文档内容
2025年广东省中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（3分）（2025•广东）某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的质量高于标准质
量0.02g记作+0.02g，那么低于标准质量0.02g记作（ ）
A．﹣0.02g B．+0.02g C．﹣0.04g D．+0.04g
2．（3分）（2025•广东）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024﹣2026年）》，预计
2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A．3×109 B．3×1010 C．30×1010 D．3×1011
3．（3分）（2025•广东）计算√12×√3的结果是（ ）
A．3 B．6 C．√6 D．2√6
4．（3分）（2025•广东）如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2025•广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝（
）
A．20° B．40° C．70° D．110°
6．（3分）（2025•广东）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，
92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ）
第1页（共34页）A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96
7．（3分）（2025•广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公
司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月
产值的月均增长率为x，可列出的方程为（ ）
A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100
C．2500（1﹣2x）2＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100
8．（3分）（2025•广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量 y
（W•h）与骑行里程x（km）之间的关系如图．当电池剩余能量小于 100W•h时，摩托车将自动报警．
根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．电池能量最多可充400W•h
B．摩托车每行驶10km消耗能量300W•h
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25km
D．摩托车充满电后，行驶18km将自动报警
9．（3分）（2025•广东）如图，在直径BC为2√2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC．随机地往圆内
投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 3 2
10．（3分）（2025•广东）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于
点G，连接CG．若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是（ ）
第2页（共34页）√10 1 3√10 2
A． B． C． D．
10 3 10 3
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）（2025•广东）因式分解：a2b+ab2＝ ．
12．（3分）（2025•广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是
．
13．（3 分）（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程 2x2+x﹣1＝0 的根的情况是
．
14．（3分）（2025•广东）计算20﹣2sin30°的结果是 ．
15．（3分）（2025•广东）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二
次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可）
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
1-x 1
16．（7分）（2025•广东）在解分式方程 = -2时，小李的解法如下：
x-2 2-x
1-x 1
第一步： •（x﹣2）=- •（x﹣2）﹣2，
x-2 x-2
第二步：1﹣x＝﹣1﹣2，
第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1，
第四步：x＝4．
第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0．
第六步：∴原分式方程的解为x＝4．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请
写出你的解答过程．
17．（7分）（2025•广东）如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的 O与边BC相
⊙
第3页（共34页）切于点D．求证：AD平分∠BAC．
18．（7分）（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物
线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建
立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
四、解答题（二）：本大随共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9 分）（2025•广东）如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，过点 A，C 分别作 AE∥DC，
CE∥AB，AE与CE相交于点E．现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则S ＝2S ．
△CFB △CEF
命题2：若连接ED，则ED⊥AC．
命题3：若连接ED，则ED＝BC．
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
20．（9分）（2025•广东）2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间
不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分
学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下：
调查问卷 整理与描述
第4页（共34页）1．你每天参加体育活动（含体育课）的
时间（单位：小时）（ ）（单选）
A．0.5≤x＜1
B．1≤x＜1.5
C．1.5≤x＜2
D．x≥2
2．随着体育活动时间的延长，学校拟增 希望增设的活动项目统计表
设体育活动项目，你希望增设的活动项
活动项目 球类 田径类 体操类 水上类
目有（ ）（可多选）
E．球类 百分比 72% 23% 40% 46%
F．田径类
G．体操类
H．水上类
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求参与这次问卷调查的学生人数．
