文档内容
2026年菁优武汉中考数学终极押题密卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列运动项目的简笔画是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（ ）
A．成语“刻舟求剑”是随机事件
B．诗句“手可摘星辰”是必然事件
C．成语“水中捞月”是不可能事件
D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件
3．（3分）如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAl新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工
具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，用科学记数法表示为（ ）
A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a3+a3＝a6 C．a8÷a2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6
6．（3分）海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称
潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深h（单位：m）随时间t（单位：h）变化的关系
如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中不正确的是（ ）
第1页（共33页）A．当t＝9时，该港口水深最浅
B．当h＝6时，t的值是1或5
C．0时到3时和9时到12时，海水均在上涨
D．某船吃水深度为3m，它可以在7时出入该港口
7．（3分）生物的性状由遗传因子决定，决定显性性状的为显性遗传因子，用大写字母（如 D）表示，
决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母（如 d）表示，当D和d结合在一起时d无法表达性状，
仅表现显性性状．例如某高茎豌豆（Aa）和矮茎豌豆（aa）杂交，高茎豌豆的A和a分离，矮茎豌豆
a和a也分离，然后高茎豌豆的遗传因子和矮茎豌豆的遗传因子自由结合，理论上后代中Aa和aa的比
例为1：1．现在有高茎黄色豌豆（AaBb）和高茎黄色豌豆（AaBb）杂交，其中后代中为bb的性状为
绿色，且 A、a和B、b遗传因子相互独立互不影响，则理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为
（ ）
1 3 9 1
A． B． C． D．
16 16 16 4
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点
E恰好落在边AC上．若∠A＝34°，则∠ADE的大小是（ ）
A．35° B．37° C．39° D．41°
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝70°，以AB为直径的 O交BC于点D，则^BD的长
为（ ） ⊙
第2页（共33页）1 2 1 4
A． π B． π C． π D． π
9 9 3 9
10．（3分）如图，点A、B、C在 O上，且AB经过点O，AB＝13，BC＝5，动点D在AB上，过点D
作DE⊥AB，交折线A﹣C﹣B于⊙点E，设AD＝x，△ADE的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关
系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3 分）推箱子游戏中，如果规定把箱子向右推动 1 格为负，记作﹣1，则+5 表示把箱子
．
k
12．（3分）函数y =ax2+bx+c与y = 的图象如图所示，当x的取值范围为 时，y ，y 均
1 2 x 1 2
随着x的增大而减小．
第3页（共33页）2 8
13．（3分）已知分式方程 - =1，则其解为 ．
x-2 x2-4
14．（3分）黄岐宝塔坐落在揭阳市黄岐山顶峰，是揭阳市的文物保护单位．如图，某课外兴趣小组在距
离塔底A点50米的C 处，用测角仪测得塔顶部 B的仰角为 42°，则可估算出塔 AB的高度为
．（结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，0），以AB为腰作等腰△ABC，点C在y
轴上，则C点坐标为 ．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列五个结论：
①该函数图象经过点（﹣1，0）；
②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1；
⑤若a＞2，则关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个．
其中正确的是 （填写序号）．
第4页（共33页）三．解答题（共8小题，满分72分）
{
2x+1≥-3
17．（8分）解不等式组： x+1．
x-1＜
2
18．（8分）已知：如图，点C是线段AE的中点，AB＝CD，BC＝DE．求证：AB∥CD．
19．（8分）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从
该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m的值是 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 ．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
20．（8分）如图，△ABC内接于 O，AB为 O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC．所在的直
线翻折，得到△CEB，点D的对⊙应点为E，延⊙长EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是 O的切线．
⊙√2
（2）若sin∠CFB= ，AB＝4，求图中阴影部分的面积．
2
