文档内容
2026年菁优中考数学压轴训练1
一．选择题（共10小题）
1．（2025•新疆三模）课堂上，地理老师给同学们呈现了四个城市今年三月份的平均气温，其中气温最低
的是（ ）
A．乌鲁木齐﹣4℃ B．郑州6℃
C．呼和浩特﹣3℃ D．成都10℃
2．（2025•莱西市校级模拟）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，若AM＞BM，则下列运
算结果一定是正数的是（ ）
A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|﹣b
3．（2025•东莞市校级二模）同学们，我们是2025届学生，2025这个数字的相反数是（ ）
1 1
A．2025 B． C．﹣2025 D．-
2025 2025
4．（2025•宽城区二模）要使算式 2□（﹣3）的运算结果为正数，则“□”内应填入的运算符号为
（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
5．（2025•思明区校级二模）乒乓球国际比赛用球直径标准为40mm．质检员检测4个乒乓球的直径，超
过标准的毫米数记为正数，不足标准的毫米数记为负数，则下列记录中所对应的乒乓球直径最接近标
准的是（ ）
A．﹣0.21mm B．+0.08mm C．+0.10mm D．﹣0.12mm
6．（2025•新安县模拟）下表是某一时刻河南四个城市的气温情况，其中气温最低的城市是（ ）
郑州 开封 洛阳 濮阳
﹣1℃ 0℃ 1℃ ﹣2℃
A．郑州 B．开封 C．洛阳 D．濮阳
7．（2025•安徽模拟）已知a﹣b+c＝0，﹣6＜a+b+c＜﹣2，下列结论中正确的是（ ）
A．b＞0，b2﹣4ac≥0 B．b＞0，1＜|a+c|＜3
C．b＜0，b2﹣4ac＞0 D．b＜0，1＜|a+c|＜3
8．（2025•石家庄模拟）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是 1cm），刻度尺上
的“0”和“3”分别对应数轴上的﹣3和0，则数轴上x的值最有可能是（ ）
第1页（共23页）1
A．2 B．1.8 C．2 D．5.4
2
9．（2025•伊金霍洛旗三模）手机支付给生活带来便捷．如表是王老师某日微信账单的收支明细（正数表
示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（ ）
微信红包——
来自李某某+26.00
某平台商户﹣7.00
扫二维码付给某店﹣
15.00
A．收入4元 B．支出2元 C．支出6元 D．支出9元
10．（2025•榕城区二模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），如：
f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．若f（2）＝k（k≠0），那么f（2n）•f
（2020）的结果是（ ）
A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k
二．填空题（共10小题）
11．（2025•滨海新区校级模拟）已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1且a＜b＜c，求a+b+c的值为 ．
12．（2025•甘谷县校级一模）写出一个比﹣3小的有理数 ．
13．（2025•临平区二模）﹣2025的绝对值是 ．
14．（2025•沂南县一模）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每
一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能
够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学
上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：
×3+1 ÷2 ÷2 ÷2 ÷2
5 16 8 4 2 1如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为 ．
→ → → → →
ab-b2
15．（2025•礼县三模）对于有理数a，b定义一种新运算“※”如下：a※b= ，则2※（﹣2）＝
2a
．
16．（2025•西和县二模）对于有理数a，b，定义一种新运算“ ”，规定a b＝|a+b|+|a﹣b|．则计算
3 （﹣4）的值为 ． ⊙ ⊙
17．⊙（2025•潮南区模拟）在足球比赛中，如果甲队进 3个球，记作+3个，那么甲队失2个球，记作
第2页（共23页）个．
18．（2025•海淀区校级模拟）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：
①回收餐具与剩菜、清洁桌面；
②清洁椅面与地面；
③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每
个步骤所花费时间如下表所示：
步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具
大桌 5 3 2
小桌 3 2 1
（1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要 分钟．
（2）若三名餐厅工作人员分别负责
①回收餐具与剩菜、清洁桌面，
②清洁椅面与地面，
③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收
拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
