文档内容
2026年菁优中考数学压轴训练7
一．选择题（共10小题）
√1
1．（2024•滨江区二模）计算：3 -√27=（ ）
3
A．-3√3 B．-2√3 C．-√3 D．√3
2．（2024•宜都市二模）实数√5的绝对值是（ ）
1
A．√5 B．-√5 C．±√5 D．
√5
3．（2024•复兴区校级模拟）已知x+3√2=5√2，则x的值是（ ）
A．√2 B．2 C．√8 D．√12
√75-3
4．（2024•威县校级三模）计算 ×(5+√3)的结果是（ ）
√3
A．2 B．22 C．25+2√3 D．25-2√3
5．（2024•廉江市校级模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A．√2+√3=√5 B．√15÷√5=√3
C．a6•a2＝a12 D．（a+b）2＝a2+b2
6．（2024•五华区二模）x＝3能使下列某个式子有意义，这个式子是（ ）
√x-3 3
A． B． C．√x-4 D．√-2x
x √x-3
7．（2024•越秀区校级二模）下列各式计算正确的是（ ）
1 1 1
A． + = B．√8+√2=4
2a a 3a
C．-√25=-5 D．（﹣2x）3＝﹣6x3
8．（2024•玄武区校级三模）下列计算正确的是（ ）
A．3√3-√3=3 B．√21÷3=√7
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．（﹣a）2•a＝a3
9．（2024•阳新县二模）下列运算正确的是（ ）
3
A．√2×√3=√6 B．√3÷(-√5)=-
5
C．5a2+a3＝6a5 D．（﹣3a2）3＝﹣9a6
1 1 1 1 1
10．（2024•衡南县模拟） + + +⋯+ + =（ ）
1+√3 √2+2 √3+√5 √97+√99 √98+10
第1页（共21页）9
A．9 B．
2
9+3√11-√2 7+3√11
C． D．
2 2
二．填空题（共10小题）
11．（2023•漳平市一模）计算：（√10）2＝ ．
12．（2023•长洲区校级三模）计算：(√3-√2)×√2= ．
1 1
13．（2023•庐江县一模）已知x+ =3，则√x+ = ．
x √x
14．（2023•吉林二模）若x- y=2，xy=√5，则x2y﹣xy2＝ ．
15．（2023•锦江区校级模拟）已知实数m=√2-1，则代数式m2+2m+1的值为 ．
√1
16．（2023•道外区二模）计算√48-3 的结果是 ．
3
17．（2023•原平市模拟）计算(√3+2) 2-√48的结果为 ．
{√3x+2y=1
18．（2023•潮州模拟）关于x，y的方程组 的解为 ．
x+2y=√3
m 3
19．（2023•三台县模拟）若二次根式√2-m有意义，且关于x的分式方程 +2= 有正整数解，则
1-x x-1
符合条件的整数m的和是 ．
20．（2023•沈丘县三模）若实数x、y满足y=√x-2+√2-x+3，则x＝ ．
三．解答题（共5小题）
21．（2023•三亚一模）计算下列各题：
1
（1）sin245°-√27+ （√3-2006）0+6tan30°
2
sin60°
（2）sin230°﹣cos45°•tan60°+ -tan45°．
cos30°
√8
22．（2022•石门县一模）计算：(√6-√3) 2+(2cos45°-1)( +1)+(√2021) 0．
2
x2-4 1 x+1
23．（2022•凌河区校级三模）给出以下式子：（ - ）÷ ，先简化，然后从﹣1，2，
x2-4x+4 x-2 x+2
2+2√3三个数中，选个合适的数代入求值．
24．（2022•黄岛区一模）提出问题：
第2页（共21页）在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法．
探究一：
如图1在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 2个数值：1，√12+12=√2，以这些
线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、√2．
当斜边长为√2时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个
等腰直角三角形，共有2×2＝4个．
故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个．
探究二：
在 2×2 的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 5 个数值：1，2，√12+12=√2，
√12+22=√5，√22+22=2√2．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种
情况：1、1、√2；√2、√2、2；2、2、2√2．
（1）当斜边长为√2时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有 8条，每条这样的线段对应
着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个．
（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的
线段对应着一个等腰直角三角形；另有 2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直
角三角形，共有4×1+2×2＝8个．
（3）当斜边长为2√2时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应
着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个．
故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4＝28个．
探究三：
如图2在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 个数值．以这些线段组成的
等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、√2；√2、√2、2；2、2、2√2；√5
、√5、√10；3、3、3√2．
（1）当斜边长为√2时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应
着两个等腰直角三角形，共有18×2＝36个．
（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 条在3×3正方形的四周上，每
