文档内容
2025年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个边只有一项是符合题目要
求的.）
1．（3分）（2025•广州）下列四个选项中，负无理数的是（ ）
A．-√2 B．﹣1 C．0 D．3
2．（3分）（2025•广州）如图，将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（
）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2025•广州）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a5＝a15 B．（﹣2ab）3＝8a3b3
C．√a-√b=√a-b（a≥b≥0） D．2√a+5√a=7√a（a≥0）
4．（3分）（2025•广州）关于x的方程x2﹣x+k2+2＝0根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
第1页（共34页）B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
5．（3分）（2025•广州）某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合
描述气温变化趋势的是（ ）
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温℃ 25 25 28 30 33 30 29
A．
B．
C．
D．
6．（3分）（2025•广州）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），点B（﹣1，1），若将直线y＝
x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点，则d的取值范围是（ ）
第2页（共34页）A．﹣3≤d≤﹣1 B．1≤d≤3 C．﹣4≤d≤﹣2 D．2≤d≤4
k
7．（3分）（2025•广州）若|k|＝﹣k（k≠0），则反比例函数y= 的图象在（ ）
x
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
8．（3分）（2025•广州）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的
中点，则四边形EFGH的面积为（ ）
5
A． B．5 C．4 D．8
2
1
9．（3分）（2025•广州）如图， O的直径AB＝4，C为^AB中点，点D在^BC上，^BD= ^BC，点P是
3
⊙
AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是（ ）
A．2+√7 B．2+2√3 C．3+√7 D．4+4√3
10．（3分）（2025•广州）在平面直角坐标系中，两点 A（x ，y ），B（x ，y ）在抛物线y＝ax2﹣2ax
1 1 2 2
（a＞0）上，则下列结论中正确的是（ ）
A．当x ＜0且y •y ＜0时，则0＜x ＜2
1 1 2 2
B．当x ＜0且y •y ＞0时，则0＜x ＜2
1 1 2 2
C．当x ＜x ＜1时，则y ＜y
1 2 1 2
第3页（共34页）D．当x ＞x ＞1时，则y ＜y
1 2 1 2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）（2025•广州）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝36°，则∠2的度数为 °．
DE 1
12．（3分）（2025•广州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若 = ，则
BC 3
S
△ADE=
．
S
△ABC
√x+1
13．（3分）（2025•广州）要使代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
x-3
12
14．（3分）（2025•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD= ，
13
AB＝26，则点B到AD的距离为 ．
15．（3分）（2025•广州）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为
．
16．（3分）（2025•广州）已知 O的半径为6， O所在平面内有一动点P，过点P可以引 O的两条
切线PA，PB，切点分别为A，⊙B．点P与圆心O⊙的距离为d，则d的取值范围是 ⊙ ；若过
点O作OC∥PA交直线PB于点C（点C不与点B重合），线段OC与 O交于点D．设PA＝x，CD＝
y，则y关于x的函数解析式为 ． ⊙
三、解答题（本大题共9.小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步级.）
第4页（共34页）{ 2x≥1
17．（4分）（2025•广州）解不等式组 并在数轴上表示解集．
4x-3＜x+9
18．（4分）（2025•广州）如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD．求证：△ABC≌△EBD．
2m2+4m m2-4m+4
19．（6分）（2025•广州）求代数式 ⋅ 的值，其中m=√3-1．
m-2 m
20．（6分）（2025•广州）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演
讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的
前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示：
选手 内容 能力 效果
甲 98 84 88
乙 88 85 97
（1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？
（2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照 4：3：3的比确定，以此计
算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；
（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．
2
