文档内容
2026年菁优中考数学压轴训练3
一．选择题（共9小题）
1．（2025•游仙区校级模拟）如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行
两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，
6，10，15，…，我们把第一个数记为a ，第二个数记为a ，第三个数记为a ，…，第n个数记为a ，
1 2 3 n
则a +a ＝（ ）
4 200
A．20110 B．20111 C．20112 D．20113
2．（2025•沙坪坝区校级二模）用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，
第②个图案中有3个三角形，第③个图案中有5个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案
中三角形的个数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
3．（2025•南岸区校级模拟）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，a 有1根，a 有3根，a 有7
1 2 3
根…照此规律摆下去，a 的火柴棒根数是（ ）根．
7
A．23 B．63 C．127 D．129
4．（2025•保定二模）如图，在数轴上有一动点P，将点P沿数轴做如下移动，第一次点P向右平移2个
单位长度到达点P ，第二次将点P 向左移动4个单位长度到达P ，第三次将点P 向右移动6个单位
1 1 2 2
长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点P ，甲、乙、丙三位同学给出以下结论：
n
甲：若P 、P 互为相反数，则点P表示0；
1 2
乙：若点P表示﹣1，点P 到原点的距离为15，则n＝15；
n
第1页（共32页）丙：当n为奇数时|P ﹣P |＝2n；
n n﹣1
对于三人的观点，以下说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对
C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对
5．（2025•九龙坡区校级二模）用正六边形瓷砖来铺设地板，以一块正六边形瓷砖为中心，按环状铺设，
每次铺设时最外侧的边需一块新的正六边形瓷砖与它衔接，如图①铺设一环需1块正六边形瓷砖，如
图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，如图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，如图④铺设四环需37
块正六边形瓷砖，按此规律排列下去，则铺设六环需（ ）块正六边形瓷砖．
A．81 B．91 C．96 D．187
6．（2025•江北区校级一模）如图，用相同幸运星图案“ ”按一定规律排列成如图形，其中图形①有
1个幸运星，图形②有5个幸运星，图形③有9个幸运星…按此规律排列，则图形⑥的中幸运星图案
个数为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
7．（2025•九龙坡区模拟）将几个正整数排成一列数M：a ，a ，a ，…，a ，其中n为正整数且n≥2，每
1 2 3 n
次进行以下操作之一：
操作一：将其中一个数删除；
操作二：将其中一个数变为比该数更小的正整数；
操作三：将其中一个数变为两个正整数，且两个正整数之和小于原来的正整数；
现甲、乙二人对这些数按照甲一乙一甲一乙一……的顺序轮流进行操作，规定最后操作将所有数删除
的人获胜．
第2页（共32页）下列说法：
①若M：1，4，则甲第一次操作后可能产生6种不同的结果；
②若M：2，3，甲、乙二人共经过k次操作后将所有数都删除，且上述三种操作至少各进行了一次，
则k＝4或5；
③若M：1，2，2，则甲有必胜策略．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2025•大姚县模拟）按一定规律排列的代数式：﹣2x，3x2，﹣4x3，5x4，﹣6x5，•••，第n个代数式
是（ ）
A．（n+1）xn+1 B．（n+1）xn
C．（﹣1）n（n+1）xn D．（﹣1）n+1（n+1）xn
9．（2025•金乡县三模）干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的
组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我
们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减 3，除以10所得的余数
对应天干栏中的汉字即为天干；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉
字即为地支；属相的计算方法与地支一致．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 …
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 …
属相 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 …
依据上述规律推断，2037年为（ ）
A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙
二．填空题（共11小题）
10．（2025•碑林区校级四模）“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火
柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第①个图形用了8根火柴棒，第②个图形用了14根火
柴棒，第③个图形用了20根火柴棒，…，则第 个图形需要的火柴棒的根数为 （结果
用含n的式子表示）．
第3页（共32页）11．（2025•长沙一模）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为
边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第2025个正方形的面积为 ．
12．（2025•天山区校级三模）若a2﹣a﹣1＝0，则代数式3a2﹣3a+7的值为 ．
x 2 2
13．（2025•任城区二模）对于正数 x，规定 f（x） = ，例如 f（2） = = ，则
1+x 1+2 3
1 1 1
f( )+f( )+⋯+f( )+ f（1）+f（2）+…+f（2025）的值是 ．
2025 2024 2
14．（2025•碑林区校级模拟）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取
一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到
五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2
个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有 n个点时，可分得三角形的个数
为 ．
15．（2025•海伦市模拟）如图，已知∠MON＝30°，点A
1
在射线ON上，过点A
1
作A
1
B 1⊥ON交OM于点
B，过点B
1
作B
1
A 2⊥OM交ON于点A
2
，过点A
2
作A
2
B 2⊥ON交OM于点B
2
，过点B
2
作B
2
A 3⊥OM交ON
于点A ，若OA =√3，A B 的长为 ．
3 1 2025 2025