第3页（共21页）条这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对
应着两个等腰直角三角形，共有 个．
（3）当斜边长为2√2时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应
着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个．
（4）当斜边长为√10时，图形中长为√10的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形；
有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2＝16个．
（5）当斜边长为3√2时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应
着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个．
故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个．
问题解决：
如图3在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 个．
拓展延伸：
如图4在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直
角三角形为底面的直三棱柱的个数为 个．
25．（2022•安徽模拟）[初步感知]在④的横线上直接写出计算结果：
①√13=1；
②√13+23=3；
③√13+23+33=6；
④√13+23+33+43= ．
…
[深入探究]观察下列等式：
(1+2)×2
①1+2= ；
2
第4页（共21页）(1+3)×3
②1+2+3= ；
2
(1+4)×4
③1+2+3+4= ；
2
…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
1+2+3+⋯+n+（n+1）＝ ．
[拓展应用]通过以上[初步感知]与[深入探究]，计算：
（1）√13+23+33+⋯+993+1003；
（2）113+123+133+…+193+203．
第5页（共21页）2026年菁优中考数学压轴训练7
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B B A C D A C
一．选择题（共10小题）
√1
1．（2024•滨江区二模）计算：3 -√27=（ ）
3
A．-3√3 B．-2√3 C．-√3 D．√3
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】先把算式中的二次根式化为最简二次根式，然后进行计算即可．
√3
【解答】解：原式=3× -3√3
3
=√3-3√3
=-2√3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握如何把二次根式化成最简二次根
式．
2．（2024•宜都市二模）实数√5的绝对值是（ ）
1
A．√5 B．-√5 C．±√5 D．
√5
【考点】分母有理化；平方根．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】实数√5的绝对值为√5．
【解答】解：|√5|=√5，
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，关键是正确计算．
3．（2024•复兴区校级模拟）已知x+3√2=5√2，则x的值是（ ）
第6页（共21页）A．√2 B．2 C．√8 D．√12
【考点】二次根式的加减法．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】解方程，求出答案．
【解答】解：∵x+3√2=5√2，
∴x＝5√2-3√2=2√2=√8，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的运算是解题的关键．
√75-3
4．（2024•威县校级三模）计算 ×(5+√3)的结果是（ ）
√3
A．2 B．22 C．25+2√3 D．25-2√3
【考点】二次根式的混合运算．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】，先利用二次根式的性质进行化简，再利用平方差公式计算即可．
√75-3 5√3-3
【解答】解： ×(5+√3)= ×(5+√3)=(5-√3)×(5+√3)=25-3=22，
√3 √3
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题的关键．
5．（2024•廉江市校级模拟）下列运算中，正确的是（ ）
A．√2+√3=√5 B．√15÷√5=√3
C．a6•a2＝a12 D．（a+b）2＝a2+b2
【考点】二次根式的混合运算；同底数幂的乘法；完全平方公式．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加法，除法法则，同底数幂的除法，完全平方公式进行计算，逐一判断即可
解答．
【解答】解：A、√2与√3不能合并，故A不符合题意；
B、√15÷√5=√3，故B符合题意；
C、a6•a2＝a8，故C不符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D不符合题意；
第7页（共21页）故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，同底数幂的除法，完全平方公式，准确熟练地进行计算是
解题的关键．
6．（2024•五华区二模）x＝3能使下列某个式子有意义，这个式子是（ ）
√x-3 3
A． B． C．√x-4 D．√-2x
x √x-3
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
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【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不等于零逐一判断即可．
【解答】解：A．当x＝3时，x﹣3＝0，原式有意义，符合题意；
B．当x＝3时，分母√x-3=0，原式无意义，不符合题意；
C．当x＝3时，x﹣4＝﹣1＜0，原式无意义，不符合题意；
D．当x＝3时，﹣2x＝﹣6＜0，原式无意义，不符合题意；
故选：A．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被
