
条形统计图．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
20．（8分）如图，△ABC内接于 O，AB为 O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线
翻折，得到△CEB，点D的对应⊙点为E，延长⊙EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是 O的切线；
⊙√2
（2）若sin∠CFB= ，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
2
第5页（共35页）21．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一个格点△ABC（即三角形
的顶点都在格点上）．
（1）画出△AB C ，使△AB C 与△ABC关于直线MN成轴对称；画出△AB C ，使△AB C 与△ABC
1 1 1 1 2 2 2 2
关于点A成中心对称．
（2）在第（1）小题的基础上，联结B B ，四边形AC B B 的面积为 ．（直接写出答案）
1 2 1 1 2
22．（10分）如图①，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线
也随之上下平移，图②是其示意图，开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，OA＝4m，若
喷水口上升到P处，水线落地点为B，记OP长度为h，如图②，以OP所在直线为y轴，OB所在直
线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系，若喷水口在P处，h＝1.5m，OB＝6m．
（1）求过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离及水线所在抛物线的函数表达式；
（2）身高1.5m的小红要从该水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与点O的水平距离应满足什么
第6页（共35页）条件？请说明理由．
23．（10分）在矩形ABCD中，BE是∠DBC的角平分线，交CD于G，过D作DE⊥BE，垂足为E，令
AB
=k．
BC
（1）特例思考：如图1，若k＝1，则tan∠BEC＝ ；
（2）变式分析：如图2，若k≠1，求tan∠BEC（用含k的代数式表示）；
（3）拓展探究：如图3，连接AE，分别交BD，CD于点H，F，若AE＝3CE，求k的值．
1
24．（12分）如图，已知抛物线y=- x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点
3
C，P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP ＝2S△AOC ，求点P的坐标；
（3）若∠PBA＝∠ACO，直接写出点P的坐标．
第7页（共35页）2026年菁优武汉中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B． C C C C C B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）第19届亚运于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，
是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
第8页（共35页）这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）下列事件中，不是随机事件的是（ ）
A．打开电视机，正播放新闻
B．通过长期努力学习，数学得满分
C．太阳从东边升起
D．明天会是晴天
【考点】随机事件．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可
能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随
机事件；据此进行判断即可．
【解答】解：打开电视机，正播放新闻是随机事件，则A不符合题意，
通过长期努力学习，数学得满分是随机事件，则B不符合题意，
太阳从东边升起是必然事件，则C符合题意，
明天会是晴天是随机事件，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查随机事件，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（3分）如图，从左面看这个由5个相同的小正方体组成的立体图形，看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从其左面看，是一列三个相邻的小正方形．
故选：B．
第9页（共35页）【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义．
4．（3分）从“播州视界”获悉，2024国庆中秋假期，播州区累计接待游客93.22万人次．其中93.22万
用科学记数法表示为（ ）
A．0.9322×105 B．9.322×105
C．9.322×106 D．93.22×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：93.22万＝932200＝9.322×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4÷a3＝a3 B．a4﹣a3＝a C．a4•a3＝a7 D．（a4）3＝a7
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a4÷a3＝a，则A不符合题意，
a4与a3不是同类项，无法合并，则B不符合题意，
a4•a3＝a7，则C符合题意，