21．（8分）（2025•广州）如图，曲线G：y= （x＞0）经过点P（4，t）．
x
（1）求t的值；
（2）直线l：y＝﹣x+b也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
（3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、
纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
第5页（共34页）22．（10分）（2025•广州）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引
进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
（1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低 30%．求用智能机
器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
（2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1
天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍．求这台智能采摘机器人每天可采摘该种
水果多少千克．
√5-1
23．（10分）（2025•广州）宽与长的比是 （约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩
2
形纸片ABCD，长AD=√5+1．如图1，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接
EF．然后将纸片展开．
（1）求AB的长；
（2）求证：四边形CDEF是黄金矩形；
（3）如图2，点G为AE的中点，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，
过点P作PQ⊥EF于点Q．四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
24．（12分）（2025•广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其
内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请
认真阅读，解决问题．
第6页（共34页）发现问题确定 涉水线设置 限高架设置
目标
数学抽象绘制
图形
隧道及斜坡的侧面示意图可近似如
图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛
物线的一部分ACB和矩形ADEB
的三边构成．
信息收集资料 当隧道内积水的水深为0.27米时 车辆进入隧道，应在行驶车道内
整理 （即积水达到涉水线处），车辆应 通行（禁止压线），且必须保证
避免通行． 车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直
方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据 斜坡的坡角 为10°，并查得 隧道的最高点C到地面DE距离
采集 sin10°≈0.174，cos10°≈0.985， 为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝
tan10α°≈0.176． 3米，地面跨度DE＝10米．车辆
行驶方向的右侧车道线（宽度忽
略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米）；
（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）．
25．（12分）（2025•广州）如图1，AC＝4，O为AC中点，点B在AC上方，连接AB，BC．
（1）尺规作图：作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接AD、DC，并证明四
边形ABCD为平行四边形；
（2）如图2，延长AC至点F，使得CF＝AC，当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于
点B的动点E，连接EA，EB，EC，EF，若∠AEC＝45°，且△ABC∽△FCE．
①求证：△ABC∽△CBE；
第7页（共34页）②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
第8页（共34页）2025年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C C D C B B A
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个边只有一项是符合题目要
求的.）
1．（3分）（2025•广州）下列四个选项中，负无理数的是（ ）
A．-√2 B．﹣1 C．0 D．3
【考点】无理数．
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【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【解答】解：-√2是负无理数，
﹣1，0，3是整数，它们不是无理数，
故选：A．
【点评】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）（2025•广州）如图，将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（
）
第9页（共34页）A． B．
C． D．
【考点】点、线、面、体．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据“面动成体”进行判断即可．
【解答】解：将Rt△ABC绕直角边AC所在直线旋转一周所得到的立体图形是圆锥，
故选：B．
【点评】本题考查点、线、面、体，理解“面动成体”是正确解答的关键．
3．（3分）（2025•广州）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a5＝a15 B．（﹣2ab）3＝8a3b3
C．√a-√b=√a-b（a≥b≥0） D．2√a+5√a=7√a（a≥0）
