文档内容
2026年菁优杭州中考数学终极押题密卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣73的相反数是（ ）
1 1
A．﹣73 B．73 C．- D．
73 73
2．（3分）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．50° C．40° D．140°
3．（3分）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAl新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工
具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，用科学记数法表示为（ ）
A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011
4．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，如图 1出自该著作的“商功”卷，在互
相垂直的墙体角落里，堆放着一堆粮食，若将这堆粮食看作圆锥的一部分（如图 2），则它的主视图
是（ ）
A． B． C． D．
3
5．（3分）已知反比例函数y= ，下列结论中不正确的是（ ）
x
A．图象经过点（﹣1，﹣3）
B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜3
D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
6．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（3，﹣4），B（5，0），O（0，0），以原点O为位
第1页（共31页）1
似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，得到△A′B′O，则点B的对应点为B′，则B′的坐标为（
2
）
5 5
A．( ，0) B．(- ，0)
2 2
5 5
C．( ，0)或(- ，0) D．（10，0）或（﹣10，0）
2 2
7．（3分）学校组织八年级362名同学去万绿湖研学，现已预备了大客车和轻型客车共 10辆，其中大客
车每辆可坐乘客55人，轻型客车每辆可坐乘客8人，刚好坐满．若设预备了大客车 x辆，轻型客车y
辆，依题意列方程组正确的是（ ）
{ x+ y=10 { x+ y=10
A． B．
55x+8 y=362 8x+55 y=362
{55x+8 y=10 {8x+55 y=10
C． D．
x+ y=362 x+ y=362
8．（3分）综合题
阅读下面的材料，回答后面的两个问题：
材料一：小雪是二十四节气中的第二十个节气．这时节，色满天，寒凝大地，降水形成由淅沥小雨而
凝结成飘飘瑞雪．但此时下雪的几率还小，即便下了，也多是那种飞扬的零星小雪，落到地面很快融
化了，小孩子是堆不了雪人、打不成雪仗的．
小雪之后的下一个节气是大雪．月令•七十二侯集解》记载：“大雪，十一月节，至此而雪盛也．“大
雪节气的雪量开始增加，晶莹剔透白洁无瑕的雪，总令古代文人墨客们吟诵赞美．
农谚云：“小雪铲白菜，大雪收菠菜．”“小雪不砍菜，必定有一害．”此时，庄户人家开始砍收地
里的大白菜，精心盘扎入窑储藏．那一棵棵青青白白的大白菜透着清灵之气，那种清甜清香是寻常人
家饭桌上的至美之味．白居易云：“晚来天欲雪，能饮一杯无？”寒风里，约三五好友，温一壶清酒，
聊家事国事，赏雪飘雪落．“能饮一杯无？”这千古一问，与岁月温情相拥，用真心温暖寒冬，人生
惬意之事，便莫过于此了．
下列对材料一有关内容的概括和分析，正确的一项是（ ）
第2页（共31页）A．小雪时节，地寒未甚，这个时节的降雪几率不小，但所下的多是飞扬的零星小雪．
B．大雪是阳历十一月份的节气，这个时候的雪量相对小雪时节有所增加．
C．“小雪不砍菜，必定有一害”从反面强调了在小雪时节要抓住时机砍收地里大白菜．
D．白居易通过“能饮一杯无？”这个设问句，表达了他与好友共赏雪落的文人情怀．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径画
弧，与线段BD相交于另一点E，连接CE．若∠A＝∠DCE，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．30° C．36° D．40°
10．（3分）如图，玻璃水杯截面图的左右轮廓线AC，BD可看作某抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯
底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，该抛物线的顶点在y轴上．将盛有部分水的该玻璃水杯倾斜
45°时，水面正好经过点B（即∠ABP＝45°）．下列结论中，错误的是（ ）
A．此抛物线的解析式为y＝x2﹣16
B．直线PB的解析式为y＝x﹣4
C．点P到杯口AB的距离为5cm
D．点P到点D的距离为5√2cm
第3页（共31页）二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1
11．（3分）计算：(- ) -1+(2024-π) 0-√16= ．
3
{x-3≤0
12．（3分）不等式组 的解集为 ．
x+1＞0
13．（3分）如图，小明为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，
从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°，若CD＝EF＝1.7m，则旗杆AB的高度是
m（精确到0.1m）．（参考数据 ：√3≈1.732)
14．（3分）一个不透明的袋子里装有2个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出
2个球，是一红一白的概率为 ．
15．（3分）观察下列各式的规律：
(a-b)(a+b)=a2-b2
(a-b)(a2+ab+b2 )=a3-b3