（2）估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数．
（3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议．
21．（9分）（2025•广东）综合与实践
【阅读材料】
a b c
如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有 = = ．这是
sinA sinB sinC
解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意
图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对
这一问题进行了探究．
第5页（共34页）【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离．
（参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所
用的数学知识．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22．（13分）（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方
第6页（共34页）法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组
“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数．
3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181
4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29
5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35
6，8，10 10， ， 14，48，50 18，80，82 22，120，122
26
（1）请补全如表中的勾股数．
（2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表
示上表中所有的勾股数，并证明．
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．
种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为
1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
23．（14分）（2025•广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，
则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
（1）如图1，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长．
（2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作
法）
k
（3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC的边
x
AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F
是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明．
第7页（共34页）第8页（共34页）2025年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D． B C C B A C D B
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（3分）（2025•广东）某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的质量高于标准质
量0.02g记作+0.02g，那么低于标准质量0.02g记作（ ）
A．﹣0.02g B．+0.02g C．﹣0.04g D．+0.04g
【考点】正数和负数．
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【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g，
那么低于标准质量0.02g记﹣0.02g，
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2．（3分）（2025•广东）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024﹣2026年）》，预计
2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A．3×109 B．3×1010 C．30×1010 D．3×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3000亿＝300000000000＝3×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
第9页（共34页）为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2025•广东）计算√12×√3的结果是（ ）
A．3 B．6 C．√6 D．2√6
【考点】二次根式的乘除法．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式=√36=6，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
4．（3分）（2025•广东）如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】C
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从左边看有两层，底层是两个正方形，上层的左边的一个正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从左边看得到的图形．
5．（3分）（2025•广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝（
）
第10页（共34页）A．20° B．40° C．70° D．110°
【考点】三角形中位线定理．
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【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AC，根据平行线的性质得到∠DEB＝∠A＝70°，同理得到
DF∥AB，得到∠EDF＝∠DEB＝70°．
【解答】解：∵点D，E分别BC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴∠DEB＝∠A＝70°，
同理可得：DF∥AB，
∴∠EDF＝∠DEB＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键．
6．（3分）（2025•广东）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，
92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96
【考点】众数；中位数．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为88，92，94，95，95，95，96，
