文档内容
2026年菁优天津中考数学终极押题密卷3
一．选择题（共12小题，满分33分）
1．计算（﹣21）÷（﹣7）的结果为（ ）
1 1
A．3 B．﹣3 C． D．-
3 3
2．（3分）打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，如图中是一款陀螺的示意图，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）估计1+√10的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
4．（3分）泸州市合江县，长江与赤水河在此相拥，两千余年文脉绵延．古荔飘香映古镇风华，生态宜
居润民生安乐，非遗璀璨伴烟火寻常．“千年荔城，幸福合江”，正以山水灵秀与发展活力，绘就川
渝黔交界的和美画卷．下面四个字中，可看作轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）根据科学家估计，地球的年龄大约是 4500000年，将数据4500000用科学记数法表示为（
）
A．45×107 B．0.45×106 C．45×108 D．4.5×106
6．（3分）tan45°cos60°﹣sin45°的值等于（ ）
√2 √3-√2 1-√2 √2
A． B． C． D．-
2 2 2 4
第1页（共32页）k
7．（3分）若反比例函数y= (k≠0)的图象经过点A（2，﹣3），则下列各点在此函数图象上的是（
x
）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣2，3）
8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有这样一个问题：今有墙高 9尺．瓜生在墙
的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长 1尺．问经过多少天两蔓相遇．
（注：1尺＝10寸．）若设经过x天两蔓相遇，根据题意，可列方程为（ ）
A．x+7＝9 B．（7+1）x＝9 C．7x+70x＝90 D．10x+7x＝90
4 1 1
9．（3分）已知A= ，B= + ，以下结论中正确的是（ ）
x2-4 2-x x+2
A
A．A＝B B．AB＝1 C．A+B＝0 D． =1
B
10．（3分）在△ABC中，∠C＝50°，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点
1
N，分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接CD，则∠ACD的度数
2
是（ ）
A．25° B．40° C．50° D．45°
11．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝56°，将△ABC 在平面内绕点 C 逆时针方向旋转 63°到
△A′B′C的位置，∠ACB′的度数为（ ）
A．146° B．120° C．119° D．107°
12．（3分）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B
出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边
CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．
当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当t＝6s时，CN＝DM；
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2；
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（ ）
第2页（共32页）A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）一个不透明的袋子里装有1个白球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同．从袋
中随机摸出一个球为黑球的概率为 ．
14．（3分）若单项式5a2m﹣1b2与﹣4a2bn+2的和仍是单项式，则（m+n）2的值为 ．
15．（3分）计算(2√3+√2)(2√3-√2)的结果等于 ．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx+k+1（k是常数，且k≠0）上两点A（x ，y ）B
1 1
（x +1，y ），则下列结论：
1 2
①若y ＞y ，则k＜0；
1 2
②直线AB竖直向下平移2个单位的解析式为y＝kx+k﹣1；
③若直线AB不经过第三象限，则﹣1＜k＜0；
④若原点O到直线AB的距离最大时，则直线AB的解析式为y＝x+2．
其中正确的是 （填写正确结论的序号）．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，
动点E从点M出发，沿MD方向以每秒4个单位长度的速度向点D匀速运动；同时，动点F从点N出
发，沿NB方向以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停
止运动，连接EF，过点C作EF的垂线，垂足为P．当运动2秒时，CF＝ ，在整个运动过
程中，点P所经过的路径长是 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，点M和点N是格点，Rt△ABC内接于圆，且
直角顶点A在格点上，顶点B在线段MN上，且AB＝AC．
（Ⅰ）线段MN的长为 ；
第3页（共32页）（Ⅱ）若点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点 Q，使圆周角∠BPQ
＝75°，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
{3x-1＞2(x-1)
19．（8分）解不等式组： x+1 ，并把解集表示在数轴上．
x-1＜
2
20．（8分）为了解学生对禁毒知识的掌握情况，我校七、八年级举行了“禁毒知识竞赛”，满分 10分，
