文档内容
2026年菁优武汉中考数学终极押题密卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）2024年3月30﹣31日，高安市巴夫洛生态谷举行了“春风作伴放纸鸢”大型风筝放飞活动．
以下风筝图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）以下事件中，必然发生的是（ ）
A．打开电视机，正在播放体育节目
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．正五边形的外角和为180°
D．掷一次骰子，向上一面是5点
3．（3分）古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构．榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要
结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，
它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
第1页（共36页）4．（3分）人工智能正在迅速侵蚀我们生活的方方面面，似乎势不可挡．预计到 2030年，人工智能技术
的增长有可能为全球经济贡献15.7万亿美元．其中15.7万亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.157×1013 B．1.57×1013
C．1.5×1012 D．1.57×1011
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4÷a3＝a3 B．a4﹣a3＝a C．a4•a3＝a7 D．（a4）3＝a7
6．（3分）小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满
油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）3张分别标有数字2，3，4的卡片，背面都一样，背面朝上洗匀，从中随机摸两次（第一次摸
出卡片后记下数字，再放回洗匀），两次数字之和为奇数的概率是（ ）
1 1 4 2
A． B． C． D．
2 3 9 3
8．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C
落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，
折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（ ）
A．60° B．72° C．36° D．90°
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，以边BC为直径作 O，与线段CA，BA的
延长线分别交于点D，E，则^DE的长为（ ） ⊙
第2页（共36页）A．3 B．2 C．√3π D．2√3π
10．（3π分）如图①所示，点πA、B是 O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向
匀速运动到点A，运动时间是x（s）⊙，线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则
图中m的值是（ ）
9 14
A． B． C．5 D．4√2
2 3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）孔子出生于公元前551年，可以用﹣551年表示，那么欧阳修出生于公元1007年可表示为
年．
k
12．（3分）函数y =ax2+bx+c与y = 的图象如图所示，当y ，y 均随着x的增大而减小时，自变量x
1 2 x 1 2
的取值范围是 ．
2
13．（3分）方程 =1的解为 ．
x-3
14．（3分）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，无人
第3页（共36页）机与楼之间的水平距离为120m，则这栋楼的高度是 m．（结果保留根号）
15．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC
上的任意一点；连接 PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：① PC+PQ≥AQ；② AE+DE＝BC；
24
③PC+PQ的最小值是 ；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．其中正确的是 ．
5
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（1，0），（﹣2，t）两点，其中t＜0，对称轴为x＝
﹣1．下列四个结论：①bc＜0；②c＝t；③点A（s，y ）、B（s+1，y ）在抛物线上，当s＜﹣1时，
1 2
y ＞y ；④已知关于x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，若关于x的方程
1 2
ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）有整数根，则其根为﹣4和2；其中正确的结论是 （填写序
号）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
{4x-6≤x+3
17．（8分）解不等式组： ．
7+x＜6+2x
18．（8分）如图，已知，点C、E、B、F在同一直线上，CE＝BF，AC∥DF，且AC＝DF．猜想：AB
和DE位置关系，并证明你的猜想．
19．（8分）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从
第4页（共36页）该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据
以上信息，解答下列问题：
（1）m的值是 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 ，并补全
条形统计图．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
20．（8分）如图，△ABC内接于 O，AB为 O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线
翻折，得到△CEB，点D的对应⊙点为E，延长⊙EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是 O的切线；
⊙√2
（2）若sin∠CFB= ，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
2
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，1），B（4，5），C（1，1）均在格
点上．
（1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出点B 的坐标；
1 1 1 1
