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2026年菁优中考数学压轴训练8
一．选择题（共10小题）
1．（2024•防城港二模）下列方程的解是x＝3的是（ ）
A．2x﹣3＝3 B．x+1＝5 C．3x+1＝8 D．x﹣1＝2x+2
2．（2024•新化县模拟）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的
1 1 1 1 1 1 1 1
思想，比如在1 + + + + +⋯中，“…”代表按规律不断求和，设 1 + + + + +⋯=
2 22 23 24 2 22 23 24
1 1 1 1 1 1 1 1
x．则有x＝1+ x，解得x＝2，故1 + + + + +⋯= 2．类似地1 + + + +⋯的结果为（
2 2 22 23 24 32 34 36
）
4 9 6
A． B． C． D．2
3 8 5
3．（2024•庐江县二模）若方程|x+2|+|﹣x﹣4|＝m无解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．﹣4＜m＜﹣2 D．m＜2
4．（2024•峰峰矿区校级模拟）《九章算术》有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人
出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出 400钱，则多出3400钱；
每人出300钱，则多出100钱．则合伙买金人数共有（ ）
A．33人 B．32人 C．30人 D．29人
5．（2024•市中区模拟）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今
不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走 100步，
走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步为长度单
位）．设走路快的人要走x步才能追上，则正确的是（ ）
100
A．依题意 x=100-x
60
60
B．依题意x=100+ x
100
C．走路快的人要走200步才能追上
D．走路快的人要走300步才能追上
6．（2024•常德三模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步
不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程 378里，第一天健
第1页（共21页）步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则
此人第一天走的路程为（ ）
A．24里 B．48里 C．96里 D．192里
7．（2024•楚雄市二模）云南蒙自石榴是全国特色水果之一，是全国农产品地理标志．它的果实呈浅红色，
果肉挺实，丰厚鲜美，甜酸娇嫩，口感宜人，有清热解毒、良性收敛肌肤等功效，深受群众喜爱，成
为人们日常生活中不可缺少的美食．小红到水果批发市场购买石榴，店里标注石榴每千克 20元，她与
老板经过议价，老板同意在购买很多的情况下，按原价打九折卖给小红．称完质量后，老板告诉小红：
“你比上一位顾客多买了5千克，打折后你比他按原价购买还少花10元．”则小红购买石榴的质量是
（ ）
A．45千克 B．50千克 C．55千克 D．60千克
8．（2024•拱墅区校级模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．其中记载了
“百羊问题”：甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，所得这般一
群凑（再多这样一群羊），再添半群小半（四分之一）群，得你一只来方凑（正好一百），玄机奥妙
谁猜透？设这群羊共有x只，则（ ）
1 1 1 1
A．x+ x+ x=100 B．x+ x+ x+1=100
2 4 2 4
1 1 1 1
C．x+x+ x+ x=100 D．x+x+ x+ x+1=100
2 4 2 4
9．（2024•内蒙古一模）定义新运算“※”，规定：a※b＝2a﹣b，则方程 x※（﹣2）＝6 的解为
（ ）
A．x＝﹣10 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝4
10．（2024•庐阳区校级二模）据省统计局发布，2023年我省有效发明专利数比2022年增长27.1%．假定
2024 年的年增长率保持不变，2022 年和 2024 年我省有效发明专利分别为 a 万件和 b 万件，则
（ ）
A．b＝（1+27.1%×2）a B．b＝（1+27.1%）2a
C．b＝（1+27.1%）×2a D．b＝27.1%×2a
二．填空题（共10小题）
11．（2022•长春）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到
店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住 7人，则余下7人
无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为 ．
12．（2022•香坊区一模）在某年全国足球中超联赛的前 11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，
第2页（共21页）按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜了 场．
13．（2021秋•岑溪市期末）方程2x﹣6＝0的解是 ．
14．（2022•定海区一模）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人
合伙买一只羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设羊
价为x钱，所列方程是 ．
15．（2022•大连模拟）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若
将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三
等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深