所以这组数据的中位数为95，众数为95，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
7．（3分）（2025•广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公
司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月
第11页（共34页）产值的月均增长率为x，可列出的方程为（ ）
A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100
C．2500（1﹣2x）2＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，根据今年5月产值达到2500万元，预计7月产
值将增至9100万元．即可得到结论．
【解答】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，
根据题意得：2500（1+x）2＝9100．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
8．（3分）（2025•广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量 y
（W•h）与骑行里程x（km）之间的关系如图．当电池剩余能量小于 100W•h时，摩托车将自动报警．
根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．电池能量最多可充400W•h
B．摩托车每行驶10km消耗能量300W•h
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25km
D．摩托车充满电后，行驶18km将自动报警
【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象．
【答案】C
【分析】根据图象中的数据逐项求解判断即可．
【解答】解：由图象可得，当x＝0km时，y＝500W•h，
第12页（共34页）∴电池能量最多可充500W•h，故A错误；
500÷25＝20（W•h），20×10＝200（W•h），
∴摩托车每行驶10km消耗能量200W•h，故B错误；
由图象可得，当x＝25km时，y＝0W•h，
∴一次性充满电后，摩托车最多行驶25km，故C正确；
（500﹣100）÷20＝20（km），
∴摩托车充满电后，行驶20km将自动报警，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象．
9．（3分）（2025•广东）如图，在直径BC为2√2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC．随机地往圆内
投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 3 2
【考点】几何概率；扇形面积的计算．
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【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】D
【分析】如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，证明出△ABC是等腰直角三角形，求出AD＝BD＝CD
1
=
2
BC=√2，然后得到AB=√AD2+BD2=2，然后分别求出S扇形ABC 和S圆 ，然后根据概率公式求解
即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
第13页（共34页）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD⊥BC，
1
∴AD＝BD＝CD= BC=√2，
2
∴AB=√AD2+BD2=2，
90π×22
∴S扇形ABC =
360
= ，S
圆
=π×(√2) 2=2 ，
π π
π 1
∴该粒米落在扇形内的概率为 = ，
2π 2
故选：D．
【点评】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角
是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
10．（3分）（2025•广东）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于
点G，连接CG．若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是（ ）
√10 1 3√10 2
A． B． C． D．
10 3 10 3
【考点】矩形的性质；解直角三角形．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能
力；推理能力．
【答案】B
【分析】过点G作GM⊥BC于点M，根据矩形的性质及已知条件得BE＝EF＝CF＝4，进而得AB＝BF
＝8，则△ABF是等腰直角三角形，继而得∠BFA＝45°，同理证明△CDE是等腰直角三角形得∠CED
＝45°，由此得△GEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形性质得GM＝EM＝FM＝2，则CM＝
6，然后在Rt△GMC中，根据正切函数的定义即可得出tan∠GCF的值．
【解答】解：过点G作GM⊥BC于点M，如图所示：
第14页（共34页）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝90°，
∵点E，F是BC的三等分点，
1
∴BE＝EF＝CF= BC＝4，
3
∴BF＝BE+EF＝8，
∴AB＝BF＝8，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠BFA＝45°，
同理：△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED＝45°，
∴∠BFA＝∠CED＝45°，
∴△GEF是等腰直角三角形，
∵GM⊥EF，
1
∴GM＝EM＝FM= EF＝2，
2
∴CM＝CF+MF＝4+2＝6，
GM 2 1
在Rt△GMC中，tan∠GCF= = = ．
CM 6 3
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，理解矩形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的
判定和性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）（2025•广东）因式分解：a2b+ab2＝ ab （ a + b ） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
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【答案】见试题解答内容
【分析】观察发现多项式的各项有公因式ab，直接提取公因式ab即可．
【解答】解：a2b+ab2＝ab•a+ab•b＝ab（a+b），
故答案为：ab（a+b）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：①系数应取各项系数的
第15页（共34页）最大公约数；②字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；③取相同的多项式，
多项式的次数取最低的．
12．（3分）（2025•广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是 1 ： 3
．
【考点】相似三角形的性质．
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【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】1：3．
