文档内容
2026年菁优广州中考数学终极押题密卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若水位上涨10米记作+10米，则水位下降3米可用负数记作（ ）
A．+3米 B．﹣3米 C．+7米 D．﹣7米
2．（3分）《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字 47000余个．数据47000用科学
记数法表示为（ ）
A．4.7×105 B．0.47×104 C．47×103 D．4.7×104
1
3．（3分）计算：3÷√3× 的值为（ ）
√3
A．1 B．3 C．√3 D．9
4．（3分）用两块相同的长方体（图1），沿虚线进行裁切，分别得到图2的两个几何体，比较这两个几
何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．只有俯视图不同 B．只有左视图不同
C．只有主视图不同 D．三个视图都不相同
5．（3分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点
D，连接CB并延长至点E，使得AC＝AD，BC＝BE．若测得DE＝26m，则A，B间的距离为（ ）
A．13 B．16 C．18 D．20
6．（3分）一组数据0、1、﹣1、1、﹣2的中位数和众数分别是（ ）
A．﹣2、1 B．﹣2、﹣1 C．1、1 D．0、1
7．（3分）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为 96元，设平均
第1页（共28页）每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1+x）2＝96 B．150（1﹣2x）＝96
C．150（1﹣x2）＝96 D．150（1﹣x）2＝96
8．（3分）海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称
潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深h（单位：m）随时间t（单位：h）变化的关系
如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中不正确的是（ ）
A．当t＝9时，该港口水深最浅
B．当h＝6时，t的值是1或5
C．0时到3时和9时到12时，海水均在上涨
D．某船吃水深度为3m，它可以在7时出入该港口
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M，N是AB的三等分点，分别以AM，AN为边作正方形．正方
形ABCD被分为如图所示的三个区域．小明同学在正方形ABCD内进行撒豆子试验，以下说法正确的
是（ ）
A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小
B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小
C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小
D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同
10．（3 分）在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，连接 DE，过 A 作 AF⊥DE 于点 F，若
3
AB=BF，DF=3，sin∠DAF= ，则矩形ABCD的面积是（ ）
5
第2页（共28页）50 75 65 40
A． B． C． D．
3 4 4 3
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式3（x﹣2）﹣2（2﹣x）＝ ．
12．（3分）已知两个相似三角形的相似比为 2：3，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三
角形的周长是 ．
13．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣m﹣1＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．
14．（3分）计算：1-√3 -8= ．
15．（3分）已知二次函数 y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点 A（a﹣1，y ），B
1
（a+1，y ），如果y ＞y ，那么a的取值范围是 ．
2 1 2
三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
x x-2 2x+k
16．（7分）已知关于x的方程 + + =0只有一个解，求k的值及这个解．
x-2 x x2-2x
17．（7分）已知：如图，AB为半圆O的直径，CD为半圆O的一条切线，C为切点，AD⊥CD，垂足为
D．求证：AC平分∠DAB．
18．（7分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m长的
栅栏围成一个矩形花园ABCD（栅栏只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．
（1）当x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？
（2）若在墙角P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是12m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，
不考虑树的粗细），当花园面积S最大时，AB的长为多少？
第3页（共28页）四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
19．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线DB上有两点E，F，且DF＝BE．
（Ⅰ）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（Ⅱ）若△ABD是等边三角形，且边长为8，BE＝2，求AE．
