文档内容
2026年菁优中考数学解密之概率
一．选择题（共10小题）
1．（2025•榕城区模拟）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有 5个
白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球
出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球
2．（2025•沈阳三模）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被
分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如
果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小李同学同
时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
3 6 5 9
3．（2025•顺义区一模）京剧作为中国戏曲的瑰宝，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴，深受大众喜
爱．正面印有京剧人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这两张卡片背面朝上洗匀，
从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是（ ）
第1页（共28页）1 1 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 4
4．（2025•深圳模拟）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟
试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人 79 229 385 781 1251 1562
同月过生
日”的次数
“有2个人 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781
同月过生
日”的频率
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（ ）
A．0.82 B．0.78 C．0.77 D．0.76
5．（2025•合肥校级三模）在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装
有稀硫酸、氯化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以
用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
3 4 3 6
6．（2025•阳泉模拟）五台山不仅是世界文化景观遗产，还是国家地质公园和国家森林公园．某兴趣小组
整理了三个关于五台山的研究主题：“五台山宗教历史及文化研究”“五台山传统文化和古建筑研
究”“五台山地质结构和生态环境研究”．小新和小明分别从三个主题中随机选择一个，则在他们两
个选中的主题中，至少有一个是“五台山传统文化和古建筑研究”的概率是（ ）
1 2 4 5
A． B． C． D．
3 3 9 9
7．（2025•湖南模拟）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站
D．在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数
8．（2025•济南）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种
营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
9．（2025•望花区二模）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果
第2页（共28页）如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92
生数与n的比值
A．0.92 B．0.905 C．0.903 D．0.9
10．（2025•随州模拟）如图，已知 O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在
图中取点，则这个点取在阴影部分⊙的概率是（ ）
π-2 (2-√2)π √2π π+√2
A． B． C． D．
4 4 8 16
二．填空题（共10小题）
11．（2025•上城区一模）2025年3月，国家卫健委联合16部门正式启动“体重管理年”三年行动．陈老
师为响应号召，给自己制定了五个锻炼项目，分别是：快走，慢跑，游泳，俯卧撑和深蹲．其中快走，
慢跑，游泳属于有氧运动，俯卧撑和深蹲属于无氧运动．若今天陈老师随机选择其中一项运动进行锻
炼，则选中的项目是有氧运动的概率是 ．
12．（2025•大庆）2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、
“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的
两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为 ．
13．（2025•威海一模）2022年春节贺岁档影片即将上映，小明、小红二人准备在《四海》《奇迹》《断
桥》《狙击手》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二
人恰好选择同一部影片观看的概率为 ．
14．（2025•义乌市二模）已知一个不透明的布袋里装有4个黑球和3个白球，它们除颜色外都相同．从
中任意摸出一个球，恰好摸到黑球的概率是 ．
15．（2025•朝阳县二模）如图，某一时刻停车场内有序号为1、2、3的三个空车位顺次排成一排，现有
甲，乙两车需要随机停放到其中一个车位，则甲，乙两车停放在不相邻的位置的概率是
．
第3页（共28页）16．（2025•徐汇区模拟）小明在端午节煮了20个粽子，其中10个鲜肉粽，6个红枣粽，剩下的是赤豆粽，
这些粽子除馅料不同外其它都相同．小明随意吃一个，吃到赤豆粽的概率是 ．
17．（2025•嘉峪关校级二模）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是
用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息．九年
级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码上随机掷
点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在 0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区
域的面积为
18．（2025•新昌县一模）从﹣1，0，2这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标，则该点在坐标轴上
的概率为 ．
19．（2025•湖北模拟）如图所示是小华设计的物理电路图，假设开关①、②、③、④都处于断开状态，
现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为 ．
20．（2025•金凤区校级三模）2025年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邮票全国首发，
贵州贵阳因有“蛇场”命名地，特同步在贵阳黔灵山公园举行首发活动，为庆贺蛇年新春拉开了序幕．
为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机
投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的）经过反复大量的重复试验，发现这个点
落在蛇形图案上的频率稳定在0.3左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为
．
第4页（共28页）三．解答题（共5小题）
