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2026年菁优杭州中考数学终极押题密卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
1
A．2024 B．
2024
1
C．- D．以上都不是
2024
2．（3分）如图，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，则∠CFG可以表示为（ ）
A．180°﹣x B．90°+x C．90°﹣x D．180°﹣2x
3．（3分）在《哪吒之魔童闹海》等影片的带动下，今年的中国电影市场火热开局，一季度的电影票房
达到244亿元.244亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.244×1010 B．2.44×109
C．2.44×1010 D．244×108
4．（3分）如图几何体中，主视图是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
5
5．（3分）关于反比例函数y= ，下列说法中错误的是（ ）
x
A．它的图象位于第一、三象限
B．当1＜x＜5时，1＜y＜5
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜﹣2时，y＜﹣2.5
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把
第1页（共31页）1
△ABO缩小到原来的 ，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
2
A．（﹣12，﹣8） B．（﹣12，﹣8）或（12，8）
C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）或（3，2）
7．（3分）工厂为某活动生产一批纪念品，每套纪念品中包含了 1个玩偶和2个钥匙扣．已知一共有9
名工人参与制作，每人每天能制作玩偶 20个或者钥匙扣50个，为了使生产的玩偶和钥匙扣刚好配套，
设安排x名工人制作玩偶，y名工人制作钥匙扣，根据题意列方程组正确的是（ ）
{ x+ y=9 { x+ y=9
A． B．
20x=50 y 20x=2×50 y
{ x+ y=9 { x+ y=9
C． D．
2×20x=50 y 2×50x=20 y
8．（3分）某校为了解七年级900名学生在本次体育测试的成绩情况，现随机抽取若干名学生的体育测
试成绩进行统计．并绘制了如下两幅统计图．则下列结论不正确的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是100
B．体育测试成绩在40分以下占抽取人数的10%
C．在扇形统计图中，体育测试成绩为50分所在扇形的圆心角为90°
D．若把体育成绩在45分以上（含45分）定为合格，则全校七年级学生体育成绩合格人数约630人
9．（3分）如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，O为AB边的中点，连接OC，OD⊥OC交BC
3
于点D，若cosA= ，则CD的长为（ ）
5
25 20
A．6 B． C． D．5
4 3
10．（3分）沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点 P处抛出，其竖直高度y（单
第2页（共31页）位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣3）2+k（a＜0）．建立如图所示的坐标
系（正方形ABCD为箱子主视图，其边长为2m，x轴经过箱子底面中心），点P的坐标为（0，4），
点B的坐标为（8，0），若要使得沙包能落入箱内，则a的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．- ＜a＜- B．- ＜a＜-
8 20 8 16
1 1 3 1
C．- ＜a＜- D．- ＜a＜-
8 12 8 8
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
√1
11．（3分）计算√3 -8+√(-2) 2- 的结果为 ．
9
{x-3≤0
12．（3分）不等式组 的解集为 ．
x+1＞0
13．（3分）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为 ＝30°，测
角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为 米． α
14．（3分）有2名男生和2名女生参加演讲比赛，抽签决定出场顺序，则前两个出场的都是男生的概率
为 ．
15．（3分）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
则32022+32021+32020+⋯+32+3+1的结果为 ．
第3页（共31页）1
16．（3分）在边长为24的正方形ABCD中，E在AB上，AE= AB，P在BC边上运动（不与B，C重
4
合），过点P作PQ⊥EP，交CD于Q，则CQ的最大值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密
为密文传输给接收方，收到密文后解密还原明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出 a＝﹣
2，b＝4时，求出解密后明文mn的值．
6x x
18．（8分）解方程： + =2．
x2-9 x+3
19．（8分）如图所示，四边形ABCD为正方形，F、G分别为边AD、BC上的点，BE⊥FG于E．
（1）求证：∠ABE＝∠GFD；
（2）在EF上截取EH＝BE，连接DH，O为DH的中点，连接AO、AE．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AO和AE的数量关系，并证明．
20．（8分）为了庆祝中国共青团成立100周年，加强对青少年的共青团知识普及，嵩明县某校展开了以
第4页（共31页）“请党放心，强国有我”为主题的知识竞赛活动，下面是从八年级260名参赛学生中随机收集的20名
学生的成绩（单位：分）：
