文档内容
2025年浙江省杭州市钱塘区中考数学三模试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．（3分）（2025•钱塘区三模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2025•钱塘区三模）如图是由5个相同的小立方体块搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2025•钱塘区三模）2025年一季度，浙江省地区生产总值（GDP）达223000000万元．数据
223000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.223×109 B．22.3×109 C．2.23×108 D．2.23×109
4．（3分）（2025•钱塘区三模）括号内填入“a2”后能使等式成立的是（ ）
A．a3+（ ）＝a5 B．（ ）•a3＝a6
C．（ ）÷a3＝a D．（ ）3＝a6
5．（3分）（2025•钱塘区三模）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
a b
A．a+b＜2b B．a﹣c＜b+c C．ac＜bc D． ＜
c c
6．（3分）（2025•钱塘区三模）已知 A（﹣3，a），B（3，a），C（5，a+m）（m＞0）三点在同一函
数图象上，则该函数图象可能是（ ）
第1页（共28页）A． B．
C． D．
7．（3分）（2025•钱塘区三模）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，A，C的对应点分别
为D，E，AC的延长线分别交BD，DE于点F，G，下列结论正确的是（ ）
A．AC＝CG B．∠ABC＝∠BDE C．AG⊥DE D．GB∥DE
8．（3分）（2025•钱塘区三模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，D为AC上一点，BC＝BD，过点C作
CE⊥BD于点E，交AB于点F．若∠ABD＝ （0°＜ ＜45°），则∠BCF的大小为（ ）
α α
A．2a B．45°﹣ C．45°+ D．90°﹣
α α α k
9．（3分）（2025•钱塘区三模）已知A（x ，﹣2），B（x ，2）在反比例函数y= （k为常数，k≠0）
1 2 x
的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．若k＞0，则x ＜0＜x B．若k＞0，则0＜x ＜x
2 1 2 1
C．若k＜0，则x ＜x ＜0 D．若k＜0，则x ＜0＜x
1 2 2 1
第2页（共28页）10．（3分）（2025•钱塘区三模）如图，四边形ABCD是正方形，点F在边AD上运动（不与端点重合），
连结 CF，以 CF 为对角线作正方形 CEFG，连结 BG，DE．当点 F 运动时，下列比值不变的是
（ ）
CF AF CE AD
A． B． C． D．
BG BG BG BG
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）（2025•钱塘区三模）因式分解：m2+2m＝ ．
12．（3分）（2025•钱塘区三模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O．若∠1＝40°，则∠2
＝ ．
13．（3分）（2025•钱塘区三模）已知一个不透明的盒子中装有1个白球，2个红球，3个黑球，它们除
颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，恰好为红球的概率是 ．
14．（3分）（2025•钱塘区三模）若关于x的方程x2﹣2x+2﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范
围是 ．
15．（3分）（2025•钱塘区三模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是AE的中点，
连结DE，BF交于点G．若EG＝6，则DG＝ ．
16．（3分）（2025•钱塘区三模）如图，在平行四边形 ABCD中，E，F分别在AD，BC上，AE＝CF，
且DE＞2AE，把△ABE，△CDF分别沿BE，DF折叠，A，C的对应点分别为G，H．若E，G，H，F
第3页（共28页）四点恰好在同一直线上，∠GFB＝60°，GH＝1，AD＝7，则AB的长是 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
17．（8分）（2025•钱塘区三模）计算：4sin45°+( ) -1-√8-|-2|．
3
{2x-1＜5-x，
18．（8分）（2025•钱塘区三模）解不等式组： 3x-1
＜x.