(a-b)(a3+a2b+ab2+b3 )=a4-b4
⋯⋯
根据以上规律可得：（a﹣b）（a2018+a2017b+⋯+ab2017+b2018）＝ ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD•BC＝
AP•BP．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）先化简再求值：（3y﹣2）（3y+2）﹣9y（y﹣1）+（y﹣2）2，其中y＝﹣2．
2x 1 1
18．（8分）解分式方程： - = ．
x2-4 x-2 5
第4页（共31页）19．（8分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE垂线交DE于点P，已
知 AE＝AP＝1，PB=√5．
（1）求证：△APD≌△AEB；
（2）求正方形ABCD的面积．
20．（8分）共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享
单车的情况，随机调查了部分学生出行使用共享单车的情况，并整理成如下统计表：
使用次数 0 1 2 3 4 5
人数 1 9 14 13 11 2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这组数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）若该校某天有2000名学生出行，请你估计这天使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人
数．
21．（8分）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab+b2
近似计算算术平方根的方法．
例如求√67的近似值．
因为64＜67＜81，
所以8＜√67＜9，
则√67可以设成以下两种形式：
①√67=8+s，其中0＜s＜1；
②√67=9﹣t，其中0＜t＜1．
小明以①的形式求√67的近似值的过程如表．
因为√67=8+s，
所以67＝（8+s）2，
即67＝64+16s+s2．
因为s2比较小，
第5页（共31页）将s2忽略不计，
所以67≈64+16s，
即16s≈67﹣64，
67-64 3
得s≈ = ，
16 16
3
故√67≈8+ ≈8.19．
16
【尝试探究】
（1）请用②的形式求√67的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的√67的近似值的精确度更高，请说明理由．
22．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，以CE为直径的 O与AB相切于
点E． ⊙
（1）求∠COD的度数；
（2）若BF＝2DF＝2，求AE的长．
23．（10分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么
称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y
＝x+1（1≤x≤2）是有上界函数，其上确界为3；函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是
2．
（1）请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×”．
①y＝x（x≤2） ；
②y＝x2+2x+4 ；
③y＝﹣2x2+4x+1 ．
（2）一次函数y＝kx+3（﹣1≤x≤5）是有上界函数，上确界为4，求实数k的值．
（3）如果函数y＝﹣|x2﹣4|+m（0≤x≤m）是以2m2﹣m﹣3为上确界的有上界函数，求实数m的值．
24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，M为AD中点，延长BM交CD的延长线于点E，连接AC，与
第6页（共31页）BM交于点F．
（1）求证：DC＝DE；
（2）如图2，将矩形ABCD改成正方形ABCD，AB＝2，其他条件不变．
MF EM
（ⅰ）求证： = ，并求出MF的值；
BF EB
（ⅱ）如图3，在BC的延长线上取点P，使得CP＝CA，延长PD与BM的延长线交于点Q，连接
QA，PA，求证：AD平分∠QAP．
第7页（共31页）2026年菁优杭州中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B． A D． C D C A C C C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣73的相反数是（ ）
1 1
A．﹣73 B．73 C．- D．
73 73
【考点】相反数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣73的相反数是73．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（3分）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．50° C．40° D．140°
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由平角的定义可得∠BEF＝140°，由角平分线的定义可得∠BEG＝∠FEG＝70°，再利用两直
线平行，内错角相等即可求解．
【解答】解：∵∠1＝40°，
∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
∵EG平分∠BEF，
第8页（共31页）∴∠BEG＝∠FEG＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEG＝70°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平角的定义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平
行线的性质是解题关键．