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A B C ，请画出△A B C ，并写出点A 的坐标．
2 2 2 2 2 2 2
第5页（共36页）22．（10分）某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发
射台的上底面中心A处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心O为坐标原点，过原
点的水平线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度 OA为
1m，测得当飞行的水平距离为1m时，飞机的飞行高度为2.8m；当飞行的水平距离为3m时，飞机的
飞行高度为5.2m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求飞机飞行的最大高度及最远距离．
23．（10分）在学习了相似三角形后，某数学兴趣小组对四边形中的一类旋转型全等和相似进行了层层
深入的探究．
在 ABCD中，点E为边AB上的一点，连接DE，以DE为边作∠EDF＝∠ADC，边DF交BC的延长
线于▱点F．
【初步感知】
（1）如图1，当 ABCD是正方形时，求证：DE＝DF．
【深入探究】 ▱
（2）如图2，当 ABCD是矩形时，AB＝4，BC＝6，连接AF，分别交DE和DC于点M、N，若点E
▱
DM
为AB的中点，求 的值．
DF
第6页（共36页）【拓展探究】
4 5 DF
（3）如图3，在 ABCD中，tanB= ，当AE= AB时，AF⊥CD，求 的值．
3 18 DE
▱
1
24．（12分）如图，已知抛物线y=- x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点
3
C，P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP ＝2S△AOC ，求点P的坐标；
（3）若∠PBA＝∠ACO，直接写出点P的坐标．
第7页（共36页）2026年菁优武汉中考数学终极押题密卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B． C B C B C B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）2024年3月30﹣31日，高安市巴夫洛生态谷举行了“春风作伴放纸鸢”大型风筝放飞活动．
以下风筝图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图
形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：根据轴对称图形的定义，选项A、C、D中的图形都能沿着一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，所以是轴对称图形，故A、C、D不符合题意；
选项B中的图形不是轴对称图形，符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（3分）以下事件中，必然发生的是（ ）
第8页（共36页）A．打开电视机，正在播放体育节目
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．正五边形的外角和为180°
D．掷一次骰子，向上一面是5点
【考点】随机事件．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据必然事件的定义逐项判断即可．
【解答】解：因为打开电视机，正在播放体育新闻节目是随机事件，所以A不符合题意；
因为任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，所以B符合题意；
因为正五边形的外角和是180°是不可能事件，所以C不符合题意；
因为掷一次骰子，向上一面是5点是随机事件，所以D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了必然事件的判断，掌握定义是解题的关键．即必然事件是在一定条件下一定
能发生的事件．
3．（3分）古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构．榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要
结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，
它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】C
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：它的主视图是： ．
第9页（共36页）故选：C．
【点评】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）人工智能正在迅速侵蚀我们生活的方方面面，似乎势不可挡．预计到 2030年，人工智能技术
的增长有可能为全球经济贡献15.7万亿美元．其中15.7万亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.157×1013 B．1.57×1013
C．1.5×1012 D．1.57×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：15.7万亿＝15700000000000＝1.57×1013．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a4÷a3＝a3 B．a4﹣a3＝a C．a4•a3＝a7 D．（a4）3＝a7
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a4÷a3＝a，则A不符合题意，
a4与a3不是同类项，无法合并，则B不符合题意，
a4•a3＝a7，则C符合题意，
（a4）3＝a12，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关
键．
6．（3分）小丽从常州开车去南京，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满
油后又开始匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（ ）
第10页（共36页）A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】B
【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【解答】解：该汽车经历：加速﹣匀速﹣减速到服务区﹣加速﹣匀速，
加速：速度增加，
匀速：速度保持不变，
减速：速度下降，
到站：速度为0．
观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有B选项符合．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性
质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