6分及以上为合格．
【数据收集】分别从七、八年级随机抽取20名参赛学生的成绩．其中七年级数据如下：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
【数据整理】为了便于分析数据，统计员对数据进行了整理，其中八年级 20名学生的成绩绘成条形统
计图，如图所示．
【数据分析】七、八年级成绩的平均数、众数、中位数如表：
年级 平均数 众数 中位数
七年级 7.5 b 7
八年级 a 8 c
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）我校人年级共600名学生参加此次竞赛，请估计八年级参加此次竞赛成绩合格的人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生禁毒意识更强？请说明理由（一条理由
即可）．
第4页（共32页）21．（10分）已知 O中，直径AC长为12，MA、MB分别切 O于点A，B，弦AD∥BM．
（1）如图1，若⊙∠AMB＝120°，求∠C的大小和弦CD的长⊙；
5
（2）如图2，过点C的切线分别与AD、MB的延长线交于点E，F，且CE= EF，求弦CD的长．
4
22．（10分）泉港锦绣广场是泉港区的地标性建筑，是集文化、休闲、行政等功能于一体的现代城市广
场．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量锦绣广场周边房子的高度，他们借助无人机设计了如
下测量方案：如图2，无人机在距地面23.4米（AB＝23.4米）的点B处测得楼顶的仰角为30°．向靠
近楼的方向水平飞行14.8米到达点C，再次测得楼顶的仰角为45°，点A，B，C，D，E在同一竖直平
面内，点A，E在同一水平直线上，则房子DE的高度为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：
√3≈1.732，√2≈1.414）
23．（10分）某商场开展元旦促销活动，其活动方案如下：
方案一：所有商品按标价的8折销售；
第5页（共32页）方案二：单件商品标价不超过200元的按原价销售，超过200元的部分按7折销售．
设某件商品的标价为x元（x＞0），分别用两种方案购买该商品的费用为y 元、y 元．
1 2
（1）分别写出y 、y 与x之间的函数关系式；
1 2
（2）若小明购买一件标价为500元的商品，选择哪种方案更省钱？请说明理由．
24．（10分）“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形
ABCD，AB＝2，点E是BC边上的一个动点．
（1）连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E．
①如图1，若折叠后点B′恰好落在对角线AC上，则BE的长为 ；
②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接BB′，使得BB′＝BC；（不写作法，保留作图
痕迹，写出必要的文字说明）
（2）如图3，点F是CD边上的一个动点，过点E、F分别作EM⊥AC于点为M、FN⊥AC于点为N，
若∠EAF＝45°，判断AM•AC﹣AM•NC的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明
理由．
25．（10分）已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果
不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
第6页（共32页）2026年菁优天津中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A C A D． C D D C A C
题号 12
答案 C
一．选择题（共12小题，满分33分）
1．计算（﹣21）÷（﹣7）的结果为（ ）
1 1
A．3 B．﹣3 C． D．-
3 3
【考点】有理数的除法．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】两数相除，同号得正，并把绝对值相除，由此计算即可．
【解答】解：（﹣21）÷（﹣7）＝21÷7＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（3分）打陀螺是北方人们比较喜爱的一种游戏，如图中是一款陀螺的示意图，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，即可得答案．
【解答】解：该几何体的主视图的底层是一个等腰三角形，上层是一个等腰梯形．
第7页（共32页）故选：A．
【点评】本题考查判断简单几何体的三视图．掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到
的图形，俯视图是从上面看到的图形是解题关键．
3．（3分）估计1+√10的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据3＜√10＜4解答即可．
【解答】解：∵√9＜√10＜√16，
∴3＜√10＜4，
则4＜1+√10＜5，
∴1+√10的值应在4和5之间，
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的估算，求出3＜√10＜4是解题的关键．
4．（3分）泸州市合江县，长江与赤水河在此相拥，两千余年文脉绵延．古荔飘香映古镇风华，生态宜
居润民生安乐，非遗璀璨伴烟火寻常．“千年荔城，幸福合江”，正以山水灵秀与发展活力，绘就川
渝黔交界的和美画卷．下面四个字中，可看作轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
第8页（共32页）D、该图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟知将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重
合，这样的图形叫做轴对称图形是解题的关键．
5．（3分）根据科学家估计，地球的年龄大约是 4500000年，将数据4500000用科学记数法表示为（