【分析】根据相似三角形的性质得到△AOB与△COD的相似比＝OB：OD．
【解答】解：∵△AOB放大后得到△COD，
∴△AOB∽△COD，
∴△AOB与△COD的相似比＝OB：OD＝2：6＝1：3．
故答案为：1：3．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比．
13．（3分）（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是 方程有两个不相等
的实数根 ．
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】方程有两个不相等的实数根．
【分析】把a＝2，b＝1，c＝﹣1代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的
情况．
【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣1＝0，
∴Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0．
∴该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：方程有两个不相等的实数根．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确求出根的判别式是解题关键．
14．（3分）（2025•广东）计算20﹣2sin30°的结果是 0 ．
【考点】实数的运算．
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第16页（共34页）【专题】实数；运算能力．
【答案】0．
【分析】利用零指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算减法即可．
1
【解答】解：原式＝1﹣2×
2
＝1﹣1
＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15．（3分）（2025•广东）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二
次函数的表达式可以是 y ＝﹣ x 2 + x +2 （答案不唯一） ．（写出一个即可）
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）．
【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），得到0＝﹣c2+bc+c，再由二次函数y＝
﹣x2+bx+c的图象不经过原点，得到c≠0，从而得确定c﹣b＝1，若取b＝1，即可得到c＝2，从而确定
函数表达式．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），
∴0＝﹣c2+bc+c，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象不经过原点，
∴c≠0，
则c﹣b＝1，
若取b＝1，则c＝2，
∴该二次函数的表达式可以是y＝﹣x2+x+2，
故答案为：y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）．
【点评】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解
决问题的关键
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
1-x 1
16．（7分）（2025•广东）在解分式方程 = -2时，小李的解法如下：
x-2 2-x
1-x 1
第一步： •（x﹣2）=- •（x﹣2）﹣2，
x-2 x-2
第17页（共34页）第二步：1﹣x＝﹣1﹣2，
第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1，
第四步：x＝4．
第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0．
第六步：∴原分式方程的解为x＝4．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请
写出你的解答过程．
【考点】解分式方程；分式方程的解．
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【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【答案】详见解答．
【分析】先判断去分母是那步，说明依据，再解分式方程得结论．
【解答】解：小李的解法中，第一步是去分母；
去分母的依据是：等式的基本性质；
小李的解答过程不正确；
正确的解答过程：
1-x 1
= -2，
x-2 2-x
1-x 1
去分母，得 •（x﹣2）=- •（x﹣2）﹣2（x﹣2），整理，得1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
x-2 x-2
移项并合并，得x＝2．
检验：当x＝2时，x﹣2＝0．
∴原分式方程无解．
【点评】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
17．（7分）（2025•广东）如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的 O与边BC相
切于点D．求证：AD平分∠BAC． ⊙
【考点】切线的性质；圆周角定理．
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【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥BC，再证明OD∥AB，所以∠ODA＝∠BAD，然
第18页（共34页）后利用∠ODA＝∠OAD得到∠BAD＝∠OAD，从而得到结论．
【解答】证明：连接OD，如图，
∵以OA为半径的 O与边BC相切于点D，
∴OD⊥BC， ⊙
∵∠ABC＝90°，
∴OD∥AB，
∴∠ODA＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠BAD＝∠OAD，
∴AD平分∠BAC．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
18．（7分）（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物
线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建
立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
【考点】二次函数的应用．
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【专题】二次函数的应用．
21
【答案】该抛物线的表达式为y= x2+0.0015．
85
【分析】先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到（0，0.0015）、A（0.85，0.18），设该抛
物线的顶点式为y＝ax2+0.0015，将A（0.85，0.18）代入解方程即可得到答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
第19页（共34页）1.7
则抛物线顶点坐标为（0，0.0015），A( ，0.27-0.09)，
2
即A（0.85，0.18），
设该抛物线的表达式为y＝ax2+0.0015，
将A（0.85，0.18）代入y＝ax2+0.0015，
得0.18＝0.852a+0.0015，
21
解得a= ，
85
21
∴该抛物线的表达式为y= x2+0.0015．
85