第5页（共33页）21．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC是格点三角形，点D，E均
为格点（网格线的交点）．
（1）画出△ABC关于直线DE对称的△A B C ；
1 1 1
（2）将（1）中的△A B C 绕点C 逆时针旋转90°得到△A B C ，画出△A B C ．
1 1 1 1 2 2 1 2 2 1
22．（10分）小明同学运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，
在平面直角坐标系中，点A、C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在
y轴上．若选择吊球，羽毛球（看作一点）的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满
足二次函数关系式y＝a（x﹣1）2+3；若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单
位：m）近似满足一次函数关系式y＝﹣0.4x+2.7．
（1）求点P的坐标和a的值．
（2）若球网的高度为1.55m，请通过计算说明上面两种击球方式是否能使球过网？如果能过网，再计
算并判断球的落地点能不能在近网区AC内．
23．（10分）如图①，点D为△ABC上方一动点，且∠BDC＝60°．
第6页（共33页）（1）在BD左侧构造△BDE∽△BCA，连接AE，请证明△BAE∽△BCD；
（2）如图②，在BD左侧构造△BDE∽△BCA，在CD右侧构造△CDF∽△CBA，连接AF，AE，求
证：四边形AFDE是平行四边形；
（3）如图③，当△ABC满足∠A＝150°，AB=2√3，AC＝2．运用（2）中的构造图形的方法画出四
边形AFDE；
（Ⅰ）求证：四边形AFDE是矩形；
（Ⅱ）直接写出在点D运动过程中线段EF的最大值．
24．（12分）已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4，m＞0，O为坐标原点，A（x ，y ），B（x ，y ）为该抛物
1 1 2 2
线上的两点，且x ＜x ．
1 2
（1）已知点A（﹣1，0），求该抛物线与x轴的另一交点坐标．
（2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC＝2OA，求m的值．
m
（3）若对于 ＜x ＜x ＜m，都有y ＜4y ，求m的取值范围．
2 1 2 2 1
第7页（共33页）2026年菁优武汉中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D． C D B C D D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列运动项目的简笔画是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义逐一分析即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，
被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
2．（3分）从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（ ）
A．成语“刻舟求剑”是随机事件
B．诗句“手可摘星辰”是必然事件
C．成语“水中捞月”是不可能事件
D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件
【考点】随机事件．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
第8页（共33页）【解答】解：A、诗句“刻舟求剑“是不可能事件，不正确，不符合题意；
B、诗句”手可摘星辰“是不可能事件，不正确，不符合题意；
C、成语“水中捞月”是不可能事件，正确，符合题意；
D、谚语“竹篮打水一场空”是必然事件，不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发
生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条
件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，进行判断即可．
【解答】解：从正面看，可得选项B的图形．
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答
的关键．
4．（3分）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAl新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工
具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，用科学记数法表示为（ ）
A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
第9页（共33页）原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：175000000000＝1.75×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a3+a3＝a6 C．a8÷a2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；
C．根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
D．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：∵a2•a3＝a5，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵a3+a3＝2a3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵a8÷a2＝a6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