7．（3分）3张分别标有数字2，3，4的卡片，背面都一样，背面朝上洗匀，从中随机摸两次（第一次摸
出卡片后记下数字，再放回洗匀），两次数字之和为奇数的概率是（ ）
1 1 4 2
A． B． C． D．
2 3 9 3
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次数字之和为奇数的结果数，再利用概率公式可得出
答案．
【解答】解：列表如下：
2 3 4
第11页（共36页）2 （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，2） （4，3） （4，4）
共有9种等可能的结果，其中两次数字之和为奇数的结果有：（2，3），（3，2），（3，4），（4，
3），共4种，
4
∴两次数字之和为奇数的概率是 ．
9
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C
落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，
折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（ ）
A．60° B．72° C．36° D．90°
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，由折叠得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A，则∠ABC＝∠C＝
∠BED＝∠EDF+∠A＝2∠A，所以2∠A+2∠A+∠A＝180°，求得∠A＝36°，则∠ABC＝72°，于是得到
问题的答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
由折叠得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A，
∴∠BED＝∠EDF+∠A＝2∠A，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
∵∠ABC+∠C+∠A＝180°，
∴2∠A+2∠A+∠A＝180°，
第12页（共36页）∴∠A＝36°，
∴∠ABC＝2∠A＝72°，
故选：B．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠ABC＝
∠C＝2∠A是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，以边BC为直径作 O，与线段CA，BA的
延长线分别交于点D，E，则^DE的长为（ ） ⊙
A．3 B．2 C．√3π D．2√3π
【考点π】弧长的计算；解直π角三角形；等腰三角形的性质；圆周角定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理
能力．
【答案】C
【分析】连接OD、OE、OA，根据等腰三角形的性质对称∠B＝∠C＝30°，AO⊥BC，利用圆周角定理
得出∠BOD＝∠COE＝60°，即可得出∠DOE＝60°，解直角三角形求得半径，然后利用弧长公式计算
即可．
【解答】解：连接OD、OE、OA，
在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵OB＝OC，
∴AO⊥BC，
在Rt△ABO中，∠B＝30°，AB＝6，
√3
∴OB= AB＝3√3，
2
∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BOD＝∠COE＝60°，
∴∠DOE＝60°，
第13页（共36页）60π×3√3
∴^DE的长为： =√3π．
180
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，求得圆心角和圆
的半径是解题的关键．
10．（3分）如图①所示，点A、B是 O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向
匀速运动到点A，运动时间是x（s）⊙，线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则
图中m的值是（ ）
9 14
A． B． C．5 D．4√2
2 3
【考点】动点问题的函数图象．
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【专题】几何动点问题；函数及其图象；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由图②可得，当x＝2时，y＝AP＝6cm，即此时A、O、P共线，则圆得半径为3cm，当x＝0
时，AB＝AP=3√2cm，由勾股定理的逆定理可得∠AOB＝90°，进而得到当x＝2时，点P走过的角度
3π 3π
为90°，算出P走过的弧长为 cm，点P的运动速度为 cm/s，当x＝m时，AP＝3cm，此时△AOP
2 4
7π
为等边三角形，点P走过的角度为210°，算出P走过的弧长为= cm，最后利用时间的路程÷速度即
2
可求出m．
【解答】解：由图②可得，当x＝2时，y＝AP＝6cm，即此时A、O、P共线，
第14页（共36页）1
则圆得半径为 AP＝3（cm），
2
当x＝0时，y＝AP=3√2cm，
此时AB＝AP=3√2cm，
∵OA＝OB＝3cm，AB=3√2cm
∴AB2＝OA2+OB2，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
当x＝2时，点P运动到点C，如图，
则点P走过的角度为90°，
90 3π
∴点P走过的弧长为 ×2π×3= （cm），
360 2
3π 3π
∴点P的运动速度为 ÷2= （cm/s），
2 4
当x＝m时，y＝AP＝3cm，如图，
此时，△AOP为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
∴点P走过的角度为90°+（180°﹣60°）＝210°，
210 7π
∴点P走过的弧长为 ×2π×3= （cm），
360 2
7π 3π 14
∴m= ÷ = ．
2 4 3
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、等边三角形的判定、勾股定理的应用、弧长的计算，理解
函数图象中的点在不同时刻所代表的实际意义是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）孔子出生于公元前551年，可以用﹣551年表示，那么欧阳修出生于公元1007年可表示为
+1007 年．
【考点】正数和负数．
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第15页（共36页）【专题】实数；数感．
【答案】+1007．
【分析】先根据孔子出生于公元前用负表示，确定公元用正号，从而求解．
【解答】解：∵由题意公元前用“负”表示，
∴公元用“正”表示．
∴欧阳修出生于公元1007年可表示为+1007年．
故答案为：+1007．
【点评】本题主要考查正数和负数，掌握正负数的有关规定是解决本题的关键．
k
12．（3分）函数y =ax2+bx+c与y = 的图象如图所示，当y ，y 均随着x的增大而减小时，自变量x