各多少尺？假设绳长为x尺，则可列方程为 ．
16．（2022•高唐县一模）已知关于x的方程3x﹣2k＝2的解是x＝k﹣2，则k的值是 ．
17．（2022•渭源县模拟）暑假期间，渭宾眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告表，请你为
广告牌填上原价．
原价： 元
暑假八折优惠，现价：100元
18．（2022•重庆模拟）每年3﹣6月都是草莓、樱桃、枇杷销售的旺季，水果批发商都会大量采购．为了
获得最大利润，批发商需要统计数据，更好地囤货．4月份某水果批发商统计前半个月销量后发现，
1
草莓、樱桃销量相同，枇杷销量比草莓多 ．随着气温升高，后半个月水果总销量将在前半个月基础
3
上有所增加，但草莓由于已过销售旺季，后半个月与前半个月相比，销量会有所减少．该水果批发商
预计：后半个月樱桃与枇杷的销量之比为3：2，且4月份樱桃总销量与4月份枇杷总销量之比为51：
44，后半个月草莓减少的量与后半个月三种水果的总销量之比为1：14．照此预算，樱桃后半个月增
加的销量与后半个月三种水果的总销量之比为 ．
19．（2022•南川区模拟）夏天到了，体育中心为吸引顾客，在5月份的时候开设了一个夜市，分为运动
体验区、物资补给区和休闲娱乐区，三者摊位数量之比为5：4：3，城管对每个摊位收取60元/月的管
2
理费，到了6月份，由于顾客人数增加，该体育中心扩大夜市规模，并将新增摊位数量的 用于运动
5
9
体验区，结果运动体验区的摊位数占到了体育中心总摊位数量的 ，同时城管将运动体验区、物资补
22
给区和休闲娱乐区每个摊位每月的管理费按50元、40元、30元收取，结果城管6月份收到的管理费
第3页（共21页）1
比5月份增加了 ，则休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市6月的总摊位数量之比是 ．
4
20．（2022•盐湖区校级模拟）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百里．驽马日行一百二十里．
驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120
里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？则快马 天可追上慢马．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•福田区一模）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点0的距离，叫做这个有理数的绝对值．
例如：|2|＝|2﹣0|，它表示数轴上有理数2的点到原点0的距离；另外观察数轴，容易发现有理数2表
示的点到原点0的距离是2个单位长度，所以|2|＝|2﹣0|＝2（如图1）．同样的，数轴上表示m和表示
n的两个有理数之间的距离可以用|m﹣n|来表示．例如：数轴上表示﹣3的点到表示2的点的距离用|﹣
3﹣2|表示；观察数轴，容易发现表示﹣3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，从而得到：|﹣3﹣
2|＝5（如图2）．
以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据
以上学到的方法完成下列任务解答：
（1）填空：数轴上表示3的点和表示﹣5的点之间的距离为 ；
（2）若|x﹣3|＝2，求x所表示的有理数．
（3）设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题：
①代数式|x﹣4|+|x+1|有最小值吗？有最大值吗？若有，请求出相应的最值．
②若|x﹣4|+|x+1|＝7，求x的值．
22．（2024•琼山区校级三模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子
一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，
用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，求绳索长多少尺？
23．（2025•西城区校级模拟）如图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨
房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．
若每平方米木地板和瓷砖的价格之比是5：3，求每平方米木地板和瓷砖的价格．
第4页（共21页）24．（2023秋•台江区校级期末）新华书店准备订购一批图书，现有甲、乙两个供应商，均标价每本 40
元．为了促销，甲说：“凡来我处购书一律九折．”乙说：“如果购书超出 100本，则超出的部分打
八折．”
（1）若新华书店准备订购150本图书，请分别求出去甲、乙两处需支付的钱数．
（2）若新华书店去甲、乙两处需支付的钱数一样，则新华书店准备订购多少本图书？
25．（2025•碑林区校级三模）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四
十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天
走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，求快马几天可以追上慢马．
第5页（共21页）2026年菁优中考数学压轴训练8
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D A B D C D C B
一．选择题（共10小题）
1．（2024•防城港二模）下列方程的解是x＝3的是（ ）
A．2x﹣3＝3 B．x+1＝5 C．3x+1＝8 D．x﹣1＝2x+2
【考点】一元一次方程的解．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】把x＝3代入方程中，进行检验即可判断出正确选项．
【解答】解：A选项中，把x＝3代入方程中，左边＝3，右边＝3，左边＝右边，故A选项符合题意；
B选项中，把x＝3代入方程中，左边＝4，右边＝5，左边≠右边，故B选项不符合题意；
C选项中，把x＝3代入方程中，左边＝10，右边＝8，左边≠右边，故C选项不符合题意；