21．（2025•宜宾）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部
分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸．
每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是 ，并补全条形统计图；
（2）若七年级新生共有600人，估计有 人喜欢乒乓球运动；
（3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选
2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率．
22．（2025•广元）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学
生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进
行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）抽取的学生人数是 ，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是 ，
补全条形统计图；
（2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？
（3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相
同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率．
第5页（共28页）23．（2025•铁西区校级一模）2024世界航海装备大会，以“承载人类梦想 驶向星辰大海”为主题，于
2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中心举办．为进一步提升学生对航海知识的了解，学校
精心组织了一场航海知识竞赛，竞赛设置了A，B，C，D四个赛道．甲，乙两名同学被随机安排参加
其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同．
（1）求甲同学参加A赛道的概率；
（2）求甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率．
24．（2025•玄武区二模）如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区
剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车．
（1）甲停在A区的概率是 ；
（2）求甲、乙停在相同区域的概率．
25．（2025•绥化）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一
致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高x（单位：cm）数据分为A、B、C、
D、E五组，并制成了如下不完整的统计图表．
组别 身高分组 人数
A 155≤x＜160 5
B 160≤x＜165 4
C 165≤x＜170 m
D 170≤x＜175 12
第6页（共28页）E 175≤x＜180 9
根据以上信息回答：
（1）这次抽查的志愿者共有 人，扇形统计图中A的圆心角度数是 ，请补全条
形统计图．
（2）若B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画材状图法，
求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率．
第7页（共28页）2026年菁优中考数学解密之概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B D D D A A A
一．选择题（共10小题）
1．（2025•榕城区模拟）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有 5个
白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球
出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球
【考点】利用频率估计概率．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【答案】B
【分析】分别求出白球、红球和黄球被取到的概率，再结合图表给出某种颜色的球出现的频率即可得
到问题的选项．
【解答】解：∵不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，
5 1 3 2 1
∴白球被取得的概率= = ，红球被取得的概率= ，黄球被取得的概率= = ，
10 2 10 10 5
由频率图可知，某球被取得的频率大约在0.2左右波动，接近黄球被取得的概率，
故选：B．
【点评】本题考查频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．
2．（2025•沈阳三模）学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被
分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如
第8页（共28页）果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小李同学同
时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
3 6 5 9
【考点】列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有
3种情况，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
3 1
∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是 = ，
9 3
故选：A．
【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求
情况数与总情况数之比．
3．（2025•顺义区一模）京剧作为中国戏曲的瑰宝，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴，深受大众喜
爱．正面印有京剧人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这两张卡片背面朝上洗匀，
从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是（ ）
第9页（共28页）1 1 1 3
A． B． C． D．
4 3 2 4
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片正面相同的结果数，再利用概率公式可
得出答案．
【解答】解：将这两张卡片分别记为A，B，
列表如下：
A B
A （A，A） （A，B）
B （B，A） （B，B）
共有4种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有2种，
2 1
∴两次抽取的卡片正面相同的概率为 = ．
4 2
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
4．（2025•深圳模拟）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟
试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人 79 229 385 781 1251 1562
同月过生
日”的次数
“有2个人 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781
同月过生
日”的频率
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（ ）