19．（2025•河北模拟）地球表面平均1cm2上的空气质量约为1kg，地球表面的面积大约5×108km2，已知
地球的质量约为6×1024kg，则地球的质量大约是地球表面全部空气质量的 倍．
20．（2025•仓山区校级模拟）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检
查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：
①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这
三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；
②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；
③每个步骤所需时间如表所示：
步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备
所需时间/分钟 8 6 6 5
在不考虑其他因素的前提下，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要
分钟．
三．解答题（共5小题）
21．（2024•高平市一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
数学对物理学的发展起着重要的作用，物理学也对数学的发展起着重要的作用，莫尔斯所说：“数
学是数学，物理是物理，但物理可以通过数学的抽象而受益，而数学则可以通过物理的见识而受
益．”
第3页（共23页）以下是数学中常见的一个问题：
若a+b＝2，则ab的最大值是多少？
设a＝1+x，b＝1﹣x，则ab＝（1+x）（1﹣x）＝1﹣x2＝﹣x2+1．
……
以下是物理中的一个问题：
物理学中的电路分为串联电路和并联电路；已知电路中有大小分别为R 和R 的两个电阻，串联电
1 2
1 1 1
= +
路的电阻公式为R＝R +R ，并联电路的电阻公式为 ．在某一段电路上测得两个电阻的
1 2 R R R
1 2
和为15k ，若根据实际需要把这两个电阻并联在一起，则并联后总电阻的最大值是多少？
任务： Ω
（1）按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分．
（2）若a，b两数的和为定值，则a，b满足 时，ab的值最大．
（3）解决这个物理问题主要体现的数学思想是 ．（填序号即可）
A．统计思想
B．分类思想
C．模型思想
（4）物理问题中并联后总电阻的最大值是 k ．
22．（2025•丰南区校级三模）佳佳同学设计了几张如图写有不同运算的Ω卡片 A，B，C，D，佳佳选择一
个有理数，让她的同桌小伟选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．
（1）当佳佳选择了4，小伟选择了A→C→B→D的顺序，列出算式并计算结果；
（2）当佳佳选择了﹣2，小伟选择了D→C→（ ）→（ ）的顺序，若列式计算的结
果刚好为﹣15，请判断小伟选择的顺序．
23．（2023•宝应县模拟）如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n
与b＝d（n）所表示的是b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）＝ ，d（10﹣2）＝ ；
（2）劳格数有如下运算性质：
m
若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（ ）＝d（m）﹣d（n）．
n
根据运算性质，填空：
第4页（共23页）d(a3
)
= （a为正数），若d（2）＝0.3010，则d（4）＝ ，d（5）＝
d(a)
，d（0.08）＝ ；
（3）下表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改
正．
x 1.5 3 5 6 8 9 12 27
d（x） 3a﹣b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b 3﹣3a﹣ 4a﹣2b 3﹣b﹣2c 6a﹣3b
﹣c 3c
24．（2023•邯山区校级二模）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，示例
如图1．即4+3＝7．
（1）m＝ ，y＝ ；（用x来表示）
（2）当x＝﹣2时，计算y的值；
（3）如图2，当x的值每增加1时，y的值就增加 ．
25．（2023•城阳区校级一模）概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣
3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣
3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把 a÷a÷a÷⋯÷a （a≠0）
¿
记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
初步探究
1
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，(- )⑤＝ ；
2
（2）关于除方，下列说法错误的是
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；
C.3④＝4③
第5页（共23页）D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣ 3）④＝
1
；5⑥＝ ；(- )⑩＝ ．
2
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；