D．∵（﹣a2）3＝﹣a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂乘除法则、幂的乘方法则和
合并同类项法则．
6．（3分）海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称
潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深h（单位：m）随时间t（单位：h）变化的关系
如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中不正确的是（ ）
第10页（共33页）A．当t＝9时，该港口水深最浅
B．当h＝6时，t的值是1或5
C．0时到3时和9时到12时，海水均在上涨
D．某船吃水深度为3m，它可以在7时出入该港口
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】D
【分析】根据图1和图2分别分析判断即可．
【解答】解：由图1可知，当t＝9时，纵坐标植最小，该港口水深最浅，故A说法正确，不符合题意．
由图1可以看出，当h＝6时，t的值是1或5，故B说法正确，不符合题意．
由图1可知，0时到3时和9时到12时，海水均在上涨，故C说法正确，不符合题意．
该货船吃水深度为3m，而且由图2信息窗可知，船舶进出港口时底与港口水底间的距离最少2m，故
该货船进出港口时要求水深最少为3+2＝5（m）．
而当t＝7时，h＝4.4＜5，故此时它不可以进出港口，故D说法错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象，比较简单，一定要学会从图象中获取有用的信息．
7．（3分）生物的性状由遗传因子决定，决定显性性状的为显性遗传因子，用大写字母（如 D）表示，
决定隐性性状的为隐性遗传因子，用小写字母（如 d）表示，当D和d结合在一起时d无法表达性状，
仅表现显性性状．例如某高茎豌豆（Aa）和矮茎豌豆（aa）杂交，高茎豌豆的A和a分离，矮茎豌豆
a和a也分离，然后高茎豌豆的遗传因子和矮茎豌豆的遗传因子自由结合，理论上后代中Aa和aa的比
例为1：1．现在有高茎黄色豌豆（AaBb）和高茎黄色豌豆（AaBb）杂交，其中后代中为bb的性状为
绿色，且 A、a和B、b遗传因子相互独立互不影响，则理论上后代出现高茎绿色豌豆的概率为
（ ）
第11页（共33页）1 3 9 1
A． B． C． D．
16 16 16 4
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先列表求出所有等可能的结果，再找出高茎豌豆可能的结果种数，最后根据概率公式求解即
可．
【解答】解：列表格如下：
BB Bb Bb bb
AA （AA BB） （AA Bb） （AA Bb） （AA bb）
Aa （Aa BB） （Aa Bb） （Aa Bb） （Aa bb）
Aa （Aa BB） （Aa Bb） （Aa Bb） （Aa bb）
aa （aa BB） （aa Bb） （aa Bb） （aa bb）
由上表可知，共有16种等可能的结果，其中后代出现高茎绿色豌豆的有3种等可能的结果，
3
∴概率为P= ，
16
故选：B．
【点评】本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解答本题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点
E恰好落在边AC上．若∠A＝34°，则∠ADE的大小是（ ）
A．35° B．37° C．39° D．41°
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由AB＝AC，得∠B＝∠ACB，而∠A＝34°，则2∠ACB+34°＝180°，求得∠B＝∠ACB＝73°，
由折叠得∠CED＝∠B＝73°，则∠BDE＝360°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CED＝141°，所以∠ADE＝180°﹣
∠BDE＝39°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
第12页（共33页）∴∠B＝∠ACB，
∴∠B+∠ACB+∠A＝180°，且∠A＝34°，
∴2∠ACB+34°＝180°，
∴∠B＝∠ACB＝73°，
∵将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上，
∴∠CED＝∠B＝73°，
∴∠BDE＝360°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CED＝360°﹣3×73°＝141°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDE＝180°﹣141°＝39°，
故选：C．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、翻折变换的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等
于360°等知识，求得∠B＝∠ACB＝73°是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝70°，以AB为直径的 O交BC于点D，则^BD的长
为（ ） ⊙
1 2 1 4
A． π B． π C． π D． π
9 9 3 9
【考点】弧长的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．
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【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】连接AD，OD，根据AD是 O的直径，可得∠ADB＝90°，再根据AB＝AC，∠C＝70°，可
得∠B的值，然后求得∠DAB，从而求⊙出∠DOB，再结合弧长公式进行列式，即可作答．
【解答】解：连接AD，OD，如图所示：
在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝70°，以AB为直径的 O交BC于点D，
∴∠ADB＝90°， ⊙