1 2 x 1 2
的取值范围是 x ＞ 1 ．
【考点】反比例函数的性质；二次函数的图象；二次函数的性质；反比例函数的图象．
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【专题】反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观．
【答案】x＞1．
【分析】利用图象法即可求解．
【解答】解：观察图象可知，当y ，y 均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x＞1．
1 2
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解题的关键是学会利用图象法
解决问题．
2
13．（3分）方程 =1的解为 x ＝ 5 ．
x-3
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝5．
【分析】通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，再检验即可．
第16页（共36页）2
【解答】解： =1，
x-3
2＝x﹣3，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣3＝2≠0，
∴原方程的解为x＝5．
故答案为：x＝5．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握接分式方程的步骤是关键．
14．（3分）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，无人
机与楼之间的水平距离为120m，则这栋楼的高度是 16 0√3 m．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】160√3．
【分析】过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，根据题意可得：AD＝120m，然后分别在 Rt△ABD 和
Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即
可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：AD＝120m，
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
√3
∴BD＝AD•tan30°＝120× =40√3（m），
3
在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，
第17页（共36页）∴CD＝AD•tan60°＝120√3（m），
∴BC＝BD+CD＝40√3+120√3=160√3（m），
∴这栋楼的高度是160√3m，
故答案为：160√3．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
15．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC
上的任意一点；连接 PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：① PC+PQ≥AQ；② AE+DE＝BC；
24
③PC+PQ的最小值是 ；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．其中正确的是 ①②④
5
．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称﹣最短路线问题；三角形的面积；角平分线的性质；
线段垂直平分线的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】①②④
【分析】①根据等腰三角形的性质得出BD垂直平分AC，得出AP＝PC，根据三角形三边关系即可得
出结论；
②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明∠EDB＝∠EBD，∠ADE＝
∠BAD，得出EB＝ED，EA＝ED，即可得出结论；
③过点A作AM⊥BC于点M，当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ＝AM，此时AP+PQ最小，且最
小值为AM，根据等积法求出AM即可；
S AD 6 3
④过点P作PN⊥AB于点N，得出PN＝PD，求出 △APD= = = ，即可求出结果．
S AB 10 5
△APB
【解答】解：①∵BA＝BC＝10，BD是△ABC的角平分线，
∴BD⊥AC，AD＝CD，
第18页（共36页）∴BD垂直平分AC，
∴AP＝PC，
∴PC+PQ＝AP+PQ，
∵AP+PQ＞AQ，
∴PC+PQ≥AQ，故①正确；
②∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠ADE＝∠ACB，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴EA＝ED，
1 1
∴AE=DE=BE= AB= BC，
2 2
∴AE+DE＝BC，故②正确；
③根据解析①可知，PC+PQ＝AP+PQ，
∴当AP+PQ最小时，PC+PQ最小，
过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
当点P在AM与BD交点上时，AP+PQ＝AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，
∵BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
第19页（共36页）∴BD=√AB2-AD2=8，
1 1
∵S = AC×BD= BC×AM，
△ABC 2 2
AC×BD 12×8 48
∴AM= = = ，
BC 10 5
48
即PC+PQ的最小值是 ，故③错误；
5
④过点P作PN⊥AB于点N，如图所示：
∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，
∴PN＝PD，
S AD 6 3
∴ △APD= = = ，
S AB 10 5
△APB
1
∵S +S =S = ×6×8=24，
△APD △APB △ABD 2
3 3
∴S = ×S = ×24=9，故④正确；
△APD 5+3 △ABD 8
综上分析可知，正确的有①②④，故B正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，角平分线的性质，线段垂直平分线的性
质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（1，0），（﹣2，t）两点，其中t＜0，对称轴为x＝
﹣1．下列四个结论：①bc＜0；②c＝t；③点A（s，y ）、B（s+1，y ）在抛物线上，当s＜﹣1时，
1 2
y ＞y ；④已知关于x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，若关于x的方程
1 2
ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）有整数根，则其根为﹣4和2；其中正确的结论是 ①②④ （填写
序号）．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点
第20页（共36页）的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】利用二次函数的图象及性质，系数间的关系和一元二次方程的关系即可求解．
【解答】解：∵抛物线过（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴图象必过（﹣3，0），
又∵过点（﹣2，t）（t＜0），
∴开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，故①对；
∵（0，c）与（﹣2，t）到对称轴等距，
∴c＝t，故②对；
∵s＜﹣1，无法判断点A（s，y ）、B（s+1，y ）与对称轴是同侧还是异侧，
1 2
也就无法判断点A、B与对称轴为直线x＝﹣1的距离的大小，故无法比较y 与y 的大小，故③错；
1 2
∵方程ax2+bx+c＝0的两根分别为1和﹣3，
又x的方程ax2+bx+c﹣m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3，而抛物线的对称轴为x＝﹣1，由对
称性得另一个根为﹣5，
观察图象，得关于x的方程ax2+bx+c﹣n＝0（0＜n＜m）整数根为﹣4和2，故④对，
故答案为：①②④．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函
数图象上点的坐标特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键．
第21页（共36页）三．解答题（共8小题，满分72分）
{4x-6≤x+3
17．（8分）解不等式组： ．
7+x＜6+2x
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1＜x≤3．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：由4x﹣6≤x+3得：x≤3，
由7+x＜6+2x得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（8分）如图，已知，点C、E、B、F在同一直线上，CE＝BF，AC∥DF，且AC＝DF．猜想：AB
和DE位置关系，并证明你的猜想．
【考点】全等三角形的判定与性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】AB∥DE，证明见解答．
【分析】观察图形，可猜想AB∥DE，由CE＝BF，推导出BC＝EF，由AC∥DF，得∠C＝∠F，而
AC＝DF，可根据“SAS”证明△ABC≌△DEF，得∠ABC＝∠DEF，即可证明AB∥DE．
【解答】解：AB∥DE，
证明：∵点C、E、B、F在同一直线上，CE＝BF，
∴CE+BE＝BF+BE，
∴BC＝EF，
∵AC∥DF，
∴∠C＝∠F，
在△ABC和△DEF中，
第22页（共36页）{
BC=EF
∠C=∠F，
AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ABC＝∠DEF，
∴AB∥DE．
【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出BC＝EF，∠C
＝∠F，进而证明△ABC≌△DEF，得∠ABC＝∠DEF，则AB∥DE．
19．（8分）某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从
该校随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据
以上信息，解答下列问题：
（1）m的值是 10 0 ，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是 72 ° ，并补全条形统
计图．
（2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数．
（3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义．
【考点】条形统计图；中位数；众数；统计量的选择；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总
体；扇形统计图．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）100；72°；补全条形统计图如下：
第23页（共36页）（2）520人；
（3）选众数：
∵1分有2人，2分有10人，3 分有36人，4分有32人，5分有20人，
∴众数为3分，实际意义为：参加竞赛的学生中，得3分的人数最多．
【分析】（1）用得3分的人数除以其所占的百分比即可求出m的值，计算出得5分的人数补全条形统
计图，用360°乘以得“5分”的人数的占比即可求解；
（2）用1000乘以成绩超过3分的学生人数的占比即可求解；
（3）根据众数或中位数的意义进行作答即可．
【解答】解：（1）m＝36÷36%＝100（人），则得5分的人数为100﹣2﹣10﹣36﹣32＝20（人），
20
“5分”对应的扇形的圆心角为360°× =72°．
100
补全条形统计图如下：
故答案为：100；72°；
（2）用1000乘以成绩超过3分的学生人数的占比可得：
32+20 52
1000× =1000× =520（人）．
100 100
答：估计成绩超过3分的学生人数约为520人．
第24页（共36页）（3）选众数：
∵1分有2人，2分有10人，3 分有36人，4分有32人，5分有20人，
∴众数为3分，实际意义为：参加竞赛的学生中，得3分的人数最多．
【点评】本题考查了条形统计图、用样本估计整体，熟练掌握以上知识点是关键．
20．（8分）如图，△ABC内接于 O，AB为 O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线
翻折，得到△CEB，点D的对应⊙点为E，延长⊙EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是 O的切线；
⊙√2
（2）若sin∠CFB= ，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
2
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；圆周角定理；
三角形的外接圆与外心．
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【专题】平移、旋转与对称；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算
能力；推理能力．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，
∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠OCF＝∠E＝90°，
∵OC是 O的半径，
⊙
第25页（共36页）∴CF是 O的切线；