1 1 1
（3）算一算：122÷(- )④×(- )⑤-(- )⑥÷33 ．
3 2 3
第6页（共23页）2026年菁优中考数学压轴训练1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B B D D C A C
一．选择题（共10小题）
1．（2025•新疆三模）课堂上，地理老师给同学们呈现了四个城市今年三月份的平均气温，其中气温最低
的是（ ）
A．乌鲁木齐﹣4℃ B．郑州6℃
C．呼和浩特﹣3℃ D．成都10℃
【考点】有理数大小比较．
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【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】比较所给的四个数，选出最小的即为所求．
【解答】解：所给的数的大小顺序为﹣4＜﹣3＜6＜10，
∴乌鲁木齐的气温最低，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的大小比较；能够对负数进行正确的大小比较是解题的关键．
2．（2025•莱西市校级模拟）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，若AM＞BM，则下列运
算结果一定是正数的是（ ）
A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|﹣b
【考点】数轴；绝对值；非负数的性质：绝对值；正数和负数．
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【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，则AM＝a+b﹣a＝b、BM＝b﹣（a+b）＝﹣a，由
AM＞BM可得原点在A、M之间，由它们的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|，再根据整式的加
减乘法运算的计算法则逐项判断即可．
【解答】解：数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，
第7页（共23页）∴AM＝a+b﹣a＝b、BM＝b﹣（a+b）＝﹣a，
∵AM＞BM，
∴原点在A，M之间，由它们的位置可得a＜0，b＞0且|a|＜|b|，
∴a+b＞0，a﹣b＜0，ab＜0，|a|﹣b＜0，
故运算结果一定是正数的是a+b．
故选：A．
【点评】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到 a＜0，b＞0且|a|＜|b|
是解题的关键．
3．（2025•东莞市校级二模）同学们，我们是2025届学生，2025这个数字的相反数是（ ）
1 1
A．2025 B． C．﹣2025 D．-
2025 2025
【考点】相反数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：2025的相反数是﹣2025．
故选：C．
【点评】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
4．（2025•宽城区二模）要使算式 2□（﹣3）的运算结果为正数，则“□”内应填入的运算符号为
（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【考点】有理数的混合运算．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】根据有理数混合运算的法则进行解答即可．
【解答】解：2+（﹣3）＝﹣1；
2﹣（﹣3）＝5；
2×（﹣3）＝﹣6，
2
2÷（﹣3）=- ，
3
2
∵﹣6＜﹣1＜- ＜5，
3
∴应填入“﹣”．
第8页（共23页）故选：B．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟记运算法则是解题的关键．
5．（2025•思明区校级二模）乒乓球国际比赛用球直径标准为40mm．质检员检测4个乒乓球的直径，超
过标准的毫米数记为正数，不足标准的毫米数记为负数，则下列记录中所对应的乒乓球直径最接近标
准的是（ ）
A．﹣0.21mm B．+0.08mm C．+0.10mm D．﹣0.12mm
【考点】绝对值；有理数大小比较；正数和负数．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意，求出各选项数据的绝对值，根据绝对值越小，越接近标准，即可．
【解答】解：由绝对值性质化简可知：0.21＞0.12＞0.10＞0.08，
由绝对值越小越接近标准可知：
最接近标准的是+0.08mm．
故选：B．
【点评】本题考查绝对值的知识，解题的关键是掌握绝对值的应用，
6．（2025•新安县模拟）下表是某一时刻河南四个城市的气温情况，其中气温最低的城市是（ ）
郑州 开封 洛阳 濮阳
﹣1℃ 0℃ 1℃ ﹣2℃
A．郑州 B．开封 C．洛阳 D．濮阳
【考点】有理数大小比较；正数和负数．
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【专题】图表型；推理能力．
【答案】D
【分析】根据有理数大小比较方法解答即可．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，2＞1，
∴﹣2＜﹣1，
∴﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴气温最低的是濮阳．
故选：D．
【点评】本题考查了温度的比较以及正负数的概念，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．