）
A．45×107 B．0.45×106 C．45×108 D．4.5×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】D．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4500000＝4.5×106．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，
n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．（3分）tan45°cos60°﹣sin45°的值等于（ ）
√2 √3-√2 1-√2 √2
A． B． C． D．-
2 2 2 4
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算．
1 √2 1 √2 1-√2
【解答】解：tan45°cos60°-sin45°=1× - = - = ．
2 2 2 2 2
故选：C．
【点评】本题考查了实数的运算，含特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键．
k
7．（3分）若反比例函数y= (k≠0)的图象经过点A（2，﹣3），则下列各点在此函数图象上的是（
x
）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣2，3）
第9页（共32页）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
k
【解答】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过点A（2，﹣3），
x
∴k＝﹣6，
A、﹣3×（﹣2）＝6≠﹣6，故点不在反比例函数图象上，该选项不符合题意；
B、﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，故点不在反比例函数图象上，该选项不符合题意；
C、3×2＝6≠﹣6，故点不在反比例函数图象上，该选项不符合题意；
D、﹣2×3＝﹣6，故点在反比例函数图象上，该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
8．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有这样一个问题：今有墙高 9尺．瓜生在墙
的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长 1尺．问经过多少天两蔓相遇．
（注：1尺＝10寸．）若设经过x天两蔓相遇，根据题意，可列方程为（ ）
A．x+7＝9 B．（7+1）x＝9 C．7x+70x＝90 D．10x+7x＝90
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
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【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据等量关系“墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长 7寸；葫芦生在墙的下方，葫
芦蔓每天向上长1尺”列出方程即可．
【解答】解：9尺＝9×10＝90寸，1尺＝1×10＝10寸，
∵墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，
∴10x+7x＝90．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
4 1 1
9．（3分）已知A= ，B= + ，以下结论中正确的是（ ）
x2-4 2-x x+2
A
A．A＝B B．AB＝1 C．A+B＝0 D． =1
B
【考点】分式的加减法．
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第10页（共32页）【专题】分式；运算能力．
【答案】C
【分析】先把A中的分母分解因式，B进行通分，然后求出A+B进行判断即可．
4 4
【解答】解：A = = ，
x2-4 (x+2)(x-2)
1 1
B= +
2-x x+2
1 1
= -
x+2 x-2
x-2 x+2
= -
(x+2)(x-2) (x+2)(x-2)
-4
=
(x+2)(x-2)
4
=-
，
(x+2)(x-2)
4 4
∴A+B= - =0，
(x+2)(x-2) (x+2)(x-2)
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分．
10．（3分）在△ABC中，∠C＝50°，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点
1
N，分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接CD，则∠ACD的度数
2
是（ ）
A．25° B．40° C．50° D．45°
【考点】作图—基本作图；角平分线的定义．
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【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】A
1
【分析】由作图可知，AD为∠ACB的平分线，则∠ACD= ∠ACB．
2
【解答】解：由作图可知，AD为∠ACB的平分线，
1 1
∴∠ACD= ∠ACB= ×50°=25°．
2 2
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义以及作图方法是解答
第11页（共32页）本题的关键．
11．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝56°，将△ABC 在平面内绕点 C 逆时针方向旋转 63°到
△A′B′C的位置，∠ACB′的度数为（ ）
A．146° B．120° C．119° D．107°
【考点】旋转的性质．