第13页（共33页）∵AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠DAB＝20°，
∴∠DOB＝40°，
40π×2 4π
∴^BD的长= = ．
180 9
故选：D．
nπr
【点评】本题考查弧长公式，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是记住弧长公式l= ．
180
10．（3分）如图，点A、B、C在 O上，且AB经过点O，AB＝13，BC＝5，动点D在AB上，过点D
作DE⊥AB，交折线A﹣C﹣B于⊙点E，设AD＝x，△ADE的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关
系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】二次函数图象及其性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】D
5 5
【分析】可求tanA= ，①点E在AC上时，可求DE= x，从而可求面积解析式；②当点E在
12 12
12
BC上时，可求DE= (13-x)，从而可求面积解析式；进而可求解．
5
第14页（共33页）【解答】解：∵AB经过点O，
∴∠ACB＝90°，
∴AC=√AB2-BC2=12，
BC 5
∴tanA= = ，
AC 12
①如图，点E在AC上时，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
DE 5
∴ = ，
AD 12
DE 5
∴ = ，
x 12
5
∴DE= x，
12
1
S = AD⋅DE
△ADE 2
1 5
= ×x⋅ ⋅x
2 12
5 144
= x2 (0≤x≤ )；
24 13
∴图象为过原点的开口向上的一段抛物线，
②当点E在BC上时，
AC 12
∴BE＝13﹣x，tanB= = ，
BC 5
第15页（共33页）DE 12
∴ =
BD 5
DE 12
∴ =
13-x 5
12
∴DE= (13-x)，
5
1
S = AD⋅DE
△ADE 2
1 12
= ⋅x⋅ (13-x)
2 5
6 78 144
=- x2+ x( ＜x≤13)；
5 5 13
∴图象为一段开口向下的抛物线；
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数，二次函数在动点产生面积问题中的应用，掌握三角函数的定义，“化
动为静”列出函数解析式是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）推箱子游戏中，如果规定把箱子向右推动1格为负，记作﹣1，则+5表示把箱子 向左推动
5 格 ．
【考点】正数和负数．
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【专题】实数；数感．
【答案】向左推动5格．
【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案．
【解答】解：如果规定把箱子向右推动1格为负，记作﹣1，则+5表示把箱子向左推动5格，
故答案为：向左推动5格．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
k
12．（3分）函数y =ax2+bx+c与y = 的图象如图所示，当x的取值范围为 x ＞ 1 时，y ，y 均随着
1 2 x 1 2
x的增大而减小．
第16页（共33页）【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；反比例函数的图象．
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【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】x＞1．
【分析】根据二次函数和反比例函数图象解答即可．
【解答】解：根据二次函数和反比例函数图象可知：
当x＞1时，y 随着x的增大而减小，
1
当x＞0时，y 随着x的增大而减小．
2
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数的性质是关键．
2 8
13．（3分）已知分式方程 - =1，则其解为 x ＝ 0 ．
x-2 x2-4
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝0．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：2（x+2）﹣8＝（x+2）（x﹣2），
整理得：x2﹣2x＝0，
解得：x＝0或x＝2，
经检验，x＝0是分式方程的解，x＝2是分式方程的增根，
故原方程的解为x＝0，
故答案为：x＝0．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
14．（3分）黄岐宝塔坐落在揭阳市黄岐山顶峰，是揭阳市的文物保护单位．如图，某课外兴趣小组在距
离塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为42°，则可估算出塔AB的高度为 4 5 米
．（结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
第17页（共33页）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】45米．
【分析】由题意判断出AC＝50米，AB⊥AC，那么∠BAC＝90°，利用42°的正切值列出方程，可得AB
的长．
【解答】解：由题意得：AC＝50米，AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°．
∵∠C＝42°，
AB
∴tan42°= ，
AC
AB
∴ ≈0.90．
50
解得：AB＝45（米）．
答：塔AB的高度约为45米．
故答案为：45米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用．掌握正切函数的定义是解决问题的关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，0），以AB为腰作等腰△ABC，点C在y