7．（2025•安徽模拟）已知a﹣b+c＝0，﹣6＜a+b+c＜﹣2，下列结论中正确的是（ ）
A．b＞0，b2﹣4ac≥0 B．b＞0，1＜|a+c|＜3
C．b＜0，b2﹣4ac＞0 D．b＜0，1＜|a+c|＜3
第9页（共23页）【考点】绝对值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】由a﹣b+c＝0得到b＝a+c，然后分别代入﹣6＜a+b+c＜﹣2和b2﹣4ac计算即可．
【解答】解：由题意可得：b＝a+c，
∴﹣6＜a+a+c+c＜﹣2，
∴﹣6＜2（a+c）＜﹣2
∴﹣3＜a+c＜﹣1，
∴﹣3＜b＜﹣1，1＜|a+c|＜3，
∴b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac
＝a2+2ac+c2﹣4ac
＝a2﹣2ac+c2
＝（a﹣c）2≥0，
∴b2﹣4ac≥0，
∴﹣3＜b＜﹣1，b2﹣4ac≥0，﹣3＜a+c＜﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式和解不等式，正确记忆相关知识点是解题关键．
8．（2025•石家庄模拟）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是 1cm），刻度尺上
的“0”和“3”分别对应数轴上的﹣3和0，则数轴上x的值最有可能是（ ）
1
A．2 B．1.8 C．2 D．5.4
2
【考点】数轴．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】利用数轴知识解答．
【解答】解：根据题意可以知道x表示的数应该是2与3之间的数，
∴只有选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴知识．
第10页（共23页）9．（2025•伊金霍洛旗三模）手机支付给生活带来便捷．如表是王老师某日微信账单的收支明细（正数表
示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（ ）
微信红包——
来自李某某+26.00
某平台商户﹣7.00
扫二维码付给某店﹣
15.00
A．收入4元 B．支出2元 C．支出6元 D．支出9元
【考点】有理数的加减混合运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据图片，列出算式，进行计算即可．
【解答】解：根据表格列算式可得：26﹣7﹣15＝4（元），
即王老师当天微信收支的最终结果是收入4元．
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．
10．（2025•榕城区二模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），如：
f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．若f（2）＝k（k≠0），那么f（2n）•f
（2020）的结果是（ ）
A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k
【考点】有理数的混合运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据新定义进行计算即可求解．
【解答】解：根据新定义进行计算可得：
f(2n)=f(2+2+⋯+2)=f(2)⋅f(2)⋯⋯⋅f(2)=k⋅k⋅⋯⋅k=kn
，
¿ ¿ ¿
f(2020)=f(2+2+⋯+2)=f(2)⋅f(2)⋯⋯⋅f(2)=k⋅k⋅⋯⋅k=k1010
，
¿ ¿ ¿
∴f（2n）•f（2020）＝kn+1010，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成
常规运算．
第11页（共23页）二．填空题（共10小题）
11．（2025•滨海新区校级模拟）已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1且a＜b＜c，求a+b+c的值为 ﹣ 6 或﹣ 4
．
【考点】有理数的加法；绝对值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣6或﹣4．
【分析】根据绝对值和a＜b＜c求得a、b、c的值，然后代入计算即可．
【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，
∴a＝±3，b＝±2，c＝±1，
∵a＜b＜c，
∴a＝﹣3，b＝﹣2，c＝﹣1或1，
∴a+b+c＝﹣3﹣2﹣1＝﹣6或a+b+c＝﹣3﹣2+1＝﹣4，
故答案为：﹣6或﹣4．
【点评】本题主要考查了绝对值的应用和有理数的加减运算，运用绝对值和已知条件确定 a、b、c的
值是解答本题的关键．
12．（2025•甘谷县校级一模）写出一个比﹣3小的有理数 ﹣ 5 （答案不唯一） ．
【考点】有理数大小比较．
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【专题】实数；数感．
【答案】﹣5（答案不唯一）．
【分析】根据负数的大小比较，绝对值大的反而小，求解即可．
【解答】解：比﹣3小的有理数有﹣4，﹣5，﹣6.....．
故答案为：﹣5（答案不唯一）．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握数轴上右边的数总比左边的大或者两个负数比较大小绝
对值大的反而小是关键．
13．（2025•临平区二模）﹣2025的绝对值是 202 5 ．