【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a3•a5＝a8，则A不符合题意，
（﹣2ab）3＝﹣8a3b3，则B不符合题意，
√a与√b不一定是同类二次根式，无法合并，则C不符合题意，
2√a+5√a=7√a（a≥0），则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关
第10页（共34页）键．
4．（3分）（2025•广州）关于x的方程x2﹣x+k2+2＝0根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：由题知，Δ＝（﹣1）2﹣4（k2+2）＝﹣4k2﹣7＜0，
所以方程无实数根．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
5．（3分）（2025•广州）某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合
描述气温变化趋势的是（ ）
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温℃ 25 25 28 30 33 30 29
A．
B．
第11页（共34页）C．
D．
【考点】统计图的选择．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据频数分布直方图、扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断即可．
【解答】解：某地一周的每天最高气温如表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温
变化趋势的是折线统计图．
故选：C．
【点评】本题主要考查了统计图的选择，熟练掌握扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，
但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地
表示出每个项目的具体数目是解决此题的关键．
6．（3分）（2025•广州）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），点B（﹣1，1），若将直线y＝
x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点，则d的取值范围是（ ）
A．﹣3≤d≤﹣1 B．1≤d≤3 C．﹣4≤d≤﹣2 D．2≤d≤4
【考点】一次函数图象与几何变换；正比例函数的性质．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
第12页（共34页）【分析】求得平移后的解析式为y＝x+d，分别代入A、B的坐标，求得对应的d的值，根据题意得到
2≤d≤4．
【解答】解：把直线y＝x向上平移d个单位长度后得到y＝x+d，
若直线过A（﹣3，1），则﹣3+d＝1，解得d＝4，
若直线过B（﹣1，1），则﹣1+d＝1，解得d＝2，
∴若将直线y＝x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点，则2≤d≤4，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，根据题意列出关于 d的不等式组是
解题的关键．
k
7．（3分）（2025•广州）若|k|＝﹣k（k≠0），则反比例函数y= 的图象在（ ）
x
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
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【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质得k＜0，再根据反比例函数的图象与k的关系即可得出答案．
【解答】解：∵|k|＝﹣k（k≠0），
∴k＜0，
k
∴反比例函数y= 的图象在第二、四象限．
x
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
8．（3分）（2025•广州）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的
中点，则四边形EFGH的面积为（ ）
5
A． B．5 C．4 D．8
2
【考点】中点四边形；菱形的性质．
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第13页（共34页）【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
1
【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质、面积公式得到AC⊥BD， AC•BD＝10，根据三角形中位线
2
1
定理得到EF∥AC，EF= AC，证明四边形EFGH为矩形，根据矩形的面积公式计算，得到答案．
2
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵四边形ABCD为菱形，且面积为10，
1
∴AC⊥BD， AC•BD＝10，
2
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
1
∴EF∥AC，EF= AC，
2
1 1
同理可得：GH∥AC，GH= AC，FG∥BD，FG= BD，
2 2
∴EF∥GH，EF＝GH，EF⊥FG，
∴四边形EFGH为矩形，
1 1 1 1
∴S四边形EFGH ＝EF•FG =
2
AC•
2
BD =
2
×
2
AC•BD＝5，
故选：B．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．
1
9．（3分）（2025•广州）如图， O的直径AB＝4，C为^AB中点，点D在^BC上，^BD= ^BC，点P是
3
⊙
AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是（ ）
第14页（共34页）A．2+√7 B．2+2√3 C．3+√7 D．4+4√3
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】作直径CC′，连接DC′交AB于P，连接PC，OD，判定C的对称点是C′，得到此时△PCD的