A．0.82 B．0.78 C．0.77 D．0.76
【考点】利用频率估计概率．
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【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】根据表格中的数据解答即可．
【解答】解：通过图表给出的数据得出，随着实验次数的增加，“有2个人同月过生日”的频率稳定
第10页（共28页）在0.781附近，
∴该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78．
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，熟知在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个
常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率是解题的关键．
5．（2025•合肥校级三模）在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装
有稀硫酸、氯化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以
用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
3 4 3 6
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两瓶溶液都可以用于除铁锈的结果数，再利用概率公
式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
稀硫酸 氯化钠 稀盐酸 碳酸钠
稀硫酸 （稀硫 （稀硫 （稀硫酸，
酸，氯化 酸，稀盐 碳酸钠）
钠） 酸）
氯化钠 （氯化 （氯化 （氯化钠，
钠，稀硫 钠，稀盐 碳酸钠）
酸） 酸）
稀盐酸 （稀盐 （稀盐 （稀盐酸，
酸，稀硫 酸，氯化 碳酸钠）
酸） 钠）
碳酸钠 （碳酸 （碳酸 （碳酸
钠，稀硫 钠，氯化 钠，稀盐
酸） 钠） 酸）
共有12种等可能的结果，其中这两瓶溶液都可以用于除铁锈的结果有：（稀硫酸，稀盐酸），（稀盐
酸，稀硫酸），共2种，
2 1
∴这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率为 = ．
12 6
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
第11页（共28页）6．（2025•阳泉模拟）五台山不仅是世界文化景观遗产，还是国家地质公园和国家森林公园．某兴趣小组
整理了三个关于五台山的研究主题：“五台山宗教历史及文化研究”“五台山传统文化和古建筑研
究”“五台山地质结构和生态环境研究”．小新和小明分别从三个主题中随机选择一个，则在他们两
个选中的主题中，至少有一个是“五台山传统文化和古建筑研究”的概率是（ ）
1 2 4 5
A． B． C． D．
3 3 9 9
【考点】列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及至少有一个是“五台山传统文化和古建筑研究”的结果
数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将三个主题分别记为A，B，C，
列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能的结果，其中至少有一个是“五台山传统文化和古建筑研究”的结果有：（A，B），
（B，A），（B，B），（B，C），（C，B），共5种，
5
∴至少有一个是“五台山传统文化和古建筑研究”的概率为 ．
9
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
7．（2025•湖南模拟）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站
D．在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数
【考点】可能性的大小．
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【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据可能性大小的定义即可判断．
第12页（共28页）【解答】解：A、将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5，是随机事件，不符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意；
C、经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站，是随机事件，不符合题意；
D、在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数，是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了可能性的大小，熟知不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定
事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
8．（2025•济南）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种
营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；推理能力；应用意识．
【答案】A
【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公
式求解即可．
【解答】解：画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种，
4 1
∴ = ．
16 4
故选：A．
【点评】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
9．（2025•望花区二模）某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果
如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
第13页（共28页）体质健康合格的学 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92
生数与n的比值
A．0.92 B．0.905 C．0.903 D．0.9
【考点】利用频率估计概率．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】利用大量重复实验时的频率课估计概率求解即可．
【解答】解：随着累计抽测学生数的增大，体质健康合格的学生数与n的比值逐渐稳定于0.92，
所以对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是0.92，
故选：A．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆
动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个
固定的近似值就是这个事件的概率．
10．（2025•随州模拟）如图，已知 O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在
图中取点，则这个点取在阴影部分⊙的概率是（ ）
π-2 (2-√2)π √2π π+√2
A． B． C． D．
4 4 8 16
【考点】几何概率；正方形的性质；三角形的内切圆与内心；正多边形和圆．
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【专题】概率及其应用；矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】A