20．（9分）临汾市交警部门在全市开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽
取了部分使用电动车的市民，就骑电动车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据创成如图统计
图表：
活动前骑电动车戴安全头盔情况统计表
类别 人数
A类（每次 10
戴）
B类（经常 255
戴）
C类（偶尔 m
戴）
D类（都不 168
戴）
合计 1000
（1）“活动前骑电动车戴安全头盔情况统计表”中“m”的值为 ；
（2）全市约有400万人使用电动车，请估计活动前全市骑电动车“都不戴”安全头盔的总人数．
（3）小光认为宣传活动后骑电动车“都不戴”安全头盔的人数为170，比活动前增加了2人，因此交
警部门开展的宣传活动没有效果．他的说法是否合理？为什么？
第4页（共28页）21．（9分）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直于地面OB，支架CD与OA交于点A，
支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝BC＝2.6m，AC＝0.4m，AD＝0.9m，
12
sin∠OBC= ．
13
（1）求∠OAC的度数；
（2）求篮筐EF离地面的距离．
五．解答题（共2小题，满分27分）
22．（13分）已知：a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1
（1）当n＝199时，写出a+b的值 （用科学记数法表示结果）；
（2）当n＝3时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是 ．
（直接写出答案）
（3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算
说明理由．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+1分别与y轴、x轴相交于点A，B（2，0），过
k
点A的直线与双曲线y= （k＞0）交于C，D两点（点C在点D的右侧）．
x
第5页（共28页）（1）求a的值及线段AB的长；
（2）过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，若CE＝DF＝2，求k的值及△ABD的面
积；
k
（3）将直线AB沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将y= （x＞0）的图象沿着直
x
线y＝4翻折，翻折后的图象交直线AG于点M，N（点M在点N左侧），当△AOM与△OGM相似时，
求k的值．
第6页（共28页）2026年菁优广州中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D． A B A D D D A A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若水位上涨10米记作+10米，则水位下降3米可用负数记作（ ）
A．+3米 B．﹣3米 C．+7米 D．﹣7米
【考点】正数和负数．
菁优网版权所有
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案．
【解答】解：若水位上涨10米记作+10米，
则水位下降3米可用负数记作﹣3米，
故选：B．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2．（3分）《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字 47000余个．数据47000用科学
记数法表示为（ ）
A．4.7×105 B．0.47×104 C．47×103 D．4.7×104
【考点】科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
【专题】实数；符号意识．
【答案】D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：47000＝4.7×104．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
第7页（共28页）1
3．（3分）计算：3÷√3× 的值为（ ）
√3
A．1 B．3 C．√3 D．9
【考点】二次根式的乘除法．
菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】从左往右，依次计算即可得．
1 1
【解答】解：原式=3× ×
√3 √3
1 1
=3×( × )
√3 √3
1
=3×
3
＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的乘除，解题的关键是掌握二次根式运算的运算法则和运算顺序．
4．（3分）用两块相同的长方体（图1），沿虚线进行裁切，分别得到图2的两个几何体，比较这两个几
何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．只有俯视图不同 B．只有左视图不同
C．只有主视图不同 D．三个视图都不相同
【考点】简单组合体的三视图．
菁优网版权所有
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】B
【分析】根据三视图的定义进行判断即可．
【解答】解：两个几何体的三视图，如图所示：
第8页（共28页）所以，只有左视图不相同，
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，正确掌握三视图的观察角度是解题的关键．
5．（3分）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点
D，连接CB并延长至点E，使得AC＝AD，BC＝BE．若测得DE＝26m，则A，B间的距离为（ ）
A．13 B．16 C．18 D．20
【考点】三角形中位线定理．
菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形中位线定理即可得出结果．
【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BE，DE＝26m，
∴AB为三角形DCE的中位线，
1
∴AB= DE＝13（m）．