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【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质得∠BCB′＝63°，再根据∠ACB′＝∠ACB+∠BCB′计算即可．
【解答】解：∵在△ABC 中，∠ACB＝56°，将△ABC 在平面内绕点 C 逆时针方向旋转 63°到
△A′B′C的位置，
∴∠BCB′＝63°，
∴∠ACB′＝∠ACB+∠BCB′＝56°+63°＝119°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质及找出旋转角∠BCB′是解题关键．
12．（3分）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B
出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边
CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．
当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当t＝6s时，CN＝DM；
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm2；
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第12页（共32页）【考点】二次函数的最值；平行线之间的距离；一元二次方程的应用．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】当t＝6s时，点M在AD上，求出DM、CN，可判断①；当1≤t≤2时，点M在AB上，利用
三角形面积公式求出△BMN的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在AB上
时，点M在AD上，结合△BMN的面积为39cm2，列出方程，可判断③．
8 10
【解答】解：根据题意得：点M在AB上的运动时间为 =4s点M在AD上的运动时间为 =5s，点
2 2
N在CB上的运动时间为16s，
①当t＝6s时，点M在AD上，
此时AM＝2×6﹣8＝4cm，CN＝6cm，
∴DM＝AD﹣AM＝6cm，
∴CN＝DM，故①正确；
②当1≤t≤2时，点M在AB上，
此时BM＝2tcm，CN＝tcm，
∴BN＝（16﹣t）cm，
1 1
∴S = BM×BN= ×2t（16﹣t）＝﹣t2+16t＝﹣（t﹣8）2+64，
△BMN 2 2
∵﹣1＜0，
∴当t＜8时，S△BMN 随t的增大而增大，
∴当t＝2时，S△BMN 取得最大值，最大值为﹣（2﹣8）2+64＝28，
即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2，故②错误；
③当点M在AB上时，
∵△BMN的面积为39cm2，
1 1
∴S = BM×BN= ×2t(16-t)=-t2+16t=39，
△BMN 2 2
解得：t ＝3，t ＝13（舍去），
1 2
∴当t＝3时，△BMN的面积为39cm2；
当点M在AD上时，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，即AB⊥AD，
第13页（共32页）1 1
此时S = AB×BN= ×8(16-t)=64-4t=39．
△BMN 2 2
25
解得：t= ，
4
25
∴当t= 时，△BMN的面积为39cm2；
4
∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2，故③正确．
故选：C．
【点评】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．掌握二次函数的性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）一个不透明的袋子里装有1个白球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余都相同．从袋
3
中随机摸出一个球为黑球的概率为 ．
10
【考点】概率公式．
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【专题】概率及其应用；数据分析观念．
3
【答案】 ．
10
【分析】用黑球的个数除以球的总数即可求得答案．
【解答】解：∵袋子中共1+3+6＝10个球，其中黑球有3个，
3
∴从中随机摸出一个球为黑球的概率为 ，
10
3
故答案为： ．
10
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
9
14．（3分）若单项式5a2m﹣1b2与﹣4a2bn+2的和仍是单项式，则（m+n）2的值为 ．
4
【考点】合并同类项．
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【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
9
【答案】 ．
4
【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．
【解答】解：由同类项的定义可知2m﹣1＝2，n+2＝2，
3
解得m= ，n＝0，
2
第14页（共32页）3 9
∴（m+n）2=( +0) 2= ．
2 4
9
故答案为： ．
4
【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项
叫同类项．
15．（3分）计算(2√3+√2)(2√3-√2)的结果等于 1 0 ．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】10．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（2√3）2﹣（√2）2
＝12﹣2
＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问