【考点】绝对值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案．
【解答】解：﹣2025的绝对值|﹣2025|＝2025，
故答案为：2025．
【点评】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟练掌握绝对值性质是关键．
第12页（共23页）14．（2025•沂南县一模）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每
一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能
够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学
上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：
×3+1 ÷2 ÷2 ÷2 ÷2
5 16 8 4 2 1如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为 1 0 或 6 4 ．
→ → → → →
【考点】有理数的除法；有理数的加法；有理数的乘法．
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【专题】实数；数感；模型思想；应用意识；创新意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒
退到第1次前的数即可．
【解答】解：如图，利用倒推法可得：
由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，
由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，
由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得
8
由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，
由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，
由第1次计算后得5，可得原数为10，
由第1次计算后32，可得原数为64，
故答案为：10或64．
【点评】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重．
ab-b2
15．（2025•礼县三模）对于有理数a，b定义一种新运算“※”如下：a※b= ，则2※（﹣2）＝
2a
﹣ 2 ．
【考点】有理数的混合运算．
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【专题】实数；运算能力．
第13页（共23页）【答案】﹣2．
【分析】根据新定义列出算式计算即可得解．
2×(-2)-(-2) 2
【解答】解：原式=
2×2
-4-4
=
4
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
16．（2025•西和县二模）对于有理数a，b，定义一种新运算“ ”，规定a b＝|a+b|+|a﹣b|．则计算
3 （﹣4）的值为 8 ． ⊙ ⊙
【⊙考点】有理数的混合运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】8．
【分析】根据题中的新定义进行计算即可得．
【解答】解：根据题中的新定义得：3 （﹣4）＝|3+（﹣4）|+|3﹣（﹣4）|＝1+7＝8，
故答案为：8． ⊙
【点评】本题考查了有理数加减混合运算，绝对值的运算，解题的关键是理解题意．
17．（2025•潮南区模拟）在足球比赛中，如果甲队进 3个球，记作+3个，那么甲队失2个球，记作
﹣ 2 个．
【考点】正数和负数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用正数、负数的意义解答．
【解答】解：在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作+3个，那么甲队失2个球，记作﹣2个．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了正数负数，解题的关键是掌握正数、负数的意义．
18．（2025•海淀区校级模拟）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：
①回收餐具与剩菜、清洁桌面；
②清洁椅面与地面；
③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每
个步骤所花费时间如下表所示：
第14页（共23页）步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具
大桌 5 3 2
小桌 3 2 1
（1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要 7 分钟．
（2）若三名餐厅工作人员分别负责
①回收餐具与剩菜、清洁桌面，
②清洁椅面与地面，
③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收
拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 1 2 分钟．
【考点】有理数的混合运算．
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【专题】实数；推理能力；应用意识．
【答案】（1）7；
（2）12．
【分析】（1）一个人回收餐具、与剩菜、清洁桌面用5分钟，同时另一个人清洁椅面与地面用时3分