2
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
是解题的关键．
6．（3分）一组数据0、1、﹣1、1、﹣2的中位数和众数分别是（ ）
A．﹣2、1 B．﹣2、﹣1 C．1、1 D．0、1
第9页（共28页）【考点】众数；中位数．
菁优网版权所有
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据重新排列为﹣2、﹣1、0、1、1，
所以这组数据的中位数为0，众数为1，
故选：D．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
7．（3分）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为 96元，设平均
每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1+x）2＝96 B．150（1﹣2x）＝96
C．150（1﹣x2）＝96 D．150（1﹣x）2＝96
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝96，把
相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一次降价后的价格为150×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基
础上降低x，为150×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是150（1﹣x）2＝96．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为
a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
8．（3分）海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称
潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深h（单位：m）随时间t（单位：h）变化的关系
如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中不正确的是（ ）
第10页（共28页）A．当t＝9时，该港口水深最浅
B．当h＝6时，t的值是1或5
C．0时到3时和9时到12时，海水均在上涨
D．某船吃水深度为3m，它可以在7时出入该港口
【考点】函数的图象．
菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】D
【分析】根据图1和图2分别分析判断即可．
【解答】解：由图1可知，当t＝9时，纵坐标植最小，该港口水深最浅，故A说法正确，不符合题意．
由图1可以看出，当h＝6时，t的值是1或5，故B说法正确，不符合题意．
由图1可知，0时到3时和9时到12时，海水均在上涨，故C说法正确，不符合题意．
该货船吃水深度为3m，而且由图2信息窗可知，船舶进出港口时底与港口水底间的距离最少2m，故
该货船进出港口时要求水深最少为3+2＝5（m）．
而当t＝7时，h＝4.4＜5，故此时它不可以进出港口，故D说法错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象，比较简单，一定要学会从图象中获取有用的信息．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M，N是AB的三等分点，分别以AM，AN为边作正方形．正方
形ABCD被分为如图所示的三个区域．小明同学在正方形ABCD内进行撒豆子试验，以下说法正确的
是（ ）
A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小
第11页（共28页）B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小
C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小
D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同
【考点】几何概率．
菁优网版权所有
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】分别计算出区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积，再根据概率公式计算即可得出答案．
【解答】解：设正方形的边长为3x，
∵点M，N是AB的三等分点，
∴AM＝x，AN＝2x，
∴区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为x2，3x2，5x2，
x2 1 3x2 1 5x2 5
∴豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为 = ， = ， = ，
9x2 9 9x2 3 9x2 9
故A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率公式是解决本题的关键．
10．（3 分）在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，连接 DE，过 A 作 AF⊥DE 于点 F，若
3
AB=BF，DF=3，sin∠DAF= ，则矩形ABCD的面积是（ ）
5
50 75 65 40
A． B． C． D．
3 4 4 3
【考点】矩形的性质；解直角三角形．
菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能
力；推理能力．
【答案】A
【分析】过点B作BH⊥AF于点H，先解Rt△ADF得AD＝5，AF＝4，根据AB＝BF，BH⊥AF于点H
第12页（共28页）1 3
得AH＝FH= AH＝2，证明∠ABH＝∠DAF得sin∠ABH＝sin∠DAF＝3/5 ，再解Rt△ABH得AB
2 5
10
= ，继而即可得出矩形ABCD的面积．
3
【解答】解：过点B作BH⊥AF于点H，如图所示：
∵AF⊥DE于点F，
∴△ADF值直角三角形，
3
在Rt△ADF中，DF＝3，sin∠DAF= ，
5
DF 3