题的关键．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx+k+1（k是常数，且k≠0）上两点A（x ，y ）B
1 1
（x +1，y ），则下列结论：
1 2
①若y ＞y ，则k＜0；
1 2
②直线AB竖直向下平移2个单位的解析式为y＝kx+k﹣1；
③若直线AB不经过第三象限，则﹣1＜k＜0；
④若原点O到直线AB的距离最大时，则直线AB的解析式为y＝x+2．
其中正确的是 ①②④ （填写正确结论的序号）．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】利用一次函数的性质即可判断①；利用一次函数平移的规律即可判断②；由于直线AB过定
点（﹣1，1），求得直线AB过原点时的k的值，根据题意即可判断③；求得过点（﹣1，1）的正比
例函数的解析式为y＝﹣x，根据题意则直线AB与直线y＝﹣x垂直，从而得到k＝1，即可判断④．
【解答】解：①∵直线y＝kx+k+1（k是常数，且k≠0）上两点A（x ，y ）和B（x +1，y ），x ＜
1 1 1 2 1
x +1，y ＞y ，
1 1 2
第15页（共32页）∴k＜0，故①正确；
②直线AB竖直向下平移2个单位的解析式为y＝kx+k+1﹣2＝kx+k﹣1，故②正确；
③∵y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，
∴直线AB过点（﹣1，1），
当直线AB经过原点时，k＝﹣1，
∴直线AB不经过第三象限，则﹣1≤k＜0，故③错误；
④∵过点（﹣1，1）的正比例函数为y＝﹣x，
∴原点O到直线AB的距离最大值时，则直线AB与直线y＝﹣x垂直，
∴k＝1，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意、利用一次函数
的性质解题是关键．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，
动点E从点M出发，沿MD方向以每秒4个单位长度的速度向点D匀速运动；同时，动点F从点N出
发，沿NB方向以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停
止运动，连接EF，过点C作EF的垂线，垂足为P．当运动2秒时，CF＝ 1 2 ，在整个运动过程中，
点P所经过的路径长是 √5 ．
π
【考点】矩形的性质．
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【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】12，√5 ．
【分析】根据矩形π性质、中点性质即可求得CF，如图1中，连接MN交EF于点G，连接CG，首先证
明GN＝4，利用勾股定理求出CG．由∠CPG＝90°，推出点P在CG为直径的 O上运动，当点E与
D重合时，如图2中，连接OP，ON．点P的运动轨迹是^NP，求出∠PON，再利⊙用弧长公式求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
第16页（共32页）∴AB＝CD＝12，AD＝BC＝16，
∵点M、N分别是边AD、BC的中点，
1 1
∴AM＝MD= AD＝8，BN＝CN= BC＝8，
2 2
当运动2秒时，NF＝2×2＝4，
∴CF＝CN+NF＝8+4＝12，
连接MN交EF于点G，连接CG，如图1，
∵四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝12，
∵EM∥NF，
∴△EGM∽△FGN，
GM EM 2t
∴ = = = 2，
GN NF t
1
∴GN= MN＝4，
3
在Rt△CGN中，CG=√CN2+GN2=√82+42=4√5，
∵CP⊥EF，
∴∠CPG＝90°，
∴点P在CG为直径的 O上运动，
当点E与D重合时，如⊙图2中，连接OP，ON．点P的运动轨迹是^NP，
第17页（共32页）此时CN＝8，NF＝4，
∴CF＝AB＝12，
∵∠BCD＝90°，CP⊥DF，
∴CP平分∠BCD，
∴∠PCN＝45°，
∴∠PON＝2∠PCN＝90°，
1
∵OP= CG＝2√5，
2
90π×2√5
∴点P的运动轨迹的长= =√5 ．
180
π
故答案为：12，√5 ．
【点评】本题考查矩π形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，点M和点N是格点，Rt△ABC内接于圆，且
直角顶点A在格点上，顶点B在线段MN上，且AB＝AC．
（Ⅰ）线段MN的长为 5√2 ；
（Ⅱ）若点P在圆上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点 Q，使圆周角∠BPQ
＝75°，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 取格点 R ，格点 T 和格点 S ，连接
1 1
RT ，连接 R S ，线段 RT 交 AB 于点 T ，线段 R S 交 CA 于点 S ，直线 TS 交 ^AC 于点 Q ，连接 PB ，连
1 1 1 1
接 PQ ，∠ BPQ ＝ 75 ° ，则点 Q 即为所求 ．
第18页（共32页）【考点】作图—复杂作图；勾股定理；等腰直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
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【专题】作图题；网格型；推理能力．
【答案】（Ⅰ）5√2；
（Ⅱ）见解析．
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可得出结果；
（Ⅱ）取格点R，格点T 和格点S ，连接RT ，连接RS ，线段RT 交AB于点T，线段RS 交CA于点
1 1 1 1 1 1
S，直线TS交 ^AC 于点Q，连接PB，连接PQ，∠BPQ＝75°，则点Q即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）MN=√52+52=5√2，
故答案为：5√2；
（Ⅱ）取格点R，格点T 和格点S ，连接RT ，连接RS ，线段RT 交AB于点T，线段RS 交CA于点