【点评】本题考查待定系数法求二次函数表达式，根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并
设出抛物线表达式是解决问题的关键．
四、解答题（二）：本大随共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9 分）（2025•广东）如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，过点 A，C 分别作 AE∥DC，
CE∥AB，AE与CE相交于点E．现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则S ＝2S ．
△CFB △CEF
命题2：若连接ED，则ED⊥AC．
命题3：若连接ED，则ED＝BC．
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
第20页（共34页）【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；
三角形中位线定理．
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【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运
算能力；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】命题1：连接DE，交AC于O，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到
1
CD=DA=DB= AB，判定四边形ADCE是平行四边形，进而得到四边形ADCE是菱形，再由中位
2
1
线的判定与性质得到OD= BC最后利用三角形面积公式求解即可得证；命题2：连接DE，交AC于
2
1
O，如图所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到CD=DA=DB= AB判定四边形
2
ADCE是平行四边形，进而得到四边形ADCE是菱形即可得证；命题3：连接DE，交AC于O，如图
1
所示，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得到CD=DA=DB= AB，判定四边形ADCE是
2
平行四边形，再由平行四边形的判定与性质得到四边形BCED是平行四边形即可得证．
【解答】解：命题1：若连接BE交CA于点F，
则S ＝2S 命题1是真命题，
△CFB △CEF
证明如下：连接DE，交AC于O，
如图所示：
，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
1
∴CD=DA=DB= AB，
2
∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵DA＝DC，
∴四边形ADCE是菱形，
第21页（共34页）∴AC⊥DE，且OA＝OC，OE＝OD，
∵O为AC的中点，D为AB中点，
∴DO是△ABC的中位线，
1
则OD= BC，
2
1 1
∴S = CF⋅BC，S = CF•OE，则S ＝22S ；
△CFB 2 △CEF 2 △CFB △CEF
命题2：若连接ED，则ED⊥AC．
命题2是真命题，证明如下：连接DE，交AC于O，
如图所示：
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
1
∴CD=DA=DB= AB，
2
∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵DA＝DC，
∴四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE；
命题3：若连接ED，则ED＝BC．
命题3是真命题，证明如下：连接DE，交AC于O，
如图所示：
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
第22页（共34页）1
∴CD=DA=DB= AB，
2
∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CE＝AD，
∴CE＝DB，
∵CE∥AB，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴ED＝BC．
【点评】本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、
平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、三角形面积公式等知识，
熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
20．（9分）（2025•广东）2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间
不低于两小时的通知》．某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分
学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理．部分信息如下：
调查问卷 整理与描述
1．你每天参加体育活动（含体育课）的
时间（单位：小时）（ ）（单选）
A．0.5≤x＜1
B．1≤x＜1.5
C．1.5≤x＜2
D．x≥2
2．随着体育活动时间的延长，学校拟增 希望增设的活动项目统计表
设体育活动项目，你希望增设的活动项
活动项目 球类 田径类 体操类 水上类
目有（ ）（可多选）
E．球类 百分比 72% 23% 40% 46%
F．田径类
G．体操类
H．水上类
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求参与这次问卷调查的学生人数．
第23页（共34页）（2）估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数．
（3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议．
【考点】用样本估计总体；统计表．
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【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】（1）200人；
（2）375人；
（3）见解析．
【分析】（1）利用A选项的人数除以其占比即可求出结果；
（2）利用1000乘样本中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数所占的百分比即可；
（3）建议合理即可．
【解答】解：（1）35÷17.5%＝200（人），
答：参与这次问卷调查的学生人数为200人；
（2）1000×37.5%＝375（人），
答：估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数为375人；
（3）由调查可知，大部分同学每天参加体育活动时间低于两小时，建议学校多提供一些球场等活动场
所，多提供学生活动时间．（言之有理即可）
【点评】本题主要考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，从统计图中获取数量和数量关系
是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
21．（9分）（2025•广东）综合与实践
【阅读材料】
a b c
如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有 = = ．这是
sinA sinB sinC
解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意