钟，两人同时工作，共用时5分钟；
（2）按分工，设甲负责①工作，乙负责②工作，丙负责③工作，第一步，甲回收大桌餐具、与剩菜、
清洁桌面，同时乙清洁两个小桌的椅面与地面，共用时5分钟；第二步，甲回收两个小桌餐具、与剩
菜、清洁桌面，同时乙清洁大桌的椅面与地面，丙同时摆放一个大桌和一个小桌的新餐具，共用时 6
分钟；第三步，丙摆放小桌的新餐具，共用时1分钟；所以将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟；
【解答】解：（1）两人一起收拾，一个人回收餐具、与剩菜、清洁桌面用 5分钟，同时另一个人清洁
椅面与地面用时3分钟，两人同时工作，共用时5分钟；
最后摆放新餐具，用时2分钟；
∴两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要7分钟；
故答案为：7；
（2）按分工，设甲负责①工作，乙负责②工作，丙负责③工作，
第一步，甲回收大桌餐具、与剩菜、清洁桌面，同时乙清洁两个小桌的椅面与地面，共用时 5分钟；
第二步，甲回收两个小桌餐具、与剩菜、清洁桌面，同时乙清洁大桌的椅面与地面，丙同时摆放一个
大桌和一个小桌的新餐具，共用时6分钟；
第三步，丙摆放小桌的新餐具，共用时1分钟；
∴将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟；
故答案为：12．
第15页（共23页）【点评】本题考查有理数的运算，根据题意合理安排工作流程是解题的关键．
19．（2025•河北模拟）地球表面平均1cm2上的空气质量约为1kg，地球表面的面积大约5×108km2，已知
地球的质量约为6×1024kg，则地球的质量大约是地球表面全部空气质量的 1.2×1 0 6 倍．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】1.2×106．
【分析】利用科学记数法、根据整式的乘除法法则计算即可．
【解答】解：地球表面全部空气的质量约为：5×108×1010×1＝5×1018kg；
6×1024÷（5×1018）＝1.2×106，
答：地球质量大约是其表面全部空气质量的1.2×106倍．
故答案为：1.2×106．
【点评】本题考查的是科学记数法的应用，把一个大于 10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位
只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
20．（2025•仓山区校级模拟）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检
查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：
①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这
三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；
②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；
③每个步骤所需时间如表所示：
步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备
所需时间/分钟 8 6 6 5
在不考虑其他因素的前提下，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 4 0 分钟．
【考点】有理数的加法．
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【专题】运算能力．
【答案】40．
【分析】在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为四个步骤所
需时间的和，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，所需时间为“打扫卫生”和“整理床
铺”2个步骤所需时间的和．
【解答】解：∵每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，
∴最后一间房的后三个步骤从32分钟开始，甲乙同时完成整理床铺、更换客用物品，总时间6分钟，
丙在第35分钟进入最后一间房完成5分钟，则最少需要40分钟．
第16页（共23页）故答案为：40．
【点评】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意找出最优方案是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2024•高平市一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
数学对物理学的发展起着重要的作用，物理学也对数学的发展起着重要的作用，莫尔斯所说：“数
学是数学，物理是物理，但物理可以通过数学的抽象而受益，而数学则可以通过物理的见识而受
益．”
以下是数学中常见的一个问题：
若a+b＝2，则ab的最大值是多少？
设a＝1+x，b＝1﹣x，则ab＝（1+x）（1﹣x）＝1﹣x2＝﹣x2+1．
……
以下是物理中的一个问题：
物理学中的电路分为串联电路和并联电路；已知电路中有大小分别为R 和R 的两个电阻，串联电
1 2
1 1 1
= +
路的电阻公式为R＝R +R ，并联电路的电阻公式为 ．在某一段电路上测得两个电阻的
1 2 R R R
1 2
和为15k ，若根据实际需要把这两个电阻并联在一起，则并联后总电阻的最大值是多少？
任务： Ω
（1）按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分．