1 1 1 1 1 1
S，直线TS交 ^AC 于点Q，连接PB，连接PQ，∠BPQ＝75°，则点Q即为所求．
故答案为：取格点R，格点T 和格点S ，连接RT ，连接RS ，线段RT 交AB于点T，线段RS 交CA
1 1 1 1 1 1
第19页（共32页）于点S，直线TS交 ^AC 于点Q，连接PB，连接PQ，∠BPQ＝75°，则点Q即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，勾股定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，三角形的外
接圆，熟记各性质定理是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
{3x-1＞2(x-1)
19．（8分）解不等式组： x+1 ，并把解集表示在数轴上．
x-1＜
2
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x＜3，数轴表示见解析．
【分析】分别解两个不等式得到x＞﹣1和x＜3，则根据大小小大中间找得到不等式组的解集，然后利
用数轴表示其解集即可．
{3x-1＞2(x-1)①
【解答】解： x+1 ，
x-1＜ ②
2
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x＜3，
所以，不等式组的解集为：﹣1＜x＜3，
在数轴上表示为：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，熟知“大小小大中间找”是解题的关键．
20．（8分）为了解学生对禁毒知识的掌握情况，我校七、八年级举行了“禁毒知识竞赛”，满分 10分，
6分及以上为合格．
【数据收集】分别从七、八年级随机抽取20名参赛学生的成绩．其中七年级数据如下：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
【数据整理】为了便于分析数据，统计员对数据进行了整理，其中八年级 20名学生的成绩绘成条形统
计图，如图所示．
【数据分析】七、八年级成绩的平均数、众数、中位数如表：
年级 平均数 众数 中位数
第20页（共32页）七年级 7.5 b 7
八年级 a 8 c
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）表中a＝ 7. 5 ，b＝ 7 ，c＝ 7. 5 ；
（2）我校人年级共600名学生参加此次竞赛，请估计八年级参加此次竞赛成绩合格的人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生禁毒意识更强？请说明理由（一条理由
即可）．
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数；用样本估计总体．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）7.5；7；7.5；
（2）估计八年级参加此次竞赛成绩合格的有540人；
（3）八年级的成绩较好，理由：
∵八年级学生成绩的中位数是7.5分，众数是8分，都比七年级高，
∴八年级学生禁毒意识比七年级更强．
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的计算方法求解即可得出a、b、c的值；
（2）先计算样本中八年级参加此次竞赛成绩合格率，再用样本估计总体即可；
（3）从中位数、众数的比较得出结论．
【解答】解：（1）样本中八年级参加此次竞赛成绩平均数为：
5×2+6×4+7×4+8×5+9×2+10×3
a= =7.5，
20
∵七年级参加此次竞赛成绩为7分的最多，共有6个，
∴b＝7；
由20个数据按大小顺序排列，最中间的两个数据是第10，11个，即7分和8分，
7+8
∴中位数c= =7.5，
2
故答案为：7.5；7；7.5；
（2）20﹣2＝18（人），
第21页（共32页）18
×600=540（人），
20
答：估计八年级参加此次竞赛成绩合格的有540人；
（3）八年级的成绩较好，理由：
∵八年级学生成绩的中位数是7.5分，众数是8分，都比七年级高，
∴八年级学生禁毒意识比七年级更强．
【点评】本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均
数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是解题的关键．
21．（10分）已知 O中，直径AC长为12，MA、MB分别切 O于点A，B，弦AD∥BM．
（1）如图1，若⊙∠AMB＝120°，求∠C的大小和弦CD的长⊙；
5
（2）如图2，过点C的切线分别与AD、MB的延长线交于点E，F，且CE= EF，求弦CD的长．
4
【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；
圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
60
【答案】（1）6；（2） ．
13
【分析】（1）利用平行线的性质和圆的切线的性质定理求得∠EAC的度数，再利用圆周角定理和含
30°角的直角三角形的性质解答即可得出结论；
（2）连接OB，OF，OM，利用切线的性质定理和全等三角形的判定与性质得到FC＝FB，MB＝MA；
利用切线的性质定理和平行四边形的判定定理得到四边形 AMFE为平行四边形，则MF＝AE，MA＝
EF；设CE＝5k，则EF＝4k，在Rt△AEC中，利用勾股定理列出关于k的方程，解方程求得k值，最
后利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD∥BM，
∴∠AMB+∠MAD＝180°，
∵∠AMB＝120°，
第22页（共32页）∴∠MAD＝60°．
∵MA切 O于点A，
∴OA⊥A⊙M，
∴∠EAC＝30°．
∵AC为 O的直径，
∴∠ADC⊙＝90°，
1
∴CD= AC＝6；
2
（2）连接OB，OF，OM，如图，
∵FC，FB为 O的切线，
∴OC⊥FC，O⊙B⊥FB，
在Rt△FCO和Rt△FBO中，
{FO=FO
，
OC=OB
∴Rt△FCO≌Rt△FBO（HL），