（a4）3＝a12，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关
键．
6．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度 y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图
象描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为100米；③火车整体都在
隧道内的时间为30秒；④隧道长度为1200米．正确的结论是（ ）
第10页（共35页）A．①②③ B．①③ C．①④ D．③④
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】C
【分析】根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，
进而即可确定其它答案．
【解答】解：由题意可知：
在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故①正确；
火车的长度是150米，故②错误；
整个火车都在隧道内的时间是：45﹣5﹣5＝35（秒），故③错误；
隧道长是：40×30＝1200（米），故④正确．
故正确的是：①④．
故选：C．
【点评】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解
问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
7．（3分）一副扑克牌共54张，除大小王外有红桃、黑桃、方块、梅花四种花色．在一个不透明的盒子
中，有4张扑克牌，分别是红桃A、黑桃A、方块A、梅花A，将牌洗乱，从中随机摸一张牌，记下花
色后放回洗乱，然后再从中随机摸一张牌，则两次都摸到桃心 A（黑桃 A 或红桃 A）的概率是
（ ）
第11页（共35页）1 3 1 9
A． B． C． D．
2 8 4 16
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先画出树状图，然后计算出两次都摸到桃心A（黑桃A或红桃A）的概率即可．
【解答】解：设红桃A、黑桃A、方块A、梅花A分别为a、b、c、d，
画树状图如下：
，
由上可得，一共有16种等可能性，其中两次都摸到桃心A（黑桃A或红桃A）的有4种，
4 1
∴两次都摸到桃心A（黑桃A或红桃A）的概率为 = ，
16 4
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F分别为边 AB，BC上的点，将△BEF沿EF折叠得
△PEF，连结AP，CP，过点P作PD⊥AC于点D，点D恰好是AC的中点．若∠BAC＝50°，AP平分
∠BAC，则∠PFC＝（ ）
A．100° B．90° C．80° D．60°
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】延长AP交BC于点G，连接BP，由AB＝AC，∠BAC＝50°，求得∠ACB＝∠ABC＝65°，则
第12页（共35页）1
∠PAC＝∠PAB= ∠BAC＝25°，由AG垂直平分BC，得PB＝PC，由PD垂直平分AC，得PA＝PC，
2
则∠PCA＝∠PAC＝25°，所以∠PBF＝∠PCB＝40°，由折叠得PF＝BF，则∠BPF＝∠PBF＝40°，所
以∠PFC＝∠PBF+∠BPF＝80°，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长AP交BC于点G，连接BP，
∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
1
∴∠ACB＝∠ABC= ×（180°﹣50°）＝65°，
2
∵AP平分∠BAC，
1 1
∴∠PAC＝∠PAB= ∠BAC= ×50°＝25°，BG＝CG，
2 2
∴AG垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PD⊥AC于点D，点D是AC的中点，
∴PD垂直平分AC，
∴PA＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC＝25°，
∴∠PBF＝∠PCB＝∠ACB﹣∠PCA＝65°﹣25°＝40°，
由折叠得PF＝BF，
∴∠BPF＝∠PBF＝40°，
∴∠PFC＝∠PBF+∠BPF＝40°+40°＝80°，
故选：C．
【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，正确地
作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠C＝65°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分
别相交于点D、E，则^DE的长度为（ ）
第13页（共35页）π 5π 10π 25π
A． B． C． D．
9 9 9 9
【考点】弧长的计算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】设圆心为O，连接OE，OD，AE．求出圆心角∠DOE，利用弧长公式求解．
【解答】解：设圆心为O，连接OE，OD，AE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣65°＝25°，
∵AB＝AC＝8，
∴OA＝OB＝OE＝OE＝4，
∴∠DOE＝2∠CAE＝50°，
50π×4 10π
∴^DE的长度= = ．
180 9
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是
理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3分）如图①所示，点A、B是 O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向