【分析】设OA＝a，则OB＝OC＝a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和
圆的面积，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：如图，设OA＝a，OB＝OC＝a，
由正方形的性质可知∠AOB＝90°，
AB=√a2+a2=√2a，
由正方形的性质可得CD＝CE＝OC＝a，
第14页（共28页）∴DE＝2a，
S =S -S =πa2-(√2a) 2=(π-2)a2，
阴影 圆 小正方形
S =4a2 ，
大正方形
(π-2)a2 π-2
∴这个点取在阴影部分的概率是 = ，
4a2 4
故选：A．
【点评】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据
题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025•上城区一模）2025年3月，国家卫健委联合16部门正式启动“体重管理年”三年行动．陈老
师为响应号召，给自己制定了五个锻炼项目，分别是：快走，慢跑，游泳，俯卧撑和深蹲．其中快走，
慢跑，游泳属于有氧运动，俯卧撑和深蹲属于无氧运动．若今天陈老师随机选择其中一项运动进行锻
3
炼，则选中的项目是有氧运动的概率是 ．
5
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
3
【答案】 ．
5
【分析】随机选择其中一项运动进行锻炼共有5种等可能结果，选中的项目是有氧运动的有 3种结果，
再根据概率公式求解即可．
【解答】解：随机选择其中一项运动进行锻炼共有 5种等可能结果，选中的项目是有氧运动的有 3种
结果，
3
所以选中的项目是有氧运动的概率是 ，
5
第15页（共28页）3
故答案为： ．
5
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结
果数÷所有可能出现的结果数．
12．（2025•大庆）2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、
“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的
1
两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为 ．
6
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
1
【答案】 ．
6
【分析】根据题意记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦Al''、“文心一言”分别用字母A，B，C，D表
示，列出表格表示出所有等可能的结果，再找出恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的结果，再根据概
率公式计算即可．
【解答】解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦A′”、“文心一言”分别用字母A，B，C，D表示，
根据题意可列出表格如下：
A B C D
A 一 （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） 一 （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） 一 （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） 一
由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的有2种结果，
2 1
小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为 = ，
12 6
1
故答案为： ．
6
【点评】本题考查列表法或画树状图求概率，掌握概率公式是解题的关键．
13．（2025•威海一模）2022年春节贺岁档影片即将上映，小明、小红二人准备在《四海》《奇迹》《断
桥》《狙击手》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二
1
人恰好选择同一部影片观看的概率为 ．
4
第16页（共28页）【考点】列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
1
【答案】 ．
4
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两人选择同一部电影的有4种情况，
1
∴二人恰好选择同一部影片观看的概率为 ，
4
1
故答案为： ．
4
【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求
情况数与总情况数之比．
14．（2025•义乌市二模）已知一个不透明的布袋里装有4个黑球和3个白球，它们除颜色外都相同．从
4
中任意摸出一个球，恰好摸到黑球的概率是 ．
7
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；推理能力．
4
【答案】 ．
7
【分析】用黑球的个数除以球的总个数即可求得摸到黑球的概率．
【解答】解：∵一个口袋里装有4个黑球，3个白球，
4 4
∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为： = ．
4+3 7
4
故答案为： ．
7
【点评】本题考查了概率公式，掌握概率公式是解决此题的关键；
15．（2025•朝阳县二模）如图，某一时刻停车场内有序号为1、2、3的三个空车位顺次排成一排，现有
第17页（共28页）1
甲，乙两车需要随机停放到其中一个车位，则甲，乙两车停放在不相邻的位置的概率是 ．
3
【考点】列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及甲，乙两车停放在不相邻的位置的结果数，再利用概率
公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
1 2 3
1 （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，3）
3 （3，1） （3，2）
共有6种等可能的结果，其中甲，乙两车停放在不相邻的位置的结果有：（1，3），（3，1），共2
种，
2 1
∴甲，乙两车停放在不相邻的位置的概率是 = ．
6 3
1
故答案为： ．
3
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
16．（2025•徐汇区模拟）小明在端午节煮了20个粽子，其中10个鲜肉粽，6个红枣粽，剩下的是赤豆粽，
1
这些粽子除馅料不同外其它都相同．小明随意吃一个，吃到赤豆粽的概率是 ．
5
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
1
【答案】 ．
5
【分析】利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵20个粽子中有20﹣10﹣6＝4个赤豆粽，
4 1
∴小明随意吃一个，吃到赤豆粽的概率是 = ，
20 5
第18页（共28页）1
故答案为： ．
5
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
17．（2025•嘉峪关校级二模）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是
用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息．九年
级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码上随机掷
点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在 0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区
域的面积为 5. 4 cm 2
【考点】利用频率估计概率．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