轴上，则C点坐标为 （ 0 ， √17+ 1 ），（ 0 ， 1 -√17 ），（ 0 ，﹣ 1 ） ．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；坐标与图形性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（0，√17+1），（0，1-√17），（0，﹣1）．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，分别得到以A为圆心、AB长为半径的圆与y轴的交点，以B
第18页（共33页）为圆心、AB长为半径的圆与y轴的交点，即为所求的C点坐标．
【解答】解：∵A （0，1），B（4，0），
∴OA＝1，OB＝4，
∴AB=√12+42=√17，
则以A为圆心、AB长为半径的圆与y轴的交点为C （0，√17+1），C （0，1-√17）．
1 2
以B为圆心、AB长为半径的圆与y轴的交点为C （0，﹣1）；
3
故答案为：（0，√17+1），（0，1-√17），（0，﹣1）．
【点评】本题考查了勾股定理、坐标与图形性质和等腰三角形的性质．关键是分两种情况得到 C点坐
标．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列五个结论：
①该函数图象经过点（﹣1，0）；
②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1；
⑤若a＞2，则关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个．
其中正确的是 ①②④⑤ （填写序号）．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点
的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】①②④⑤．
【分析】把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝0，即可判断①；
3
当a＝﹣1时，该二次函数开口向下，求出对称轴为直线 x=- ，则可根据增减性判断②；利用判别
2
第19页（共33页）式的值可直接判断③；
由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1，设另一个根为x ，由韦达定理可知x
2 2
2 2
= ，当a＞2时，有0＜ ＜1，进而可判断④；
a a
1 1
⑤当a＞2时，对称轴为直线x= - ＜0，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解，
a 2
将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象，令y
＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点，其中只有一个最右侧交点横坐标为正，
其余都为负，即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个，即判断⑤．
【解答】解：把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝a+2﹣a﹣2＝0，
故该函数图象经过点（﹣1，0），故①正确；
当a＝﹣1时，该二次函数开口向下，
b a-2 3
对称轴为直线x=- =- =- ，
2a 2a 2
3
故当x＞- 时，y随x的增大而减小，
2
因此当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故②正确；
∵Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣2）2+8a＝（a+2）2≥0，
∴该函数图象与x轴有两个不同公共点或只有一个公共点，故③错误；
由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1，
2
设另一个根为x ，由韦达定理可知-1⋅x =- ，
2 2 a
2
∴x = ，
2 a
2
当a＞2时，有0＜ ＜1，
a
即关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1，故④正确；
2-a 1 1
当a＞2时，对称轴为直线x= = - ＜0，
2a a 2
则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解，
将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象，
第20页（共33页）令y＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点，
其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余都为负，
即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题考查了二次函数的图象、增减性质、对称性质、根的判别式、韦达定理、二次函数图象
的轴对称变换、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握以上内容并能数形结合分析题意是解题关
键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
{
2x+1≥-3
17．（8分）解不等式组： x+1．
x-1＜
2
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2≤x＜3．
【分析】先依次求出两个不等式的解集，再取公共部分为不等式组的解集即可．
{
2x+1≥-3①
【解答】解：解不等式组 x+1 ，
x-1＜ ②
2
解不等式①得x≥﹣2；
解不等式得x＜3；
故不等式组的解集为﹣2≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小
第21页（共33页）小找不到”的法则是解题的关键．
18．（8分）已知：如图，点C是线段AE的中点，AB＝CD，BC＝DE．求证：AB∥CD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】由点 C 是线段 AE的中点，得 AC＝CE，而 AB＝CD，BC＝DE，即可根据“SSS”证明