匀速运动到点A，运动时间是x（s）⊙，线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则
图中m的值是（ ）
第14页（共35页）9 14
A． B． C．5 D．4√2
2 3
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】几何动点问题；函数及其图象；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由图②可得，当x＝2时，y＝AP＝6cm，即此时A、O、P共线，则圆得半径为3cm，当x＝0
时，AB＝AP=3√2cm，由勾股定理的逆定理可得∠AOB＝90°，进而得到当x＝2时，点P走过的角度
3π 3π
为90°，算出P走过的弧长为 cm，点P的运动速度为 cm/s，当x＝m时，AP＝3cm，此时△AOP
2 4
7π
为等边三角形，点P走过的角度为210°，算出P走过的弧长为= cm，最后利用时间的路程÷速度即
2
可求出m．
【解答】解：由图②可得，当x＝2时，y＝AP＝6cm，即此时A、O、P共线，
1
则圆得半径为 AP＝3（cm），
2
当x＝0时，y＝AP=3√2cm，
此时AB＝AP=3√2cm，
∵OA＝OB＝3cm，AB=3√2cm
∴AB2＝OA2+OB2，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
当x＝2时，点P运动到点C，如图，
第15页（共35页）则点P走过的角度为90°，
90 3π
∴点P走过的弧长为 ×2π×3= （cm），
360 2
3π 3π
∴点P的运动速度为 ÷2= （cm/s），
2 4
当x＝m时，y＝AP＝3cm，如图，
此时，△AOP为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
∴点P走过的角度为90°+（180°﹣60°）＝210°，
210 7π
∴点P走过的弧长为 ×2π×3= （cm），
360 2
7π 3π 14
∴m= ÷ = ．
2 4 3
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、等边三角形的判定、勾股定理的应用、弧长的计算，理解
函数图象中的点在不同时刻所代表的实际意义是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1 1
11．（3分）把下列各数填在相应的集合里：﹣4，2.5，- ，﹣15，0，49，2.3，321，﹣2 ．
3 2
1 1
负数集合：{ ﹣ 4 ， - ，﹣ 1 5 ，﹣ 2 …}．
3 2
【考点】正数和负数．
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【专题】实数；数感．
1 1
【答案】﹣4，- ，﹣15，﹣2 ．
3 2
【分析】根据负数的定义即可求得答案．
1 1
【解答】解：负数集合：{﹣4，- ，﹣15，﹣2 ⋯}，
3 2
1 1
故答案为：﹣4，- ，﹣15，﹣2 ．
3 2
【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．
k
12．（3分）函数y =ax2+bx+c与y = 的图象如图所示，当y ，y 均随着x的增大而减小时，自变量x
1 2 x 1 2
的取值范围是 x ＞ 1 ．
第16页（共35页）【考点】反比例函数的性质；二次函数的图象；二次函数的性质；反比例函数的图象．
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【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】x＞1．
【分析】利用图象法即可求解．
【解答】解：观察图象可知，当y ，y 均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x＞1．
1 2
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解题的关键是学会利用图象法
解决问题．
2 1
13．（3分）方程 = 的解为 x ＝ 1 ．
3x-1 x
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝1
【分析】方程两边都乘（3x﹣1）x得出2x＝3x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可．
2 1
【解答】解： = ，
3x-1 x
方程两边都乘（3x﹣1）x，得2x＝3x﹣1，
2x﹣3x＝﹣1，
﹣x＝﹣1，
x＝1，
检验：当x＝1时，（3x﹣1）x≠0，
所以分式方程的解是x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
14．（3分）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高
AB为33m，则荷塘的宽CD为 （ 3 3 ﹣ 1 1√3） m（结果保留根号）．
第17页（共35页）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（33﹣11√3）．
【分析】先证明△ABC是等腰直角三角形，得AB＝BC＝33m，再由锐角三角函数定义求出BD的长，
即可解决问题．
【解答】解：∵从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，
∴∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，
∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝33m，
在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，
AB
∴tan∠ADB= =tan60°=√3，