∵sin∠DAF= = ，
AD AD
3 3
∴ = ，
AD 5
∴AD＝5，
由勾股定理得：AF=√AD2-DF2=√52-32=4，
∵AB＝BF，BH⊥AF于点H，
1
∴AH＝FH= AH＝2，
2
在Rt△ABH中，∠ABH+∠BAH＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAH+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠ABH＝∠DAF，
3
∴sin∠ABH＝sin∠DAF= ，
5
AH 2
在Rt△ABH中，sin∠ABH= = ，
AB AB
2 3
∴ = ，
AB 5
第13页（共28页）10
∴AB= ，
3
10 50
∴矩形ABCD的面积为：AB•AD= ×5= ．
3 3
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，理解矩形的性质，灵活利用锐角三角函数的定
义及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式3（x﹣2）﹣2（2﹣x）＝ 5 （ x ﹣ 2 ） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
菁优网版权所有
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】5（x﹣2）．
【分析】先变形，再提公因式x﹣2即可．
【解答】解：3（x﹣2）﹣2（2﹣x）
＝3（x﹣2）+2（x﹣2）
＝5（x﹣2），
故答案为：5（x﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
12．（3分）已知两个相似三角形的相似比为 2：3，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三
角形的周长是 1 0 ．
【考点】相似三角形的性质．
菁优网版权所有
【专题】三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】10．
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比设较小三角形周长为2k，较大三角形周长为3k，根据周
长之和为25列方程求解．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的周长比为2：3．
设较小三角形的周长为2k，较大三角形周长为3k，则2k+3k＝25，即5k＝25，
解得k＝5，
∴两个相似三角形的相似比为2：3，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三角形的周长为
2×5＝10．
故答案为：10．
第14页（共28页）【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣m﹣1＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ﹣ 2 ．
【考点】根的判别式．
菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】判断出Δ＝0，构建方程求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即4﹣4（﹣m﹣1）＝0，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是记住一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣
4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（3分）计算：1-√3 -8= 3 ．
【考点】实数的运算．
菁优网版权所有
【专题】实数；运算能力．
【答案】3．
【分析】首先计算开立方，然后计算减法，求出算式的值即可．
【解答】解：1-√3 -8
＝1﹣（﹣2）
＝1+2
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算
一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，
同级运算要按照从左到右的顺序进行．
15．（3分）已知二次函数 y＝（x﹣3）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点 A（a﹣1，y ），B
1
（a+1，y ），如果y ＞y ，那么a的取值范围是 a ＜ 3 ．
2 1 2
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
第15页（共28页）【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】a＜3．
【分析】由二次函数解析式，利用二次函数的性质，可得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，
当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大，分a+1≤3，a﹣1＜3＜a+1，及a
﹣1≥3三种情况考虑，根据y ＞y ，即可求出a的取值范围
1 2
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2+2m+1，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝3，
∴当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大，
∴当a+1≤3，即a≤2时，显然成立；
当a﹣1＜3＜a+1，即2＜a＜4时，3﹣（a﹣1）＞a+1﹣3，
解得：a＜3，
∴2＜a＜3；
当a﹣1≥3，即a≥4时，显然不成立．
综上所述，a的取值范围为a＜3．
故答案为：a＜3．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，牢记“在二次函数 y＝
ax2+bx+c（a≠0）中，当a＞0时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，抛