△ABC≌△CDE，得∠A＝∠DCE，则AB∥CD．
【解答】证明：∵点C是线段AE的中点，
∴AC＝CE，
在△ABC和△CDE中，
{AB=CD
BC=DE，
AC=CE
∴△ABC≌△CDE（SSS），
∴∠A＝∠DCE，
∴AB∥CD．
【点评】此题重点考查线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，推导出 AC
＝CE，进而证明△ABC≌△CDE是解题的关键．
19．（8分）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从
该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
第22页（共33页）（1）m的值是 10 0 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 72 ° ．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
【考点】条形统计图；中位数；众数；统计量的选择；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总
体；扇形统计图．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）100，72°；
（2）520人；
（3）样本的众数中位数为4分，说明大部分学生成绩达到或超过4分．（答案不唯一）．
【分析】（1）用“3分”的人数以及它所占百分比可得m的值；用360°乘“5分”所占百分比可得扇
形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）利用中位数、众数的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）m＝36÷36%＝100，
“5分”的人数为：100﹣2﹣10﹣36﹣32＝20，
20
扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是：360°× =72°，
100
故答案为：100，72°；
32+20
（2）1000× =520（人），
100
答：估计成绩超过3分的学生人数为520人；
4+4
（3）把100名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数是 4，故中位数为 =4，样本的众数
2
中位数为4分，说明大部分学生成绩达到或超过4分．（答案不唯一）．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体以及中位数、众数等统计基础知识，
明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．
20．（8分）如图，△ABC内接于 O，AB为 O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC．所在的直
线翻折，得到△CEB，点D的对⊙应点为E，延⊙长EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是 O的切线．
⊙√2
（2）若sin∠CFB= ，AB＝4，求图中阴影部分的面积．
2
第23页（共33页）【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；勾股定理；
圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；
运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证连接OC，根据垂直的定义得到∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝
∠OBC，根据折叠的性质得到∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，根据平行线的性质得到∠COF＝
∠E＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
√2
（2）根据三角函数的定义得到∠CFB＝45°，求得∠COF＝∠CFO＝45°，得到CD＝OD= OC=√2
2
，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，
∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠OCF＝∠E＝90°，
∵OC是 O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
⊙ √2
（2）解：∵sin∠CFB= ，
2
第24页（共33页）∴∠CFB＝45°，
由（1）得∠OCF＝90°，
∴∠COF＝∠CFO＝45°，
1
∴OF=OG= AB=2，
2
∵∠CDO＝90°，∠COD＝45°，
∴∠OCD＝∠COD＝45°，
√2
∴OD=OD= OC=√2，
2
45×π×22 1 π
∴图中阴影部分的面积为 - ×√2×√2= -1．
360 2 2
【点评】本题考查了切线的判定和性质，折叠的性质，解直角三角形，扇形面积的计算，等腰直角三
角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC是格点三角形，点D，E均
为格点（网格线的交点）．
（1）画出△ABC关于直线DE对称的△A B C ；
1 1 1
（2）将（1）中的△A B C 绕点C 逆时针旋转90°得到△A B C ，画出△A B C ．
1 1 1 1 2 2 1 2 2 1
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换．
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【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