∴FC＝FB，
同理：MB＝MA．
∵FC，MA为 O的切线，
∴AC⊥FC，M⊙A⊥AC，
∴MA∥FC，
∵AD∥BM，
∴四边形AMFE为平行四边形，
∴MF＝AE，MA＝EF．
5
∵CE= EF，
4
∴设CE＝5k，则EF＝4k，
∴MA＝MB＝EF＝4k，FC＝FB＝9k，
∴MF＝MB+FB＝13k，
∴AE＝MF＝13k．
在Rt△AEC中，
∵AC2+EC2＝AE2，
∴122+（5k）2＝（13k）2，
第23页（共32页）∵k＞0，
∴k＝1．
∴EC＝5，AE＝13．
∵AC为 O的直径，
∴∠ADC⊙＝90°，
∴CD为斜边AE上的高，
1 1
∵S = AC•EC = AE•CD，
△AEC 2 2
∴AC•EC＝AE•CD，
12×5 60
∴CD= = ．
13 13
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的性质，含30°角
的直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切
点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
22．（10分）泉港锦绣广场是泉港区的地标性建筑，是集文化、休闲、行政等功能于一体的现代城市广
场．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量锦绣广场周边房子的高度，他们借助无人机设计了如
下测量方案：如图2，无人机在距地面23.4米（AB＝23.4米）的点B处测得楼顶的仰角为30°．向靠
近楼的方向水平飞行14.8米到达点C，再次测得楼顶的仰角为45°，点A，B，C，D，E在同一竖直平
面内，点A，E在同一水平直线上，则房子DE的高度为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：
√3≈1.732，√2≈1.414）
第24页（共32页）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】房子DE的高度约为43.6米．
【分析】根据题意，延长BC交DE于点F，分别在Rt△DFB和Rt△DFC中，表示出BF=√3DF和CF
＝DF，然后得到√3DF﹣DF＝14.8，求解即可得到结果．
【解答】解：延长BC交DE于点F，
由题可知，AB＝23.4m，BC＝14.8m，∠DBF＝30°，∠DCF＝45°，
∠DFB＝∠EFB＝∠E＝∠A＝90°．
∴四边形ABFE是矩形．
∴EF＝AB＝23.4m．
在Rt△DFB中，∠DFB＝90°，∠DBF＝30°，
DF DF
∴BF= = =√3DF，
tan∠DBF tan30°
在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，
DF DF
∴CF= = =DF，
tan∠DCF tan45°
∵BC＝BF﹣CF＝14.8m，
∴√3DF-DF=14.8m，
解得DF≈20.22m，
第25页（共32页）∴DE＝DF+EF＝20.22+23.4≈43.6（m），
答：房子DE的高度约为43.6米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
23．（10分）某商场开展元旦促销活动，其活动方案如下：
方案一：所有商品按标价的8折销售；
方案二：单件商品标价不超过200元的按原价销售，超过200元的部分按7折销售．
设某件商品的标价为x元（x＞0），分别用两种方案购买该商品的费用为y 元、y 元．
1 2
（1）分别写出y 、y 与x之间的函数关系式；
1 2
（2）若小明购买一件标价为500元的商品，选择哪种方案更省钱？请说明理由．
【考点】一次函数的应用．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
{ x(0＜x≤200)
【答案】（1）y ＝0.8x；y = ；
1 2 0.7x+60(x＞200)
（2）方案一更省钱，
当x＝500时，y ＝0.8×500＝400元，
1
y ＝0.7×500+60＝410元，
2
∵400＜410，
∴若小明购买一件标价为500元的商品，选择方案一更省钱．
【分析】（1）根据方案一和方案二分别列式即可；
（2）将x＝500代入（1）中函数关系式即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得：y ＝0.8x；
1
当x＞200时，y ＝200+0.7（x﹣200）＝0.7x+60；
2
当0＜x≤200时，y ＝x；
2
{ x(0＜x≤200)
综上，y = ；
2 0.7x+60(x＞200)
{ x(0＜x≤200)
故y ＝0.8x；y = ．
1 2 0.7x+60(x＞200)
（2）选择方案一更省钱，
理由如下：
当x＝500时，y ＝0.8×500＝400元，
1
第26页（共32页）y ＝0.7×500+60＝410元，
2
∵400＜410，
∴若小明购买一件标价为500元的商品，选择方案一更省钱．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
24．（10分）“综合与实践”课上，同学们以“正方形的翻折”为主题开展数学活动．已知正方形
ABCD，AB＝2，点E是BC边上的一个动点．
（1）连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E．
①如图1，若折叠后点B′恰好落在对角线AC上，则BE的长为 2√2- 2 ；
②如图2，请用无刻度的直尺和圆规作出点E，连接BB′，使得BB′＝BC；（不写作法，保留作图
痕迹，写出必要的文字说明）
（2）如图3，点F是CD边上的一个动点，过点E、F分别作EM⊥AC于点为M、FN⊥AC于点为N，
若∠EAF＝45°，判断AM•AC﹣AM•NC的值是否为定值，若是定值求出这个值，若不是定值，请说明
理由．
【考点】四边形综合题．
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【专题】几何综合题；图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；展开与折叠；推理能力．