4
19．（8分）（2025•钱塘区三模）如图，在矩形ABCD中，将BC绕点B旋转至BC′，C′在AD上，过点
C′作GC′⊥BC′，交CD于点G，连结BG．
（1）求证：GC＝GC′．
（2）若AB＝5，BC＝13，求GC的长．
20．（8分）（2025•钱塘区三模）学校以班级为单位选拔学生参加校知识竞赛，在选拔赛中，每班参加
比赛人数均相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80
分，70分，学校将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）求出表格中a，b，c的值．
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 a 90 c
二班 87 b 80
（2）根据（1）中的统计量，应选哪个班级参加校知识竞赛？请说明理由．
第4页（共28页）21．（8分）（2025•钱塘区三模）如图，A，B，C在 O上，连结AB，AC，求作^BC的中点D．
下面是甲同学的作法： ⊙
以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF为
半径画弧交于点P，射线AP交 O于点D，即为所求．
（1）请根据甲同学的作法，在⊙图1中画出点D，并判断该作法是否正确，说明理由．
（2）请尝试用其他方法，在图2中画出点D．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
22．（10分）（2025•钱塘区三模）已知A，B两地间有一条300千米的高速公路，甲车以100千米/时的
速度从A地匀速开往B地，乙车以m千米/时的速度从B地匀速开往A地，两车同时出发，分别到达目
的地后停止．甲，乙两车相距的路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）请根据题意，直接写出a，b，m的值．
（2）求甲，乙两车相遇后s与t之间的函数关系式．
23．（10分）（2025•钱塘区三模）在平面直角坐标系中，（﹣3，m），（1，n）在二次函数y＝x2﹣
第5页（共28页）2bx+c的图象上．
（1）当m＝n＝0时，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若m≤n，求b的取值范围．
（3）若m+n＝8，且当﹣2≤x≤2时，y有最小值﹣4，求b的值．
24．（12分）（2025•钱塘区三模）如图，△ABC内接于 O，∠BAC＝90°，D是AB的中点，连结CD，
过点A作AE⊥CD于E，交 O于F，过点B作BH⊥AF⊙于H．
（1）若∠F＝50°，求∠AB⊙C的大小．
BH 8
（2）若 = ，求 tan∠BAF的值．
CE 9
（3）求证：AE＝HF．
第6页（共28页）2025年浙江省杭州市钱塘区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C． D A B C A D B
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．（3分）（2025•钱塘区三模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
菁优网版权所有
【答案】D
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就
叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形；据此进行判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）（2025•钱塘区三模）如图是由5个相同的小立方体块搭成的几何体，它的主视图是（ ）
第7页（共28页）A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
菁优网版权所有
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】B
【分析】根据主视图是从正面看，得出结论即可．
【解答】解：由题意知，原组合体的主视图为 ．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3分）（2025•钱塘区三模）2025年一季度，浙江省地区生产总值（GDP）达223000000万元．数据
223000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.223×109 B．22.3×109 C．2.23×108 D．2.23×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
【专题】实数；符号意识．
【答案】C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：223000000＝2.23×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2025•钱塘区三模）括号内填入“a2”后能使等式成立的是（ ）
A．a3+（ ）＝a5 B．（ ）•a3＝a6
C．（ ）÷a3＝a D．（ ）3＝a6
【考点】整式的除法；同底数幂的乘法．
菁优网版权所有
第8页（共28页）【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】A．根据a3，a2不是同类项，不能合并，进行判断即可；
B．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
C．根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
D．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵a3，a2不是同类项，不能合并，∴括号内填入“a2”后不能使等式成立，故此选项
不符合题意；
B．∵a2•a3＝a5，∴括号内填入“a2”后不能使等式成立，故此选项不符合题意；