97 91 99 100 89 96 86 96 97 91
87 99 86 89 91 95 91 96 97 87
整理数据：
成绩（分） 86 87 89 91 95 96 97 99 100
学生人数（人） 2 2 2 4 1 a 3 2 1
分析数据：
平均数 众数 中位数
93 b c
解决问题：
（1）求a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若成绩达到90分及以上为“优秀”等级，请估计该校八年学生中成绩达到“优秀”的人数．
21．（8分）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab+b2
近似计算算术平方根的方法．
例如求√67的近似值．
因为64＜67＜81，
所以8＜√67＜9，
则√67可以设成以下两种形式：
①√67=8+s，其中0＜s＜1；
②√67=9﹣t，其中0＜t＜1．
小明以①的形式求√67的近似值的过程如表．
因为√67=8+s，
所以67＝（8+s）2，
即67＝64+16s+s2．
因为s2比较小，
将s2忽略不计，
所以67≈64+16s，
即16s≈67﹣64，
第5页（共31页）67-64 3
得s≈ = ，
16 16
3
故√67≈8+ ≈8.19．
16
【尝试探究】
（1）请用②的形式求√67的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的√67的近似值的精确度更高，请说明理由．
22．（10分）如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，连接AC，BC，过点C作 O的切线交AB延长
线于点D，OF⊥BC于点⊙E，交CD于点F．⊙ ⊙
（1）求证：∠BCD＝∠BOE；
3
（2）若sin∠CAB= ，AB＝10，求BD的长．
5
1
23．（10分）在平面直角坐标系中，若点的坐标为( ，0)，且m为整数，就称这样的点为x轴上的
m
“单位长度等分点”．已知函数y＝（6a+2）x2+（5﹣a）x﹣2a+2（实数a为常数）．
（1）若该函数的图象过点（1，3），求a的值；
（2）当该函数图象与x轴只有一个交点时，求函数的解析式；
（3）无论a取任何实数，该函数图象与x轴的公共点中都有单位长度等分点吗？若有，求出单位长度
等分点；若没有，请说明理由．
24．（12分）如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，点G，H在对角线AC上，AG＝
CH． ▱
（1）求证EH＝FG；
（2）若AB＝4，BC＝6，四边形EGFH为矩形．
①当∠B＝90°时，AG的长为 ；
②直接写出该矩形为正方形时AG的长．
第6页（共31页）第7页（共31页）2026年菁优杭州中考数学终极押题密卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A． B C． A D D C C B A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
1
A．2024 B．
2024
1
C．- D．以上都不是
2024
【考点】相反数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】A．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣2024的相反数是2024．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（3分）如图，AB∥CD，∠G＝90°，∠BEG＝x，则∠CFG可以表示为（ ）
A．180°﹣x B．90°+x C．90°﹣x D．180°﹣2x
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】过点G作GH∥AB，先证AB∥GH∥CD，则∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG，进而得
∠EGF＝∠BEG+∠DFG，再根据∠EGF＝90°，∠BEG＝x 得∠DFG＝90°﹣x，然后根据
∠CFG+∠DFG＝180°即可得出∠CFG的度数．
第8页（共31页）【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠EGH＝∠BEG，∠FGH＝∠DFG，
∴∠EGH+∠FGH＝∠BEG+∠DFG，
即∠EGF＝∠BEG+∠DFG，
∵∠EGF＝90°，∠BEG＝x，
∴90°＝x+∠DFG，
∴∠DFG＝90°﹣x，
∵∠CFG+∠DFG＝180°，
∴∠CFG＝180°﹣∠DFG＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
3．（3分）在《哪吒之魔童闹海》等影片的带动下，今年的中国电影市场火热开局，一季度的电影票房
达到244亿元.244亿用科学记数法表示为（ ）
A．0.244×1010 B．2.44×109
C．2.44×1010 D．244×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：244亿＝24400000000＝2.44×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
第9页（共31页）4．（3分）如图几何体中，主视图是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
【解答】解：A．主视图是矩形，故本选项符合题意；
B．主视图是圆，故本选项不合题意；
C．主视图是三角形，故本选项不合题意；
D．主视图是等腰梯形，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的主视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面
看，所得到的图形．
5
5．（3分）关于反比例函数y= ，下列说法中错误的是（ ）
x
A．它的图象位于第一、三象限
B．当1＜x＜5时，1＜y＜5
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜﹣2时，y＜﹣2.5