开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
7．（2024•越秀区校级二模）下列各式计算正确的是（ ）
1 1 1
A． + = B．√8+√2=4
2a a 3a
C．-√25=-5 D．（﹣2x）3＝﹣6x3
【考点】二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；分式的加减法．
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【专题】整式；分式；二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】A．先把分式通分，然后按照同分母的分式相加，再根据计算结果进行判断即可；
B．先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式，再根据计算结果进行判断即可；
C．根据二次根式的性质进行化简，然后判断即可；
D．根据积的乘方法则进行计算，再根据计算结果进行判断即可．
1 1 1 2 3
【解答】解：A．∵ + = + = ，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
2a a 2a 2a 2a
B．∵√8+√2=2√2+√2=3√2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵-√25=-5，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
第8页（共21页）D．∵（﹣2x）3＝﹣8x3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的加减运算和整式的有关运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、积的
乘方法则和如何把二次根式化成最简二次根式．
8．（2024•玄武区校级三模）下列计算正确的是（ ）
A．3√3-√3=3 B．√21÷3=√7
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．（﹣a）2•a＝a3
【考点】二次根式的混合运算；同底数幂的乘法；完全平方公式．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】分别根据二次根式的混合运算法则、同底数幂的乘法法则和完全平方公式计算即可得出答案．
【解答】解：A、3√3-√3=2√3，原式计算错误，不符合题意；
√21
B、√21÷3= ，原式计算错误，不符合题意；
3
C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，原式计算错误，不符合题意；
D、（﹣a）2•a＝a2•a＝a3，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数的运算，完全平方公式，幂的乘方和同底数幂乘法计算，熟知相关计算
法则是解题的关键．
9．（2024•阳新县二模）下列运算正确的是（ ）
3
A．√2×√3=√6 B．√3÷(-√5)=-
5
C．5a2+a3＝6a5 D．（﹣3a2）3＝﹣9a6
【考点】二次根式的乘除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘除法，合并同类项和幂的乘方与积的乘方等知识点逐一判断各选项即可．
【解答】解：A、√2×√3=√6，故选项A符合题意；
√3 √15
B、√3÷(-√5)=- =- ，故选项B不符合题意；
√5 5
C、5a2+a3＝a2（5+a），故选项C不符合题意；
D、（﹣3a2）3＝﹣27a6，故选项D不符合题意；
第9页（共21页）故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，合并同类项和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握上述知识点
是解题的关键．
1 1 1 1 1
10．（2024•衡南县模拟） + + +⋯+ + =（ ）
1+√3 √2+2 √3+√5 √97+√99 √98+10
9
A．9 B．
2
9+3√11-√2 7+3√11
C． D．
2 2
【考点】二次根式的混合运算；规律型：数字的变化类；分母有理化．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】先分母有理化，然后化简即可．
1 1 1 1 1
【解答】解： + + +⋯+ +
1+√3 √2+2 √3+√5 √97+√99 √98+10
√3-1 2-√2 √5-√3 √99-√97 10-√98
= + + +⋯+ +
2 2 2 2 2
√3-1+2-√2+√5-√3+⋯+10-√98
=
2
-1-√2+√99+10
=
2
-1-√2+3√11+10
=
2
9+3√11-√2
= ，
2
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、数字的变化类，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2023•漳平市一模）计算：（√10）2＝ 1 0 ．
【考点】二次根式的乘除法．
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【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式乘法运算法则求出答案．
【解答】解：（√10）2＝10．
故答案为：10．
第10页（共21页）【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
12．（2023•长洲区校级三模）计算：(√3-√2)×√2= √6-2 ．
【考点】二次根式的混合运算．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】√6-2．
【分析】先去括号，计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：(√3-√2)×√2
=√3×√2-√2×√2
=√6-2，
故答案为：√6-2．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
1 1
13．（2023•庐江县一模）已知x+ =3，则√x+ = √5 ．
x √x
【考点】二次根式的化简求值；分式的加减法．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】√5．