1
C．∵a2÷a3=a-1= ，∴括号内填入“a2”后不能使等式成立，故此选项不符合题意；
a
D．∵（a2）3＝a6，∴括号内填入“a2”后能使等式成立，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则和幂的乘方法则．
5．（3分）（2025•钱塘区三模）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
a b
A．a+b＜2b B．a﹣c＜b+c C．ac＜bc D． ＜
c c
【考点】不等式的性质．
菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质逐一进行分析判断即可．
【解答】解：A．∵a＜b，
∴a+b＜2b，故A选项正确，符合题意；
B．∵a＜b，
∴a﹣c＜b﹣c，故B选项错误，不符合题意；
C．∵a＜b，
∴当c＞0时，ac＜bc，当c＜0时，ac＞bc，当c＝0时，ac＝bc，故C选项错误，不符合题意；
D．∵a＜b，
a b a b
∴当c＞0时， ＜ ，当c＜0时， ＞ ，故D选项错误，不符合题意；
c c c c
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
第9页（共28页）6．（3分）（2025•钱塘区三模）已知 A（﹣3，a），B（3，a），C（5，a+m）（m＞0）三点在同一函
数图象上，则该函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】B
【分析】由点 A（﹣3，a），B（3，a）的坐标特点，可知函数图象关于 y轴对称，再根据B（3，
a），C（5，a+m）（m＞0）的特点和函数的性质，可知在对称轴右侧y随x的增大而增大，由此得出
答案．
【解答】解：由点的坐标特征可知点A与点B关于y轴对称；
由于选项C、D的图象关于原点对称，因此选项C、D不符合题意；
由B、C坐标可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
观察选项A、B，只有B选项的图象在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
7．（3分）（2025•钱塘区三模）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，A，C的对应点分别
为D，E，AC的延长线分别交BD，DE于点F，G，下列结论正确的是（ ）
A．AC＝CG B．∠ABC＝∠BDE C．AG⊥DE D．GB∥DE
第10页（共28页）【考点】旋转的性质；平行线的判定．
菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质逐一判断即可．
【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，
∴AC⊥DE，
即AG⊥DE，
故选项C正确，符合题意，
由已知条件无法得出选项A，B，D中的结论，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
8．（3分）（2025•钱塘区三模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，D为AC上一点，BC＝BD，过点C作
CE⊥BD于点E，交AB于点F．若∠ABD＝ （0°＜ ＜45°），则∠BCF的大小为（ ）
α α
A．2a B．45°﹣ C．45°+ D．90°﹣
【考点】等腰三角形的性质． α α α
菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形外角性质求出∠BDC＝45°+ ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD＝∠BDC＝45°
+ ，进而得∠CBD＝90°﹣2 ，然后根据CE⊥BDα即可得出∠BCF的度数．
【α解答】解：在△ABD中，α∠A＝45°，∠ABD＝ （0°＜ ＜45°），
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+ ， α α
∵BC＝BD， α
∴∠BCD＝∠BDC＝45°+ ，
在△BCD中，∠CBD＝1α80°﹣（∠BCD+∠BDC）＝180°﹣（45°+ +45°+ ）＝90°﹣2 ，
∵CE⊥BD， α α α
∴∠BCF+∠CBD＝90°，
第11页（共28页）∴∠BCF＝90°﹣∠CBD＝90°﹣（90°﹣2 ）＝2 ，
故选：A． α α
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．
k
9．（3分）（2025•钱塘区三模）已知A（x ，﹣2），B（x ，2）在反比例函数y= （k为常数，k≠0）
1 2 x
的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．若k＞0，则x ＜0＜x B．若k＞0，则0＜x ＜x
2 1 2 1
C．若k＜0，则x ＜x ＜0 D．若k＜0，则x ＜0＜x
1 2 2 1
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：A、k＞0，图象分布在第一、三象限，A在第三象限，B在第一象限，故x ＞0＞x1，选项
2
说法错误，不符合题意；
B、k＞0，图象分布在第一、三象限，A在第三象限，B在第一象限，故x ＞0＞x1，选项说法错误，不
2
符合题意；
C、k＜0，图象分布在第二、四象限，A在第四象限，B在第二象限，故x ＜0＜x1，选项说法错误，
2
不符合题意；
D、k＜0，图象分布在第二、四象限，A在第四象限，B在第二象限，故x ＜0＜x1，选项说法正确，
2
符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
10．（3分）（2025•钱塘区三模）如图，四边形ABCD是正方形，点F在边AD上运动（不与端点重合），