图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对
这一问题进行了探究．
第24页（共34页）【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离．
（参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所
用的数学知识．
【考点】解直角三角形的应用．
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【专题】解直角三角形及其应用．
第25页（共34页）【答案】（1）499m；（2）见解析．
BC AB
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝86°，根据题意可得 = ，
sinA sinC
代入数据求出AB的长，即可解答；
（2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可．
【解答】解：（1）∵∠A≈43°，∠B≈51°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B≈180°﹣43°﹣51°＝86°，
BC AB
由题意得， = ，
sinA sinC
又∵BC≈341m，
BCsinC BCsin86° 341×0.998
∴AB= = ≈ =499m，
sinA sin43° 0.682
答：A，B两岛间的距离为499m；
（2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点C，使得△ABC是锐角三角形；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC＝am，AC＝bm．
计算过程：过点A作AD⊥BC，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
AD CD
∵在 Rt△ACD中，sinC= ，cosC= ，
AC AC
∴AD＝bsinC（m），CD＝bcosC（m），
∴BD＝BC﹣CD＝（a﹣bcosC）（m），
∵在Rt△ABD 中，AD2+BD2＝AB2，
∴AB=√(bsinC) 2+(a-bcosC) 2 (m)，
第26页（共34页）答：A，B两岛间的距离为√(bsinC) 2+(a-bcosC) 2m⋅
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22．（13分）（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方
法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组
“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数．
3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181
4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29
5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35
6，8，10 10， 2 4 ， 14，48，50 18，80，82 22，120，122
26
（1）请补全如表中的勾股数．
（2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表
示上表中所有的勾股数，并证明．
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．
种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为
1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
【考点】勾股数．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）24；
（2）a＝k（m2﹣n2），b＝2kmn，c＝k（m2+n2）或a＝2kmn，b＝k（m2﹣n2），c＝k（m2+n2）其中
k、m、n都是正整数，m＞n，证明见解答；
（3）这块绿地最少需要种植280株花．
【分析】（1）先由表中勾股数规律，令a＝10，b，c＝26，由勾股数定义列方程求解即可得到答案；
（2）由表中数据，分别用代数式表示出a，b，c，再由整式混合运算求证即可得到答案；
（3）确定直角三角形最短边长度：已知每个三角形最短边都种21株花，因为各边上相邻两株花之间
第27页（共34页）的距离均为1m，且顶点处都种一株花，所以每个直角三角形最短边长为21﹣1＝20米，找出直角三角
形三边长度：查题干中的表可知，当最短边为20米时，直角三角形的三边长分别为20米，21米，29
米，由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即
可，如图所示，结合（2）中得到的规律，分析出一个直角三角形种植花数量即可得到答案．
【解答】解：（1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26，
则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262，
∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16，
解得b＝24或b＝﹣24（舍去）；
故答案为：24；
（2）由题意，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0，m，n互质且一奇一偶）；
非本原勾股数：a＝k（m2﹣n2），b＝k（2mn），c＝k（m2+n2）（k为正整数），
证明：对于本原勾股数，计算a2+b2：
（m2﹣n2）2+（2mn）2
＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2
＝m4+2m2n2+n4
＝（m2+n2）2
＝c2，
非本原勾股数为k倍的本原勾股数，
故a2+b2＝k2[（m2﹣n2）2+（2mn）2]
＝k2（m2+n2）2
＝c2．
同理，a＝2kmn，b＝k（m2﹣n2），c＝k（m2+n2）成立；
（3）查表可以知道他的最短是20 21 29这个勾股数，
一个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29＝70米，
因为图案是由四个全等的直角三角形组成，
所以需要种花70×4＝280株．
【点评】本题考查勾股定理、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，
分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键．
23．（14分）（2025•广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，
则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
（1）如图1，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长．
第28页（共34页）（2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作
法）
k
（3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC的边
x
AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F
是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明．
【考点】反比例函数综合题．