D选项中，把x＝3代入方程中，左边＝2，右边＝8，左边≠右边，故D选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，关键用代入法对方程的解加以检验．
2．（2024•新化县模拟）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的
1 1 1 1 1 1 1 1
思想，比如在1 + + + + +⋯中，“…”代表按规律不断求和，设 1 + + + + +⋯=
2 22 23 24 2 22 23 24
1 1 1 1 1 1 1 1
x．则有x＝1+ x，解得x＝2，故1 + + + + +⋯= 2．类似地1 + + + +⋯的结果为（
2 2 22 23 24 32 34 36
）
4 9 6
A． B． C． D．2
3 8 5
【考点】解一元一次方程；规律型：图形的变化类．
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【专题】规律型；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
第6页（共21页）1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
【分析】设1+ + + +⋯=x，知1+ + + +⋯=1+ (1+ + + +⋯)，据此可得
32 34 36 32 34 36 32 32 34 36
1
x=1+ x，再进一步求解可得．
32
1 1 1
【解答】解：设1+ + + +⋯=x，
32 34 36
1 1 1 1 1 1 1
则1+ + + +⋯=1+ (1+ + + +⋯)，
32 34 36 32 32 34 36
1
∴x=1+ x，
32
9
解得x= ，
8
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去
括号、移项、合并同类项、系数化为1．
3．（2024•庐江县二模）若方程|x+2|+|﹣x﹣4|＝m无解，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．﹣4＜m＜﹣2 D．m＜2
【考点】含绝对值符号的一元一次方程．
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【答案】D
【分析】解答时运用分类讨论：当x≤﹣4，﹣4＜x≤﹣2，x＞﹣2，根据绝对值的意义去绝对值，求得m
的范围．
【解答】解：当x＜﹣4时，原式＝﹣x﹣2﹣x﹣4＝﹣2x﹣6＝m，x＝﹣m+6＜4，m＞2；
当﹣4≤x≤﹣2时，原式：＝﹣x﹣2+x+4＝m，m＝2；
当x＞﹣2时，原式＝x+2+x+4＝m，x＝﹣m+6＞﹣2，m＜4，
综上，m＜2时方程|x+2|+|﹣x﹣4|＝m无解，
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a，题目难度
不大，运用分类讨论的思想是解答该题的关键．
4．（2024•峰峰矿区校级模拟）《九章算术》有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人
出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出 400钱，则多出3400钱；
每人出300钱，则多出100钱．则合伙买金人数共有（ ）
A．33人 B．32人 C．30人 D．29人
【考点】一元一次方程的应用．
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第7页（共21页）【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题意可知：人数×400﹣3400＝人数×300﹣100，然后列出相应的方程，求解即可．
【解答】解：设合伙买金人数共有x人，
由题意可得：400x﹣3400＝300x﹣100，
解得x＝33，
答：合伙买金人数共有33人，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方
程．
5．（2024•市中区模拟）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今
不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走 100步，
走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步为长度单
位）．设走路快的人要走x步才能追上，则正确的是（ ）
100
A．依题意 x=100-x
60
60
B．依题意x=100+ x
100
C．走路快的人要走200步才能追上
D．走路快的人要走300步才能追上
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，
即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
x
【解答】解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走 ×60，
100
x
依题意，得： ×60+100＝x．
100
解得：x＝250，
则走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，
由题意得：x：600＝100：60，
第8页（共21页）∴x＝1000，
∴1000﹣600﹣100＝300，
则：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
6．（2024•常德三模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步
不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程 378里，第一天健
步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则
此人第一天走的路程为（ ）
A．24里 B．48里 C．96里 D．192里
【考点】一元一次方程的应用；数学常识．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据“六天的路程和＝378里”列方程求解．