物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键．
三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
x x-2 2x+k
16．（7分）已知关于x的方程 + + =0只有一个解，求k的值及这个解．
x-2 x x2-2x
【考点】解分式方程；分式方程的解．
菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
7 1
【答案】k的值为- ，解为 ；k的值为﹣4，解为1；k的值为﹣8，解为﹣1．
2 2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程只有一个解，确定出k的值即可．
【解答】解：去分母得：x2+x2﹣4x+4+2x+k＝0，即2x2﹣2x+k+4＝0，
由分式方程只有一个解，得到Δ＝4﹣8（k+4）＝﹣8k﹣28＝0，
7 1 1
解得：k=- ，此时方程为2x2﹣2x+ =0，即2（x- ）2＝0，
2 2 2
1
解得：x ＝x = ，
1 2 2
第16页（共28页）经检验是分式方程的解，
分式方程有一根为x＝0或x＝2，
把x＝0代入方程得：k＝﹣4，此时方程的解为x＝1（x＝0舍去）；
把x＝2代入方程得：k＝﹣8，此时方程的解为x＝﹣1（x＝2舍去），
7 1
则k的值为- ，解为 ；k的值为﹣4，解为1；k的值为﹣8，解为﹣1．
2 2
【点评】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（7分）已知：如图，AB为半圆O的直径，CD为半圆O的一条切线，C为切点，AD⊥CD，垂足为
D．求证：AC平分∠DAB．
【考点】切线的性质；圆周角定理．
菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】连接OC．由切线的性质证出OC∥AD．得出∠2＝∠3．证出∠1＝∠2，则可得出结论．
【解答】证明：连接OC．
∵CD是 O的切线，切点为C，
∴OC⊥C⊙D．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD．
∴∠2＝∠3．
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠3．
∴∠1＝∠2．
即AC平分∠DAB．
第17页（共28页）【点评】本题考查了切线的性质及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
18．（7分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m长的
栅栏围成一个矩形花园ABCD（栅栏只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．
（1）当x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？
（2）若在墙角P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是12m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，
不考虑树的粗细），当花园面积S最大时，AB的长为多少？
【考点】二次函数的应用．
菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）当x＝10时，花园面积最大，为100平方米；
（2）当花园面积S最大时，AB的长为8米．
【分析】（1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解；
（2）根据题意，求出x的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）设AB＝xm，花园的面积为Sm2，
由题意，得：S＝x（20﹣x）＝﹣（x﹣10）2+100，
∴当x＝10时，花园面积最大，为100平方米；
{ x≥6
（2）由题意，得： ，
20-x≥12
解得：6≤x≤8；
∵S＝﹣（x﹣10）2+100，
∴x＜10时，S随着x的增大而增大，
∴当x＝8时，S有最大值，
∴当花园面积S最大时，AB的长为8米．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键．
四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
19．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线DB上有两点E，F，且DF＝BE．
（Ⅰ）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（Ⅱ）若△ABD是等边三角形，且边长为8，BE＝2，求AE．
第18页（共28页）【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；勾股定理；等边三角形的性质．
菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OF＝OE，然
后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）证平行四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，则平行四边形AFCE是菱形，得AE＝AF，得BD＝AB＝
8，则OB＝OD＝4，然后由勾股定理得OA＝4，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵DF＝BE，
∴OD﹣DF＝OB﹣BE，
即OF＝OE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD＝8，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
由（1）可知，四边形AFCE是平行四边形，
∴平行四边形AFCE是菱形，
∴AE＝AF＝CD＝CE，
∵△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝8，
第19页（共28页）∴OB＝OD＝4，
∴OE＝OB﹣BE＝4﹣2＝2，
∵OA=√AB2-OB2=√82-42=4√3，