周长最小，判定△COD是等边三角形，由勾股定理求出CD＝2√3，由C和C′关于AB对称，得到PC′
＝PC，因此△PCD周长的最小值＝CD+DC′＝2+2√3．
【解答】解：作直径CC′，连接DC′交AB于P，连接PC，OD，
∵C为^AB中点，
∴CC′⊥AB，
∴C的对称点是C′，
∴此时△PCD的周长最小，
1
∵
^BD= ^BC，
3
1
∴∠COD＝90°×（1- ）＝60°，
3
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
1 1
∴CD＝OC= AB= ×4＝2，
2 2
∵CC′是圆的直径，
∴∠CDC′＝90°，
∴CD=√CC'2-CD2=2√3，
∵C和C′关于AB对称，
∴PC′＝PC，
∴△PCD的周长＝CD+PC+PD＝CD+PC′+PD＝CD+DC′＝2+2√3，
第15页（共34页）∴△PCD周长的最小值是2+2√3．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称﹣路线最短问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，关键是作出 C关于
AB的对称点C′，从而得到使△PCD周长有最小值的点P．
10．（3分）（2025•广州）在平面直角坐标系中，两点 A（x ，y ），B（x ，y ）在抛物线y＝ax2﹣2ax
1 1 2 2
（a＞0）上，则下列结论中正确的是（ ）
A．当x ＜0且y •y ＜0时，则0＜x ＜2
1 1 2 2
B．当x ＜0且y •y ＞0时，则0＜x ＜2
1 1 2 2
C．当x ＜x ＜1时，则y ＜y
1 2 1 2
D．当x ＞x ＞1时，则y ＜y
1 2 1 2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）开口向上，顶点为（1，﹣a），与x轴交于（0，0）和（2，
0），分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax（a＞0），
∴抛物线的开口向上，
-2a
则对称轴为直线x=- =1，
2a
把x＝1代入y＝ax2﹣2ax得y＝a﹣2a＝﹣a，
∴顶点为（1，﹣a），
∵两点A（x ，y ）．B（x ，y ）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），
1 1 2 2
∴当x ＜0目y •y ＜0时，y ＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方），
1 1 2 1
故y ＜0，
2
此时0＜x ＜2，故A选项的结论正确；
2
当x ＜x ＜1时，抛物线在x＜1时递减，
1 2
第16页（共34页）故x 越大，y 越小，
2 2
即y ＞y ，故C选项的结论错误；
1 2
当x ＜0且y •y ＞0时，y ＞0，
1 1 2 2
此时x 应满足x ＜0或x ＞2，故B选项的结论错误；
2 2 2
当x ＞x ＞1时，抛物线在x＞1时递增，
1 2
故x 越大，y 越大，
1 1
即y ＞y ，故D选项的结论错误；
1 2
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）（2025•广州）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝36°，则∠2的度数为 14 4 °．
【考点】对顶角、邻补角．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】144．
【分析】根据邻补角的定义进行计算即可．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，而∠1＝36°，
∴∠2＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144．
【点评】本题考查对顶角、邻补角，理解邻补角的定义是正确解答的关键．
DE 1
12．（3分）（2025•广州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若 = ，则
BC 3
S 1
△ADE=
．
S 9
△ABC
第17页（共34页）【考点】相似三角形的判定与性质．
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【专题】三角形；图形的相似．
1
【答案】 ．
9
【分析】根据题意证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
S DE 1 1
∴
△ADE=(
)
2=(
)
2=
，
S BC 3 9
△ABC
1
故答案为： ．
9
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握其性质是解题的关键．
√x+1
13．（3分）（2025•广州）要使代数式 有意义，则x的取值范围是 x ≥﹣1 且 x ≠3 ．
x-3
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
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【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】x≥﹣1且x≠3．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案．
√x+1
【解答】解：要使代数式 有意义，
x-3
则x+1≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥﹣1且x≠3，
故答案为：x≥﹣1且x≠3．
【点评】本题考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．
12
14．（3分）（2025•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD= ，
13
AB＝26，则点B到AD的距离为 1 0 ．
【考点】解直角三角形；角平分线的性质．
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【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】10．