【分析】先将所求式子根据完全平方公式进行变形，代入求值后，再求平方根即可．
1
【解答】解：∵x+ =3，
x
1 1
∴(√x+ ) 2=x+ +2=5，
√x x
1
∵√x+ ＞0，
√x
1
∴√x+ =√5，
√x
故答案为：√5．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
14．（2023•吉林二模）若x- y=2，xy=√5，则x2y﹣xy2＝ 2√5 ．
【考点】二次根式的化简求值．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】2√5．
【分析】先因式分解得到原式xy（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x﹣y＝2，xy=√5，
第11页（共21页）∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）=√5×2＝2√5．
故答案为：2√5．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．
15．（2023•锦江区校级模拟）已知实数m=√2-1，则代数式m2+2m+1的值为 2 ．
【考点】二次根式的化简求值．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】2．
【分析】先利用完全平方公式得到m2+2m+1＝（m+1）2，然后把m的值代入计算即可．
【解答】解：∵m=√2-1，
∴m2+2m+1＝（m+1）2＝（√2-1+1）2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
√1
16．（2023•道外区二模）计算√48-3 的结果是 3√3 ．
3
【考点】二次根式的加减法．
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【答案】见试题解答内容
【分析】先进行二次根式的化简，再进行同类二次根式的合并即可．
√3
【解答】解：原式＝4√3-3×
3
＝4√3-√3
＝3√3．
故答案为：3√3．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根
式的合并．
17．（2023•原平市模拟）计算(√3+2) 2-√48的结果为 7 ．
【考点】二次根式的混合运算．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】7．
【分析】将√48化为最简二次根式为4√3，再利用完全平方公式计算，最后合并即可．
【解答】解：(√3+2) 2-√48
第12页（共21页）=(√3) 2+2×√3×2+22-4√3
=3+4√3+4-4√3
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题关
键．
{
x=-1
{√3x+2y=1
18．（2023•潮州模拟）关于x，y的方程组 的解为 √3+1 ．
x+2y=√3 y=
2
【考点】二次根式的应用；解二元一次方程组．
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【专题】二次根式；一次方程（组）及应用；运算能力．
{
x=-1
【答案】 √3+1．
y=
2
【分析】把①减②，消去y，求出x，再把x的值代入②得y值即可．
{√3x+2y=1①
【解答】解：
x+2y=√3②
①﹣②得：
(√3-1)x=1-√3，
1-√3
x= ，
√3-1
(1-√3)(√3+1)
x=
(√3-1)(√3+1)
x＝﹣1
把x＝﹣1代入②得：
√3+1
y= ，
2
{
x=-1
∴方程组的解为： √3+1
y=
2
第13页（共21页）{
x=-1
故答案为： √3+1
y=
2
．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组和二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二元一次方程
组的解法．
m 3
19．（2023•三台县模拟）若二次根式√2-m有意义，且关于x的分式方程 +2= 有正整数解，则
1-x x-1
符合条件的整数m的和是 0 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式方程的解．
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【专题】二次根式；分式方程及应用；运算能力．
【答案】0．
m 3
【分析】根据二次根式√2-m有有意义，可得m≤2，解出关于x的分式方程 +2= 的解为x
1-x x-1
m+5
= ，解为正整数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m
2
的所有可能的整数值，求和即可．
m 3
【解答】解： +2= ，
1-x x-1
去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
m+5
解得x= ，
2
m 3
∵关于x的分式方程 +2= 有正整数解，
1-x x-1
m+5
∴ ＞0，
2
∴m＞﹣5，
m+5
又∵x＝1是增根，当x＝1时， =1，即m＝﹣3，
2
∴m≠﹣3，
∵√2-m有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
第14页（共21页）因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣1，1，其和为﹣1+1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正
整数解，整数m的意义是正确解答的关键．
20．（2023•沈丘县三模）若实数x、y满足y=√x-2+√2-x+3，则x＝ 2 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
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【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式有意义被开方数为非负数可得x的值．
{x-2≥0
【解答】解：由题意的， ，
2-x≥0
解得：x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握：二次根式有意义被开方数为非
负数．
三．解答题（共5小题）
21．（2023•三亚一模）计算下列各题：