【考点】反比例函数的性质．
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【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】根据k＝5＞0可知图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小逐项判断即可．
【解答】解：A、∵k＝5＞0，
∴图象位于第一、三象限，不符合题意；
B、当 x＝1 时，y＝5；当 x＝5 时，y＝1；
∵x＞0时，y随x增大而减小，
第10页（共31页）∴当 1＜x＜5时，1＜y＜5，不符合题意；
C、当x＞0时，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、∵当 x＝﹣2 时，y＝﹣2.5，
∴当x＜﹣2时，﹣2.5＜y＜0，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把
1
△ABO缩小到原来的 ，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
2
A．（﹣12，﹣8） B．（﹣12，﹣8）或（12，8）
C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）或（3，2）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
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【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
1
【解答】解：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的 ，
2
1 1 1 1
点B'的对应点A'的坐标为（﹣6× ，﹣4× ）或（﹣6×（- ），﹣4×（- ）），即点B'的坐标为
2 2 2 2
（﹣3，﹣2）或（3，2），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．（3分）工厂为某活动生产一批纪念品，每套纪念品中包含了 1个玩偶和2个钥匙扣．已知一共有9
名工人参与制作，每人每天能制作玩偶 20个或者钥匙扣50个，为了使生产的玩偶和钥匙扣刚好配套，
设安排x名工人制作玩偶，y名工人制作钥匙扣，根据题意列方程组正确的是（ ）
{ x+ y=9 { x+ y=9
A． B．
20x=50 y 20x=2×50 y
{ x+ y=9 { x+ y=9
C． D．
2×20x=50 y 2×50x=20 y
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
第11页（共31页）【答案】C
【分析】根据每人每天能制作玩偶20个或者钥匙扣50个，且每套纪念品中包含了1个玩偶和2个钥
匙扣，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：安排x名工人制作玩偶，y名工人制作钥匙扣，
{ x+ y=9
由题意得： ．
2×20x=50 y
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
8．（3分）某校为了解七年级900名学生在本次体育测试的成绩情况，现随机抽取若干名学生的体育测
试成绩进行统计．并绘制了如下两幅统计图．则下列结论不正确的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是100
B．体育测试成绩在40分以下占抽取人数的10%
C．在扇形统计图中，体育测试成绩为50分所在扇形的圆心角为90°
D．若把体育成绩在45分以上（含45分）定为合格，则全校七年级学生体育成绩合格人数约630人
【考点】条形统计图；扇形统计图．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据两幅统计图分别进行判断即可．
【解答】解：本次抽样调查的样本容量是46÷46%＝100，故A选项不符合题意；
100-20-46-24
体育测试成绩在40分以下占抽取人数的 ×100%＝10%，故B选项不符合题意；
100
24
在扇形统计图中，体育测试成绩为50分所在扇形的圆心角为360°× =86.4°，故C选项符合题意；
100
46+24
若把体育成绩在45分以上（含45分）定为合格，则全校初三学生体育成绩合格人数约900× =
100
630（人），故D选项不符合题意．
第12页（共31页）故选：C．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必
要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分
占总体的百分比大小．
9．（3分）如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，O为AB边的中点，连接OC，OD⊥OC交BC
3
于点D，若cosA= ，则CD的长为（ ）
5
25 20
A．6 B． C． D．5
4 3
【考点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
1
【分析】根据斜边上的中线的性质，得到OC= AB=OA，进而得到∠A＝∠OCA，同角的余角相等，
2
3
得到∠CDO＝∠ACO＝∠A，进而得到cos∠CDO= ，设OD＝3x，CD＝5x，勾股定理求出x的值
5
即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，O为AB边的中点，
1
∴OC= AB=OA=5，
2
∴∠A＝∠OCA，
∵OD⊥OC，
∴∠COD＝90°＝∠ACB，
∴∠CDO＝∠ACO＝90°﹣∠OCD，
∴∠CDO＝∠ACO＝∠A，
OD 3
∴cos∠CDO=cosA= = ，
CD 5
设OD＝3x，CD＝5x，则：OC=√CD2-OD2=4x=5，
第13页（共31页）5
∴x= ，
4
25
∴CD= ；
4
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，正确记忆相关知识点是解题关键．