第25页（共33页）【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质，分别画出A、B、C关于DE的对称点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质，分别画出A ，B 的对应点即可．
1 1
【解答】解：（1）如图所示，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示，△A B C 即为所求；
2 2 1
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换和旋转变换，熟练掌握和运用轴对称变换和旋转变换作出图形
是解决本题的关键．
22．（10分）小明同学运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，
在平面直角坐标系中，点A、C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在
y轴上．若选择吊球，羽毛球（看作一点）的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满
足二次函数关系式y＝a（x﹣1）2+3；若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单
位：m）近似满足一次函数关系式y＝﹣0.4x+2.7．
（1）求点P的坐标和a的值．
（2）若球网的高度为1.55m，请通过计算说明上面两种击球方式是否能使球过网？如果能过网，再计
算并判断球的落地点能不能在近网区AC内．
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）点P的坐标为（0，2.7）；a＝﹣0.3；
（2）落地点能在近网区AC内，扣球不能过网；吊球能过网；能过网，球的落地点能在近网区AC内．
第26页（共33页）【分析】（1）在y＝﹣0.4x+2.7中，当x＝0时，y＝2.7，即可得出点P的坐标，再将点P的坐标代入
二次函数关系式y＝a（x﹣1）2+3，计算即可得解；
（2）将x＝3代入y＝﹣0.4x+2.7可得y＝﹣0.4×3+2.7＝1.5＜1.55，故扣球不能过网；由（1）可得a＝
﹣0.3，即二次函数的关系式为y＝﹣0.3（x﹣1）2+3，将x＝3代入二次函数的关系式y＝﹣0.3（x﹣
1）2+3可得y＝﹣0.3×（3﹣1）2+3＝1.8＞1.55，故吊球能过网；在y＝﹣0.3（x﹣1）2+3中，令y＝0，
则﹣0.3（x﹣1）2+3＝0，解得 x=1+√10或 x=1-√10（不符合题意，舍去），估算出
4＜1+√10＜5，即可得解．
【解答】解：（1）在y＝﹣0.4x+2.7中，当x＝0时，y＝2.7，
∴点P的坐标为（0，2.7），
将P（0，2.7）代入二次函数关系式y＝a（x﹣1）2+3可得：a×（0﹣1）2+3＝2.7，
解得：a＝﹣0.3；
（2）将x＝3代入y＝﹣0.4x+2.7可得：y＝﹣0.4×3+2.7＝1.5＜1.55，故扣球不能过网；
由（1）可得a＝﹣0.3，即二次函数的关系式为y＝﹣0.3（x﹣1）2+3，
将x＝3代入二次函数的关系式y＝﹣0.3（x﹣1）2+3可得y＝﹣0.3×（3﹣1）2+3＝1.8＞1.55，故吊球
能过网；
在y＝﹣0.3（x﹣1）2+3中，令y＝0，则﹣0.3（x﹣1）2+3＝0，
解得：x=1+√10或x=1-√10（不符合题意，舍去），
∴x=1+√10，
∵9＜10＜16，
∴√9＜√10＜√16，即3＜√10＜4，
∴4＜1+√10＜5，
∵OA＝3m，CA＝2m，
∴OC＝OA+CA＝3+2＝5（m），
∴若球网的高度为1.55m，
落地点能在近网区AC内，扣球不能过网；吊球能过网；能过网，球的落地点能在近网区AC内．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，正确求出函数的解析式是解此题
的关键．
23．（10分）如图①，点D为△ABC上方一动点，且∠BDC＝60°．
（1）在BD左侧构造△BDE∽△BCA，连接AE，请证明△BAE∽△BCD；
（2）如图②，在BD左侧构造△BDE∽△BCA，在CD右侧构造△CDF∽△CBA，连接AF，AE，求
证：四边形AFDE是平行四边形；
第27页（共33页）（3）如图③，当△ABC满足∠A＝150°，AB=2√3，AC＝2．运用（2）中的构造图形的方法画出四
边形AFDE；
（Ⅰ）求证：四边形AFDE是矩形；
（Ⅱ）直接写出在点D运动过程中线段EF的最大值．
【考点】相似形综合题．
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【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角
形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）证明过程详见解答；
（3）（Ⅰ）证明过程详见解答；
2√3 2√21
（Ⅱ） + ．
3 3
BE BD
【分析】（1）由△EBD∽△ABC得出∠EBD＝∠ABC， = ，进而得出∠EBA＝∠DBC，进而
AB BC
得出△BAE∽△BCD；
AE AB DF AB
（2）由△BAE∽△BCD得出 = ，根据△CDF∽△CBA得出 = ，进而得出AE＝DF，同
CD BC CD BC
理得出DE＝AF，从而四边形AFDE是平行四边形；
（3）（Ⅰ）根据相似三角形的性质得出∠AEB＝∠BDC＝60°，∠BED＝∠BAC＝150°，从而得出
∠AED＝∠BED﹣∠AEB＝150°﹣60°＝90°，进而得出 AFDE是矩形；
（Ⅱ）作△BCD 的外接圆，圆心为O，连接OA并延▱长交 O于D，此时AD最大，作BG⊥AC，交
CA 的 延 长 线 于 G ， 解 三 角 形 ABC 得 出 BC ＝⊙2√7， 进 而 得 出 O 的 直 径 为 ：
⊙
BC 2√7 2√7 4√21
= = =
sin∠BDC sin60° √3 3 ，连接OB，OC，作OQ⊥BC于Q，作AT⊥OQ于T，可得出
2
2√21 1 √21
OB＝OC= ，CQ＝BQ=√7，解三角形OBC得出OQ= OB= ，
3 2 3
第28页（共33页）1 1 AC⋅BG 2√3 √21
根 据 S△
ABC
=
2
BC⋅AH=
2
AC⋅BG求 得 AH =
BC
=
2√7