BD
AB 33
∴BD = = = 11√3（m），
√3 √3
∴CD＝BC﹣BD＝（33﹣11√3）m，
即荷塘的宽CD为（33﹣11√3）m，
故答案为：.(33-11√3)．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的
关键．
15．（3分）如图，CD＝2，点B是线段CD上一动点，且∠DCA＝90°，CA＝CB，以AB为底边作等腰
△ABP，则DP的最小值是 √2 ．
第18页（共35页）【考点】等腰三角形的性质；勾股定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】√2．
【分析】过点C作CQ⊥AB于Q，根据等腰直角三角形的性质可得AQ＝BQ，由△ABP是以AB为底边
的等腰三角形，可得AP＝BP，则点P在AB的垂直平分线CQ上，当DP⊥CQ时，DP的值最小，证
明此时△CPD是等腰直角三角形，即可求解．
【解答】解：过点C作CQ⊥AB于Q，
∵∠ACD＝90°，CB＝CA，
∴AQ＝BQ，∠CBA＝45°，
∴CQ是AB的垂直平分线，
∵△ABP是以AB为底边的等腰三角形，
∴AP＝BP，
∴点P在AB的垂直平分线CQ上，
当DP⊥CQ时，DP的值最小，此时，DP∥AB，
∴∠D＝∠CBA＝45°，
∵DP⊥CQ，
∴△CPD是等腰直角三角形，
∵CD＝2，
√2 √2
∴DP= CD= ×2=√2．
2 2
故答案为：√2．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性
质以及垂线段最短是解题的关键．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（1，0），（﹣2，t）两点，其中t＜0，对称轴为x＝
﹣1．下列四个结论：①bc＜0；②c＝t；③点A（s，y ）、B（s+1，y ）在抛物线上，当s＜﹣1时，
1 2
y ＞y ；④已知关于x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，若关于x的方程
1 2
ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）有整数根，则其根为﹣4和2；其中正确的结论是 ①②④ （填写
第19页（共35页）序号）．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点
的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】利用二次函数的图象及性质，系数间的关系和一元二次方程的关系即可求解．
【解答】解：∵抛物线过（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴图象必过（﹣3，0），
又∵过点（﹣2，t）（t＜0），
∴开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，故①对；
∵（0，c）与（﹣2，t）到对称轴等距，
∴c＝t，故②对；
∵s＜﹣1，无法判断点A（s，y ）、B（s+1，y ）与对称轴是同侧还是异侧，
1 2
也就无法判断点A、B与对称轴为直线x＝﹣1的距离的大小，故无法比较y 与y 的大小，故③错；
1 2
∵方程ax2+bx+c＝0的两根分别为1和﹣3，
又x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，而抛物线的对称轴为x＝﹣1，由对
称性得另一个根为﹣5，
观察图象，得关于x的方程ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）整数根为﹣4和2，故④对，
故答案为：①②④．
第20页（共35页）【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函
数图象上点的坐标特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
{
2x+1＞0
17．（8分）解不等式组： x+1 ．
＞x-1
3
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
1
【答案】- ＜x＜2．
2
【分析】先分别求出两个不等式的解集，进一步求出公共解集即可．
1
【解答】解：解不等式2x+1＞0得x＞- ，
2
x+1
解不等式 ＞x-1 得x＜2．
3
1
∴不等式组的解集是 - ＜x＜2．
2
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD∥AC，点E为AB上一点，且AE＝BD，连接
AD，EC，求证：AD＝EC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】由∠ABC＝∠ACB，得AB＝CA，由BD∥AC，得∠ABD＝∠CAE，而BD＝AE，即可根据
“SAS”证明△ABD≌△CAE，则AD＝EC．
【解答】证明：∵∠ABC＝∠ACB，
第21页（共35页）∴AB＝CA，
∵BD∥AC，点E为AB上一点，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
{
AB=CA
∠ABD=∠CAE，
BD=AE
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD＝EC．
【点评】此题重点考查等腰三角形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明
△ABD≌△CAE是解题的关键．
19．（8分）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从
该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据
以上信息，解答下列问题：