【解答】解：设此人第一天走的路程为x里，
1 1 1 1 1
则x+ x+ x+ x+ x+ x＝378，
2 4 8 16 32
解得：x＝192，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
7．（2024•楚雄市二模）云南蒙自石榴是全国特色水果之一，是全国农产品地理标志．它的果实呈浅红色，
果肉挺实，丰厚鲜美，甜酸娇嫩，口感宜人，有清热解毒、良性收敛肌肤等功效，深受群众喜爱，成
为人们日常生活中不可缺少的美食．小红到水果批发市场购买石榴，店里标注石榴每千克 20元，她与
老板经过议价，老板同意在购买很多的情况下，按原价打九折卖给小红．称完质量后，老板告诉小红：
“你比上一位顾客多买了5千克，打折后你比他按原价购买还少花10元．”则小红购买石榴的质量是
（ ）
A．45千克 B．50千克 C．55千克 D．60千克
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】销售问题；应用意识．
【答案】C
第9页（共21页）9
【分析】设小红购买石榴的质量是x千克，则小红购买石榴花费的钱数为 ×20x元，而上一位顾客
10
9
购买石榴花费的钱数为20（x﹣5）元，于是列方程得20（x﹣5）- ×20x＝10，解方程求出x的值即
10
得到问题的答案．
【解答】解：设小红购买石榴的质量是x千克，
9
根据题意得20（x﹣5）- ×20x＝10，
10
解得x＝55，
∴小红购买石榴的质量是55千克，
故选：C．
【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数
式表示小红及上一位顾客购买石榴各自花费的钱数是解题的关键．
8．（2024•拱墅区校级模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．其中记载了
“百羊问题”：甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，所得这般一
群凑（再多这样一群羊），再添半群小半（四分之一）群，得你一只来方凑（正好一百），玄机奥妙
谁猜透？设这群羊共有x只，则（ ）
1 1 1 1
A．x+ x+ x=100 B．x+ x+ x+1=100
2 4 2 4
1 1 1 1
C．x+x+ x+ x=100 D．x+x+ x+ x+1=100
2 4 2 4
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
1 1
【分析】设这群羊有x只，根据甲乙对话列出方程x+x+ x+ x+1=100即可．
2 4
【解答】解：原文的意思是：甲赶着一群羊在草地上往前走，乙牵着一只羊从后面跟来，问甲：“你
这群羊有100只吗？”甲说：“如果再多这样一群羊，再加上原来羊群的一半，又加上原来羊群的一
半的一半，连你牵着的这只羊也算进去，才刚好凑满一百只．”请问甲赶着多少只羊？设这群羊有 x
1 1
只，则可列方程为x+x+ x+ x+1=100，
2 4
故选：D．
第10页（共21页）【点评】此题考查了一元一次方程的实际应用﹣古代问题，正确理解题意确定等量关系列得方程是解
题的关键．
9．（2024•内蒙古一模）定义新运算“※”，规定：a※b＝2a﹣b，则方程 x※（﹣2）＝6 的解为
（ ）
A．x＝﹣10 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝4
【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】由题意得，x※（﹣2）＝2x﹣（﹣2）＝6，可解得x的值，即方程x※（﹣2）＝6的解．
【解答】解：由题意得，x※（﹣2）＝2x﹣（﹣2）＝6，
解得：x＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次方程，关键是计算正确．
10．（2024•庐阳区校级二模）据省统计局发布，2023年我省有效发明专利数比2022年增长27.1%．假定
2024 年的年增长率保持不变，2022 年和 2024 年我省有效发明专利分别为 a 万件和 b 万件，则
（ ）
A．b＝（1+27.1%×2）a B．b＝（1+27.1%）2a
C．b＝（1+27.1%）×2a D．b＝27.1%×2a
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；列代数式．
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【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意可知2023年我省有效发明专利数为（1+23%）a万件，2024年我省有效发明专利数
为（1+23%）（1+23%）a，再结合题意即可解答．
【解答】解：由题意得：2023年我省有效发明专利数为（1+27.1%）a万件，
2024年我省有效发明专利数为（1+27.1%）（1+27.1%）a万件，即b＝（1+27.1%）2a万件．
故选：B．
【点评】本题主要考查了增长率问题，弄清题意、找到各量之间的数量关系是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2022•长春）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到
店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住 7人，则余下7人
无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为 8 ．
第11页（共21页）【考点】一元一次方程的应用；数学常识．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】8
【分析】由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程求得．
【解答】解：依题意得：
7x+7＝9（x﹣1），
解得：x＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．