∴AE=√OA2+OE2=√(4√3) 2+22=2√13．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理
等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
20．（9分）临汾市交警部门在全市开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽
取了部分使用电动车的市民，就骑电动车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据创成如图统计
图表：
活动前骑电动车戴安全头盔情况统计表
类别 人数
A类（每次 10
戴）
B类（经常 255
戴）
C类（偶尔 m
戴）
D类（都不 168
戴）
合计 1000
（1）“活动前骑电动车戴安全头盔情况统计表”中“m”的值为 56 7 ；
（2）全市约有400万人使用电动车，请估计活动前全市骑电动车“都不戴”安全头盔的总人数．
（3）小光认为宣传活动后骑电动车“都不戴”安全头盔的人数为170，比活动前增加了2人，因此交
警部门开展的宣传活动没有效果．他的说法是否合理？为什么？
【考点】用样本估计总体；统计表．
菁优网版权所有
第20页（共28页）【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】（1）567；（2）67.2万人；（3）小光的说法不合理．
【分析】（1）用总人数分别减去其它三类人数可得m的值；
（2）用400万人乘样本中“都不戴”安全头盔的占比可得答案；
（3）先求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽
的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果．
【解答】解：（1）“活动前骑电动车戴安全头盔情况统计表”中“m”的值为1000﹣10﹣255﹣168＝
567；
故答案为：567；
168
（2）400× =67.2（万人），
1000
答：估计活动前全市骑电动车“都不戴”安全头盔的总人数为67.2万人；
（3）小光的说法不合理，
168
理由如下：宣传活动前骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比： ×100%＝16.8%，
1000
170
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比： ×100%≈8.5%，
886+708+234+170
8.5%＜16.8%，
因此交警部门开展的宣传活动有效果．
【点评】本题考查了用样本估计总体，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息
是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21．（9分）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直于地面OB，支架CD与OA交于点A，
支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝BC＝2.6m，AC＝0.4m，AD＝0.9m，
12
sin∠OBC= ．
13
（1）求∠OAC的度数；
（2）求篮筐EF离地面的距离．
第21页（共28页）【考点】解直角三角形的应用．
菁优网版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）60°；
（2）3.05m．
【分析】（1）如图，过点C作CN⊥OB于点N，过点C作CM⊥OA于点M，证明四边形CMON为矩
12 CN AM
形，得CN＝OM， =sin∠OBC= ，求出AM＝OA﹣OM＝0.2，再计算cos∠OAC= ，由
13 BC AC
特殊角三角函数值可得答案；
（2）如图，延长OA和ED相交于点H，推出∠ADH＝90°﹣∠DAH＝30°，再根据含30°角的直角三角
形的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图，过点C作CM⊥OA于点M，过点C作CN⊥OB于点N，
12
又∵AC＝0.4，sin∠OBC= ，OA⊥OB，OA＝BC＝2.6，
13
∴∠AMC＝90°，∠MON＝90°＝∠CMO＝∠CNO，
∴四边形CMON为矩形，
∴CN＝OM，
第22页（共28页）12 CN CN
∴ =sin∠OBC= = ，
13 BC 2.6
∴OM＝CN＝2.4，
∴AM＝OA﹣OM＝2.6﹣2.4＝0.2，
AM 0.2 1
∴cos∠OAC= = = ，
AC 0.4 2
∴∠OAC＝60°；
（2）如图，延长OA和ED相交于点H，
∵AD＝0.9，DE∥OB，OA⊥OB，
∴∠DHM＝∠AOB＝90°，
∵∠DAH＝∠OAC＝60°，
∴∠ADH＝90°﹣∠DAH＝90°﹣60°＝30°，
1 1
∴AH= AD= ×0.9=0.45，
2 2
∴AH+AO＝0.45+2.6＝3.05（m），
∴篮筐EF离地面的距离为3.05m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的
关键．
五．解答题（共2小题，满分27分）
22．（13分）已知：a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1
（1）当n＝199时，写出a+b的值 4×1 0 4 （用科学记数法表示结果）；
（2）当n＝3时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是 24 ．
（直接写出答案）
（3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算
说明理由．
【考点】勾股数；科学记数法—表示较大的数；三角形的面积．
菁优网版权所有
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）4×104；
（2）24；
（3）正确，理由见解析．
【分析】（1）根据题意可得a+b＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，把n＝199代入计算，并应用科学记数法
表示方法表示即可；