【解答】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右
则点落入黑色部分的频率稳定在1﹣0.4＝0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为9×0.6＝5.4（cm2）．
故答案为：5.4cm2．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．
18．（2025•新昌县一模）从﹣1，0，2这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标，则该点在坐标轴上
2
的概率为 ．
3
【考点】列表法与树状图法；点的坐标；概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
2
【答案】 ．
3
【分析】根据列表法求得该点刚好在坐标轴上的情况有4种，进而根据概率公式求概率即可求解．
【解答】解：从﹣1，0，2这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标，列表如下：
第19页（共28页）﹣1 0 2
﹣1 ﹣ （﹣1，0） （﹣1，2）
0 （0，﹣1） ﹣ （0，2）
2 （2，﹣1） （2，0） ﹣
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种，
4 2
所以该点在坐标轴上的概率= =
6 3
2
故答案为： ．
3
【点评】本题考查列表法与树状图法，点的坐标，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
19．（2025•湖北模拟）如图所示是小华设计的物理电路图，假设开关①、②、③、④都处于断开状态，
1
现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为 ．
3
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
1
【答案】 ．
3
【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【解答】解：开关①、②、③、④都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，列表如下：
① ② ③ ④
① ﹣ ①，② ①，③ ①，④
② ②，① ﹣ ②，③ ②，④
③ ③，① ③，② ﹣ ③，④
④ ④，① ④，② ④，③ ﹣
共12种等可能的结果，其中能让小灯泡发光的结果有4种，
4 1
∴P= = ；
12 3
1
故答案为： ．
3
第20页（共28页）【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
20．（2025•金凤区校级三模）2025年是农历乙巳年，1月5日，中国邮政《乙巳年》特种邮票全国首发，
贵州贵阳因有“蛇场”命名地，特同步在贵阳黔灵山公园举行首发活动，为庆贺蛇年新春拉开了序幕．
为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机
投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的）经过反复大量的重复试验，发现这个点
落在蛇形图案上的频率稳定在0.3左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为
1.8 cm 2 ．
【考点】利用频率估计概率．
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【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】1.8cm2．
【分析】已知这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.3左右，根据频率估计概率的知识可得：这个点
落在蛇形图案上的概率约为0.3，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为0.3，
所以邮票上蛇形图案的面积约为6×0.3＝1.8（cm2）．
故答案为：1.8cm2．
【点评】本题考查了利用频率和概率，解题的关键是了解大量重复实验中频率可以估计概率，难度不
大．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•宜宾）某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部
分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸．
每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图．
第21页（共28页）请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 10 0 名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是 1 0 人 ，并补全条形统计图；
（2）若七年级新生共有600人，估计有 15 0 人喜欢乒乓球运动；
（3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选
2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图．
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【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）100；10人；补全条形统计图见解答．
（2）150．
1
（3） ．
6
【分析】（1）用条形统计图中“演讲与口才”的人数除以扇形统计图中“演讲与口才”的百分比可得
本次调查的学生人数；用本次调查的学生人数乘以扇形统计图中“舞蹈”的百分比可得喜爱舞蹈的学
生人数，再补全条形统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用600乘以样本中喜欢乒乓球的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及同时选中甲乙两人的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次共调查了5÷5%＝100（名）学生．
喜爱舞蹈的学生人数是100×10%＝10（人）．
补全条形统计图如图所示．
第22页（共28页）故答案为：100；10人．
25
（2）600× =150（人）．
100
∴估计有150人喜欢乒乓球运动．
故答案为：150．
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲， （甲， （甲，丁）
乙） 丙）
乙 （乙， （乙， （乙，丁）
甲） 丙）
丙 （丙， （丙， （丙，丁）
甲） 乙）
丁 （丁， （丁， （丁，
甲） 乙） 丙）
共有12种等可能的结果，其中同时选中甲乙两人的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种，
2 1
∴同时选中甲乙两人的概率为 = ．
12 6
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法
与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
22．（2025•广元）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学
生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进
行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）抽取的学生人数是 5 0 ，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是 72 ° ，补全