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【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）PN=3-√5；
（2）见解析；
（3）当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点．理由见解析．
MN MP 2 2-x
【分析】（1）设PN＝x，根据题意 = ，得 = ，解一元二次方程，即可求解；
MP PN 2-x x
（2）①作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D；②过点B作BF⊥AB，且BF＝BD；③连接
AF；④以点F为圆心，BF为半径，画弧，交AF于点G；⑤以点A为圆心，AG为半径，画弧，交
AB 于点 C，点 C 即为线段 AB 的中外比点．设 BD＝x，根据勾股定理求得 AF=√5x，继而求得
AB AC
AG=AC=(√5-1)x，BC=(3-√5)x，分别代入 、 ，即可求证点C为线段AB的中外比点；
AC BC
（3）当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，分三种情况讨论：
①当△OED＝90°时，证得△COE≌△BED，设点E（m，n），则D（m+n，n﹣m），根据点D、E在反
k 1+√5
比例函数y= (k＞0，x＞0)的图象上，可构建方程n2﹣mn﹣m2＝0，解得n= m，分别求得
x 2
BE、CE、BC、BD、AD、AB的值，即可求证．设直线OB的函数解析式为y＝ax（a≠0），利用待定
第29页（共34页）√5-1
系数法求得直线OB的函数解析式为y= x，联立方程组，求得点F的坐标，即可求证；②当
2
∠ODE＝90°，同理可证点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点；③当∠EOD＝90°，则点E、D
分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符．
【解答】解：（1）设PN＝x，则MP＝MN﹣PN＝2﹣x，
MN MP 2 2-x
根据题意，得： = ，即 = ，
MP PN 2-x x
整理，得：x2﹣6x+4＝0，解得：x =3+√5，x =3-√5，
1 2
∵3+√5＞2，
∴x =3+√5舍去，
1
∴PN=3-√5；
（2）如图所示，点C为所求．
设BD＝x，
∴根据题意，得：AD＝BD＝BF＝FG＝x，AB＝2x，
∴AF=√AB2+BF2=√(2x) 2+x2=√5x，
∴AG=AC=x√5-x=(√5-1)x，BC=AB-AC=2x-(√5-1)x=(3-√5)x，
AB 2x √5+1 AC (√5-1)x √5+1
∵ = = ， = = ，
AC (√5-1)x 2 BC (3-√5)x 2
AB AC
∴ = ，
AC BC
第30页（共34页）∴点C为线段AB的中外比点．
（3）当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，理由如下：
第一种情况：当△OED＝90°，则OE＝ED，
∴∠OEC+∠DEB＝90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCE＝∠EBD＝90°，
∴∠COE+∠OEC＝90°，
∴∠COE＝∠DEB，
∴△COE≌△BED（AAS），
设点E（m，n），
∴OC＝EB＝n，CE＝BD＝m，则D（m+n，n﹣m），
k
∵点D、E在反比例函数y= (k＞0，x＞0)的图象上，
x
k
{ =n①
m
得： ，
k
=n-m②
m+n
mn
由①得：k＝mn，将其代入②，得： =n-m，
m+n
整理，得：n2﹣mn﹣m2＝0，
m±√(-m) 2-4×1×(-m2 ) m±m√5
解得：n= = ，
2 2
1+√5 1-√5
∴n = m，n = m（舍去），
1 2 2 2
1+√5 3+√5 √5-1 3+√5 1+√5
∴E(m， m)，D( m， m)，B( m， m)，
2 2 2 2 2
1+√5 3+√5 √5-1 1+√5
∴BE= m，CE＝m，BC= m，BD＝m，AD= m，AB= m，
2 2 2 2
1+√5 3+√5 3+√5 3+√5
∵ BE2=( m) 2= m2 ， BC⋅CE= m⋅m= m2 ， BD2 ＝ m2 ，
2 2 2 2
1+√5 √5-1
AB⋅AD= m⋅ m=m2 ，
2 2
第31页（共34页）BC BE AB BD
∴ = ， = ，
BE CE BD AD
∴点E、D为BC、AB的中外比点．
k 1+√5
∵点E在反比例函数y= (k＞0，x＞0)的图象上，E(m， m)，
x 2
1+√5
∴k=mn= m2 ，
2
1+√5
m2
∴反比例函数为 2 ，
y=
x
3+√5 1+√5
∵B( m， m)，
2 2
设直线OB的函数解析式为y＝ax（a≠0），
3+√5 1+√5 √5-1
将点B( m， m)，O（0，0）代入，得：a= ，
2 2 2
√5-1
∴直线OB的函数解析式为y= x，
2
√5-1
{ y= x
2
联立方程组 1+√5 ，
m2
2
y=
x
{ √5+1
x= m
解得： 2 ，
y=m
√5+1
∴F( m，m)，
2
OB OF
∴ = ，
OF BF
∴点F为OB的中外比点．
第二种情况：当∠ODE＝90°，则OD＝DE，
∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAD＝∠EBD＝90°，
∴∠ODA+∠DOA＝90°，
第32页（共34页）∴∠EDB＝∠DOA，
∴△OAD≌△DBE（AAS），
设点D（a，b），
∴OA＝DB＝a，AD＝BE＝b，则E（a﹣b，a+b），
k
∵点D、E在反比例函数y= (k＞0，x＞0)的图象上，
x
k
{ =b①
a
得： ，
k
=a+b②
a-b
ab
由①得：k＝ab，将其代入②，得： =a+b，
a-b
整理，得：b2+ab﹣a2＝0，
-a±√a2-4×1×(-a2 ) -a±√5a
解得：b= = ，
2 2
-1+√5 -1-√5
∴b = a，b = a（舍去），
1 2 2 2
√5-1 3-√5 √5+1 1+√5
∴D(a， a)，E( a， a)，B(a， a)，
2 2 2 2
√5-1 3-√5 √5-1 1+√5
∴BE= a，CE= a，BC＝a，BD＝a，AD= a，AB= a，
2 2 2 2
BC BE AB BD
∴ = ， = ，
BE CE BD AD
∴点E、D为BC、AB的中外比点．
k 3-√5 √5+1
∵点E在反比例函数y= (k＞0，x＞0)的图象上，E( a， a)，
x 2 2
√5-1
∴k=ab= a2 ，
2
√5-1
a2
∴反比例函数为 2 ，
y=
x
1+√5
∵B(a， a)，
2
设直线OB的函数解析式为y＝gx（g≠0），
第33页（共34页）1+√5 √5+1
将点B(a， a)，O（0，0）代入，得：g= ，
2 2
√5+1
∴直线OB的函数解析式为y= x，
2
√5+1
{ y= x
2
联立方程组， √5-1 ，
a2
2
y=
x
{ √5-1
x= a
解得： 2 ，
y=a
√5-1
∴F( a，a)，
2
OB OF
∴ = ，
OF BF
∴点F为OB的中外比点．
第三种情况：当∠EOD＝90°，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符，因此这种情况
不存在．
∴综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三
角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反
比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点
是解题关键．
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