第4页（共32页）16．（2025•五华区一模）求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算
术》中记载了求两个正整数最大公约数的一种方法——“更相减损术”．原文意思是，要求两个正整
数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以
此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求168与72的最大公约数，运算步骤如下：
第一步：168﹣72＝96；
第二步：96﹣72＝24；
第三步：72﹣24＝48；
第四步：48﹣24＝24．
经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24．
若两个正整数经过“更相减损术”的三步运算，所求得的最大公约数为a，且这两个数中的一个大于
另一个的3倍，则这两个正整数中较大的数是 ．（用含a的代数式表示）
17．（2025•厦门模拟）某镇为发展农业经济，对10km的农产品运输通道进行扩建和重修，某货车在该
3
运输通道上行驶，平均速度从原来的akm/h提升到 akm/h.计算该货车在该运输通道上行驶可节约的
2
时间，结果为 .（用含a的代数式表示）
18．（2025•碑林区校级模拟）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，通常根据碳原子的个数被命
名为甲烷，乙烷，丙烷…（当碳原子数目超过 10个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷…）．甲
烷的化学式为CH ，乙烷的化学式为C H ，丙烷的化学式为C H …，其分子结构模型如图所示，按照
4 2 6 3 8
此规律，十三烷的化学式为 ．
19．（2025•渝中区二模）在一组互不相等的正整数a ，a ，a ，⋯，a 中任意提取m（1＜m＜n）个数，
1 2 3 n
若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．
例如：在1，2，3，4，5中，因为1+2+3+4+5＝15，（1+2+4）+1×2×4＝15，所以提取1，2，4这三个
数就是完美提取．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，则提取的数字
可以是 （写一种情况即可），共有 种完美提取（注：提取的数字相同，
排序不同，属于同一种提取）．
20．（2025•大兴区一模）小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这
第5页（共32页）些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每
堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从
每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下
新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为 0时，此时0不写入该有序数组，该
堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…
（1）写出第二次操作后记录的有序数组 ；
（2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有
堆．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•安徽二模）在汪老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．
【观察发现】老师提供了下列一组等式：
第1个等式：2×1+1＝22﹣12；
第2个等式：2×2+1＝32﹣22；
第3个等式：2×3+1＝42﹣32；
第4个等式：2×4+1＝52﹣42；
…
第n个等式可写为：2n+1＝（n+1）2﹣n2．
睿明同学将这n个等式两边分别相加，可得到公式：1+2+3+…+n＝ ．
【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．
第1个等式：3×（12+1）+1＝23﹣13；
第2个等式：3×（22+2）+1＝33﹣23；
第3个等式：3×（32+3）+1＝43﹣33；
第4个等式：3×（42+4）+1＝53﹣43；
…
【问题解决】（1）请你补充完整睿明同学发现的公式；
（2）请你写出【类比推广】中的第 5个等式： ；猜想第n个等式：
，并证明这个猜想；
（3）请你根据上述探究思路和成果，直接写出关于12+22+32+⋯+n2的公式．
22．（2025•盐池县一模）某公司对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，
另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
燃油车 纯电新能源车
第6页（共32页）油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时
油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费
用；
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．请分别求出这两款车的每千米行驶费用．
23．（2025•合肥一模）宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数字，数学兴
趣小组在研究“黑洞”数字时，在0到9之间，任取一组不全相等的三个数字，从大到小排列得到最
大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，再按照上述方式重新
排列，再相减，再得到一个新数…一直重复操作，例如．
第1组：数字1，2，0，则210﹣12＝198；
第2组：数字1，9，8，则981﹣189＝792；
第3组：数字7，9，2，则972﹣279＝693；
第4组：数字6，9，3，则 ．
（1）根据规律，补充第4组横线的内容；
（2）小组成员A发现：任取这样一组不全相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最
终会得到一个固定的“黑洞“数字，这个数是 ；
（3）小组成员B发现：在上述“重排求整“操作中，最大数和最小数的差能被99整除，推过程如下：
设一组三个数字为 a，b，c，不妨设 a≥b≥c，且 a，b，c 不全相等，最大数可表示为
，最小数可表示为 ，则最大数﹣最小数＝99（ ），所以最大数
和最小数的差能被99整除．
24．（2025•合肥一模）在数学活动课中．某兴趣小组研究一种公式，写出了下列几组等式：
第1个等式：23﹣13﹣3×2×1＝（2﹣1）3；
第2个等式：33﹣23﹣3×3×2＝（3﹣2）3；
第3个等式：43﹣33﹣3×4×3＝（4﹣3）3；
…
（1）根据上述等式规律：
（ⅰ）第4个等式为：53﹣43﹣3×5×4＝（ ﹣ ）3；
（ⅱ）第n个等式为： ．
（2）小组成员小明和小华进一步探索上述规律：
小明同学猜想a3﹣b3﹣3ab＝（a﹣b）3，其中a，b为正整数．小华同学提出反对意见，并通过如下计
算进行了证明：（a﹣b）3＝a3﹣b3﹣3ab（① ）
第7页（共32页）∴a3﹣b3﹣3ab不一定等于（a﹣b）3．
请你补全①中所缺内容，并直接写出当小明同学猜想成立时，a、b需要满足的数量关系．
25．（2025•庐阳区校级一模）阅读与思考
下面是七年级某同学笔记整理本节选，请仔细阅读并完成相应的任务．
求1+2+3+…+（n﹣1）+n（n为正整数）方法