连结 CF，以 CF 为对角线作正方形 CEFG，连结 BG，DE．当点 F 运动时，下列比值不变的是
（ ）
CF AF CE AD
A． B． C． D．
BG BG BG BG
第12页（共28页）【考点】正方形的性质；列代数式．
菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】延长AD到H，使DH＝AF，连接EH，根据正方形的性质及平行线的性质证明∠BCG＝
∠DCE＝∠DFE，FH＝AD＝CD，进而可依据“SAS”判定△FHE和△CDE全等则HE＝DE，∠FEH＝
∠CED，由此得∠DEH＝∠CEF＝90°，则△DEH是等腰直角三角形，由勾股定理得AF＝DH=√2
AF AF
DE，则 =√2，再证明△BCG和△DCE全等得BG＝DE，继而得 =√2，由此即可得出答案．
DE BG
【解答】解：延长AD到H，使DH＝AF，连接EH，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝CB，AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠BCF＝∠DFC，
∵四边形CEFG是正方形，
∴FE＝CE＝CG，∠CEF＝∠GCE＝90°，∠GCF＝∠EFC＝45°，
∴∠BCF﹣∠GCF＝∠DFC﹣∠EFC，
∴∠BCG＝∠DFE，
∵∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCG+∠GCD＝∠GCD+∠DCE，
∴∠BCG＝∠DCE，
∴∠DFE＝∠DCE，
∵DH＝AF，
∴DH+DF＝AF+DF，
∴FH＝AD＝CD，
在△FHE和△CDE中，
{
FH=CD
∠DFE=∠DCE，
FE=CE
第13页（共28页）∴△FHE≌△CDE（SAS），
∴HE＝DE，∠FEH＝∠CED，
∴∠FED+∠DEH＝∠FED+∠CEF，
∴∠DEH＝∠CEF＝90°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DH=√DE2+H E2=√2DE，
∴AF=√2DE，
AF
∴ =√2，
DE
在△BCG和△DCE中，
{
CB=CD
∠BCG=∠DCE，
CG=CE
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，
AF
∴ =√2，
BG
∴当点F运动时，AF/BG的值不变，始终等于√2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等
腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）（2025•钱塘区三模）因式分解：m2+2m＝ m （ m +2 ） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】m（m+2）．
【分析】根据因式分解的定义，用提公因式法得m2+2m＝m（m+2）．
【解答】解：m2+2m＝m（m+2）．
故答案为：m（m+2）．
【点评】本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握公因式的找法是解题的关键．
12．（3分）（2025•钱塘区三模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O．若∠1＝40°，则∠2
＝ 50 ° ．
第14页（共28页）【考点】垂线；对顶角、邻补角．
菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】50°．
【分析】先根据已知条件和垂直定义求出∠BOE，再根据∠1+∠BOE+∠AOC＝180°和已知条件，求出
∠AOC，最后根据对顶角相等求出∠2即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠1+∠BOE+∠AOC＝180°，∠1＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∴∠2＝∠AOC＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了对顶角和邻补角，解题关键是熟练掌握对顶角的性质和垂直定义．
13．（3分）（2025•钱塘区三模）已知一个不透明的盒子中装有1个白球，2个红球，3个黑球，它们除
1
颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，恰好为红球的概率是 ．
3
【考点】概率公式．
菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；应用意识．
1
【答案】 ．
3
【分析】根据概率公式求从中随机摸出一个球恰好为红球的概率．
【解答】解：从不透明的盒子中随机摸出一个球有6中情况，
从中随机摸出一个球，恰好为红球有2种情况，
2 1
∴从中随机摸出一个球，恰好为红球的概率是 = ，
6 3
1
故答案为： ．
3
【点评】本题主要考查概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可
能出现的结果数是解题的关键．
第15页（共28页）14．（3分）（2025•钱塘区三模）若关于x的方程x2﹣2x+2﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范
围是 k ＞ 1 ．
【考点】根的判别式．
菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k＞1．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结
论．
【解答】解：根据题意得：Δ＝（﹣2）2﹣4（2﹣k）＝﹣4+4k＞0，
解得：k＞1，
即k的取值范围为k＞1．
故答案为：k＞1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
15．（3分）（2025•钱塘区三模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是AE的中点，