（1）m的值是 10 0 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 72 ° ，并补全条形统
计图．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
【考点】条形统计图；中位数；众数；统计量的选择；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总
体；扇形统计图．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）100；72°；补全条形统计图如下：
第22页（共35页）（2）520人；
（3）选众数：
∵1分有2人，2分有10人，3 分有36人，4分有32人，5分有20人，
∴众数为3分，实际意义为：参加竞赛的学生中，得3分的人数最多．
【分析】（1）用得3分的人数除以其所占的百分比即可求出m的值，计算出得5分的人数补全条形统
计图，用360°乘以得“5分”的人数的占比即可求解；
（2）用1000乘以成绩超过3分的学生人数的占比即可求解；
（3）根据众数或中位数的意义进行作答即可．
【解答】解：（1）m＝36÷36%＝100（人），则得5分的人数为100﹣2﹣10﹣36﹣32＝20（人），
20
“5分”对应的扇形的圆心角为360°× =72°．
100
补全条形统计图如下：
故答案为：100；72°；
（2）用1000乘以成绩超过3分的学生人数的占比可得：
32+20 52
1000× =1000× =520（人）．
100 100
答：估计成绩超过3分的学生人数约为520人．
第23页（共35页）（3）选众数：
∵1分有2人，2分有10人，3 分有36人，4分有32人，5分有20人，
∴众数为3分，实际意义为：参加竞赛的学生中，得3分的人数最多．
【点评】本题考查了条形统计图、用样本估计整体，熟练掌握以上知识点是关键．
20．（8分）如图，△ABC内接于 O，AB为 O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线
翻折，得到△CEB，点D的对应⊙点为E，延长⊙EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是 O的切线；
⊙√2
（2）若sin∠CFB= ，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
2
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；圆周角定理；
三角形的外接圆与外心．
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【专题】平移、旋转与对称；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算
能力；推理能力．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，
∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠OCF＝∠E＝90°，
∵OC是 O的半径，
⊙
第24页（共35页）∴CF是 O的切线；
（2）2 ⊙﹣4．
【分析π】（1）证连接OC，根据垂直的定义得到∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝
∠OBC，根据折叠的性质得到∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，根据平行线的性质得到∠COF＝
∠E＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
√2
（2）根据三角函数的定义得到∠CFB＝45°，求得∠COF＝∠CFO＝45°，得到CD＝OD= OC＝2
2
√2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，
∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠OCF＝∠E＝90°，
∵OC是 O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
⊙ √2
（2）解：∵sin∠CFB= ，
2
∴∠CFB＝45°，
∵∠OCF＝90°，
∴∠COF＝∠CFO＝45，
1
∴CF＝OC= AB=4，
2
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝∠COD＝45°，
√2
∴CD＝OD= OC＝2√2，
2
45⋅π×42 1
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△COD面积= - ×2√2×2√2=2 ﹣4．
360 2
π
第25页（共35页）【点评】本题考查了切线的判定和性质，折叠的性质，解直角三角形，扇形面积的计算，等腰直角三
角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一个格点△ABC（即三角形
的顶点都在格点上）．
（1）画出△AB C ，使△AB C 与△ABC关于直线MN成轴对称；画出△AB C ，使△AB C 与△ABC
1 1 1 1 2 2 2 2
关于点A成中心对称．
（2）在第（1）小题的基础上，联结B B ，四边形AC B B 的面积为 1 3 ．（直接写出答案）
1 2 1 1 2
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换．
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【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】13．
【分析】（1）根据轴对称的性质和中心对称的性质作图即可．