第18页（共34页）【分析】过点D作DH⊥AB于点H．可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k，证明DH＝CD＝5k，
利用面积法求解．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H．
AC 12
∵∠C＝90°，cos∠CAD= = ，
AD 13
∴可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝5k，
1 1
设点B到AD的距离为h，则有 ×13k×h= ×26×5k，
2 2
解得h＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查解直角三角形，角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
15．（3分）（2025•广州）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为 1 或
1
- ．
3
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
1
【答案】1或- ．
3
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线y＝x+2中进行计算，即可解答．
【解答】解：y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3
＝x2﹣6mx+9m2﹣9m2+6m2+5m+3
＝（x﹣3m）2﹣3m2+5m+3，
∴抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点为（3m，﹣3m2+5m+3），
把（3m，﹣3m2+5m+3）代入y＝x+2中得：
﹣3m2+5m+3＝3m+2，
整理得：3m2﹣2m﹣1＝0，
第19页（共34页）1
解得：m ＝1，m =- ，
1 2 3
1
故答案为：m的值为1或- ，
3
1
故答案为：1或- ．
3
【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，
准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（3分）（2025•广州）已知 O的半径为6， O所在平面内有一动点P，过点P可以引 O的两条
切线PA，PB，切点分别为A，⊙B．点P与圆心O⊙的距离为d，则d的取值范围是 d ＞ 6 ；⊙若过点O
作OC∥PA交直线PB于点C（点C不与点B重合），线段OC与 O交于点D．设PA＝x，CD＝y，则
⊙
(x-6) 2
y关于x的函数解析式为 y= ．
2x
【考点】切线的性质；函数关系式．
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【专题】函数及其图象；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
(x-6) 2
【答案】d＞6，y= ．
2x
【分析】由题意知点P在 O外，得到d＞6，由平行线的性质和角平分线定义推出∠POC＝∠CPO，
得到PC＝OC，由勾股定理⊙得到（y+6）2＝（x﹣y﹣6）2+62，即可得到y关于x的函数关系式．
【解答】解：∵过点P可以引 O的两条切线PA，PB，
∴点P在 O外， ⊙
∴d＞6； ⊙
∵PA切 O于A，PB切 O于B，
∴OP平⊙分∠APB， ⊙
∴∠APO＝∠BPO，
∵OC∥PA，
∴∠POC＝∠APO，
∴∠POC＝∠CPO，
∴PC＝OC，
∵PA＝x，CD＝y，
∴PC＝OC＝y+6，
∴BC＝PB﹣PC＝x﹣（y+6）＝x﹣y﹣6，
第20页（共34页）连接OB，
∴半径OB⊥PB，
∴∠OBC＝90°，
∴OC2＝BC2+OB2，
∴（y+6）2＝（x﹣y﹣6）2+62，
(x-6) 2
∴y= ．
2x
(x-6) 2
故答案为：d＞6，y= ．
2x
【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，函数关系式，关键是由勾股定理列出关于x、y的等式．
三、解答题（本大题共9.小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步级.）
{ 2x≥1
17．（4分）（2025•广州）解不等式组 并在数轴上表示解集．
4x-3＜x+9
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】0.5≤x＜4；数轴见解析．
【分析】解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可．
【解答】解：解第一个不等式得：x≥0.5，
解第二个不等式得：x＜4，
故原不等式组的解集为0.5≤x＜4，
在数轴上表示其解集如图所示：
．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式组的方法是
解题的关键．
第21页（共34页）18．（4分）（2025•广州）如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD．求证：△ABC≌△EBD．
【考点】全等三角形的判定．
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【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】由∠1＝∠2，得到∠ABC＝∠EBD，即可证明△ABC≌△EBD（SAS）．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EBC＝∠2+∠EBC，
∴∠ABC＝∠EBD，
在△ABC和△EBD中，
{
AB=EB
∠ABC=∠EBD，
BC=BD
∴△ABC≌△EBD（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS．
2m2+4m m2-4m+4
19．（6分）（2025•广州）求代数式 ⋅ 的值，其中m=√3-1．
m-2 m
【考点】分式的化简求值．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】﹣4√3．
【分析】将原式的分子，分母因式分解后进行约分，然后代入已知数值计算即可．
2m(m+2) (m-2) 2
【解答】解：原式= •