方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的
下面，上下的加数加起来再除以2．
S＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，
S＝n+（n﹣1）+（n﹣2）+2+1，
2S＝（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+
（n+1）+（n+1）．
n(n+1)
可得S= ．
2
n(n+1)
即：1+2+3+⋯+(n-1)+n= ．
2
方法2：“递归法” 由完全平方公式可得（n+1）2＝n2+2n+1，
∴（n+1）2﹣n2＝2n+1．
我们列出特殊情况：22﹣12＝2×1+1：
32﹣22＝2×2+1；
42﹣32＝2×3+1；…
（n+1）2﹣n2＝2n+1．
两边分别相加可得，（n+1）2﹣12＝
2S+n．
(n+1) 2-1-n n(n+1)
∴S= = ．
2 2
试用这些方法和结果，可以解决问题．
任务1 计 算 ： 2+4+6+…+2026 ＝
；
任务2 我们知道：22﹣21＝21；23﹣22＝22；24﹣23
＝23；…
则21+22+23+…+2100＝ ．
任务3 1 1
若1×2= ×1×2×3- ×0×1×2；
3 3
请 仿 写 下 去 ， 并 求 1×2+2×3+3×4+…
+167×168的值．
第8页（共32页）2026年菁优中考数学压轴训练3
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A B C C B A B C B
一．选择题（共9小题）
1．（2025•游仙区校级模拟）如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行
两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，
6，10，15，…，我们把第一个数记为a ，第二个数记为a ，第三个数记为a ，…，第n个数记为a ，
1 2 3 n
则a +a ＝（ ）
4 200
A．20110 B．20111 C．20112 D．20113
【考点】规律型：数字的变化类；数学常识．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】A
【分析】对于这类题，遵循由特殊到一般的原则，这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比
第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第n﹣1个
数大n；所以从特殊入手，a ＝1，a ＝1+2，a ＝3+3＝1+2+3，a ＝6+4＝1+2+3+4，…，由此得出一般
1 2 3 4
规律：a ＝1+2+3+4+…+n，从而可求得结果．
n
【解答】解：这一列数的规律是：从第一个数开始，第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数
大3，第四个数比第三个数大4，依此类推，第n个数比第n﹣1个数大n，所以a ＝1，a ＝1+2，a ＝
1 2 3
3+3＝1+2+3，a ＝6+4＝1+2+3+4，…，a ＝1+2+3+4+…+n．
4 n
∴a ＝1+2+3+4+5+…+198+199+200
200
1
= ×(200+1)×200=20100，
2
第9页（共32页）从而a +a ＝10+20100＝20110；
4 200
故选：A．
【点评】本题是一个规律探索题，掌握探究的方法是解本题的关键．
2．（2025•沙坪坝区校级二模）用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，
第②个图案中有3个三角形，第③个图案中有5个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案
中三角形的个数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】B
【分析】根据前三个图形中三角形的个数分别为2×1﹣1＝1，2×2﹣1＝3，2×3﹣1＝5个，得出第n个
图形三角形为（2n﹣1）个，即可得答案．
【解答】解：∵第①个图案中有1个三角形，
第②个图案中有3个三角形，
第③个图案中有5个三角形
第④个图案中有7个三角形
……，
∴第n个图形中三角形的个数为（2n﹣1）个，
∴第⑦个图案中三角形的个数是2×7﹣1＝13，
故选：B．
【点评】本题考查图形类变化，正确找出规律是解题关键．
3．（2025•南岸区校级模拟）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，a 有1根，a 有3根，a 有7
1 2 3
根…照此规律摆下去，a 的火柴棒根数是（ ）根．
7
A．23 B．63 C．127 D．129
【考点】规律型：图形的变化类．
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第10页（共32页）【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】C
【分析】根据所给图形，依次求出火柴棒的根数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
a 的火柴棒根数为：1＝21﹣1；
1
a 的火柴棒根数为：3＝22﹣1；
2
a 的火柴棒根数为：7＝23﹣1；
3
…，
所以a 的火柴棒可表示为（2n﹣1）根．
n
当n＝7时，
a 的火柴棒根数为：27﹣1＝127（根）．
7
故选：C．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需火柴棒根数的变化规律是解题的
关键．
4．（2025•保定二模）如图，在数轴上有一动点P，将点P沿数轴做如下移动，第一次点P向右平移2个
单位长度到达点P ，第二次将点P 向左移动4个单位长度到达P ，第三次将点P 向右移动6个单位
1 1 2 2
长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点P ，甲、乙、丙三位同学给出以下结论：
n
甲：若P 、P 互为相反数，则点P表示0；
1 2
乙：若点P表示﹣1，点P 到原点的距离为15，则n＝15；
n
丙：当n为奇数时|P ﹣P |＝2n；
n n﹣1
对于三人的观点，以下说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对
C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对
【考点】规律型：数字的变化类；数轴；绝对值．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意分别求出P 表示的数，P 表示的数，P 表示的数，P 表示的数，P 表示的数，P
1 2 3 4 5 6
表示的数，找出规律逐一判断即可．
【解答】解：甲：设点P表示x，
第11页（共32页）则P 表示的数为x+2，P 表示的数为x﹣2，
1 2
P 、P 互为相反数，
1 2
∴x+2+x﹣2＝0，解得：x＝0，
∴点P表示0，故甲说法正确；
乙：∵点P表示﹣1；
∴P 表示的数为1；
1
P 表示的数为﹣3；
2
P 表示的数为3；
3
P 表示的数为﹣5
4
P 表示的数为5；
5
P 表示的数为﹣7；
6
⋯；
∴当n为奇数时，P ＝n；当n为偶数时，P =(-1) n+1 (n+1)；
n n
∵点P 到原点的距离为15，
n
∴n＝15或n＝14，故乙说法错误；
丙：设点P表示x，
∴P 表示的数为x+2；
1
P 表示的数为x+2﹣4＝x﹣2；
2
P 表示的数为x﹣2+6＝x+4；