第26页（共35页）（2）利用割补法求四边形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△AB C 和△AB C 即为所求．
1 1 2 2
1 1 1
（2）四边形AC B B 的面积为 ×(3+5)×4- ×1×3- ×3×1=13．
1 1 2 2 2 2
故答案为：13．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、中心对称，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本
题的关键．
22．（10分）如图①，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线
也随之上下平移，图②是其示意图，开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，OA＝4m，若
喷水口上升到P处，水线落地点为B，记OP长度为h，如图②，以OP所在直线为y轴，OB所在直
线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系，若喷水口在P处，h＝1.5m，OB＝6m．
（1）求过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离及水线所在抛物线的函数表达式；
（2）身高1.5m的小红要从该水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与点O的水平距离应满足什么
条件？请说明理由．
【考点】二次函数的应用．
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第27页（共35页）【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
1 1 3
【答案】（1）4m；y=- x2+ x+ ；
8 2 2
（2）该点与点O的水平距离要大于0小于4，理由见解析．
【分析】（1）设过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，先求出过点O的抛物线
b
形水线所在抛物线的对称轴为直线 x＝2，再由平移的性质可得- =2，据此利用待定系数法求出对
2a
应的函数解析式，再化成顶点式求出对称轴即可得到答案；
（2）令y＝1.5，解出x，进而即可求解．
【解答】解：（1）设过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵OA＝4m，
∴过点O的抛物线形水线所在抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵过点P的抛物线形水线所在抛物线是有过点O的抛物线形水线所在抛物线平移得到的，
b
∴- =2，即b＝﹣4a
2a
∵h＝1.5m，OB＝6m，
∴P（0，1.5），B（6，0），
{
b=-4a
∴ 1.5=c
0=36a+6b+c
1
{a=-
8
1
解得： b= ，
2
3
c=
2
1 1 3
∴过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为y=- x2+ x+ ，
8 2 2
1 1 3 1
∵y=- x2+ x+ =- (x-2) 2+2，
8 2 2 8
1 1 3
∴抛物线y=- x2+ x+ 的对称轴为直线x＝2
8 2 2
∴过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离为6﹣2＝4m；
（2）该点与点O的水平距离要大于0小于4，理由如下：
第28页（共35页）令y＝1.5，
1
∴1.5=- (x-2) 2+2．
8
∴x＝0或x＝4，
∴为了不被水喷到，该点与点O的水平距离要大于0小于4．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23．（10分）在矩形ABCD中，BE是∠DBC的角平分线，交CD于G，过D作DE⊥BE，垂足为E，令
AB
=k．
BC
（1）特例思考：如图1，若k＝1，则tan∠BEC＝ 1 ；
（2）变式分析：如图2，若k≠1，求tan∠BEC（用含k的代数式表示）；
（3）拓展探究：如图3，连接AE，分别交BD，CD于点H，F，若AE＝3CE，求k的值．
【考点】相似形综合题．
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【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；
推理能力．
【答案】（1）1；
1
（2） ；
k
3
（3） ．
4
【分析】（1）可证得点B、C、E、D共圆，从而∠BEC＝∠BDC＝45°，进一步得出结果；
（2）可证得点B、C、E、D共圆，从而∠BEC＝∠BDC，进而得出结果；
（3）作 EW⊥AB 于 W，交 CD 于 V，设 CE＝a，则 AE＝3a，可证得 AE＝BE，VG＝VF，
1 1
△ADF≌△BCG（ASA），从而DF＝CG，可证得△CEG∽△BEC，从而得出EG= CE= a，BG＝
3 3
1 8 VG EG 1 1
3a- a= a，根据EW∥BC， = = ，从而VG= CG，进一步得出结果．
3 3 CG BG 8 8
第29页（共35页）【解答】解：（1）∵DE⊥BE，
∴∠BED＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，
∴∠BCD＝∠BED，
∴点B、C、E、D共圆，
∴∠BEC＝∠BDC＝45°，
∴tan∠BEC＝1，
故答案为：1；
（2）∵DE⊥BE，
∴∠BED＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠BED，
∴点B、C、E、D共圆，
∴∠BEC＝∠BDC，
BC BC 1
∴tan∠BEC＝tan∠BDC= = = ；
CD AB k