3．（3分）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAl新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工
具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，用科学记数法表示为（ ）
A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：175000000000＝1.75×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，如图 1出自该著作的“商功”卷，在互
相垂直的墙体角落里，堆放着一堆粮食，若将这堆粮食看作圆锥的一部分（如图 2），则它的主视图
是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
第9页（共31页）【答案】C
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．
【解答】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是直角三角形．
故选：C．
【点评】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C．
故选：C．
3
5．（3分）已知反比例函数y= ，下列结论中不正确的是（ ）
x
A．图象经过点（﹣1，﹣3）
B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜3
D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
【考点】反比例函数的性质．
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【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题
得以解决．
3
【解答】解：∵反比例函数y= ，
x
∴图象必经过点（﹣1，﹣3），故选项A不符合题意；
k＝3＞0，图象位于第一、三象限，故选项B不符合题意；
当x＞1时，0＜y＜3，故选项C不符合题意；
当x＜0时，y随着x的增大而减小，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（3，﹣4），B（5，0），O（0，0），以原点O为位
1
似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，得到△A′B′O，则点B的对应点为B′，则B′的坐标为（
2
）
第10页（共31页）5 5
A．( ，0) B．(- ，0)
2 2
5 5
C．( ，0)或(- ，0) D．（10，0）或（﹣10，0）
2 2
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
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【专题】平面直角坐标系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
1
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，B（5，0），
2
1 1 1 1
∴B′的坐标为(5× ，0× )或[5×(- )，0×(- )]，
2 2 2 2
5 5
即B′的坐标为( ，0)或(- ，0)，
2 2
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．（3分）学校组织八年级362名同学去万绿湖研学，现已预备了大客车和轻型客车共 10辆，其中大客
车每辆可坐乘客55人，轻型客车每辆可坐乘客8人，刚好坐满．若设预备了大客车 x辆，轻型客车y
辆，依题意列方程组正确的是（ ）
{ x+ y=10 { x+ y=10
A． B．
55x+8 y=362 8x+55 y=362
{55x+8 y=10 {8x+55 y=10
C． D．
x+ y=362 x+ y=362
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设预备了大客车x辆，轻型客车y辆，根据学校组织八年级362名同学去万绿湖研学，现已预
第11页（共31页）备了大客车和轻型客车共10辆，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：设预备了大客车x辆，轻型客车y辆，
{ x+ y=10
依题意得： ，
55x+8 y=362
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
8．（3分）综合题
阅读下面的材料，回答后面的两个问题：
材料一：小雪是二十四节气中的第二十个节气．这时节，色满天，寒凝大地，降水形成由淅沥小雨而
凝结成飘飘瑞雪．但此时下雪的几率还小，即便下了，也多是那种飞扬的零星小雪，落到地面很快融
化了，小孩子是堆不了雪人、打不成雪仗的．
小雪之后的下一个节气是大雪．月令•七十二侯集解》记载：“大雪，十一月节，至此而雪盛也．“大
雪节气的雪量开始增加，晶莹剔透白洁无瑕的雪，总令古代文人墨客们吟诵赞美．
农谚云：“小雪铲白菜，大雪收菠菜．”“小雪不砍菜，必定有一害．”此时，庄户人家开始砍收地
里的大白菜，精心盘扎入窑储藏．那一棵棵青青白白的大白菜透着清灵之气，那种清甜清香是寻常人
家饭桌上的至美之味．白居易云：“晚来天欲雪，能饮一杯无？”寒风里，约三五好友，温一壶清酒，
聊家事国事，赏雪飘雪落．“能饮一杯无？”这千古一问，与岁月温情相拥，用真心温暖寒冬，人生
惬意之事，便莫过于此了．
下列对材料一有关内容的概括和分析，正确的一项是（ ）
A．小雪时节，地寒未甚，这个时节的降雪几率不小，但所下的多是飞扬的零星小雪．
B．大雪是阳历十一月份的节气，这个时候的雪量相对小雪时节有所增加．
C．“小雪不砍菜，必定有一害”从反面强调了在小雪时节要抓住时机砍收地里大白菜．