3
P 表示的数为x+4﹣8＝x﹣4；
4
P 表示的数为x﹣4+10＝x+6；
5
P 表示的数为x+6﹣12＝x﹣6；
6
⋯；
∴当n为奇数时，P ＝x+n+1；当n为偶数时，P ＝x﹣n；
n n
∴|P ﹣P |＝|x+n+1﹣（x﹣n+1）|＝2n，故丙说法正确；
n n﹣1
综上可知：甲、丙对，乙不对，
故选：C．
【点评】本题考查了数字规律，一元一次方程的应用，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题的
关键．
5．（2025•九龙坡区校级二模）用正六边形瓷砖来铺设地板，以一块正六边形瓷砖为中心，按环状铺设，
第12页（共32页）每次铺设时最外侧的边需一块新的正六边形瓷砖与它衔接，如图①铺设一环需1块正六边形瓷砖，如
图②铺设两环需7块正六边形瓷砖，如图③铺设三环需19块正六边形瓷砖，如图④铺设四环需37
块正六边形瓷砖，按此规律排列下去，则铺设六环需（ ）块正六边形瓷砖．
A．81 B．91 C．96 D．187
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】B
【分析】根据所给图形，依次求出图形中六边形瓷砖的块数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
铺设一环需要的六边形瓷砖块数为：1；
铺设二环需要的六边形瓷砖块数为：7＝1+1×6；
铺设三环需要的六边形瓷砖块数为：19＝1+1×6+2×6；
铺设四环需要的六边形瓷砖块数为：37＝1+1×6+2×6+3×6；
…，
所以铺设n环需要的六边形瓷砖块数为：1+1×6+2×6+…+6（n﹣1）＝3n（n﹣1）+1．
当n＝6时，
3n（n﹣1）+1＝3×6×5+1＝91（块），
即铺设六环需要的六边形瓷砖块数为91块．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需六边形瓷砖块数变化的规律是解
题的关键．
6．（2025•江北区校级一模）如图，用相同幸运星图案“ ”按一定规律排列成如图形，其中图形①有
1个幸运星，图形②有5个幸运星，图形③有9个幸运星…按此规律排列，则图形⑥的中幸运星图案
个数为（ ）
第13页（共32页）A．21 B．22 C．23 D．24
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】A
【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解．
【解答】解：∵第①个图案幸运星个数为1，
第②个图案幸运星个数为5，
第③个图案幸运星个数9，
第④个图案幸运星个数13，
第⑤个图案幸运星个数17，
…，
则第⑥个图案三角形个数为1+4×（6﹣1）＝21，
故选：A．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中幸运星个数，找出第n个幸运星个数为
4（n﹣1）+1是解题的关键．
7．（2025•九龙坡区模拟）将几个正整数排成一列数M：a ，a ，a ，…，a ，其中n为正整数且n≥2，每
1 2 3 n
次进行以下操作之一：
操作一：将其中一个数删除；
操作二：将其中一个数变为比该数更小的正整数；
操作三：将其中一个数变为两个正整数，且两个正整数之和小于原来的正整数；
现甲、乙二人对这些数按照甲一乙一甲一乙一……的顺序轮流进行操作，规定最后操作将所有数删除
的人获胜．
下列说法：
①若M：1，4，则甲第一次操作后可能产生6种不同的结果；
②若M：2，3，甲、乙二人共经过k次操作后将所有数都删除，且上述三种操作至少各进行了一次，
则k＝4或5；
③若M：1，2，2，则甲有必胜策略．
第14页（共32页）其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型．
【答案】B
【分析】根据题意，得要进行操作三，则最大项的数值必须大于等于3；若要进行操作二，则最大项
的数值必须大于等于2；进行操作二不改变数列的项数．
【解答】解：①当甲进行操作一时，会产生2种不同的结果，M：1或M：4，
当甲进行操作二时，会产生3种不同的结果，M：1，3或M：1，2或M：1，1，
当甲进行操作三时，会产生2种结果，M：1，1，2或M：1，1，1，
因此甲第一次操作后可以产生7种不同的结果，故①错误；
②在数列M中，只有a 项能进行操作三，并要求三种操作至少各进行了一次，进行操作三后，项数
2
为3，A：2，1，1，
当第二步先进行操作一时，只能删除为1的项，此时k＝1（操作三）+1（操作二）+4（操作一）＝
6，
当第二步先进行操作二时，k＝1（操作三）+1（操作二）+3（操作一）＝5，
因此k＝5或6，故②错误；
③根据题意可知，若数列M有奇数个项，甲、乙逐个消去，最终甲执行最后一次操作，
有偶数个项逐个消去，最终乙执行最后一次操作，
执行操作二、操作三不影响最终结果，
∵M：1，2，2，为奇数项且最多可执行2（偶数）次操作二，
∴能确保甲最后将所有项消除，只需保证进行偶数次操作二即可，故③正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查了数列的应用和逻辑推理，熟练掌握逻辑推理是解题的关键．
8．（2025•大姚县模拟）按一定规律排列的代数式：﹣2x，3x2，﹣4x3，5x4，﹣6x5，•••，第n个代数式
是（ ）
A．（n+1）xn+1 B．（n+1）xn
C．（﹣1）n（n+1）xn D．（﹣1）n+1（n+1）xn
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】C
第15页（共32页）【分析】观察可知第n个单项式的系数的绝对值为n+1，次数为n，当n为奇数时，系数的符号为负，
当n为偶数时，系数的符号为正，据此规律可得答案．
【解答】解：发现规律：第n个单项式的系数的绝对值为n+1，次数为n，当n为奇数时，系数的符号
为负，当n为偶数时，系数的符号为正，则第n个代数式是（﹣1）n（n+1）xn，
故选：C．
【点评】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，发现规律是关键．
9．（2025•金乡县三模）干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的
组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60年为一个循环．我
们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减 3，除以10所得的余数
对应天干栏中的汉字即为天干；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数对应地支栏中的汉
字即为地支；属相的计算方法与地支一致．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 …
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 …
属相 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 …
依据上述规律推断，2037年为（ ）
A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题中的计算方法进行计算求解即可．
【解答】解：根据题中的计算方法进行计算可得：
天干为（2037﹣3）÷10＝203⋯⋯4，
地支为（2037﹣3）÷12＝169⋯⋯6，
所以2037年为农历丁巳蛇年．
故选：B．
【点评】本题考查了数字的变化类，有理数运算，找到变化规律是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