连结DE，BF交于点G．若EG＝6，则DG＝ 3 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
菁优网版权所有
【专题】三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】3．
1
【分析】根据三角形中位线定理得 DE∥BC，DE= BC，根据相似三角形的判定和性质得
2
GE FE 1
△EFG∽△CFB，可得 = = ，则BC＝18，DE＝9，根据线段的和差计算即可．
BC FC 3
【解答】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
1
∴DE∥BC，DE= BC，AE＝CE，
2
∵点F是AE的中点，
∴AE＝CE＝2FE，
∴FC＝3FE，
第16页（共28页）∵DE∥BC，
∴△EFG∽△CFB，
GE FE 1
∴ = = ，
BC FC 3
∵EG＝6，
∴BC＝18，
∴DE＝9，
∴DG＝DE﹣EG＝9﹣6＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定和性质
定理以及三角形中位线定理是解题的关键．
16．（3分）（2025•钱塘区三模）如图，在平行四边形 ABCD中，E，F分别在AD，BC上，AE＝CF，
且DE＞2AE，把△ABE，△CDF分别沿BE，DF折叠，A，C的对应点分别为G，H．若E，G，H，F
四点恰好在同一直线上，∠GFB＝60°，GH＝1，AD＝7，则AB的长是 √19 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理
能力．
【答案】√19．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，由折叠得GE＝AE，HF＝CF，∠GEB＝∠AEB，∠HFD＝
∠CFD，因为AE＝CF，所以GE＝HF＝AE，因为∠DEF＝∠GFB＝60°，所以∠GEB＝∠AEB＝
∠HFD＝∠CFD＝60°，可证明△BFE和△DEF都是等边三角形，则 BE＝EF＝DE＝2AE+1，所以
AE+2AE+1＝7，求得AE＝2，则BE＝5，作BL⊥DA交DA的延长线于点L，则∠L＝90°，所以∠EBL
5 1 BL 5√3
＝30°，则EL= ，求得AL= ，由 =tan60°=√3，求得BL= ，则AB=√AL2+BL2=√19，于
2 2 EL 2
是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
第17页（共28页）由折叠得GE＝AE，HF＝CF，∠GEB＝∠AEB，∠HFD＝∠CFD，
∵AE＝CF，
∴GE＝HF＝AE，
∵E，G，H，F四点在同一直线上，∠GFB＝60°，
∴∠DEF＝∠GFB＝60°，
1
∴∠GEB＝∠AEB＝∠HFD＝∠CFD= ×（180°﹣60°）＝60°，
2
∴∠EBF＝∠FDE＝60°，
∴△BFE和△DEF都是等边三角形，
∴BE＝EF＝DE，
∵DE＞2AE，GE+HF＝2AE，GH＝1，
∴EF＞GE+HF，
∴BE＝DE＝EF＝GE+HF+GH＝2AE+1，
∵AE+DE＝AD＝7，
∴AE+2AE+1＝7，
∴AE＝2，
∴BE＝5，
作BL⊥DA交DA的延长线于点L，则∠L＝90°，
∴∠EBL＝90°﹣∠AEB＝30°，
1 5
∴EL= BE= ，
2 2
1
∴AL＝EL﹣AE= ，
2
BL
∵ =tan60°=√3，
EL
5√3
∴BL=√3EL= ，
2
√ 1 5√3
∴AB=√AL2+BL2=
( )
2+(
)
2=√19，
2 2
故答案为：√19．
第18页（共28页）【点评】此题重点考查平行四边形的性质、翻折变换的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形
中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、解直角三角形等知识，推导出△BFE和△DEF都
是等边三角形是解题的关键．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
17．（8分）（2025•钱塘区三模）计算：4sin45°+( ) -1-√8-|-2|．
3
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】利用负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，二次根式及绝对值的性质计算后再算加减即可．
√2
【解答】解：原式＝4× +3﹣2√2-2
2
＝2√2+3﹣2√2-2
＝1．
【点评】本题考查实数的运算，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题
的关键．
{2x-1＜5-x，
18．（8分）（2025•钱塘区三模）解不等式组： 3x-1
＜x.
4
【考点】解一元一次不等式组．
菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x＜2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小
小找不到，确定出不等式组的解集．
{2x-1＜5-x①
【解答】解： 3x-1 ，
＜x②
4
第19页（共28页）解不等式①得，x＜2，
解不等式②得，x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19．（8分）（2025•钱塘区三模）如图，在矩形ABCD中，将BC绕点B旋转至BC′，C′在AD上，过点
C′作GC′⊥BC′，交CD于点G，连结BG．
（1）求证：GC＝GC′．
（2）若AB＝5，BC＝13，求GC的长．
【考点】旋转的性质；勾股定理；矩形的性质．
菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）2.6．