D．白居易通过“能饮一杯无？”这个设问句，表达了他与好友共赏雪落的文人情怀．
第12页（共31页）【考点】条形统计图；扇形统计图．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】结合材料逐一进行分析即可得出答案；
【解答】解：A、降雪几率不小，与材料中说的小雪下雪的几率还小，不符，故该选项错误，不符合
题意；
B、大雪是农历十一月份的节气，并不是阳历十一月份，故该选项错误，不符合题意；
C、“小雪不砍菜，必定有一害”从反面强调了在小雪时节要抓住时机砍收地里大白菜，分析正确，
符合题意；
D、白居易通过“能饮一杯无？”是疑问句，不是设问句，且诗句表达的是邀请共饮，不是人文情怀，
故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查条形图和扇形图，从统计图中有效的获取信息是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，以点C为圆心，CD的长为半径画
弧，与线段BD相交于另一点E，连接CE．若∠A＝∠DCE，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．30° C．36° D．40°
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】设∠A＝x°，根据直角三角形斜边上的中线性质可得 DC＝DA，从而可得∠A＝∠DCA＝x°，
再利用三角形的外角性质可得∠CDE＝2x°，然后利用三角形内角和定理可得∠CED＝180°﹣3x°，再根
据题意可得：CD＝CE，从而利用等腰三角形的性质可得∠CED＝∠CDE，进而列出关于x的方程，进
行计算，即可解答．
【解答】解：设∠A＝x°，
∵∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，
第13页（共31页）1
∴DC＝DA= AB，
2
∴∠A＝∠DCA＝x°，
∵∠CDE是△DCA的一个外角，
∴∠CDE＝∠DCA+∠A＝2x°，
∵∠A＝∠DCE，
∴∠A＝∠DCE＝x°，
∴∠CED＝180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣3x°，
由题意得：CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE，
∴180﹣3x＝2x，
解得：x＝36，
∴∠A＝36°，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的
已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
10．（3分）如图，玻璃水杯截面图的左右轮廓线AC，BD可看作某抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯
底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，该抛物线的顶点在y轴上．将盛有部分水的该玻璃水杯倾斜
45°时，水面正好经过点B（即∠ABP＝45°）．下列结论中，错误的是（ ）
A．此抛物线的解析式为y＝x2﹣16
B．直线PB的解析式为y＝x﹣4
C．点P到杯口AB的距离为5cm
D．点P到点D的距离为5√2cm
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】依据题意得A（﹣4，0），B（4，0），C（﹣2，﹣12），D（2，﹣12），可求抛物线的解
第14页（共31页）析式为y＝x2﹣16，再求出直线PB的解析式，联立即可求出点P坐标，继而可判断结论．
【解答】解：∵杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，
∴A（﹣4，0），B（4，0），C（﹣2，﹣12），D（2，﹣12），
设轮廓线AC，BD所在抛物线的解析式为y＝ax2+k，
{16a+k=0
记BP与y轴的交点为E，把A（﹣4，0）、C（﹣2，﹣12）代入得： ，
4a+k=-12
{ a=1
解得： ，
k=-16
∴y＝x2﹣16，故A说法正确，不符合题意；
∵∠ABP＝45°，
∴∠OEB＝∠ABP＝45°，
∴OB＝OE，
∴E（0，﹣4），
设直线PB的解析式为y＝mx+n，
{4m+n=0，
把B（4，0）、E（0，﹣4）代入得：
n=-4
{m=1
解得： ，
n=-4
∴直线PB：y＝x﹣4，故B说法正确，不符合题意；
由x2﹣16＝x﹣4解得x ＝﹣3，x ＝4（舍去），
1 2
当x＝﹣3，y＝﹣3﹣4＝﹣7，
∴P（﹣3，﹣7），此时点P到杯口AB的距离为7cm，故C说法不正确，符合题意；
∴PD=√(-3-2) 2+(-12+7) 2=5√2（cm），故D说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，正确求出抛物线的表达式是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
第15页（共31页）1
11．（3分）计算：(- ) -1+(2024-π) 0-√16= ﹣ 6 ．
3
【考点】实数的运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣6．
【分析】利用零次幂的性质和负整数指数幂的性质进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣3+1﹣4＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
{x-3≤0
12．（3分）不等式组 的解集为 ﹣ 1 ＜ x ≤ 3 ．
x+1＞0
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x≤3．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣3≤0得：x≤3，