10．（2025•碑林区校级四模）“长城”是中华民族的代表性符号和中华文明的重要象征，小明同学用火
柴棒拼成如图所示的“长城墙垛”形状．已知第①个图形用了8根火柴棒，第②个图形用了14根火
第16页（共32页）柴棒，第③个图形用了20根火柴棒，…，则第 个图形需要的火柴棒的根数为 6 n +2 （结果用
含n的式子表示）．
【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．
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【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】6n+2．
【分析】根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
第①个图形需要的火柴棒根数为：8＝1×6+2；
第②个图形需要的火柴棒根数为：14＝2×6+2；
第③个图形需要的火柴棒根数为：20＝3×6+2；
…，
所以第 个图形需要的火柴棒根数为（6n+2）个．
故答案为：6n+2．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现所需小棒的根数依次增加
6是解题的关键．
11．（2025•长沙一模）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为
边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第2025个正方形的面积为 2 202 4 ．
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】22024．
【分析】根据所给变换方式，依次求出正方形的面积，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
第17页（共32页）第1个正方形的面积为1，
第2个正方形的面积为2，
第3个正方形的面积为4，
…，
所以第n个正方形的面积为2n﹣1．
当n＝2025时，
第2025个正方形的面积为22024．
故答案为：22024．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能通过计算发现第n个正方形的面积为2n﹣1是解题的关键．
12．（2025•天山区校级三模）若a2﹣a﹣1＝0，则代数式3a2﹣3a+7的值为 1 0 ．
【考点】代数式求值．
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【专题】整体思想；整式；运算能力．
【答案】10．
【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1，
∴原式＝3（a2﹣a）+7
＝3×1+7
＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答是解题的关
键．
x 2 2
13．（2025•任城区二模）对于正数 x，规定 f（x） = ，例如 f（2） = = ，则
1+x 1+2 3
1 1 1
f( )+f( )+⋯+f( )+ f（1）+f（2）+…+f（2025）的值是 2024. 5 ．
2025 2024 2
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；代数式求值．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】2024.5．
1
【分析】先发现f(x)+f( )=1，然后代入化简求解即可．
x
第18页（共32页）1
1 x 1 1
【解答】解：由条件可得f( )= = ，f(1)= =0.5，
x 1 x+1 1+1
1+
x
1 x 1 1+x
∴f(x)+f( )= + = =1，
x 1+x 1+x 1+x
1 1 1
∴原式=[f( )+f(2025)]+[f( )+f(2024)]+⋯+[f( )+f(2)]+f(1)
2025 2024 2
＝1+1+1+⋯+1+0.5
＝2024.5，
故答案为：2024.5．
1
【点评】本题主要考查了运算的规律、分式的混合运算等知识点，发现f(x)+f( )=1的规律成为解
x
题的关键．
14．（2025•碑林区校级模拟）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取
一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到
五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2
个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有 n个点时，可分得三角形的个数
为 2 n + 3 ．
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
当五边形内有1个点时，可分得的三角形的个数为：5＝1×2+3；
当五边形内有2个点时，可分得的三角形的个数为：7＝2×2+3；
当五边形内有3个点时，可分得的三角形的个数为：9＝3×2+3；
…，
所以当五边形内有n个点时，可分得的三角形的个数为（2n+3）个．
第19页（共32页）故答案为：2n+3．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键．
15．（2025•海伦市模拟）如图，已知∠MON＝30°，点A
1
在射线ON上，过点A
1
作A
1
B 1⊥ON交OM于点
B，过点B
1
作B
1
A 2⊥OM交ON于点A
2
，过点A
2
作A
2
B 2⊥ON交OM于点B
2
，过点B
2
作B
2
A 3⊥OM交ON
4 2024
于点A ，若OA =√3，A B 的长为 ( ) ．
3 1 2025 2025 3
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型；运算能力．
4
2024
【答案】( ) ．
3
4 n-1
【分析】先求出A B ，A B ，A B 的值，找出规律A B =( ) ，即可求解．
1 1 2 2 3 3 n n 3
【解答】解：∵∠MON＝30°，A
1
B 1⊥ON，OA
1
=√3，
4 1-1
∴A B =OA tan∠O=1=( ) ，OB ＝2A B ＝2，
1 1 1 3 1 1 1
2 4
∴A B =OB tan30°= √3，OA = √3，
2 1 1 3 2 3
4 4 2-1 8
∴A B =OA tan30°= =( ) ，OB = ，
2 2 2 3 3 2 3
8 16
∴A B =OB tan30°= √3，OA = √3，
3 2 2 9 3 9
16 4 3-1 32
∴A B =OA tan30°= =( ) ，OB = ，
3 3 3 9 3 3 9
32 64
∴A B =OB tan30°= √3，OA = √3，
4 3 3 27 4 27
……，
4 n-1
发现规律：A B =( ) ，
n n 3
第20页（共32页）4 2025-1 4 2024
∴A B =( ) =( ) ，
2025 2025 3 3
4 2024
故答案为：( ) ．
3
【点评】本题考查了图形的变化规律探究，解直角三角形，找到变换规律是解题的关键．
16．（2025•五华区一模）求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算
术》中记载了求两个正整数最大公约数的一种方法——“更相减损术”．原文意思是，要求两个正整
数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以