m-2 m
＝2（m+2）（m﹣2），
当m=√3-1时，
原式＝2（√3-1+2）（√3-1﹣2）
＝2（√3+1）（√3-3）
＝2（3﹣3√3+√3-3）
＝﹣4√3．
第22页（共34页）【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（6分）（2025•广州）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演
讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的
前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示：
选手 内容 能力 效果
甲 98 84 88
乙 88 85 97
（1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？
（2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照 4：3：3的比确定，以此计
算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；
（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．
【考点】加权平均数．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）甲、乙两名选手的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次；
（2）甲排第一，乙排第二；
（3）将内容、能力和效果三项得分按3：4：3的比例确定各人的测试成绩，确定录用者，因为能力比
内容更重要（答案不唯一）．
【分析】（1）根据算术平均数计算即可；
（2）根据加权平均数公式解答即可；
（3）将内容、能力和效果三项得分按3：4：3的比例确定各人的测试成绩（答案不唯一）．
98+84+88
【解答】解：（1）甲的平均成绩为： =90（分），
3
88+85+97
乙甲的平均成绩为： = 90（分），
3
所以不能以此确定两人的名次；
98×4+84×3+88×3
（2）甲的平均成绩为： =90.8（分），
4+3+3
88×4+85×3+97×3
乙甲的平均成绩为： = 89.8（分），
4+3+3
∵90.8＞89.8，
∴甲排第一，乙排第二；
（3）将内容、能力和效果三项得分按3：4：3的比例确定各人的测试成绩，确定录用者，因为能力比
内容更重要（答案不唯一）．
第23页（共34页）【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
2
21．（8分）（2025•广州）如图，曲线G：y= （x＞0）经过点P（4，t）．
x
（1）求t的值；
（2）直线l：y＝﹣x+b也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
（3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、
纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【专题】函数及其图象；一次函数及其应用；概率及其应用；模型思想．
1
【答案】（1） ；
2
（2）l与y轴交点的坐标为（0，4.5），图中画出直线l见解答；
1
（3） ．
3
2 1
【分析】（1）直接把（4，t）代入y= 进行计算，得t= ；
x 2
1
（2）先得出P（4， ），再代入直线l：y＝﹣x+4.5，即可求出t与y轴交点的坐标，再由两点确定一
2
直线画出直线l的函数图象；
（3）先得出格点共有6个，分别是（1，3），（1，2），（1，1），（2，1），（2，2），（3，
1），再分析所得格点（1，2），（2，1）在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后由概率公式
解答即可．
2
【解答】解：（1）曲线G：y= 过点P（4，t），
x
2 1
∴t= = ；
4 2
第24页（共34页）1
（2）由（1）得t= ，
2
1
故P（4， ），
2
∵直线l：y＝﹣x+b也经过点P，
1 1
∴把（4， ）代入y＝﹣x+b，得 =-4+b，
2 2
解得b＝4.5，
∴y＝﹣x+4.5，
令x＝0，则y＝0+4.5＝4.5，
∴l与y轴交点的坐标为（0，4.5），
直线的函数图象，如图所示：
（3）根据题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包括边界）的格点共有 6个，分别是（1，
3），（1，2），（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），
2
∵曲线G：y= （x＞0），
x
则1×3＝3≠2，1×2＝2，1×1≠2，2×1＝2，2×2＝4≠2，3×1＝3≠2，
∴格点（1，2），（2，1）在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，
2 1
∴该格点在曲线G上的概率= = ．
6 3
【点评】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，掌握相关性质是
解答本题的关键．
22．（10分）（2025•广州）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引
进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
（1）若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低 30%．求用智能机
第25页（共34页）器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
（2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1
天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍．求这台智能采摘机器人每天可采摘该种
水果多少千克．
【考点】分式方程的应用；列代数式．
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【专题】整式；分式方程及应用；应用意识．