第23页（共28页）（2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且 a是斜边，再利用三角形的面积公式计
算即可；
（3）先计算b2+c2＝（2n）2+（n2﹣1）2，再由勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解答】解：（1）a+b＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，
当n＝199时，
a+b＝（199+1）2＝2002＝40000＝4×104；
当答案为：4×104；
（2）∵a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1，
当n＝3时，a＝32+1＝10，b＝2×3＝6，c＝32﹣1＝8，
∴b2+c2＝100＝a2，
∴这个三角形是直角三角形，且a是斜边，
1
∴这个三角形的面积是 ×6×8=24，
2
故答案为：24；
（3）嘉淇的发现正确，理由如下：
∵b2+c2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+（n2）2﹣2n2+1＝（n2+1）2＝a2，
∴b2+c2＝a2，
∴当n取大于1的整数时，a、b、c为一组勾股数．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理逆定理，科学记数法以及三角形面积等知识，熟练掌握勾
股定理的逆定理是解题的关键．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+1分别与y轴、x轴相交于点A，B（2，0），过
k
点A的直线与双曲线y= （k＞0）交于C，D两点（点C在点D的右侧）．
x
（1）求a的值及线段AB的长；
（2）过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，若CE＝DF＝2，求k的值及△ABD的面
积；
k
（3）将直线AB沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将y= （x＞0）的图象沿着直
x
线y＝4翻折，翻折后的图象交直线AG于点M，N（点M在点N左侧），当△AOM与△OGM相似时，
求k的值．
第24页（共28页）【考点】反比例函数综合题．
菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
1
【答案】（1）a=- ，AB=√5；
2
9
（2）k＝6，△ABD的面积= ；
2
40
（3） ．
9
【分析】（1）将B（2，0）代入直线y＝ax+1中，可得a的值，再由勾股定理求AB长；
k k
（2）如图所示，由题意可得CE＝DF＝2，又C，D两点在双曲线y= (k＞0)上，故设C(2， )，
x 2
k k k
D(- ，-2)，可得直线CD的表达式为y=x+ -2，又A（0，1）在直线CD上，故1= -2，从
2 2 2
6
而k＝6，所以双曲线的表达式为y= ，C（2，3），D（﹣3，﹣2），再根据△ABD 的面积＝
x
S△AOB +S△AOD +S△BOD 求解即可；
1
（3）先求出直线AB沿y轴翻折得到新直线y= x+1，新直线与x轴相交于点G（﹣2，0），先根据
2
折叠画出双曲线图象沿着直线y＝4翻折后得到的图形，如图所示，再根据相似三角形的性质，得出
AO 1 1 1
∠MGO＝∠MOA，得出tan∠MGO= = =tan∠MOA，设M(t， t+1)，则 t+1=2t，求
GO 2 2 2
2 k
出t= ，得出点M的坐标，再求出折叠前的坐标，代入y= (k＞0)得出即可答案．
3 x
1
【解答】解：（1）将B（2，0）代入直线y＝ax+1中，得2a+1＝0，故a=- ，
2
第25页（共28页）1
∴直线AB的表达式为y=- x+1．
2
令x＝0，则 y＝1，即A（0，1），
∴OA＝1，OB＝2，
故AB=√12+22=√5；
（2）如图所示，
由题意可得CE＝DF＝2，
故C的横坐标为2，D的纵坐标为﹣2，
k
又因为C，D两点在双曲线y= (k＞0)上，
x
k k
故设C(2， )，D(- ，-2)，
2 2
设直线CD的表达式为y＝mx+n，
k
{ =2m+n
2
则 ，
k
-2=- m+n
2
{
m=1
解得： k ，
n= -2
2
k
由待定系数法可得直线CD的表达式为y=x+ -2，
2
又因为A（0，1）在直线CD上，
k
故1= -2，
2
解得：k＝6，
第26页（共28页）6
所以双曲线的表达式为y= ，C（2，3），D（﹣3，﹣2），
x
△ABD的面积＝S△AOB +S△AOD +S△BOD
1 1 1
= AO×BO+ AO×|x |+ BO×DF
2 2 D 2
1 1 1
= ×1×2+ ×1×3+ ×2×2
2 2 2
9
= ；
2
（3）∵A（0，1），B（2，0），关于y轴对称的点坐标为（0，1），（﹣2，0），
设直线AB沿y轴翻折得到的新直线解析式为y＝k'x+1，
代入（﹣2，0），得：0＝﹣2k'+1，
1
解得：k'= ，
2
1
∴直线AB沿y轴翻折得到新直线y= x+1新直线与x轴相交于点G，则G（﹣2，0），
2
k
y= (x＞0)的图象沿着直线y＝4翻折后如图所示，
x
∠AMO＝∠OMG是公共角，
根据图象，当△AOM与△OGM相似时，只有一种情况△AOM∽△OGM，
当△AOM∽△OGM时，有∠MGO＝∠MOA，
AO 1
∴tan∠MGO= = =tan∠MOA，
GO 2
x 1
∴tan∠MOA= M = ，
y 2
M
1
点M在直线AG：y= x+1上，
2
第27页（共28页）1 1
∴设M(t， t+1)，则 t+1=2t，
2 2
2
解得：t= ，
3
2 4
∴M( ， )，
3 3
2 4 2 20
点M关于直线y＝4的对称点为( ，4×2- )，即( ， )，
3 3 3 3
2 20
根据折叠可知：M在原反比例函数上的对应点为( ， )，
3 3
2 20 k 2 20 40
将( ， )代入y= (x＞0)可得：k= × = ．
3 3 x 3 3 9
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，图象的几何
变换性质，解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，方程思想，熟练掌握以上内
容是解题关键．
第28页（共28页）