10．（3分）沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点 P处抛出，其竖直高度y（单
位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣3）2+k（a＜0）．建立如图所示的坐标
系（正方形ABCD为箱子主视图，其边长为2m，x轴经过箱子底面中心），点P的坐标为（0，4），
点B的坐标为（8，0），若要使得沙包能落入箱内，则a的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．- ＜a＜- B．- ＜a＜-
8 20 8 16
1 1 3 1
C．- ＜a＜- D．- ＜a＜-
8 12 8 8
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】由题意得，A（8，2），D（10，2），然后将点P（0，4），A（8，2）代入y＝a（x﹣3）
2+k（a＜0）求出此时的a，再将点P（0，4），D（10，2）代入y＝a（x﹣3）2+k（a＜0）求出此时的
a，即可求解范围．
【解答】解：由题意得，D（10，2），A（8，2），
将点P（0，4），A（8，2）代入y＝a（x﹣3）2+k（a＜0），
{9a+k=4
则 ，
25a+k=2
1
解得a=- ；
8
将点P（0，4），D（10，2）代入y＝a（x﹣3）2+k（a＜0），
{9a+k=4
则 ，
49a+k=2
第14页（共31页）1
解得a=- ；
20
1 1
∴- ＜a＜- ，
8 20
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意求出二次函数解析式．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
√1 1
11．（3分）计算√3 -8+√(-2) 2- 的结果为 - ．
9 3
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
1
【答案】- ．
3
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
√1
【解答】解：√3 -8+√(-2) 2-
9
1
＝﹣2+2-
3
1
=- ，
3
1
故答案为：- ．
3
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
{x-3≤0
12．（3分）不等式组 的解集为 ﹣ 1 ＜ x ≤ 3 ．
x+1＞0
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x≤3．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣3≤0得：x≤3，
由x+1＞0得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故答案为：﹣1＜x≤3．
第15页（共31页）【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为 ＝30°，测
角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为 （ 1 0√3+ 1.5 ） 米． α
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（10√3+1.5）．
【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，由锐角三角函数的定义求出BE的长，再由BC＝CE+BE即可
得出结论．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：
则四边形ADCE为矩形，AE＝30米，
∴CE＝AD＝1.5米，
BE √3
在Rt△ABE中，tan = =tan30°= ，
AE 3
α
√3 √3
∴BE= AE= ×30＝10√3（米），
3 3
∴BC＝BE+CE＝（10√3+1.5）米，
答：铁塔的高BC为（10√3+1.5）米，
故选：（10√3+1.5）．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造出直角三角形是
解答此题的关键．
14．（3分）有2名男生和2名女生参加演讲比赛，抽签决定出场顺序，则前两个出场的都是男生的概率
第16页（共31页）1
为 ．
6
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
1
【答案】 ．
6
【分析】先画出树状图，找出前两个出场的所有等可能的结果，再找出前两个出场的都是男生的结果，
然后利用概率公式计算即可得．
【解答】解：画出树状图如图所示：
由树状图可知，前两个出场的所有等可能的结果共有12种，前两个出场的都是男生的结果有2种，
2 1
则P= = ，
12 6
1
故答案为： ．
6
【点评】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法是解题关键．
15．（3分）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
32023-1
则32022+32021+32020+⋯+32+3+1的结果为 ．
2
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】猜想归纳；运算能力．
32023-1
【答案】 ．
2
【分析】将原式变形后根据规律计算即可．
第17页（共31页）1
【解答】解：原式= ×（3﹣1）×（32022+32021+32020+⋯+32+3+1）
2
1
= ×（32023﹣1）
2
32023-1
= ，
2
32023-1
故答案为： ．
2
【点评】本题考查数式规律问题，将原式进行正确地变形是解题的关键．
1
16．（3分）在边长为24的正方形ABCD中，E在AB上，AE= AB，P在BC边上运动（不与B，C重
4
合），过点P作PQ⊥EP，交CD于Q，则CQ的最大值为 8 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．