由x+1＞0得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故答案为：﹣1＜x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）如图，小明为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，
从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°，若CD＝EF＝1.7m，则旗杆AB的高度是 16.1
m（精确到0.1m）．（参考数据 ：√3≈1.732)
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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第16页（共31页）【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】15.9
【分析】延长CE，交AB于点G．则∠BGC＝90°．AG＝CD＝EF＝1.7m，设BG＝xm．先证CG＝BG
＝xm，则GE＝（x﹣6）m．再由锐角三角函数定义，即可解决问题．
【解答】解：延长CE，交AB于点G．如图所示：
则∠BGC＝90°．AG＝CD＝EF＝1.7m，
设BG＝xm．
在Rt△BGC中，∠BCG＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BG＝xm，
∵CE＝6m，
∴GE＝（x﹣6）m．
BG
在Rt△BGE中，∠BEG＝60°，tan∠BEG= =tan60°=√3，
EG
x
∴ =√3，
x-6
解得：x＝9+3√3，
∴AB＝BG+GA＝9+3√3+1.7≈15.9（m），
故答案为：15.9．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题．
14．（3分）一个不透明的袋子里装有2个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出
2
2个球，是一红一白的概率为 ．
3
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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第17页（共31页）【专题】概率及其应用；应用意识．
2
【答案】 ．
3
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸两个球恰好是1个红球
1个白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，同时摸两个球恰好是1个红球1个白球有8种情况，
8 2
P（一红一白）= = ，
12 3
2
故答案为： ．
3
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出
所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）观察下列各式的规律：
(a-b)(a+b)=a2-b2
(a-b)(a2+ab+b2 )=a3-b3
(a-b)(a3+a2b+ab2+b3 )=a4-b4
⋯⋯
根据以上规律可得：（a﹣b）（a2018+a2017b+⋯+ab2017+b2018）＝ a 2019 ﹣ a 2019 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
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【专题】猜想归纳；整式；运算能力．
【答案】a2019﹣b2019．
【分析】先根据算式结果的特点归纳出此种算式的规律，再运用该规律进行求解．
【解答】解：∵（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4，
…，
第18页（共31页）∴（a﹣b）（an+an﹣1b+an﹣2b2+…+abn﹣1+bn）＝an+1﹣bn+1，
∴（a﹣b）（a2018+a2017b+⋯+ab2017+b2018）＝a2019﹣b2019，
故答案为：a2019﹣b2019．
【点评】此题考查了整式乘法规律性问题的解决能力，关键是能准确根据归纳出该运算规律．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD•BC＝
AP•BP．
【考点】相似三角形的判定与性质．
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【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】先根据∠DPC＝∠A＝∠B＝90°推出∠APD＝∠BCP，然后判定△APD∽△BCP，用相似三角
形的对应边成比例得到比例式，再变成等积式即可．
【解答】证明：∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，
∴∠APD+∠BPC＝90°，∠BCP+∠BPC＝90°，
∴∠APD＝∠BCP，
∴△APD∽△BCP，
AD BP
∴ = ，
AP BC
∴AD•BC＝AP•BP．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定方法和相似三角形的对
应边成比例是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）先化简再求值：（3y﹣2）（3y+2）﹣9y（y﹣1）+（y﹣2）2，其中y＝﹣2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
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【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣6．