（2）若a，b两数的和为定值，则a，b满足 a ＝ b 时，ab的值最大．
（3）解决这个物理问题主要体现的数学思想是 C ．（填序号即可）
A．统计思想
B．分类思想
C．模型思想
15
（4）物理问题中并联后总电阻的最大值是 k ．
4
Ω
【考点】数学常识；整式的加减；平方差公式；解一元一次方程．
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【专题】阅读型；数学建模思想；实数；整式；运算能力．
15
【答案】（1）1；（2）a＝b；（3）C；（4） ．
4
【分析】（1）利用题干中的方法和非负数的意义解答即可；
（2）利用（1）的结论解答即可；
（3）利用数学模型的思想解答即可；
（4）利用（2）的结论列式解答即可．
【解答】解：（1）设a＝1+x，b＝1﹣x，
则ab＝（1+x）（1﹣x）＝1﹣x2＝﹣x2+1，
第17页（共23页）∵﹣x2≤0，
∴当x＝0时，即a＝b＝1时，ab取得最大值为1．
（2）由（1）知：若a+b＝2，则a＝b＝1时，ab取得最大值．
∴若a，b两数的和为定值，则a，b满足a＝b时，ab的值最大．
故答案为：a＝b；
（3）∵解决这个物理问题主要体现的数学思想是利用题干中提供的数学模型解答，
∴解决这个物理问题主要体现的数学思想是模型思想，
故选：C．
（4）∵R +R ＝15k ，
1 2
∴R
1
与R
2
的和为定值Ω，
15
∴由（2）知：当R ＝R = k 时，R •R 的值最大．
1 2 2 1 2
Ω
1 1 1
= +
∵ ，
R R R
1 2
1 R +R
∴ = 1 2 ，
R R R
1 2
R R
∴R= 1 2 ，
R +R
1 2
15 15
×
∴R的最大值 2 2 15（k ）．
= =
15 4
Ω
15
故答案为： ．
4
【点评】本题主要考查了数学常识，非负数的应用，平方差公式，本题是阅读型题目，熟练掌握题干
中的数学方法并熟练运用是解题的关键．
22．（2025•丰南区校级三模）佳佳同学设计了几张如图写有不同运算的卡片 A，B，C，D，佳佳选择一
个有理数，让她的同桌小伟选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．
（1）当佳佳选择了4，小伟选择了A→C→B→D的顺序，列出算式并计算结果；
（2）当佳佳选择了﹣2，小伟选择了D→C→（ A ）→（ B ）的顺序，若列式计算的结果刚好为﹣
第18页（共23页）15，请判断小伟选择的顺序．
【考点】有理数的混合运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）225；
（2）A，B；运算顺序为D→C→A→B．
【分析】（1）根据题意列式，再根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）分两种情况讨论分别计算出相应的式子的值即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
[（4+3﹣2）×（﹣3）]2
＝[5×（﹣3）]2
＝（﹣15）2
＝225；
（2）若选择D→C→A→B，
可得：[（﹣2）2﹣2+3]×（﹣3）
＝（4﹣2+3）×（﹣3）
＝5×（﹣3）
＝﹣15；
若选择D→C→B→A，
可得：[（﹣2）2﹣2]×（﹣3）+3
＝（4﹣2）×（﹣3）+3
＝2×（﹣3）+3
＝﹣6+3
＝﹣3；
∵列式计算的结果刚好为﹣15，
∴小伟选择了D→C→A→B，
故答案为：A，B．
【点评】本题考查了有理数混合运算，分类讨论的思想方法，解答本题的关键是明确有理数混合运算
的运算顺序．
23．（2023•宝应县模拟）如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n
与b＝d（n）所表示的是b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）＝ 1 ，d（10﹣2）＝ ﹣ 2 ；
第19页（共23页）（2）劳格数有如下运算性质：
m
若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（ ）＝d（m）﹣d（n）．
n
根据运算性质，填空：
d(a3
)
= 3 （a为正数），若d（2）＝0.3010，则d（4）＝ 0.6020 ，d（5）＝ 0.6990
d(a)
，d（0.08）＝ ﹣ 1.097 0 ；
（3）下表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改
正．
x 1.5 3 5 6 8 9 12 27
d（x） 3a﹣b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b 3﹣3a﹣ 4a﹣2b 3﹣b﹣2c 6a﹣3b
﹣c 3c
【考点】有理数的乘方．
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【专题】压轴题；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即可求解；
d(a3
)
（2）根据d（a3）＝d（a•a•a）＝d（a）+d（a）+d（a）即可求得 的值；
d(a)
（3）通过9＝32，27＝33，可以判断d（3）是否正确，同理以依据5＝10÷2，假设d（5）正确，可以
求得d（2）的值，即可通过d（8），d（12）作出判断．
【解答】解：（1）d（10）＝1，d（10﹣2）＝﹣2；
故答案为：1，﹣2；
d(a3 ) 3d(a)
（2） = =3；
d(a) d(a)
因为d（2）＝0.3010
故d（4）＝d（2）+d（2）＝0.6020，