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【专题】二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP＝24﹣x，代入
解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，PQ⊥EP，
∴∠B＝∠C＝90°，∠EPQ＝90°，
∴∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ．
又∠B＝∠C＝90°，
∴△BPE∽△CQP．
BE BP
∴ = ，
PC CQ
设CQ＝y，BP＝x，则CP＝24﹣x．
24-6 x 1
∴ = ，化简得y=- （x2﹣24x），
24-x y 18
第18页（共31页）1
整理得y=- （x﹣12）2+8，
18
所以当x＝12时，y有最大值为8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最
值用二次函数最值求解考查了数形结合思想．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密
为密文传输给接收方，收到密文后解密还原明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出 a＝﹣
2，b＝4时，求出解密后明文mn的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣120．
【分析】先化简n＝（4a2b﹣2a3）÷（﹣2a）2，再将a＝﹣2，b＝4，代入计算求出m、n的值，再计算
mn的值即可．
【解答】解：n＝（4a2b﹣2a3）÷（﹣2a）2
＝（4a2b﹣2a3）÷（4a2）
1
＝b- a，
2
将a＝﹣2，b＝4代入：
1
m=a2+ab2+ b2
4
1
=(-2) 2-2×42+ ×42
4
1
＝4﹣2×16+ ×16
4
＝4﹣32+4
＝﹣24，
第19页（共31页）1
n＝b- a
2
1
＝4- ×（﹣2）
2
＝4+1
＝5，
∴mn＝﹣24×5＝﹣120，
【点评】本题考查整式的化简求值，解题的关键是求出m、n的值．
6x x
18．（8分）解方程： + =2．
x2-9 x+3
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝6．
【分析】方程两边都乘（x+3）（x﹣3）得出6x+x（x﹣3）＝2（x+3）（x﹣3），求出方程的解，再进
行检验即可．
6x x
【解答】解：
+ =2，
x2-9 x+3
6x x
+ = 2，
(x+3)(x-3) x+3
方程两边都乘（x+3）（x﹣3），得6x+x（x﹣3）＝2（x+3）（x﹣3），
整理得：x2﹣3x﹣18＝0，
（x﹣6）（x+3）＝0，
x ＝6，x ＝﹣3，
1 2
检验：当x＝6时，（x+3）（x﹣3）≠0，
所以x＝6是分式方程的解；
当x＝﹣3时，（x+3）（x﹣3）＝0，
所以x＝﹣3是增根，
所以分式方程的解是x＝6．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19．（8分）如图所示，四边形ABCD为正方形，F、G分别为边AD、BC上的点，BE⊥FG于E．
第20页（共31页）（1）求证：∠ABE＝∠GFD；
（2）在EF上截取EH＝BE，连接DH，O为DH的中点，连接AO、AE．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AO和AE的数量关系，并证明．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能
力．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）AE=√2AO，证明见解答过程．
【分析】（1）根据正方形性质得 AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC∥AD，由此得∠BGF＝
∠GFD，再证∠ABE＝∠BGF即可；
（2）①依题意补全图形即可
②连接EO，过点D作DM∥EF交EO的延长线于M，连接AM，先证△HEO和△DMO全等得OE＝
OM，EH＝MD，再证△ABE和△ADM全等得∠BAE＝∠DAM，AE＝AM，进而可证∠EAM＝90°，则
△AEM为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出线段AO和AE的数量
关系．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC∥AD，
∴∠GBE+∠ABE＝90°，∠BGF＝∠GFD，
∵BE⊥GF，
∴∠BGF+∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠BGF
∴∠ABE＝∠GFD；
（2）①依题意补全图形如图1所示：
第21页（共31页）②线段AO和AE的数量关系是：AE=√2AO，证明如下：
连接EO，过点D作DM∥EF交EO的延长线于M，连接AM，如图2所示：
则∠HEO＝∠M，∠ADM＝∠GFD，
∵O为DH的中点，
∴OH＝OD，
在△HEO和△DMO中，
{
∠HEO=∠M
∠HOE=∠DOM，
OH=OD
∴△HEO≌△DMO（AAS），
∴OE＝OM，EH＝MD，
∵EH＝BE，
∴BE＝MD，
由①可知：∠ABE＝∠GFD，
∴∠ABE＝∠ADM，
在△ABE和△ADM中，
{
AB=AD
∠ABE=∠ADM，
BE=MD
第22页（共31页）∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴∠BAE＝∠DAM，AE＝AM，
∵∠BAE+∠EAD＝∠BAD＝90°，
∴∠DAM+∠EAD＝90°，
∴∠EAM＝90°，
即△AEM为等腰直角三角形，
又∵OE＝OM，
∴AO⊥EM，AO＝OE＝OM，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2＝AO2+OE2＝2AO2，
∴AE=√2AO．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