（3）如图，
作EW⊥AB于W，交CD于V，
设CE＝a，则AE＝3a，
∵∠BAD+∠BED＝90°+90°＝180°，
∴点A、B、E、D共圆，
∴∠DAE＝∠DBE，
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE＝∠DBE，
∴∠DAE＝∠CBE，
第30页（共35页）∵∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB﹣∠DAE＝∠ABC﹣∠CBE，
∴∠BAE＝∠ABE，
∴AE＝BE，
∵AB∥CD，
∴∠EFG＝BAE，∠EGF＝∠ABE，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴VG＝VF，
∴EW平分∠AEB，
∵AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴△ADF≌△BCG（ASA），
∴DF＝CG，
由（2）知，
点B、C、E、D共圆，
∴∠DCE＝∠DBE，
∴∠DCE＝∠CBE，
∵∠BEC＝∠BEC，
∴△CEG∽△BEC，
CE EG CG
∴ = = ，
BE CE BC
EG CG CE 1
∴ = = = ，
CE BC AE 3
1 1
∴EG= CE= a，
3 3
1 8
∴BG＝BE﹣EG＝3a- a= a，
3 3
∵EW∥BC，
VG EG 1
∴ = = ，
CG BG 8
1
∴VG= CG，
8
1
∴VF＝VG= CG，
8
第31页（共35页）1 9 9 1 3
∴AB＝CD＝CG+VG+VF+DF＝2VG+ CG= CG= × BC= BC，
4 4 4 3 4
AB 3
∴k= = ．
BC 4
【点评】本题考查了矩形和正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，锐
角三角函数的定义，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
1
24．（12分）如图，已知抛物线y=- x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点
3
C，P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP ＝2S△AOC ，求点P的坐标；
（3）若∠PBA＝∠ACO，直接写出点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
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【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
1 1
【答案】（1）y=- x2+ x+4
3 3
（2）点P的坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
3 57 21 111
（3）点P的坐标为(- ， )或(- ，- )．
4 16 4 16
1
【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y=- x2+bx+c，即可求解；
3
1 1 1 1 1
（2）先求出S△OAC ＝6，则S△BOP ＝12，设P(t，-
3
t2+
3
t+4)，可得
2
×4×|-
3
t2+
3
t+4|=12，
即可求P点坐标；
（3）设PB交y轴于点Q，利用正切函数求得OQ＝3，利用待定系数法求得直线PB的解析式，联立
求得即可；当直线PB经过点Q关于原点的对称点Q 时，也符合题意，同理求解即可．
1
第32页（共35页）1
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y=- x2+bx+c，
3
{
-3-3b+c=0
∴ 16 ，
- +4b+c=0
3
{ 1
b=
解得 3，
c=4
1 1
∴y=- x2+ x+4；
3 3
（2）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
1
∴S = ×3×4=6，
△OAC 2
∵S△BOP ＝2S△AOC ，
∴S△BOP ＝12，
1 1
设P(t，- t2+ t+4)，
3 3
∵B（4，0），
∴OB＝4，
1 1 1
∴ ×4×|- t2+ t+4|=12，
2 3 3
解得t＝6或t＝﹣5，
∴点P的坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）设PB交y轴于点Q，
第33页（共35页）∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），
∴OA＝3，OC＝OB＝4，
∵∠PBA＝∠ACO，
∴tan∠PBA＝tan∠ACO，
OQ OA OQ 3
∴ = ，即 = ，
OB OC 4 4
∴OQ＝3，
设直线PB的解析式为y＝kx+3，
∴0＝4k+3，
3
解得k=- ，
4
3
∴直线PB的解析式为y=- x+3，
4
3
{ y=- x+3
4
联立 ，
1 1
y=- x2+ x+4
3 3
3
{x=-
{x=4 4
解得 或 ，
y=0 57
y=
16
3 57
∴点P的坐标为(- ， )；
4 16
3
当直线PB经过点Q关于原点的对称点Q 时，也符合题意，同理求得直线P B的解析式为y= x-3，
1 1 4
第34页（共35页）3
{ y= x-3
4
联立 ，
1 1
y=- x2+ x+4
3 3
21
{x=-
{x=4 4
解得 或 ，
y=0 111
y=-
16
21 111
∴点P的坐标为(- ，- )；
4 16
3 57 21 111
综上，点P的坐标为(- ， )或(- ，- )．
4 16 4 16
【点评】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正切函数的定义．
第35页（共35页）