【分析】原式利用平方差公式，单项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，合并得到最简结果，
把y的值代入计算即可求出值．
第19页（共31页）【解答】解：原式＝9y2﹣4﹣9y2+9y+y2﹣4y+4
＝y2+5y，
当y＝﹣2时，
原式＝4﹣10＝﹣6．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2x 1 1
18．（8分）解分式方程： - = ．
x2-4 x-2 5
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝3．
【分析】将原方程去分母化为整式方程，解得x的值后并检验即可．
【解答】解：原方程去分母得：10x﹣5（x+2）＝x2﹣4，
整理得：x2﹣5x+6＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x ＝2，x ＝3，
1 2
检验：当x＝2时，5（x+2）（x﹣2）＝0，
当x＝3时，5（x+2）（x﹣2）≠0，
则x＝2是分式方程的增根，
故原方程的解为x＝3．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
19．（8分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE垂线交DE于点P，已
知 AE＝AP＝1，PB=√5．
（1）求证：△APD≌△AEB；
（2）求正方形ABCD的面积．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
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【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能
力．
第20页（共31页）【答案】（1）答案见解答过程；
（2）4+√6．
【分析】（1）根据∠BAD＝90°，AE⊥AP得∠PAD＝∠EAB，由此可依据“SAS”判定△APD和
△AEB全等；
（2）过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，依题意得△AEP为等腰直角三角形，则EP=√2，∠APD
＝135°，由△APD≌△AEB得∠APD＝∠AEB＝135°，则∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝90°，由勾股定理可
√6 √6
得BE=√3，证△BEF为等腰直角三角形，从而得 BF＝EF= ，则AF＝AE+EF= +1，然后在
2 2
Rt△ABF中由勾股定理得AB2=4+√6，据此可得正方形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠PAD+∠PAB＝90°，
∵AE⊥AP，
∵∠PAB+∠EAB＝90°，
∴∠PAD＝∠EAB，
在△APD和△AEB中，
{
AD=AB
∠PAD=∠EAB，
AE=AP
∴△APD≌△AEB（SAS）；
（2）解：过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，如图所示：
∵AE＝AP＝1，AE⊥AP，
∴△AEP为等腰直角三角形，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP=√AE2+AP2=√2，
∴∠APD＝180°﹣∠APE＝135°，
∵△APD≌△AEB，
∴∠APD＝∠AEB＝135°，
第21页（共31页）∴∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，
∴△BEP为直角三角形，
∵EP=√2，BP=√5，
由勾股定理得：BE=√BP2-EP2=√3，
∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，即BF＝EF，
由勾股定理得：BF2+EF2＝BE2，
∴2BF2＝3，
√6
∴BF＝EF= ，
2
√6
∴AF＝AE+EF= +1，
2
√6 √6
在Rt△ABF中，AF= +1，BF= ，
2 2
由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2=4+√6，
∴S正方形ABCD ＝AB2=4+√6．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
勾股定理等，理解正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，
灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
20．（8分）共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享
单车的情况，随机调查了部分学生出行使用共享单车的情况，并整理成如下统计表：
使用次数 0 1 2 3 4 5
人数 1 9 14 13 11 2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这组数据的中位数是 3 ，众数是 2 ；
（2）若该校某天有2000名学生出行，请你估计这天使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人
数．
【考点】众数；用样本估计总体；中位数．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）3，2；
（2）520名．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
第22页（共31页）（2）总人数乘样本中4次及4次以上的学生人数所占比例即可．
【解答】解：（1）这组数据的中位数是第25、25个数据的平均数，而这2个数据分别为3、3，
所以这组数据的中位数是3，众数是2，
故答案为：3，2；
11+2
（2）2000× =520（名），
50