12．（2022•香坊区一模）在某年全国足球中超联赛的前 11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，
按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜了 6 场．
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】可设该队共胜了x场，根据“11场比赛保持连续不败”，那么该队平场的场数为11﹣x，由
题意可得出：3x+（11﹣x）＝23，解方程求解．
【解答】解：设该队共胜了x场，
根据题意得：3x+（11﹣x）＝23，
解得x＝6．
故该队共胜了6场．
故答案为：6．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，列一元一次方程解足球赛问题的关键是抓住胜的场数与平
的场数的关系，根据积分总数列出方程．
13．（2021秋•岑溪市期末）方程2x﹣6＝0的解是 x ＝ 3 ．
【考点】解一元一次方程．
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【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先将常数项﹣6移到等式的右边，然后化未知数的系数为1．
【解答】解：由原方程移项，得2x＝6，
化未知数的系数为1，得x＝3．
故答案为：x＝3．
【点评】考查了解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．
第12页（共21页）14．（2022•定海区一模）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人
合伙买一只羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设羊
x-45 x-3
价为x钱，所列方程是 = ．
5 7
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
x-45 x-3
【答案】 = ．
5 7
x-45 x-3
【分析】设羊价为x钱，根据题意可得合伙的人数为 或 ，由合伙人数不变可得方程．
5 7
【解答】解：设羊价为x钱，
x-45 x-3
根据题意可得方程： = ，
5 7
x-45 x-3
故答案为： = ．
5 7
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列
出相应的方程．
15．（2022•大连模拟）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若
将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三
等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深
1 1
各多少尺？假设绳长为x尺，则可列方程为 x-4= x-1 ．
3 4
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
1 1
【答案】 x-4= x-1．
3 4
【分析】设绳长为x尺，根据水井的深度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
1 1
【解答】解：假设绳长为x尺，则可列方程为 x-4= x-1．
3 4
1 1
故答案为： x-4= x-1．
3 4
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
第13页（共21页）16．（2022•高唐县一模）已知关于x的方程3x﹣2k＝2的解是x＝k﹣2，则k的值是 8 ．
【考点】一元一次方程的解．
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【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝k﹣2代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把x＝k﹣2代入方程得：3（k﹣2）﹣2k＝2，
去括号得：3k﹣6﹣2k＝2，
解得：k＝8，
故答案为：8
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
17．（2022•渭源县模拟）暑假期间，渭宾眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告表，请你为
广告牌填上原价．
原价： 12 5 元
暑假八折优惠，现价：100元
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】125．
【分析】设广告牌上的原价为x元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之
即可得出结论．
【解答】解：设广告牌上的原价为x元，
依题意，得：0.8x＝100，
解得：x＝125．
故答案为：125．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
18．（2022•重庆模拟）每年3﹣6月都是草莓、樱桃、枇杷销售的旺季，水果批发商都会大量采购．为了
获得最大利润，批发商需要统计数据，更好地囤货．4月份某水果批发商统计前半个月销量后发现，
1
草莓、樱桃销量相同，枇杷销量比草莓多 ．随着气温升高，后半个月水果总销量将在前半个月基础
3
上有所增加，但草莓由于已过销售旺季，后半个月与前半个月相比，销量会有所减少．该水果批发商
预计：后半个月樱桃与枇杷的销量之比为3：2，且4月份樱桃总销量与4月份枇杷总销量之比为51：
44，后半个月草莓减少的量与后半个月三种水果的总销量之比为1：14．照此预算，樱桃后半个月增
第14页（共21页）3
加的销量与后半个月三种水果的总销量之比为 ．
10
【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算．
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【专题】销售问题；一次方程（组）及应用；应用意识．
3
【答案】 ．
10
4
【分析】设前半个月草莓、樱桃销量为x，则枇杷销量为 x，设后半个月樱桃销量为3y，则后半个月