【分析】（1）根据HL证明Rt△BC'G≌Rt△BCG即可得出结论；
（2）设GC'＝GC＝x，则GD＝5﹣x，在Rt△GDC'中，由勾股定理得出方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵将BC绕点B旋转至BC′，
∴BC'＝BC，
∵过点C′作GC′⊥BC′，
∴∠BC'G＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠BC'G＝90°，
又∵BG＝BG，
∴Rt△BC'G≌Rt△BCG（HL），
∴GC＝GC'；
（2）解：∵BC＝13，
∴BC'＝13，
∴AC'=√BC'2-AB2=12，
第20页（共28页）∴C'D＝13﹣12＝1，
设GC'＝GC＝x，则GD＝5﹣x，
在Rt△GDC'中，由勾股定理得，
C'D2+DG2＝C'G2，
即12+（5﹣x）2＝x2，
解得x＝2.6，
即GC的长为2.6．
【点评】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质定
理是解题的关键．
20．（8分）（2025•钱塘区三模）学校以班级为单位选拔学生参加校知识竞赛，在选拔赛中，每班参加
比赛人数均相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80
分，70分，学校将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）求出表格中a，b，c的值．
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 a 90 c
二班 87 b 80
（2）根据（1）中的统计量，应选哪个班级参加校知识竞赛？请说明理由．
【考点】方差；扇形统计图；条形统计图；算术平均数；中位数；众数．
菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）a＝87，b＝85，c＝90；
（2）选一班级参加市知识竞赛，理由见解答（答案不唯一）．
【分析】（1）分别根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
（2）只要答案符合题意即可．（答案不唯一）
第21页（共28页）3×100+10×90+5×80+2×70
【解答】解：（1）由题意得：a= =87，
3+10+5+2
80+90
把二班成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，90，故b= =85，
2
一班出现次数最多的是90分，故c＝90；
（2）选一班级参加市知识竞赛，
理由：从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数和众数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成
绩好（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必
要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分
占总体的百分比大小．同时考查了平均数、中位数、众数的定义及其应用．
21．（8分）（2025•钱塘区三模）如图，A，B，C在 O上，连结AB，AC，求作^BC的中点D．
下面是甲同学的作法： ⊙
以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF为
半径画弧交于点P，射线AP交 O于点D，即为所求．
（1）请根据甲同学的作法，在⊙图1中画出点D，并判断该作法是否正确，说明理由．
（2）请尝试用其他方法，在图2中画出点D．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系．
菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）利用尺规作图作∠BAC的平分线交 O于点D，根据圆周角定理可知点D即为^BC的中
点． ⊙
（2）作线段BC的垂直平分线，交弧BC于点D，则点D即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，点D即为所求．
第22页（共28页）；
正确，
理由：由作图知，AP平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴^BD=C^D；
（2）如图，连接BC，作线段BC的垂直平分线，交弧BC于点D，
则点D即为所求．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是
理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）（2025•钱塘区三模）已知A，B两地间有一条300千米的高速公路，甲车以100千米/时的
速度从A地匀速开往B地，乙车以m千米/时的速度从B地匀速开往A地，两车同时出发，分别到达目
的地后停止．甲，乙两车相距的路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）请根据题意，直接写出a，b，m的值．
（2）求甲，乙两车相遇后s与t之间的函数关系式．
【考点】一次函数的应用．
菁优网版权所有
第23页（共28页）【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）a＝2.5，b＝3，m＝120；
{ 15
220t-300( ≤t≤2.5)
（2）s = 11 ．
100t(2.5＜t≤3)
【分析】（1）设两车出发后x小时相遇，根据两车相遇及坐标（2，140）列关于x和m的二元一次方
程组并求解，从而求出m的值，再分别根据时间＝路程÷速度求出a和b的值即可；
（2）按照t的取值范围分别写出对应的函数关系式并最终写分段函数的形式即可．
【解答】解：（1）设两车出发后x小时相遇．
{ (100+m)x=300
根据题意，得 ，
(100+m)(2-x)=140
{m=120
解得 15 ，
x=
11