此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求168与72的最大公约数，运算步骤如下：
第一步：168﹣72＝96；
第二步：96﹣72＝24；
第三步：72﹣24＝48；
第四步：48﹣24＝24．
经过上述四步运算，求得168和72的最大公约数是24．
若两个正整数经过“更相减损术”的三步运算，所求得的最大公约数为a，且这两个数中的一个大于
另一个的3倍，则这两个正整数中较大的数是 4 a ．（用含a的代数式表示）
【考点】规律型：数字的变化类；数学常识；列代数式．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】4a．
【分析】设两个正整数中较小的数为b，则较大的数为4b，按照“更相减损术”进行三步运算，即可
得到a与b的关系，从而求得较大数．
【解答】解：设两个正整数中较小的数为b，则较大的数为4b，按照“更相减损术”进行三步运算可
得：
根据题意得：4b﹣b＝3b，
3b﹣b＝2b，
2b﹣b＝b；
则b＝a，
∴较大的数为4a．
故答案为：4a．
【点评】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
17．（2025•厦门模拟）某镇为发展农业经济，对10km的农产品运输通道进行扩建和重修，某货车在该
第21页（共32页）3
运输通道上行驶，平均速度从原来的akm/h提升到 akm/h.计算该货车在该运输通道上行驶可节约的
2
10
时间，结果为 h .（用含a的代数式表示）
3a
【考点】列代数式．
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【专题】整式；运算能力．
10
【答案】 h．
3a
【分析】根据时间＝路程÷速度分别求出提速前后所用的时间并求差即可．
10 10 10
- =
【解答】解： a 3a 3a（h），
2
10
∴该货车在该运输通道上行驶节约的时间为 h．
3a
10
故答案为： h．
3a
【点评】本题考查列代数式，掌握时间、路程、速度之间的关系是解题的关键．
18．（2025•碑林区校级模拟）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，通常根据碳原子的个数被命
名为甲烷，乙烷，丙烷…（当碳原子数目超过 10个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷…）．甲
烷的化学式为CH ，乙烷的化学式为C H ，丙烷的化学式为C H …，其分子结构模型如图所示，按照
4 2 6 3 8
此规律，十三烷的化学式为 C H ．
13 28
【考点】规律型：图形的变化类．
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【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】C H ．
13 28
【分析】根据题意，依次求出有机化合物的化学式，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
甲烷的化学式为：CH ，
4
乙烷的化学式为：C H ，
2 6
丙烷的化学式为：C H ，
3 8
第22页（共32页）…，
所以n烷的化学式可表示为 H （n为大于10的整数）．
n 2n+2
当n＝13时， ∁
十三烷的化学式为C H ．
13 28
故答案为：C H ．
13 28
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现n烷的化学式可表示为 H （n为大
n 2n+2
于10的整数）是解题的关键． ∁
19．（2025•渝中区二模）在一组互不相等的正整数a ，a ，a ，⋯，a 中任意提取m（1＜m＜n）个数，
1 2 3 n
若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．
例如：在1，2，3，4，5中，因为1+2+3+4+5＝15，（1+2+4）+1×2×4＝15，所以提取1，2，4这三个
数就是完美提取．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，则提取的数字
可以是 6 、 7 （答案不唯一） （写一种情况即可），共有 3 种完美提取（注：提取的数字相
同，排序不同，属于同一种提取）．
【考点】规律型：数字的变化类；二元一次方程组的应用；有理数的混合运算．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】6、7 （答案不唯一）；3．
【分析】按照定义判断列方程求解即可．
【解答】解：由条件可知当提取2个数a和b时，不妨设a＜b，
则a+b+ab＝55，
a＝1时，1+b+b＝55，则2b＝54，则b＝27（舍去），
a＝2时，2+b+2b＝55，则3b＝53（舍去），
a＝3时，3+b+3b＝55，则4b＝52，则b＝13（舍去），
a＝4时，4+b+4b＝55，则5b＝51（舍去），
a＝5时，5+b+5b＝55，则6b＝50（舍去），
a＝6时，6+b+6b＝55，则7b＝49，则b＝7（符合题意），
a＝7时，7+b+7b＝55，则8b＝48，则b＝6＜a（舍去），
当提取3个数a、b和c时，不妨设a＜b＜c，
则a+b+c+abc＝55，
{b=4
a＝1时，b+c+bc＝54，则 （符合题意），
c=10
a＝2时，b+c+2bc＝53（舍去），
a＝3时，b+c+3bc＝52（舍去），
第23页（共32页）当提取4个数时，
因为2×3×4×5＝120＞55，
则必定提取1、2，
1+2+3+4+1×2×3×4＝34＜55（舍去），
1+2+3+5+1×2×3×5＝41＜55（舍去），
1+2+3+6+1×2×3×6＝48＜55（舍去），
1+2+3+7+1×2×3×7＝55（符合题意），
1+2+4+5+1×2×4×5＝52＜55（舍去），
1+2+4+6+1×2×4×6＝61＞55（舍去），
综上，提取的数字可以是6、7或1、4、10或1、2、3、7共3种．
故答案为：6、7（答案不唯一）；3．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用．熟练掌握以上知识点是关键．
20．（2025•大兴区一模）小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这
些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每
堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从
每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下
新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为 0时，此时0不写入该有序数组，该
堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…
（1）写出第二次操作后记录的有序数组 （ 4 ， 4 ， 6 ， 7 ， 9 ， 1 1 ， 1 4 ） ；
（2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有 1 0 堆．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数大小比较．
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【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】（1）（4，4，6，7，9，11，14）；