=
7
， 从 而 得 出 CH
√ √21 5√7
=√AC2-AH2= 22-( ) 2= ，进而得出AT，OT的值，进而得出OA的长，进一步得出结果．
7 7
【解答】（1）证明：∵△EBD∽△ABC，
BE BD
∴∠EBD＝∠ABC， = ，
AB BC
∴∠EBD+∠ABD＝∠ABC+∠ABD，
∴∠EBA＝∠DBC，
∴△BAE∽△BCD；
（2）证明：由（1）得：△BAE∽△BCD，
AE AB
∴ = ，
CD BC
∵△CDF∽△CBA，
DF AB
∴ = ，
CD BC
AE DF
∴ = ，
CD CD
∴AE＝DF，
同理（1）可得△CFA∽△CDB，
AF AC
∴ = ，
BD BC
∵△BDE∽△BAC，
DE AC
∴ =
BD BC
DE AF
∴ =
BD BD
∴DE＝AF，
∴四边形AFDE是平行四边形；
（3）（Ⅰ）证明：由（1）知：△BAE∽△BCD，
∴∠AEB＝∠BDC＝60°，
∵△EBD∽△ABC，
∴∠BED＝∠BAC＝150°，
第29页（共33页）∴∠AED＝∠BED﹣∠AEB＝150°﹣60°＝90°，
∴ AFDE是矩形；
（▱Ⅱ）解：如图，
2 2
EF的最大值为： √3+ √21，理由如下：
3 3
作△BCD 的外接圆，圆心为O，连接OA并延长交 O于D，此时AD最大，作BG⊥AC，交CA的延
长线于G， ⊙
∵∠BAC＝150°，
∴∠BAG＝30°，
1 √3 √3
∴BG= AB=√3，AG= AB= ×2√3=3，
2 2 2
∴CG＝AC+AG＝5，
∴BC=√BG2+CG2=√(√3) 2+52=2√7，
BC 2√7 2√7 4√21
= = =
∴ O的直径为：sin∠BDC sin60° √3 3 ，
2
⊙
连接OB，OC，作OQ⊥BC于Q，作AT⊥OQ于T，
2√21
∴OB＝OC= ，CQ＝BQ=√7，
3
∵∠CDB＝60°
∴∠BOC＝2∠CDB＝120°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
1 √21
∴OQ= OB= ，
2 3
1 1
∵S△ABC =
2
BC⋅AH=
2
AC⋅BG，
AC⋅BG 2√3 √21
∴AH= = = ，
BC 2√7 7
第30页（共33页）√ √21 5√7
∴CH=√AC2-AH2= 22-( ) 2= ，
7 7
5√7 2√7
∴AT＝QH＝CQ﹣CH=√7- = ，
7 7
√21 √21 4√21
∵OT＝OQ﹣TQ＝OQ﹣AH= - = ，
3 7 21
√ 4√21 2√7 2√3
∴OA=√OT2+AT2= ( ) 2+( ) 2= ，
21 7 3
2√3 2√21
∴AD最大 ＝OA+OD= + ，
3 3
∵四边形AEDF是矩形，
2√3 2√21
∴EF＝AD= + ，
3 3
2√3 2√21
∴EF的最大值为： + ．
3 3
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形，平行四边形的判定，
矩形的判定等知识，解决问题的关键是较强计算能力．
24．（12分）已知抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4，m＞0，O为坐标原点，A（x ，y ），B（x ，y ）为该抛物
1 1 2 2
线上的两点，且x ＜x ．
1 2
（1）已知点A（﹣1，0），求该抛物线与x轴的另一交点坐标．
（2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，若点A在x轴正半轴上，满足OC＝2OA，求m的值．
m
（3）若对于 ＜x ＜x ＜m，都有y ＜4y ，求m的取值范围．
2 1 2 2 1
【考点】二次函数综合题．
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【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（3，0）；
（2）m＝4；
（3）0＜m≤2√3．
【分析】（1）把A（﹣1，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+4得出二次函数的解析式，然后令y＝0进行求解
即可；
m m
（2）由题意易得OC＝m，OA= ，然后把A( ，0)代入y＝﹣（x﹣m）2+4进行求解即可；
2 2
第31页（共33页）m
（3）由题意易得A（x ，y ），B（x ，y ）在直线x＝m左侧，则有对于 ＜x ＜x ＜m，都有y
1 1 2 2 2 1 2 2
＜4y ，则（y ） ＜（4y ） ，然后问题可进行求解．
1 2 max 1 min
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+4得：﹣（﹣1﹣m）2+4＝0，
解得：m＝1或﹣3（舍），
∴y＝﹣（x﹣1）2+4，
令y＝0得﹣（x﹣1）2+4＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴该抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）；
（2）由y＝﹣（x﹣m）2+4可知：对称轴为直线x＝m，
∴C（m，0），
∴OC＝m，
∵OC＝2OA，
m
∴OA= ，
2
m
∴A( ，0)，
2
m 2
代入y＝﹣（x﹣m）2+4得：-( -m) +4=0，
2
解得：m＝4或﹣4（舍），
所以m＝4；
（3）因为抛物线开口向下，故当x≤m时，y随x的增大而增大，
m
∵ ＜x ＜x ＜m，
2 1 2
∴A（x ，y ），B（x ，y ）在直线x＝m左侧，
1 1 2 2
m
若对于 ＜x ＜x ＜m，都有y ＜4y ，
2 1 2 2 1
则（y ） ＜（4y ） ，
2 max 1 min
m 2 m2
因为-( -m) +4＜y ＜y ＜4，- +4＜y ＜y ＜4，
2 1 2 4 1 2
m2
所以4≤4(- +4)，
4
解得：0＜m≤2√3．
第32页（共33页）m
∴若对于 ＜x ＜x ＜m，都有y ＜4y ，则0＜m≤2√3．
2 1 2 2 1
【点评】本题考查二次函数综合，二次函数的图象与性质，点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的
灵活运用．
第33页（共33页）