答：估计这天使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人数约为520名．
【点评】本题主要考查众数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
21．（8分）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab+b2
近似计算算术平方根的方法．
例如求√67的近似值．
因为64＜67＜81，
所以8＜√67＜9，
则√67可以设成以下两种形式：
①√67=8+s，其中0＜s＜1；
②√67=9﹣t，其中0＜t＜1．
小明以①的形式求√67的近似值的过程如表．
因为√67=8+s，
所以67＝（8+s）2，
即67＝64+16s+s2．
因为s2比较小，
将s2忽略不计，
所以67≈64+16s，
即16s≈67﹣64，
67-64 3
得s≈ = ，
16 16
3
故√67≈8+ ≈8.19．
16
【尝试探究】
（1）请用②的形式求√67的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
第23页（共31页）（2）你认为用哪一种形式得出的√67的近似值的精确度更高，请说明理由．
【考点】估算无理数的大小．
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【专题】实数；推理能力．
【答案】（1）8.22；
（2）用①的形式得出的√67的近似值的精确度更高，理由见解析．
【分析】（1）设√67=9-t，其中0＜t＜1，则仿照题意可得67＝81﹣18t+t2，t2比较小，将t2忽略不
7 7
计，则67≈81﹣18t，据此可得t≈ ，则√67≈9- ≈8.22；
9 9
（2）可求出8.18＜√67＜8.19＜8.22，据此可得结论．
【解答】解：（1）设√67=9-t，其中0＜t＜1，
∴(√67) 2=(9-t) 2，
∴67＝81﹣18t+t2，
∵t2比较小，将t2忽略不计，
∴67≈81﹣18t，
81-67 7
∴t≈ = ，
18 9
7
∴√67≈9- ≈8.22；
9
（2）用①的形式得出的√67的近似值的精确度更高，理由如下：
∵8.18×8.18＝66.9124，8.19×8.19＝67.0761，√66.9124＜√67＜√67.0761，
∴8.18＜√67＜8.19＜8.22，
∴用①的形式得出的√67的近似值的精确度更高．
【点评】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键．
22．（10分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，以CE为直径的 O与AB相切于
点E． ⊙
（1）求∠COD的度数；
（2）若BF＝2DF＝2，求AE的长．
第24页（共31页）【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；几何直观；运算能
力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）√3．
【分析】（1）根据等腰三角形性质得 BD＝CD，AD⊥BC，进而得 OD 是△CBE 的中位线，则
OD∥AB，再根据切线性质得OE⊥AB，则∠CEB＝90°，然后根据平行线的性质即可得出∠COD的度
数；
（2）连接EF，DE，依题意得BF＝2，DF＝1，则BD＝CD＝3，证明OD是线段CE的垂直平分线得
DE＝CD＝3，再由勾股定理求出EF=2√2，BE=2√3，再证明EF∥AD，然后根据平行线分线段成比
例定理即可求出AE的长．
【解答】解：（1）在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵CE是 O的直径，
∴OE＝O⊙C，
∴OD是△CBE的中位线，
∴OD∥AB，
∴∠COD＝∠CEB，
∵AB与 O相切于点E，
∴OE⊥A⊙B，
∴∠CEB＝90°，
∴∠COD＝∠CEB＝90°；
（2）连接EF，DE，如图所示：
第25页（共31页）∵BF＝2DF＝2，
∴BF＝2，DF＝1，
∴BD＝CD＝BF+DF＝3，
∵∠COD＝90°，OE＝OC，
∴OD是线段CE的垂直平分线，
∴DE＝CD＝3，
∵CE是 O的直径，
∴∠EFC⊙＝90°，
在Rt△EFD中，由勾股定理得：EF=√DE2-DF2=√32-12=2√2，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE=√BF2+EF2=√22+(2√2) 2=2√3，
∵∠EFC＝90°，AD⊥BC，
∴∠EFC＝∠ADC＝90°，
∴EF∥AD，
BE BF
根据平行线分线段成比例定理得： = ，
AE DF
BE⋅DF 2√3×1
∴AE= = =√3．
BF 2
【点评】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定
理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
23．（10分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么
称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y
＝x+1（1≤x≤2）是有上界函数，其上确界为3；函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是
2．
（1）请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×”．
①y＝x（x≤2） √ ；
第26页（共31页）②y＝x2+2x+4 × ；
③y＝﹣2x2+4x+1 √ ．
（2）一次函数y＝kx+3（﹣1≤x≤5）是有上界函数，上确界为4，求实数k的值．
（3）如果函数y＝﹣|x2﹣4|+m（0≤x≤m）是以2m2﹣m﹣3为上确界的有上界函数，求实数m的值．