（2）10．
【分析】（1）根据所给操作方法，写出第二次操作后的记录即可解决问题．
（2）根据所给操作方法，依次写出所得有序数组，发现规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
第一次操作后的有序数组为：（5，5，8，10，12，15）；
第二次操作后的有序数组为：（4，4，6，7，9，11，14）；
故答案为：（4，4，6，7，9，11，14）．
（2）由题知，
第24页（共32页）后续操作的有序数组依次为（3，3，5，6，7，8，10，13）；
（2，2，4，5，6，7，8，9，12）；
（1，1，3，4，5，6，7，8，9，11）；
（2，3，4，5，6，7，8，10，10）；
…，
（2，3，4，5，6，7，8，9，11）；
（1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）；
（1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）；
…，
所以当有序数组不再变化时，这时牌有10堆．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了数字变化的规律及有理数大小比较，能根据所给操作方式依次写出所得有序
数组并发现规律是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•安徽二模）在汪老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．
【观察发现】老师提供了下列一组等式：
第1个等式：2×1+1＝22﹣12；
第2个等式：2×2+1＝32﹣22；
第3个等式：2×3+1＝42﹣32；
第4个等式：2×4+1＝52﹣42；
…
第n个等式可写为：2n+1＝（n+1）2﹣n2．
n(n+1)
睿明同学将这n个等式两边分别相加，可得到公式：1+2+3+…+n＝ ．
2
【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．
第1个等式：3×（12+1）+1＝23﹣13；
第2个等式：3×（22+2）+1＝33﹣23；
第3个等式：3×（32+3）+1＝43﹣33；
第4个等式：3×（42+4）+1＝53﹣43；
…
【问题解决】（1）请你补充完整睿明同学发现的公式；
（2）请你写出【类比推广】中的第 5个等式： 3× （ 5 2 +5 ） +1 ＝ 6 3 ﹣ 5 3 ；猜想第n个等式： 3
第25页（共32页）（ n 2 + n ） + 1 ＝（ n + 1 ） 3 ﹣ n 3 ，并证明这个猜想；
（3）请你根据上述探究思路和成果，直接写出关于12+22+32+⋯+n2的公式．
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型；运算能力．
n(n+1)
【答案】（1） ；
2
（2）3×（52+5）+1＝63﹣53；3（n2+n）+1＝（n+1）3﹣n3；证明见解答；
n(n+1)(2n+1)
（3） ．
6
【分析】（1）根据有理数的加法运算法则求解；
（2）根据题中的等式中的数字规律求解；
（3）把（2）中个等式相加求解．
【解答】解：（1）将这n个等式两边分别相加得：2（1+2+……+n）+n＝（n+1）2﹣1，
n(n+1)
∴1+2+……+n= ，
2
n(n+1)
故答案为： ；
2
（2）∵第1个等式：3×（12+1）+1＝23﹣13；
第2个等式：3×（22+2）+1＝33﹣23；
第3个等式：3×（32+3）+1＝43﹣33；
第4个等式：3×（42+4）+1＝53﹣43；
第5个等式：3×（52+5）+1＝63﹣53；
……；
∴第n个等式：3（n2+n）+1＝（n+1）3﹣n3；
证明：∵左边＝3n2+3n+1，
右边＝n3+3n2+3n+1﹣n3＝3n2+3n+1，
∴3（n2+n）+1＝（n+1）3﹣n3；
故答案为：3×（52+5）+1＝63﹣53；3（n2+n）+1＝（n+1）3﹣n3；
（3）把（2）中的等式相加得：3（12+22+32+……n2+1+2+3+……n）+n＝（n+1）3﹣1，
∴12+22+32+……n2
1 n(n+1)
= [（n+1）3﹣1﹣n]-
3 2
第26页（共32页）n(n+1)(2n+1)
= ．
6
【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律和掌握整式的运算是解题的关键．
22．（2025•盐池县一模）某公司对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，
另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：
燃油车 纯电新能源车
油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时
油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时
（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费
用；
（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．请分别求出这两款车的每千米行驶费用．
【考点】列代数式．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，用含a的代数式分别表示出两款车每千米行驶的费用即可．
（2）根据题意，建立关于a的方程，求出a的值即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
48
燃油车每千米的耗油量为 升，
a
48 384
所以燃油车每千米行驶的费用为 ×8= 元．
a a
90
纯电新能源车每千米的耗电量为 千瓦时，
a
90 54
所以纯电新能源车每千米行驶的费用为 ×0.6= 元．
a a
（2）由题知，
384 54
- =0.55，
a a
解得a＝600，
经检验a＝600是原方程的解且符合题意，
384 54
则 =0.64， =0.09，
a a
答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元．
【点评】本题主要考查了列代数式，能用a分别表示出两款车每千米行驶的费用是解题的关键．
第27页（共32页）23．（2025•合肥一模）宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数字，数学兴
趣小组在研究“黑洞”数字时，在0到9之间，任取一组不全相等的三个数字，从大到小排列得到最
大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，再按照上述方式重新
排列，再相减，再得到一个新数…一直重复操作，例如．
第1组：数字1，2，0，则210﹣12＝198；
第2组：数字1，9，8，则981﹣189＝792；
第3组：数字7，9，2，则972﹣279＝693；
第4组：数字6，9，3，则 963﹣36 9 ＝ 59 4 ．
（1）根据规律，补充第4组横线的内容；
（2）小组成员A发现：任取这样一组不全相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最
终会得到一个固定的“黑洞“数字，这个数是 49 5 ；
（3）小组成员B发现：在上述“重排求整“操作中，最大数和最小数的差能被99整除，推过程如下：
设一组三个数字为 a，b，c，不妨设 a≥b≥c，且 a，b，c 不全相等，最大数可表示为
（ 10 0 a +1 0 b + c ） ，最小数可表示为 （ 10 0 c +1 0 b + a ） ，则最大数﹣最小数＝99（ （ a ﹣ c ）