条形统计图；
（2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？
（3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相
第23页（共28页）同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
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【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由B类的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校八年级学生人数乘以填报C类研学项目的学生所占的比例即可；
（3）列表得出共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人填报同一项目的结果有3种，再由概率公式求
解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数是16÷32%＝50（人），
10
∴扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是360°× =72°，
50
C类的人数是50﹣8﹣16﹣10﹣6＝10（人），
故答案为：50人，72°，
补全条形统计图如下：
10
（2）400× =80（人），
50
答：估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有80人；
（3）列表如下：
甲 A B C
第24页（共28页）乙
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人填报同一项目的结果有3种，
3 1
∴他们两人填报同一项目的概率为 = ．
9 3
【点评】本题考查的是用列表法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识．列表法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
23．（2025•铁西区校级一模）2024世界航海装备大会，以“承载人类梦想 驶向星辰大海”为主题，于
2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中心举办．为进一步提升学生对航海知识的了解，学校
精心组织了一场航海知识竞赛，竞赛设置了A，B，C，D四个赛道．甲，乙两名同学被随机安排参加
其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同．
（1）求甲同学参加A赛道的概率；
（2）求甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用概率公式解答即可；
（2）通过列表法展示所有等可能的结果数和甲、乙两名同学至少有一人参加A赛道的结果数，然后根
据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）∵竞赛设置了A，B，C，D四个赛道，
1
∴甲同学参加A赛道的概率为 ；
4
（2）列表如下：
甲乙 A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的结果为7
第25页（共28页）种，
7
∴甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率为 ．
16
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
24．（2025•玄武区二模）如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区
剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车．
2
（1）甲停在A区的概率是 ；
5
（2）求甲、乙停在相同区域的概率．
【考点】几何概率；列表法与树状图法．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
2
【答案】（1） ；
5
2
（2） ．
5
【分析】（1）甲车停在停车位上共有5种情况，而甲停在A区有两种情况，根据概率公式求甲停在A
区的概率；
（2）分别将A、B两个停车区域的空车位即为“A ”“A ”“B ”“B ”“B ”，列出甲、乙两辆车随机停入这5
1 2 1 2 3
个空车位的所有情况，再找出甲、乙停在相同区域的情况，然后根据概率公式求概率即可．
【解答】解：（1）甲车停在停车位上共有5种情况，而甲停在A区有两种情况，
2
∴甲停在A区的概率是 ，
5
2
故答案为： ；
5
（2）分别将A、B两个停车区域的空车位即为“A ”“A ”“B ”“B ”“B ”，
1 2 1 2 3
则根据题意列出所有可能出现的结果有：
（A ，A ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），
1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3
（B B ），（B ，B ），（B ，B ）共有10种，它们出现的可能性相同，
1 2 1 3 2 3
第26页（共28页）所有的结果中，满足“甲、乙两人停在相同区域”（记为事件A）的结果有4种，即（A ，A ），
1 2
（B ，B ），（B ，B ），（B ，B ），
1 2 1 3 2 3
4 2
所以P（A）= = ．
10 5
【点评】本题考查几何概率，关键是掌握概率的计算公式．
25．（2025•绥化）2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一
致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高x（单位：cm）数据分为A、B、C、
D、E五组，并制成了如下不完整的统计图表．
组别 身高分组 人数
A 155≤x＜160 5
B 160≤x＜165 4
C 165≤x＜170 m
D 170≤x＜175 12
E 175≤x＜180 9
根据以上信息回答：
（1）这次抽查的志愿者共有 40 人，扇形统计图中A的圆心角度数是 45 ° ，请补全条形统计
图．
（2）若B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画材状图法，
求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；概率公式．
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【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）40；45°；补全条形统计图见解答．
1
（2） ．
6
【分析】（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得这次抽查的志愿者人数；
用360°乘以A的人数所占的百分比，即可得出答案；求出C组的人数，补全条形统计图即可．
第27页（共28页）（2）列表可得出所有等可能的结果数以及刚好抽中两名女志愿者担任组长的结果数，再利用概率公式
可得出答案．
【解答】解：（1）这次抽查的志愿者共有12÷30%＝40（人）．
5
扇形统计图中A的圆心角度数是360°× =45°．
40
故答案为：40；45°．
C组的人数为40×25%＝10（人），
补全条形统计图如图所示．
（2）列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者担任组长的结果有2种，
2 1
∴刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率为 = ．
12 6
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能
够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．
第28页（共28页）