15
∴乙车的速度为120千米/小时，两车出发后 小时相遇，
11
甲车到达目的地用时300÷100＝3（小时），
乙车到达目的地用时300÷120＝2.5（小时），
∴a＝2.5，b＝3，m＝120．
15 15
（2）当 ≤t≤2.5时，s＝（100+120）（t- ）＝220t﹣300，
11 11
当t＝2.5时，s＝220×2.5﹣300＝250，
当2.5＜t≤3时，s＝250+100（t﹣2.5）＝100t，
{ 15
220t-300( ≤t≤2.5)
∴甲，乙两车相遇后s与t之间的函数关系式为s = 11 ．
100t(2.5＜t≤3)
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
23．（10分）（2025•钱塘区三模）在平面直角坐标系中，（﹣3，m），（1，n）在二次函数y＝x2﹣
2bx+c的图象上．
（1）当m＝n＝0时，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若m≤n，求b的取值范围．
第24页（共28页）（3）若m+n＝8，且当﹣2≤x≤2时，y有最小值﹣4，求b的值．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）该函数图象的顶点坐标（﹣1，﹣4）；
（2）b≤﹣1，
（3）b的值是﹣3.5 或1．
【分析】（1）根据m，n的值，得到（﹣3，0）（1，0）在二次函数图象上，化成顶点式，得到顶点
坐标；
（2）根据点坐标，表示出m，n，代入到m≤n，得到结果；
（3）根据题意，得到解析式y＝x2﹣2bx﹣2b﹣1，结合题意，求得b值即可．
【解答】解：（1）∵m＝n＝0，
∴（﹣3，0）（1，0）在二次函数图象上，
∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴该函数图象的顶点坐标（﹣1，﹣4）；
（2）∵m＝9+6b+c，n＝1﹣2b+c，m≤n，
∴n﹣m＝﹣8b﹣8≥0，
∴b≤﹣1，
（3）∵m＝9+6b+c，n＝1﹣2b+c，
∴m+n＝10+4b+2c＝8，
∴c＝﹣2b﹣1，
∴y＝x2﹣2bx﹣2b﹣1，
∵该函数图象的对称轴为直线 x＝b，
∴当b＜﹣2时，该函数在x＝﹣2处取到最小值，
∴4+4b﹣2b﹣1＝﹣4，
解得b＝﹣3.5，符合题意，
∴当b＞2 时，该函数在 x＝2 处取到最小值，
∴4﹣4b﹣2b﹣1＝﹣4，
7
解得b= ＜2，不合题意舍去，
6
∴当﹣2≤b≤2时，该函数在x＝b处取到最小值，
∴﹣b2﹣2b﹣1＝﹣4，
解得b ＝1，b ＝﹣3（不合题意舍去），
1 2
第25页（共28页）综上所述，b的值是﹣3.5 或1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（12分）（2025•钱塘区三模）如图，△ABC内接于 O，∠BAC＝90°，D是AB的中点，连结CD，
过点A作AE⊥CD于E，交 O于F，过点B作BH⊥AF⊙于H．
（1）若∠F＝50°，求∠AB⊙C的大小．
BH 8
（2）若 = ，求 tan∠BAF的值．
CE 9
（3）求证：AE＝HF．
【考点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理．
菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理
能力．
【答案】（1）∠ABC的度数是40°；
2
（2）tan∠BAF的值为 ；
3
（3）证明见解答．
【分析】（1）由∠ACB＝∠F＝50°，∠BAC＝90°，求得∠ABC＝90°﹣∠ACB＝40°；
（2）由D是AB的中点，得AD＝BD，由AE⊥CD于E，BH⊥AF于点H，得∠AED＝∠AEC＝∠BHA
1 BH 8 9
＝90°，则DE∥BH，推导出AE＝HE= AH，由 = ，得CE= BH，再证明∠BAF＝∠ACE，由
2 CE 9 8
1
AH
BH AE BH 2 2 BH 2
=tan∠BAF＝tan∠ACE= ，得 = ，求得BH= AH，则tan∠BAF= = ；
AH CE AH 9 3 AH 3
BH
8
BH AB HF BH AE BH
（3）由 =tanF＝tan∠ACB= ，得 = ，而 =sin∠ACE＝sin∠BAH= ，所以
HF AC AC AB AC AB
第26页（共28页）AE HF
= ，则AE＝HF．
AC AC
【解答】（1）解：∵∠ACB＝∠F＝50°，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝40°，
∴∠ABC的度数是40°．
（2）解：∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵AE⊥CD于E，BH⊥AF于点H，
∴∠AED＝∠AEC＝∠BHA＝90°，
∴DE∥BH，
AE AD
∴ = =1，
HE BD
1
∴AE＝HE= AH，
2
BH 8
∵ = ，
CE 9
9
∴CE= BH，
8
∴∠BAF＝∠ACE＝90°﹣∠CAE，
BH AE
∴ =tan∠BAF＝tan∠ACE= ，
AH CE
1
AH
BH 2
∴ = ，
AH 9
BH
8
4
整理得BH2= AH2，
9
2 2
∴BH= AH或BH=- AH（不符合题意，舍去），
3 3
BH 2
∴tan∠BAF= = ，
AH 3
2
∴tan∠BAF的值为 ．
3
（3）证明：∵∠BHF＝∠BAC＝90°，∠F＝∠ACB，
BH AB
∴ =tanF＝tan∠ACB= ，
HF AC
第27页（共28页）HF BH
∴ = ，
AC AB
∵∠AEC＝∠BHA＝90°，∠ACE＝∠BAH＝90°﹣∠CAE，
AE BH
∴ =sin∠ACE＝sin∠BAH= ，
AC AB
AE HF
∴ = ，
AC AC
∴AE＝HF．
【点评】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、平行线分线段成比例定理、解直角
三角形等知识，推导出∠F＝∠ACB及∠BAF＝∠ACE是解题的关键．
第28页（共28页）