【答案】（1）70%a元；
（2）1000千克．
【分析】（1）利用用智能机器人采摘的成本＝（1﹣30%）×用人工采摘的成本，可用含a的代数式表
示出用智能机器人采摘的成本；
（2）设一个工人每天可采摘该种水果x千克，则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果5x千克，
利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数
还少1天，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入5x中，即可求出结
论．
【解答】解：（1）根据题意得：用智能机器人采摘的成本是（1﹣30%）a＝70%a元；
（2）设一个工人每天可采摘该种水果x千克，则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果5x千克，
4000 4000
根据题意得： - = 1，
4x 5x
解得：x＝200，
经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意，
∴5x＝5×200＝1000（千克）．
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用
含a的代数式表示出用智能机器人采摘的成本；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
√5-1
23．（10分）（2025•广州）宽与长的比是 （约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩
2
形纸片ABCD，长AD=√5+1．如图1，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接
EF．然后将纸片展开．
（1）求AB的长；
（2）求证：四边形CDEF是黄金矩形；
（3）如图2，点G为AE的中点，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，
过点P作PQ⊥EF于点Q．四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
第26页（共34页）【考点】四边形综合题．
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【专题】几何综合题．
【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）四边形BPQF是黄金矩形，证明见解析．
AB √5-1
【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得： = ，再进一步求解即可；
AD 2
（2）先证明四边形 ABFE是正方形；可得 AB＝BF＝EF＝AE＝2，DE=CF=√5-1，证明四边形
CFED是矩形，从而可得答案；
（3）先证四边形BPQF是矩形，然后求解FG=√12+22=√5，由对折可得：FH＝FB＝2，设BP＝x，
1 1 1 1
则AP＝2﹣x，由面积可得： ×1×(2-x)+ ×2x+ ×√5x= ×(1+2)×2，可得：x=√5-1，
2 2 2 2
再进一步可得结论．
【解答】（1）解：∵AD=√5+1，矩形ABCD是黄金矩形，
AB √5-1
∴ = ，
AD 2
√5-1
∴AB= ×(√5+1)=2；
2
（2）证明：∵折叠黄金矩形纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，
∴AB＝AE，∠B＝∠AEF，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD=BC=√5+1，
∴∠BAE＝∠B＝∠AEF＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∵AB＝AE，
∴四边形ABFE是正方形，
∴AB＝BF＝EF＝AE，
由（1）可知，AB＝2，
第27页（共34页）∴AB＝BF＝EF＝AE＝2，
∴DE=CF=√5+1-2=√5-1，
∵∠C＝∠D＝∠DEF＝90°，
∴四边形CFED是矩形，
∴EF＝CD＝2，
DE √5-1
∴ = ，
FE 2
∴四边形CDEF是黄金矩形；
（3）解：四边形BPQF是黄金矩形，证明如下：
∵PQ⊥EF，四边形ABFE是正方形，
∴∠B＝∠BFE＝∠PQF＝90°，
∴四边形BFQP是矩形，
由（2）可知，AB＝BF＝AE＝EF＝2，
∵G为AE的中点，
∴AG＝EG＝1，
∴FG=√EG2+EF2=√12+22=√5，
如图，连接PG，由对折可得：FH＝FB＝2，BP＝PH，∠PHF＝∠B＝90°，
设BP＝PH＝x，则AP＝2﹣x，
∵S
△APG
+S
△PBF
+S
△PGF
＝S梯形ABFG
1 1 1 1
∴ ×1×(2-x)+ ×2x+ ×√5x= ×(1+2)×2，
2 2 2 2
解得：x=√5-1，
∴BP=√5-1，
BP √5-1
∴ = ，
BF 2
∴四边形BFQP是黄金矩形．
【点评】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，
第28页（共34页）理解黄金矩形的定义是关键．
24．（12分）（2025•广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其
内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请
认真阅读，解决问题．
发现问题确定 涉水线设置 限高架设置
目标
数学抽象绘制
图形
隧道及斜坡的侧面示意图可近似如
图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛
物线的一部分ACB和矩形ADEB
的三边构成．
信息收集资料 当隧道内积水的水深为0.27米时 车辆进入隧道，应在行驶车道内
整理 （即积水达到涉水线处），车辆应 通行（禁止压线），且必须保证
避免通行． 车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直
方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据 斜坡的坡角 为10°，并查得 隧道的最高点C到地面DE距离
采集 sin10°≈0.174，cos10°≈0.985， 为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝
tan10α°≈0.176． 3米，地面跨度DE＝10米．车辆
行驶方向的右侧车道线（宽度忽
略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米）；
（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）．
【考点】二次函数的应用；线段的性质：两点之间线段最短；解直角三角形．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
第29页（共34页）【答案】（1）1.55米；
12
（2）y=- x2；
125
（3）3.5米．
MP
【分析】（1）认真研读题干，过点M作MP⊥l，代入数值得sin10°= ≈0.174进行计算，即可作
MN
答；
（2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线ACB的解析式为y＝ax2（a＜0），再把B
12
（5，﹣2.4）代入进行计算，得y=- x2 即可作答；
125
（3）认真研读题干，得出10÷5﹣1＝4，再算出当x＝4时，y＝﹣1.536，则OG＝1.536，GH＝CH﹣
OG＝3.864，即可得出h＝GH﹣0.3＝3.564＝3.5（米），即可作答．
【解答】解：（1）过点M作MP⊥l，
∵斜坡的坡角 为10°，隧道内积水的水深为0.27米，
∴∠MNP＝10°，αMP＝0.27，
∵MP⊥l，sin10°≈0.174，
MP 0.27
在Rt△MNP中，sin10°= ≈0.174， ≈0.174，
MN MN
0.27
∴MN= =1.55（米）；
0.174
（2）以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，
第30页（共34页）设抛物线ACB的解析式为y＝ax2（a＜0），
∵隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米，
∴B（5，﹣2.4），
把B（5，﹣2.4）代入y＝ax2，
得﹣2.4＝25a，
12
∴a=- ，
125
12
∴y=- x2；
125
（3）车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为 1米，必须保证车辆顶部与隧道顶
部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米，
∴10÷2﹣1＝4，
12
∴当x＝4时，y=- ×42=-1.536，
125
则OG＝1.536，
∴GH＝CH﹣OG＝5.4﹣1.536＝3.864，
限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴h＝GH﹣0.3＝3.864﹣0.3＝3.564 （米），
∵涉及安全问题，
∴h＝3.564≈3.5（米）．
【点评】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
25．（12分）（2025•广州）如图1，AC＝4，O为AC中点，点B在AC上方，连接AB，BC．
（1）尺规作图：作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接AD、DC，并证明四
第31页（共34页）边形ABCD为平行四边形；
（2）如图2，延长AC至点F，使得CF＝AC，当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于
点B的动点E，连接EA，EB，EC，EF，若∠AEC＝45°，且△ABC∽△FCE．
①求证：△ABC∽△CBE；
②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】相似形综合题．
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【专题】几何综合题．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②存在，最大值为2√2，理由见解析．
【分析】（1）连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD＝OB，连接AD，CD，进而根据对角线互
相平分的四边形是平行四边形，即可得证；
AB BC
（2）①根据△ABC∽△FCE 得出∠BCE＝∠F＝∠BAC， = ，根据已知 CF＝AC，可得
FC CE
△ABC∽△CBE；
②根据∠AEC＝45°，AC＝4，得出E在△AEC的外接圆上运动，设△AEC的外接圆为 O，设EF与
⊙
1
O交于点G，连接AG，证明△BAC∽△GFA，得出BC= AG，当AG为 O的直径时，AG取得最大
2
⊙ ⊙
值为4√2，进而即可求解．
【解答】（1）解：如图，连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD＝OB，点D即为所作，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC，
根据作图可得BO＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
第32页（共34页）（2）①∵△ABC∽△FCE，
∴∠F＝∠BAC，∠ACB＝∠FEC，
∵∠ACE＝∠F+∠CEF＝∠ECB+∠ACB，
∴∠BCE＝∠F＝∠BAC，
∵△ABC∽△FCE，
AB BC
∴ = 且CF＝AC，
FC CE
AB BC
∴ = ，
AC CE
∴△ABC∽△CBE；
②∵∠AEC＝45°，AC＝4，
∴E在△AEC的外接圆上运动，
设△AEC的外接圆为 O，如图，设EF与 O交于点G，连接AG，OA，OC，
⊙ ⊙
∴∠AOC＝2∠AEC＝90°，
√2
∴OA=OC= AC=2√2，
2
∵C^G=C^G，
∴∠GAF＝∠CEF，
∵∠CEF＝∠ACB，
∴∠GAF＝∠BCA，
又∵∠F＝∠BAC，
∴△BAC∽△GFA，
又∵CF＝AC，则AF＝2AC，
BC AC 1
∴ = = ，
AG AF 2
1
若BC= AG，
2
∴当AG为 O的直径时，AG取得最大值为4√2，
⊙
第33页（共34页）∴BC的最大值为2√2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以
上知识是解题的关键．
第34页（共34页）