【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数综合题；新定义；分类讨论；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）√、×、√；
1
（2）k＝﹣1或 ；
5
（3）m＝1．
【分析】（1）由新定义即可求解；
1
（2）当k＞0时，y随x增大而增大，当x＝5时，函数有最大值5k+3＝4，解得：k= ；k＜0时，同理
5
可解；
（3）当0≤m＜2时，函数v随x增大而增大，当x＝m时，函数有上确界：2m2﹣m﹣3﹣|m2﹣4|+m＝
2m2﹣m﹣3，即可求解；当m≥2时，同理可解．
【解答】解：（1）①当x＝2时，y＝2，
则y≤2，
故①为有上界函数；
②y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，没有上届，
故②不是有上界函数；
③y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3≤3，
故③为有上界函数，
故答案为：√、×、√；
（2）一次函数 y＝kx+3（﹣1≤x≤5）是有上界函数，上确界为4，分两种情况：
当k＞0时，y随x增大而增大，
当x＝5时，函数有最大值5k+3＝4，
1
解得：k= ；
5
k＜0时，随x增大而减小，
当x＝﹣1时，函数有最大值﹣k+3＝4，
解得：k＝﹣1
第27页（共31页）1
综上可知：k＝﹣1或 ；
5
（3）当0≤m＜2时，函数v随x增大而增大，
当x＝m时，函数有上确界：2m2﹣m﹣3﹣|m2﹣4|+m＝2m2﹣m﹣3，
则2m2﹣m+1＝0，
解得：m＝1；
当m≥2时，
x＝2时，函数有上确界2m2﹣m﹣3，
则m＝2m2﹣m﹣3，
1+√7 1-√7
解得m= （舍）或 （舍），
2 2
综上可知，m＝1．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及到一次函数的性质，新定义，熟悉函数的性质和分类
求解是解题的关键．
24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，M为AD中点，延长BM交CD的延长线于点E，连接AC，与
BM交于点F．
（1）求证：DC＝DE；
（2）如图2，将矩形ABCD改成正方形ABCD，AB＝2，其他条件不变．
MF EM
（ⅰ）求证： = ，并求出MF的值；
BF EB
（ⅱ）如图3，在BC的延长线上取点P，使得CP＝CA，延长PD与BM的延长线交于点Q，连接
QA，PA，求证：AD平分∠QAP．
【考点】四边形综合题．
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【专题】几何综合题；三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直
观；运算能力；推理能力．
第28页（共31页）【答案】（1）证明见解答；
√5
（2）证明见解答， ；
3
（3）证明见解答．
1
【分析】（1）根据矩形的性质及三角形中位线定理，证明△DEM∽△CEB，得到DE= CE，即可得
2
证；
（2）根据正方形的性质及三角形中位线定理，求出 AM，根据勾股定理求出 BM，进一步证明
△AFM∽△CFB，列出比例式即可解答；
（2）利用勾股定理求出AC，过点Q作QH⊥AD于点H，设AP交CD于点G，求出BP、PD，根据相
似三角形的判定与性质及解直角三角形，即可得证．
【解答】证明：（1）∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵M为AD中点，
1 1
∴DM= AD= BC，DM∥BC，
2 2
∴△DEM∽△CEB，
DE DM 1
∴ = = ，
CE CB 2
1
∴DE= CE，
2
∴CD＝DE；
（2）（ⅰ）∵正方形ABCD，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAD＝90°，
∵M为AD中点，
1
∴AM=DM= AD=1，
2
在Rt△ABM中，由勾股定理得BM=√AB2+AM2=√5，
由（1）知△DEM∽△CEB，
EM DM 1
∴ = = ，
EB CB 2
∵AD∥BC，
∴△AFM∽△CFB，
第29页（共31页）MF AM 1
∴ = = ，
BF CB 2
MF EM 1
∴ = = ，
BF EB 2
1 √5
∴MF= BM= ；
1+2 3
（ⅱ）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=√AB2+BC2=2√2，
过点Q作QH⊥AD于点H，设AP交CD于点G，如图，
则∠AHQ＝∠DHQ＝90°＝∠PCD，
∵CP=CA=2√2，
∴PD=√CD2+CP2=√22+(2√2) 2=2√3，BP=BC+CP=2+2√2，
∵AD∥BC，
∴∠ADG∽△PCG，△MDQ∽△BPQ，∠QDH＝∠DPC，
DG AD 2 √2 DQ DM
∴ = = = ， = ，△QDH∽△DPC，
CG PC 2√2 2 PQ PB
√2 1
∴DG= CD= ×2=2√2- 2，BP•DQ＝DM•PQ，
2+√2 √2+1
QH DH DQ
即(2+2√2)DQ=1×(2√3+DQ)， = = ，
DC PC PD
4√6-2√3
2√3 4√6-2√3 ×2
∴ DQ= = ， DQ⋅DC 7 4√2-2，
2√2+1 7 QH= = =
PD 2√3 7
4√6-2√3
×2√2
DQ⋅PC 7 8-2√2，
DH= = =
PD 2√3 7
8-2√2 6+2√2
∴AH=AD-DH=2- = ，
7 7
第30页（共31页）4√2-2
QH 7 2√2-1
∴tan∠DAQ= = = =√2-1，
AH 6+2√2 3+√2
7
DG 2√2-2
而tan∠DAP= = =√2-1，
AD 2
∴∠DAQ＝∠DAP，
∴AD平分∠QAP．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性
质，解直角三角形，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定
理是解题的关键．
第31页（共31页）