d（5）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.6990，
d（0.08）＝d（8×10﹣2）＝3d（2）+d（10﹣2）＝﹣1.0970；
故答案为：3；0.6020；0.6990；﹣1.0970．
（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）＝2d（3）≠4a﹣2b，
d（27）＝3d（3）≠6a﹣3b，
第20页（共23页）从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，
∴d（3）＝2a﹣b，
若d（5）≠a+c，则d（2）＝1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，
∴d（8）＝3d（2）≠3﹣3a﹣3c，
d（6）＝d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c，
表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d（5）＝a+c．
∴表中只有d（1.5）和d（12）的值是错误的，应纠正为：
d（1.5）＝d（3）+d（5）﹣1＝3a﹣b+c﹣1，
d（12）＝d（3）+2d（2）＝2﹣b﹣2c．
【点评】本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键．
24．（2023•邯山区校级二模）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，示例
如图1．即4+3＝7．
（1）m＝ 3 x ，y＝ 5 x + 3 ；（用x来表示）
（2）当x＝﹣2时，计算y的值；
（3）如图2，当x的值每增加1时，y的值就增加 5 ．
【考点】有理数的加法．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）3x，5x+3；（2）﹣7；（3）5．
【分析】（1）根据示例列式化简即可；
（2）根据图形代入计算即可得到答案；
（3）用x表示出y即可得到答案；
【解答】解：（1）由题意可得：m＝x+2x＝3x，n＝2x+3，
∴y＝m+n＝3x+2x+3＝5x+3；
故答案为：3x，5x+3．
（2）当x＝﹣2时，2x＝﹣4，
第21页（共23页）∴m＝x+2x＝﹣2+（﹣4）＝﹣6，n＝2x+3＝﹣4+3＝﹣1，
∴y＝m+n＝﹣6+（﹣1）＝﹣7；
（3）由（1）得：y＝5x+3，
∴当x 的值每增加1，y变成5（x+1）+3，
∴[5（x+1）+3]﹣（5x+3）＝5x+8﹣5x﹣3＝5
∴当x的值每增加1时，y的值就增加5．
故答案为：5．
【点评】本题考查代数式求值及整式加法运算，解题的关键是读懂题目图形代入运算．
25．（2023•城阳区校级一模）概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣
3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣
3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把 a÷a÷a÷⋯÷a （a≠0）
¿
记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
初步探究
1 1
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，(- )⑤＝ ﹣ 8 ；
2 2
（2）关于除方，下列说法错误的是 C
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；
C.3④＝4③
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？
1
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝ ；5⑥＝
32
1 1
；(- )⑩＝ 2 8 ．
54 2
1
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；
an-2
第22页（共23页）1 1 1
（3）算一算：122÷(- )④×(- )⑤-(- )⑥÷33 ．
3 2 3
【考点】有理数的混合运算．
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【专题】新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】初步探究
（1）根据新定义计算；
（2）根据新定义可判断C错误；
深入思考
（1）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算；
（2）利用新定义求解；
（3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算．
【解答】解：初步探究
1 1
（1）2③= ，(- )⑤＝﹣8；
2 2
（2）C选项错误；
深入思考
1 1 1
（1）（﹣3）④= ；5⑥= ；(- )⑩＝28．
32 54 2
1
（2）aⓝ= ；
an-2
（3）原式＝122÷32×（﹣23）﹣34÷33
＝﹣131．
1 1 1 1
故答案为 ，﹣8，C， ， ，28， ．
2 32 54 an-2
【点评】本题考查了有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左
到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算
律的运用，使运算过程得到简化．
第23页（共23页）