1
（1）sin245°-√27+ （√3-2006）0+6tan30°
2
sin60°
（2）sin230°﹣cos45°•tan60°+ -tan45°．
cos30°
【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂．
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【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别进行特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂等运算，然后合并；
（2）将特殊角的三角函数值代入求解．
1 1 √3
【解答】解：（1）原式= -3√3+ +6×
2 2 3
＝1-√3；
1 √2
（2）原式= - ×√3+1﹣1
4 2
1 √6
= - ．
4 2
第15页（共21页）【点评】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂
等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
√8
22．（2022•石门县一模）计算：(√6-√3) 2+(2cos45°-1)( +1)+(√2021) 0．
2
【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】11﹣6√2．
【分析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用完全平方公式、平方差公式、零指数幂进行计算，最
后计算加减即可．
√2
【解答】解：原式＝6+3﹣2√18+（2× -1）（√2+1）+1
2
＝9﹣6√2+（√2-1）（√2+1）+1
＝9﹣6√2+2﹣1+1
＝11﹣6√2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是熟练掌握角的三角函数值，掌握计算顺序．
x2-4 1 x+1
23．（2022•凌河区校级三模）给出以下式子：（ - ）÷ ，先简化，然后从﹣1，2，
x2-4x+4 x-2 x+2
2+2√3三个数中，选个合适的数代入求值．
【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值．
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【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先算括号里面的减法，再根据发送到除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的
条件求出x不能为2，﹣2，﹣1，取x＝2+2√3，再代入求出答案即可．
x2-4 1 x+1
【解答】解：（ - ）÷
x2-4x+4 x-2 x+2
(x+2)(x-2) 1 x+2
＝[ - ]•
(x-2) 2 x-2 x+1
x+2 1 x+2
＝（ - ）•
x-2 x-2 x+1
x+2-1 x+2
= •
x-2 x+1
第16页（共21页）x+1 x+2
= •
x-2 x+1
x+2
= ，
x-2
由题意得，x﹣2≠0，x+2≠0，x+1≠0，
则x≠2，x≠﹣2，x≠﹣1，
∴当x=2+2√3时
2+2√3+2 2√3+4 2√3
原式= = =1+ ．
2+2√3-2 2√3 3
【点评】本题考查了分式和二次根式的化简求值，能灵活运用分式和二次根式的运算法则进行计算是
解此题的关键，注意运算顺序．
24．（2022•黄岛区一模）提出问题：
在4×4的正方形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有几个？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法．
探究一：
如图1在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 2个数值：1，√12+12=√2，以这些
线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下一种情况：1、1、√2．
当斜边长为√2时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应着两个
等腰直角三角形，共有2×2＝4个．
故在1×1的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为4个．
探究二：
在 2×2 的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 5 个数值：1，2，√12+12=√2，
√12+22=√5，√22+22=2√2．以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下三种
情况：1、1、√2；√2、√2、2；2、2、2√2．
（1）当斜边长为√2时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有 8条，每条这样的线段对应
着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个．
（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有6条，其中有4条在2×2正方形的四周上，每条这样的
线段对应着一个等腰直角三角形；另有 2条在2×2正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰直
角三角形，共有4×1+2×2＝8个．
第17页（共21页）（3）当斜边长为2√2时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应
着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个．
故在2×2的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为16+8+4＝28个．
探究三：
如图2在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度可取 9 个数值．以这些线段组成的等
腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下五种情况：1、1、√2；√2、√2、2；2、2、2√2；√5、