勾股定理，理解正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，
勾股定理是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点．
20．（8分）为了庆祝中国共青团成立100周年，加强对青少年的共青团知识普及，嵩明县某校展开了以
“请党放心，强国有我”为主题的知识竞赛活动，下面是从八年级260名参赛学生中随机收集的20名
学生的成绩（单位：分）：
97 91 99 100 89 96 86 96 97 91
87 99 86 89 91 95 91 96 97 87
整理数据：
成绩（分） 86 87 89 91 95 96 97 99 100
学生人数（人） 2 2 2 4 1 a 3 2 1
分析数据：
平均数 众数 中位数
93 b c
解决问题：
（1）求a＝ 9 ，b＝ 9 1 ，c＝ 9 0 ；
（2）若成绩达到90分及以上为“优秀”等级，请估计该校八年学生中成绩达到“优秀”的人数．
【考点】众数；用样本估计总体；中位数．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）9、91、90；
（2）182名．
【分析】（1）根据各分数人数之和等于总人数求出a，再根据众数和中位数的定义可得b、c的值；
第23页（共31页）（2）总人数乘以样本中成绩达到“优秀”的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）a＝20﹣（2+2+2+4+1+3+2+1）＝3，
89+91
b＝91，c= =90，
2
故答案为：9、91、90；
20-2-2-2
（2）260× =182（名），
20
答：估计该校八年学生中成绩达到“优秀”的人数为182名．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数、中位数的定义及样本估计总体的应用．
21．（8分）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab+b2
近似计算算术平方根的方法．
例如求√67的近似值．
因为64＜67＜81，
所以8＜√67＜9，
则√67可以设成以下两种形式：
①√67=8+s，其中0＜s＜1；
②√67=9﹣t，其中0＜t＜1．
小明以①的形式求√67的近似值的过程如表．
因为√67=8+s，
所以67＝（8+s）2，
即67＝64+16s+s2．
因为s2比较小，
将s2忽略不计，
所以67≈64+16s，
即16s≈67﹣64，
67-64 3
得s≈ = ，
16 16
3
故√67≈8+ ≈8.19．
16
【尝试探究】
（1）请用②的形式求√67的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
第24页（共31页）（2）你认为用哪一种形式得出的√67的近似值的精确度更高，请说明理由．
【考点】估算无理数的大小．
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【专题】实数；推理能力．
【答案】（1）8.22；
（2）用①的形式得出的√67的近似值的精确度更高，理由见解析．
【分析】（1）设√67=9-t，其中0＜t＜1，则仿照题意可得67＝81﹣18t+t2，t2比较小，将t2忽略不
7 7
计，则67≈81﹣18t，据此可得t≈ ，则√67≈9- ≈8.22；
9 9
（2）可求出8.18＜√67＜8.19＜8.22，据此可得结论．
【解答】解：（1）设√67=9-t，其中0＜t＜1，
∴(√67) 2=(9-t) 2，
∴67＝81﹣18t+t2，
∵t2比较小，将t2忽略不计，
∴67≈81﹣18t，
81-67 7
∴t≈ = ，
18 9
7
∴√67≈9- ≈8.22；
9
（2）用①的形式得出的√67的近似值的精确度更高，理由如下：
∵8.18×8.18＝66.9124，8.19×8.19＝67.0761，√66.9124＜√67＜√67.0761，
∴8.18＜√67＜8.19＜8.22，
∴用①的形式得出的√67的近似值的精确度更高．
【点评】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键．
22．（10分）如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，连接AC，BC，过点C作 O的切线交AB延长
线于点D，OF⊥BC于点⊙E，交CD于点F．⊙ ⊙
（1）求证：∠BCD＝∠BOE；
3
（2）若sin∠CAB= ，AB＝10，求BD的长．
5
第25页（共31页）【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形；圆周角定理．
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【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）见解析；
90
（2）BD的长为 ．
7
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠OCB+∠BCD＝90°，根据等腰三角
形的性质得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠BCD＝∠BOE；
（2）过B作BH⊥CD于H，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角函数的定义得到BC＝6，根
18
据平行线的性质得到∠BOE＝∠CAB，根据三角函数的定义得到BH= ，根据相似三角形的性质即可
5
得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是 O的切线，
∴∠OCD⊙＝90°，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∵OF⊥BC，
∴∠BEO＝90°，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCD＝∠BOE；
（2）解：过B作BH⊥CD于H，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