（2）2 ⊙﹣4．
【分析π】（1）证连接OC，根据垂直的定义得到∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝
∠OBC，根据折叠的性质得到∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，根据平行线的性质得到∠COF＝
∠E＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
√2
（2）根据三角函数的定义得到∠CFB＝45°，求得∠COF＝∠CFO＝45°，得到CD＝OD= OC＝2
2
√2，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，
∴∠EBC＝∠DBC，∠E＝∠BDC＝90°，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠OCF＝∠E＝90°，
∵OC是 O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
⊙ √2
（2）解：∵sin∠CFB= ，
2
∴∠CFB＝45°，
∵∠OCF＝90°，
∴∠COF＝∠CFO＝45，
1
∴CF＝OC= AB=4，
2
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝∠COD＝45°，
√2
∴CD＝OD= OC＝2√2，
2
45⋅π×42 1
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△COD面积= - ×2√2×2√2=2 ﹣4．
360 2
π
第26页（共36页）【点评】本题考查了切线的判定和性质，折叠的性质，解直角三角形，扇形面积的计算，等腰直角三
角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，1），B（4，5），C（1，1）均在格
点上．
（1）请画出与△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出点B 的坐标；
1 1 1 1
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A B C ，请画出△A B C ，并写出点A 的坐标．
2 2 2 2 2 2 2
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
由图可得，点B 的坐标为（﹣4，5）．
1
（2）如图，△A B C 即为所求．
2 2 2
由图可得，点A 的坐标为（1，﹣5）．
2
第27页（共36页）【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的
关键．
22．（10分）某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发
射台的上底面中心A处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心O为坐标原点，过原
点的水平线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度 OA为
1m，测得当飞行的水平距离为1m时，飞机的飞行高度为2.8m；当飞行的水平距离为3m时，飞机的
飞行高度为5.2m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求飞机飞行的最大高度及最远距离．
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣0.2x2+2x+1；
（2）最大高度为6m，最远距离为(5+√30)m．
【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意，抛物线经过点（0，1），（3，5.2），（1，2.8），
设y＝ax2+bx+c（a≠0），
第28页（共36页）{
c=1
则 a+b+c=2.8 ，
9a+3b+c=5.2
{
c=1
解得 a=-0.2，
b=2
∴y＝﹣0.2x2+2x+1；
（2）由y＝﹣0.2x2+2x+1＝﹣0.2（x﹣5）2+6，
∴当x＝5时，y有最大值，最大值为6；
令y＝0，由0＝﹣0.2（x﹣5）2+6得
x =5+√30，x =5-√30（不符合题意，舍去），
1 2
答：飞机飞行的最大高度为6m，最远距离为(5+√30)m．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确求出抛物线的解析式是解答的关键．
23．（10分）在学习了相似三角形后，某数学兴趣小组对四边形中的一类旋转型全等和相似进行了层层
深入的探究．
在 ABCD中，点E为边AB上的一点，连接DE，以DE为边作∠EDF＝∠ADC，边DF交BC的延长
线于▱点F．
【初步感知】
（1）如图1，当 ABCD是正方形时，求证：DE＝DF．
【深入探究】 ▱
（2）如图2，当 ABCD是矩形时，AB＝4，BC＝6，连接AF，分别交DE和DC于点M、N，若点E
▱
DM
为AB的中点，求 的值．
DF
【拓展探究】
4 5 DF
（3）如图3，在 ABCD中，tanB= ，当AE= AB时，AF⊥CD，求 的值．
3 18 DE
▱
【考点】相似形综合题．
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第29页（共36页）【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；图形的
相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，
∵∠EDF＝∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
{∠A=∠DCF=90°
AD=CD ，
∠ADE=∠CDF
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF；
27
（2） ；
29
18-3√26
（3） ．
5
【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得线段 CF，利用勾股定理求得DF，DE，利用相
似三角形的判定与性质求得DM，代入化简运算即可得出结论；
（3）过点E作EG⊥AD，交DA的延长线于点G，设CD，AF交于点H，利用平行四边形的性质，直
角三角形的边角关系定理得到设GE＝4k，则GA＝3k，则AE=√GA2+GE2=5k，可求线段AB＝CD＝
18k，利用直角三角形的边角关系定理得到设FH＝4m，则CH＝3m，则CF=√CH2+FH2=5m，可得
BC＝BF﹣CF＝30k﹣5m，DH＝DC﹣CH＝18k﹣3m，利用相似三角形的判定与性质求得 m
18-3√26
= k，再利用相似三角形的性质解答即可得出结论．
5
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，
∵∠EDF＝∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
第30页（共36页）{∠A=∠DCF=90°
AD=CD ，