3
枇杷的销量2y，设后半个月草莓销量为z，根据4月份樱桃总销量与4月份枇杷总销量之比为51：44
和后半个月草莓减少的量与后半个月三种水果的总销量之比为 1：14，列方程，用含x的代数式表示y
和z，再用代数式表示樱桃后半个月新增的销量与后半个月三种水果的总销量之比，即可得到答案．
1
【解答】解：∵前半个月草莓、樱桃销量相同，枇杷销量比草莓多 ，
3
1 4
∴设前半个月草莓、樱桃销量为x，则枇杷销量为（1+ ）x= x，
3 3
∵后半个月樱桃与枇杷的销量之比为3：2，
∴设后半个月樱桃销量为3y，则后半个月枇杷的销量2y，
设后半个月草莓销量为z，
∵4月份樱桃总销量与4月份枇杷总销量之比为51：44，
x+3 y 51
= 4
∴4 44，变形化简得y= x，
x+2y 5
3
∵后半个月草莓减少的量与后半个月三种水果的总销量之比为1：14，
x-z 1 14 1
∴ = ，变形化简得z= x- y，
3 y+2y+z 14 15 3
14 1 4 2
∴z= x- × x= x，
15 3 5 3
∴ 樱 桃 后 半 个 月 新 增 的 销 量 与 后 半 个 月 三 种 水 果 的 总 销 量 之 比 为
4
3× x-x
3 y-x 5 3
= = ．
3 y+2y+z 4 4 2 10
3× x+2× x+ x
5 5 3
3
故答案为： ．
10
第15页（共21页）【点评】本题考查一次方程组的应用，解题的关键是根据已知找等量列方程，再变形，用含 x的代数
式表示y、z．
19．（2022•南川区模拟）夏天到了，体育中心为吸引顾客，在5月份的时候开设了一个夜市，分为运动
体验区、物资补给区和休闲娱乐区，三者摊位数量之比为5：4：3，城管对每个摊位收取60元/月的管
2
理费，到了6月份，由于顾客人数增加，该体育中心扩大夜市规模，并将新增摊位数量的 用于运动
5
9
体验区，结果运动体验区的摊位数占到了体育中心总摊位数量的 ，同时城管将运动体验区、物资补
22
给区和休闲娱乐区每个摊位每月的管理费按50元、40元、30元收取，结果城管6月份收到的管理费
1
比5月份增加了 ，则休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市6月的总摊位数量之比是 2 ： 1 1 ．
4
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；模型思想．
【答案】2：11．
【分析】先设运动体验区、物资补给区和休闲娱乐区三者摊位数量为5a个，4a，个3a个，6月份新增
2
的总摊位数为b个，运动体验区的新增摊位数为 b个，物资补给区新增摊位数为x，则休闲娱乐区的
5
3
新增的摊位数为（ b﹣x）个，表示出运动体验区的摊位数为和6月份总摊位，根据运动体验区的摊
5
9 1
位数占到了体育中心总摊位数量的 ，得到b＝10a，再根据6月份收到的管理费比5月份增加了 ，
22 4
列出方程，求得x＝2a，然后再求休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市6月的总摊位数量之比即可．
【解答】解：设运动体验区、物资补给区和休闲娱乐区三者摊位数量为5a个，4a，个3a个，
则5月份的管理费为（3a+5a+4a）×60＝720a元．
2
设6月份新增的总摊位数为b个，运动体验区的新增摊位数为 b个，
5
2
则运动体验区的摊位数为（5a+ b）个，
5
则6月份总摊位有（12a+b）个，
2
5a+ b
∴ 5 9 ，
=
12a+b 22
第16页（共21页）解得，b＝10a，
3
设物资补给区新增摊位数为x，则休闲娱乐区的新增的摊位数为（ b﹣x）个，
5
2 3 1
则6月份的管理费为50（5a+ b）+40（x+4a）+30（ b﹣x+3a）＝720a（1+ ），
5 5 4
解得，x＝2a，
3
∴休闲娱乐区的新增的摊位数为 b﹣x＝6a﹣2a＝4a，
5
该夜市6月的总摊位数为12a+b＝22a，
4a 2
∴休闲娱乐区新增的摊位数量与该夜市6月的总摊位数量之比是 = =2：11，
22a 11
故答案为：2：11．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解答此题的关键．
20．（2022•盐湖区校级模拟）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百里．驽马日行一百二十里．
驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120
里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？则快马 1 8 天可追上慢马．
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得200x＝120x+120×12．
解得x＝18．
即快马18天可以追上慢马．
故答案为：18．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•福田区一模）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点0的距离，叫做这个有理数的绝对值．
例如：|2|＝|2﹣0|，它表示数轴上有理数2的点到原点0的距离；另外观察数轴，容易发现有理数2表
示的点到原点0的距离是2个单位长度，所以|2|＝|2﹣0|＝2（如图1）．同样的，数轴上表示m和表示
n的两个有理数之间的距离可以用|m﹣n|来表示．例如：数轴上表示﹣3的点到表示2的点的距离用|﹣
3﹣2|表示；观察数轴，容易发现表示﹣3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，从而得到：|﹣3﹣
第17页（共21页）2|＝5（如图2）．
以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据
以上学到的方法完成下列任务解答：
（1）填空：数轴上表示3的点和表示﹣5的点之间的距离为 8 ；
（2）若|x﹣3|＝2，求x所表示的有理数．
（3）设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题：
①代数式|x﹣4|+|x+1|有最小值吗？有最大值吗？若有，请求出相应的最值．
②若|x﹣4|+|x+1|＝7，求x的值．