√5、√10；3、3、3√2．
（1）当斜边长为√2时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应
着两个等腰直角三角形，共有18×2＝36个．
（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 8 条在3×3正方形的四周上，每条
这样的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 8 条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着
两个等腰直角三角形，共有 8+8× 2 ＝ 2 4 个．
（3）当斜边长为2√2时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应
着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16个．
（4）当斜边长为√10时，图形中长为√10的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形；
有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2＝16个．
（5）当斜边长为3√2时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应
着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4个．
故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 36+24+16+16+ 4 ＝ 9 6 个．
问题解决：
如图3在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为 24 4 个．
拓展延伸：
如图4在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰直
角三角形为底面的直三棱柱的个数为 4 8 个．
【考点】二次根式的应用；勾股定理；勾股定理的逆定理．
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【专题】推理填空题；推理能力．
第18页（共21页）【答案】探究三：9、8、8、8+8×2＝24、36+24+16+16+4＝96，
问题解决：244，
问题解决：68．
【分析】探究三，仿照探究一、二，在此基础的基础上，再根据等腰直角三角形的判定进行求解．
问题解决和拓展延伸是探究一、二、三的基础找规律，从而得到答案．
【解答】解：在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的线段长度有：1、2、3、√2、√5、√10、
√13、2√2、3√2共9个．
（1）当斜边长为√2时，斜边一定是1×1正方形的对角线，这样的线段有18条，每条这样的线段对应
着两个等腰直角三角形，共有18×2＝36个．
（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有16条，其中有 8条在3×3正方形的四周上，每条这样
的线段对应着一个等腰直角三角形；另有 8条在3×3正方形的内部，每条这样的线段对应着两个等腰
直角三角形，共有 8+8×2＝24．
（3）当斜边长为2√2时，斜边一定是2×2正方形的对角线，这样的线段有8条，每条这样的线段对应
着两个等腰直角三角形，共有8×2＝16．
（4）当斜边长为√10时，图形中长为√10的线段有12条，其中有8条对应着一个等腰直角三角形；
有4条对应着两个等腰直角三角形，共有8×1+4×2＝16．
（5）当斜边长为3√2时，斜边一定是3×3正方形的对角线，这样的线段有2条，每条这样的线段对应
着两个等腰直角三角形，共有2×2＝4．
故在3×3的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为36+24+16+16+4＝96．
如图3，在4×4的正方形方格纸上，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为244．
拓展延伸：
如图4，在2×2×1的长方体中，以格点为顶点（每个1×1×1小正方体的顶点均为格点），并且以等腰
直角三角形为底面的直三棱柱的个数为68个．
【点评】本题考查了勾股定理和逆定理，及等腰直角三角形的判定．熟练掌握基础知识是解题的关键．
25．（2022•安徽模拟）[初步感知]在④的横线上直接写出计算结果：
①√13=1；
②√13+23=3；
③√13+23+33=6；
第19页（共21页）④√13+23+33+43= 1 0 ．
…
[深入探究]观察下列等式：
(1+2)×2
①1+2= ；
2
(1+3)×3
②1+2+3= ；
2
(1+4)×4
③1+2+3+4= ；
2
…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
(n+2)(n+1)
1+2+3+⋯+n+（n+1）＝ ．
2
[拓展应用]通过以上[初步感知]与[深入探究]，计算：
（1）√13+23+33+⋯+993+1003；
（2）113+123+133+…+193+203．
【考点】二次根式的性质与化简；规律型：数字的变化类；整式的加减．
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【专题】计算题；实数；运算能力．
(n+2)(n+1)
【答案】④10； ；（1）5050；（2）41075．
2
【分析】④根据前三个式子的结果直接写出答案；
根据以上等式的规律直接写出答案；
（1）根据规律直接写出答案；
（2）先把原式化为13+23+33+⋯+183+193+203﹣（13+23+33+⋯+103），根据规律写出算式，然后计算．
【解答】解：④√13+23+33+43=10，
故答案为：10；
(n+2)(n+1)
1+2+3+⋯+n+（n+1）= ，
2
(n+2)(n+1)
故答案为： ；
2
（1）原式＝1+2+3+4+5+⋯+99+100
第20页（共21页）(1+100)×100
=
2
＝5050；
（2）原式＝13+23+33+⋯+183+193+203﹣（13+23+33+⋯+103）
202×212 102×112
= -
4 4
400×441 100×121
= -
4 4
＝44100﹣3025
＝41075．
【点评】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的
应用，其中探求规律是解题关键．
第21页（共21页）