），所以最大数和最小数的差能被99整除．
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】（1）963﹣369＝594；
（2）495；
（3）（100a+10b+c），（100c+10b+a），（a﹣c）．
【分析】（1）根据题中方法计算求解；
（2）继续计算，找出规律；
（3）根据整式的运算法则列式计算．
【解答】解：（1）第4组：数字6，9，3，则963﹣369＝594，
故答案为：963﹣369＝594；
（2）第5组为：954﹣459＝495，
第6组为：954﹣459＝495，
……，
∴这个数为495，
故答案为：495；
（3）设一组三个数字为a，b，c，不妨设a≥b≥c，且a，b，c不全相等，
第28页（共32页）则最大数可表示为（100a+10b+c），最小数可表示为 （100c+10b+a），
则最大数﹣最小数＝（100a+10b+c）﹣（100c+10b+a）＝99（a﹣c），
所以最大数和最小数的差能被99整除．
故答案为：（100a+10b+c），（100c+10b+a），（a﹣c）．
【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
24．（2025•合肥一模）在数学活动课中．某兴趣小组研究一种公式，写出了下列几组等式：
第1个等式：23﹣13﹣3×2×1＝（2﹣1）3；
第2个等式：33﹣23﹣3×3×2＝（3﹣2）3；
第3个等式：43﹣33﹣3×4×3＝（4﹣3）3；
…
（1）根据上述等式规律：
（ⅰ）第4个等式为：53﹣43﹣3×5×4＝（ 5 ﹣ 4 ）3；
（ⅱ）第n个等式为： （ n + 1 ） 3 ﹣ n 3 ﹣ 3 （ n + 1 ） n ＝（ n +1﹣ n ） 3 ．
（2）小组成员小明和小华进一步探索上述规律：
小明同学猜想a3﹣b3﹣3ab＝（a﹣b）3，其中a，b为正整数．小华同学提出反对意见，并通过如下计
算进行了证明：（a﹣b）3＝a3﹣b3﹣3ab（① a ﹣ b ＝ 1 ）
∴a3﹣b3﹣3ab不一定等于（a﹣b）3．
请你补全①中所缺内容，并直接写出当小明同学猜想成立时，a、b需要满足的数量关系．
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】（1）（Ⅰ）5，4；
（Ⅱ）（n+1）3﹣n3﹣3（n+1）n＝（n+1﹣n）3；
（2）a﹣b＝1，过程见解答．
【分析】（1）根据题中的规律求解；
（2）根据整式的乘法公式求解．
【解答】解：（1）根据上述等式规律：
（ⅰ）第4个等式为：53﹣43﹣3×5×4＝（ 5﹣4）3；
故答案为：5，4；
（ⅱ）第n个等式式为：（n+1）3﹣n3﹣3（n+1）n＝（n+1﹣n）3；
故答案为：（n+1）3﹣n3﹣3（n+1）n＝（n+1﹣n）3；
（2）∵（a﹣b）3
第29页（共32页）＝（a﹣b）2（a﹣b）
＝（a2﹣2ab+b2）（a﹣b）
＝a3﹣a2b﹣2a2b+2ab2+ab2﹣b3
＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，
＝a3﹣b3﹣3ab（a﹣b），
∴①为：a﹣b，
当a﹣b＝1，a3﹣b3﹣3ab等于（a﹣b）3．
故答案为：a﹣b＝1．
【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
25．（2025•庐阳区校级一模）阅读与思考
下面是七年级某同学笔记整理本节选，请仔细阅读并完成相应的任务．
求1+2+3+…+（n﹣1）+n（n为正整数）方法
方法1：“头尾相加法” 把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的
下面，上下的加数加起来再除以2．
S＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，
S＝n+（n﹣1）+（n﹣2）+2+1，
2S＝（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+
（n+1）+（n+1）．
n(n+1)
可得S= ．
2
n(n+1)
即：1+2+3+⋯+(n-1)+n= ．
2
方法2：“递归法” 由完全平方公式可得（n+1）2＝n2+2n+1，
∴（n+1）2﹣n2＝2n+1．
我们列出特殊情况：22﹣12＝2×1+1：
32﹣22＝2×2+1；
42﹣32＝2×3+1；…
（n+1）2﹣n2＝2n+1．
两边分别相加可得，（n+1）2﹣12＝
2S+n．
(n+1) 2-1-n n(n+1)
∴S= = ．
2 2
试用这些方法和结果，可以解决问题．
任务1 计算：2+4+6+…+2026＝ 102718 2 ；
任务2 我们知道：22﹣21＝21；23﹣22＝22；24﹣23
第30页（共32页）＝23；…
则21+22+23+…+2100＝ 2 10 1 ﹣ 2 ．
任务3 1 1
若1×2= ×1×2×3- ×0×1×2；
3 3
请 仿 写 下 去 ， 并 求 1×2+2×3+3×4+…
+167×168的值．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．
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【专题】规律型；运算能力．
【答案】1027182；2101﹣2；1580488．
【 分 析 】 任 务 1 ： 2+4+6+…+2026 ＝ 2× （ 1+2+3+...+1013 ） ， 再 由 公 式
n(n+1)
1+2+3+⋯+(n-1)+n= ，计算求值即可；
2
任务2：21+22+23+…+2100＝（22﹣21）+（23﹣22）+（24﹣23）+...+（2101﹣2100），进而可计算出其值；
1 1 1 1 1 1
任务 3：1×2= ×1×2×3- ×0×1×2，2×3= ×2×3×4- ×1×2×3，3×4= ×3×4×5- ×2×3×4，...，
3 3 3 3 3 3
1 1
167×168= ×167×168×169- ×166×167×168，进而可求出1×2+2×3+3×4+…+167×168的值．
3 3
1013×(1013+1)
【解答】解：任务1：2+4+6+…+2026＝2×（1+2+3+...+1013）＝2× =1013×1014＝
2
1027182，
故答案为：1027182；
任务2：21+22+23+…+2100＝（22﹣21）+（23﹣22）+（24﹣23）+...+（2101﹣2100）＝22﹣21+23﹣22+24﹣
23+...+2101﹣2100＝2101﹣21＝2101﹣2，
故答案为：2101﹣2；
1 1 1 1 1 1
任务 3：1×2= ×1×2×3- ×0×1×2，2×3= ×2×3×4- ×1×2×3，3×4= ×3×4×5- ×2×3×4，...，
3 3 3 3 3 3
1 1
167×168= ×167×168×169- ×166×167×168，
3 3
1 1 1 1 1 1
1×2+2×3+3×4+…+167×168= ×1×2×3- ×0×1×2+ ×2×3×4- ×1×2×3+ ×3×4×5- ×2×3×4+...
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
+ ×167×168×169- ×166×167×168= ×167×168×169- ×0×1×2＝167×56×169﹣0＝1580488．
3 3 3 3
【点评】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律是解本题的关键，需仔细审题掌握阅读材
第31页（共32页）料所给的信息并应用，难度适中．
第32页（共32页）