∠ADE=∠CDF
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF；
（2）解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，∠BAD＝∠DCF＝90°，
∵∠EDF＝∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
AE AD
∴ = ，
CF CD
AE 6 3
∴ = = ，
CF 4 2
∵点E为AB的中点，
1
∴AE= AB＝2，
2
4
∴CF= ．
3
4√10
∴DF=√DC2+CF2= ．
3
∵AD∥BC，
∴△ADN∽△FCN，
AD DN
∴ = ，
CF CN
6 DN
=
∴4 4-DN，
3
36
∴DN= ，
11
∵AB∥DC，
∴△AEM∽△NDM，
AE EM
∴ = ，
DN DM
18
∴DM= DE，
29
第31页（共36页）∵DE=√AE2+AD2=2√10，
36√10
∴DM= ，
29
36√10
DM 29 27
∴ = = ．
DF 4√10 29
3
（3）解：过点E作EG⊥AD，交DA的延长线于点G，设CD，AF交于点H，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠GAE＝∠B，
4 GE
∴tan∠GAE＝tanB= = ，
3 GA
设GE＝4k，则GA＝3k，
∴AE=√GA2+GE2=5k，
5
∵AE= AB，
18
∴AB＝18k，
∴CD＝AB＝18K，
∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
AF 4
∴tanB= = ，
AB 3
∴AF＝24k，
∴BF=√AB2+AF2=30k，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠B，
第32页（共36页）4 FH
∴tan∠DCF＝tanB= = ，
3 CH
设FH＝4m，则CH＝3m，
∴CF=√CH2+FH2=5m，
∴BC＝BF﹣CF＝30k﹣5m，DH＝DC﹣CH＝18k﹣3m，
∴AD＝BC＝30k﹣5m，
∴DG＝AD+AG＝30k﹣5m+3k＝33k﹣5m，
∵∠EDF＝∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠EGD＝∠DHF＝90°，
∴△EGD∽△FHD，
EG FH
∴ = ，
GD HD
4k 4m
∴ = ，
33k-5m 18k-3m
∴5m2﹣36km+18k2＝0，
18-3√26 18+3√26
∴m= k或m= k（不合题意，舍去），
5 5
∵△EGD∽△FHD，
DF FH 4m m 18-3√26
∴ = = = = ．
DE EG 4k k 5
【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，直角
三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握
岁数大了与性质是解题的关键．
1
24．（12分）如图，已知抛物线y=- x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点
3
C，P是抛物线上一点，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接OP，BP，若S△BOP ＝2S△AOC ，求点P的坐标；
（3）若∠PBA＝∠ACO，直接写出点P的坐标．
第33页（共36页）【考点】二次函数综合题．
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【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
1 1
【答案】（1）y=- x2+ x+4
3 3
（2）点P的坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
3 57 21 111
（3）点P的坐标为(- ， )或(- ，- )．
4 16 4 16
1
【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y=- x2+bx+c，即可求解；
3
1 1 1 1 1
（2）先求出S△OAC ＝6，则S△BOP ＝12，设P(t，-
3
t2+
3
t+4)，可得
2
×4×|-
3
t2+
3
t+4|=12，
即可求P点坐标；
（3）设PB交y轴于点Q，利用正切函数求得OQ＝3，利用待定系数法求得直线PB的解析式，联立
求得即可；当直线PB经过点Q关于原点的对称点Q 时，也符合题意，同理求解即可．
1
1
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入y=- x2+bx+c，
3
{
-3-3b+c=0
∴ 16 ，
- +4b+c=0
3
{ 1
b=
解得 3，
c=4
1 1
∴y=- x2+ x+4；
3 3
（2）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
第34页（共36页）∴OC＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
1
∴S = ×3×4=6，
△OAC 2
∵S△BOP ＝2S△AOC ，
∴S△BOP ＝12，
1 1
设P(t，- t2+ t+4)，
3 3
∵B（4，0），
∴OB＝4，
1 1 1
∴ ×4×|- t2+ t+4|=12，
2 3 3
解得t＝6或t＝﹣5，
∴点P的坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）；
（3）设PB交y轴于点Q，
∵A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），
∴OA＝3，OC＝OB＝4，
∵∠PBA＝∠ACO，
∴tan∠PBA＝tan∠ACO，
OQ OA OQ 3
∴ = ，即 = ，
OB OC 4 4
∴OQ＝3，
设直线PB的解析式为y＝kx+3，
∴0＝4k+3，
第35页（共36页）3
解得k=- ，
4
3
∴直线PB的解析式为y=- x+3，
4
3
{ y=- x+3
4
联立 ，
1 1
y=- x2+ x+4
3 3
3
{x=-
{x=4 4
解得 或 ，
y=0 57
y=
16
3 57
∴点P的坐标为(- ， )；
4 16
3
当直线PB经过点Q关于原点的对称点Q 时，也符合题意，同理求得直线P B的解析式为y= x-3，
1 1 4
3
{ y= x-3
4
联立 ，
1 1
y=- x2+ x+4
3 3
21
{x=-
{x=4 4
解得 或 ，
y=0 111
y=-
16
21 111
∴点P的坐标为(- ，- )；
4 16
3 57 21 111
综上，点P的坐标为(- ， )或(- ，- )．
4 16 4 16
【点评】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正切函数的定义．
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