【考点】一元一次方程的应用；有理数；数轴；绝对值；非负数的性质：绝对值．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）8；
（2）x＝5或x＝1；
（3）①最小值5，没有最大值；
②x＝﹣2或x＝5．
【分析】（1）根据两点之间的距离公式求解；
（2）根据绝对值的意义求解；
（3）①根据数形结合思想求解；
②根据绝对值的意义分类讨论，解方程．
【解答】解：（1）|﹣5﹣3|＝8，
故答案为：8；
（2）解|x﹣3|＝2，
得：x＝5或x＝1；
（3）①代数式|x﹣4|+|x+1|表示数x的点到4和﹣1的距离的和，
∴|x﹣4|+|x+1|≥4﹣（﹣1）＝5，
∴代数式|x﹣4|+|x+1|有最小值5，没有最大值；
②当x≤﹣1时，|x﹣4|+|x+1|＝4﹣x﹣x﹣1＝7，
解得：x＝﹣2，
当﹣1＜x≤4时，|x﹣4|+|x+1|＝4﹣x+x+1＝5≠7，
第18页（共21页）无解，
当x＞4时，|x﹣4|+|x+1|＝﹣4+x+x+1＝7，
解得：x＝5，
综上所述：x＝﹣2或x＝5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解两点之间的距离公式是解题的关键．
22．（2024•琼山区校级三模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子
一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，
用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，求绳索长多少尺？
【考点】一元一次方程的应用；数学常识．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】绳索长20尺．
【分析】设竿长x尺，则绳索长（x+5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可
得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设竿长x尺，则绳索长（x+5）尺，
1
依题意得：x- （x+5）＝5，
2
解得x＝15，
所以x+5＝20．
答：绳索长20尺．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解
题的关键．
23．（2025•西城区校级模拟）如图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨
房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．
若每平方米木地板和瓷砖的价格之比是5：3，求每平方米木地板和瓷砖的价格．
第19页（共21页）【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】150元，90元．
【分析】设每平方米木地板的价格为5x元，则每平方米瓷砖的价格为3x元，根据总费用为10000元列
方程解答即可．
【解答】解：设每平方米木地板的价格为5x元，则每平方米瓷砖的价格为3x元，根据题意得：
[6×4+（6﹣3）×（5+2﹣3）+5×3]•5x+3×2×2×3x+1270＝10000，
解得x＝30，
∴每平方米木地板的价格为：5×30＝150（元），每平方米瓷砖的价格为：3×30＝90（元），
答：每平方米木地板和瓷砖的价格分别为150元，90元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
24．（2023秋•台江区校级期末）新华书店准备订购一批图书，现有甲、乙两个供应商，均标价每本 40
元．为了促销，甲说：“凡来我处购书一律九折．”乙说：“如果购书超出 100本，则超出的部分打
八折．”
（1）若新华书店准备订购150本图书，请分别求出去甲、乙两处需支付的钱数．
（2）若新华书店去甲、乙两处需支付的钱数一样，则新华书店准备订购多少本图书？
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】销售问题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
9 8
【分析】（1）由算式40× ×150可求出去甲处需要的钱数，由算式40×100+40× ×（150﹣100）
10 10
可求出去乙处需要的钱数；
第20页（共21页）9 8
（2）新华书店准备订购x本图书，则去甲处需要（40× x）元，到乙处需要[40×100+40× ×（x
10 10
9 8
﹣100）]元，于是列方程得40× x＝40×100+40× ×（x﹣100），解方程求出x的值即可．
10 10
9
【解答】解：（1）40× ×150＝5400（元），
10
8
40×100+40× ×（150﹣100）＝5600（元），
10
答：去甲、乙两处需支付的钱数分别为5400元、5600元．
（2）新华书店准备订购x本图书，
9 8
根据题意得40× x＝40×100+40× ×（x﹣100），
10 10
解得x＝200，
答：新华书店准备订购200本图书．
【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数
式表示去甲、乙两处购书分别需要支付的钱数是解题的关键．
25．（2025•碑林区校级三模）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四
十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天
走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，求快马几天可以追上慢马．
【考点】一元一次方程的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设快马x天追上慢马，根据马跑过的路程相等可列方程，解方程即可求解．
【解答】解：设快马x天追上慢马，
240x＝150（x+12），
8x＝5（x+12），
∴x＝20，
答：快马20天追上慢马．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，读懂题意解题的关键．
第21页（共21页）