BC 3
∵sin∠CAB= = ，AB＝10，
AB 5
第26页（共31页）∴BC＝6，
∵OF⊥BC，
∴AC∥OF，
∴∠BOE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠BOE，
∴∠BAC＝∠BCD，
BH 3
∴sin∠CAB＝sin∠DCB= = ，
BC 5
18
∴BH= ，
5
∵OC⊥CD，BH⊥CD，
∴BH∥OC，
∴△BDH∽△ODC，
BH BD
∴ = ，
OC OD
18
∴ 5 BD ，
=
5 BD+5
90
解得BD= ，
7
90
故BD的长为 ．
7
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确地
作出辅助线是解题的关键．
1
23．（10分）在平面直角坐标系中，若点的坐标为( ，0)，且m为整数，就称这样的点为x轴上的
m
“单位长度等分点”．已知函数y＝（6a+2）x2+（5﹣a）x﹣2a+2（实数a为常数）．
（1）若该函数的图象过点（1，3），求a的值；
（2）当该函数图象与x轴只有一个交点时，求函数的解析式；
第27页（共31页）（3）无论a取任何实数，该函数图象与x轴的公共点中都有单位长度等分点吗？若有，求出单位长度
等分点；若没有，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数综合题；新定义；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）a＝﹣2；
32 32 8 16 8
（2）y= x2+ x+ 或y= x+ ；
7 7 7 3 3
1
（3）存在，单位长度等分点为：（- ，0）．
2
【分析】（1）将（1，3）代入函数表达式，即可求解；
（2）分类讨论，即可求解；
（3）分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝（6a+2）x2+（5﹣a）x﹣2a+2＝（6a+2）+（5﹣a）﹣2a+2＝3，
解得：a＝﹣2；
（2）6a+2≠0时，
由题意得：Δ＝（5﹣a）2﹣4（6a+2）（2﹣2a）＝0，
3
解得：a= ，
7
32 32 8
则抛物线的表达式为：y= x2+ x+ ；
7 7 7
当6a+2＝0时，
16 8 1
函数为一次函数y= x+ ，此时与x轴也只有一个交点（- ，0），
3 3 2
3 3 3 16 8
综上，函数的表达式为：y= x2+ x+ 或y= x+ ；
7 7 28 3 3
（3）存在，理由：
当6a+2≠0时，
y＝（6a+2）x2+（5﹣a）x﹣2a+2＝a（2x+1）（3x﹣2）+2x2+5x+2，
令（2x+1）（3x﹣2）＝0，
1 2
则x=- 或 ，
2 3
1
当x=- 时，y＝a（2x+1）（3x﹣2）+2x2+5x+2＝0，
2
第28页（共31页）1
即点（- ，0）在抛物线上，且符合题意，
2
1
即单位长度等分点为：（- ，0）；
2
16 8 1
当6a+2＝0时，一次函数y= x+ ，此时与x轴也只有一个交点（- ，0），
3 3 2
1
综上，单位长度等分点为：（- ，0）．
2
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、函数过定点、根和系数判别式等，综合性
强，难度适中．
24．（12分）如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，点G，H在对角线AC上，AG＝
CH． ▱
（1）求证EH＝FG；
（2）若AB＝4，BC＝6，四边形EGFH为矩形．
①当∠B＝90°时，AG的长为 √13-2 ；
②直接写出该矩形为正方形时AG的长．
【考点】四边形综合题．
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【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形
菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）①√13-2．
②√5-2．
【分析】（1）根据题意及平行四边形的性质，证明△AEH≌△CFG（SAS），即可得证；
（2）①证明四边形ABCD是矩形，利用勾股定理求出AC，连接EF，证明四边形ABFE为矩形，求出
GH，即可解答；
②连接EF交GH于点O，利用正方形的性质及勾股定理即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
第29页（共31页）∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EAH＝∠FCG，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝CF，
∵AG＝CH，
∴AH＝CG，
∴△AEH≌△CFG（SAS），
∴EH＝FG．
（2）解：①∵∠B＝90°，四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝6，
∴AC=√AB2+BC2=√42+62=2√13，
如图，连接EF，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
1 1
∴AE= AD，BF= BC，
2 2
∴AE∥BF，AE＝BF，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴∠AEF＝∠BFE＝90°，
∴EF＝GH＝AB＝4，
AC-GH 2√13-4
∴AG= = =√13-2，
2 2
故答案为：√13-2．
第30页（共31页）②如图，连接EF交GH于点O，
∵四边形EGFH为正方形，
1
∴OE＝OF＝OG＝OH= EF=2，EF⊥GH，
2
1
在Rt△COF中，CF= BC＝3，
2
∴OC=√CF2-OF2=√32-22=√5，
∴AG＝HC＝CO﹣OH=√5-2．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，全
等三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键．
第31页（共31页）