【答案】（1）①2√2-2；②作图见解答；
（2）AM•AC﹣AM•CN的值为定值4．
【分析】（1）①运用勾股定理可得AC＝2√2，由折叠得AB′＝AB＝2，BE＝B′E，∠AB′E＝∠B
＝90°，设BE＝x，则B′E＝x，EC＝2﹣x，利用勾股定理建立方程求解即可；
②以AB为边作等边三角形ABB′，过点A作BB′的垂线，交BC于点E即可；
AF AN AD AF
（2）先证得△AFN∽△AEB，得出 = ，再证得△ADF∽△AME，得出 = ，推出
AE AB AM AE
AD AN
= ，即AM•AN＝AD•AB＝4，再由AM•AN＝AM（AC﹣CN）＝AM•AC﹣AM•CN，即可求得
AM AB
答案．
第27页（共32页）【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，
∴AC=√AB2+BC2=√22+22=2√2，
∵将△ABE沿AE折叠得到△AB′E，
∴AB′＝AB＝2，BE＝B′E，∠AB′E＝∠B＝90°，
∴B′C＝AC﹣AB′＝2√2-2，∠EB′C＝90°，
设BE＝x，则B′E＝x，EC＝2﹣x，
在Rt△EB′C中，EB′2+B′C2＝EC2，
∴x2+（2√2-2）2＝（2﹣x）2，
解得：x＝2√2-2，
即BE＝2√2-2，
故答案为：2√2-2；
②如图，点E即为所求，
由作图知：AB′＝BB′＝AB，
∵AE⊥BB′，
∴∠EAB＝∠EAB′，
又AE＝AE，
∴△EAB≌△EAB′（SAS），
∴BE＝B′E，∠ABE＝∠AB′E＝90°，
∴AE垂直平分BB′，
∴B、B′关于AE对称，
又BB′＝AB＝BC，
∴点E符合题意；
第28页（共32页）（2）AM•AC﹣AM•NC的值为定值4，
理由如下：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AB＝AD＝2，∠B＝∠D＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠BAC，
∴∠FAN＝∠EAB，
∵∠B＝90°，FN⊥AC，
∴∠FNA＝∠B＝90°，
∴△AFN∽△AEB，
AF AN
∴ = ，
AE AB
同理△ADF∽△AME，
AD AF
∴ = ，
AM AE
AD AN
∴ = ，
AM AB
∴AM•AN＝AD•AB＝4，
∵AM•AN＝AM（AC﹣CN）＝AM•AC﹣AM•CN，
∴AM•AC﹣AM•CN＝4，
即AM•AC﹣AM•CN的值为定值4．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定
和性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（10分）已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果
不存在，请说明理由；
第29页（共32页）（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
【考点】二次函数综合题．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，（1，4）；
（2）存在，点P坐标为（1，2）；
8 2
（3）当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，1）或（1，2）或(1， )或(1，- )．
3 3
【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转
化为顶点式进而求出抛物线的顶点；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时△PAC的最小值为
AC+CP+AP＝AC+CB，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用
待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数
图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）设点M的坐标为（1，m），则MA2＝（1+1）2+m2＝4+m2，MC2＝（1﹣0）2+（m﹣3）2＝1+（m
﹣3）2，AC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣0）2＝10，分∠ACM＝90°、∠AMC＝90°、∠CAM＝90°三种情况，
利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M
的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，
{-1-b+c=0 {b=2
得 ，解得： ，
c=3 c=3
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
将抛物线的一般解析式转化为顶点式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
当x＝1时，y＝4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．
（2）存在，
如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时△PAC的最小值为
第30页（共32页）AC+CP+AP＝AC+CB，
当y＝0时，有﹣x2+2x+3＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴点B的坐标为（3，0），
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y＝kx+b中，
{3k+b=0 {k=-1
得： ，解得： ，
b=3 b=3
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，
∴当△PAC周长最小时，点P的坐标为（1，2）．
（3）如图，设点M的坐标为（1，m），
由勾股定理得，MA2＝（1+1）2+m2＝4+m2，
MC2＝（1﹣0）2+（m﹣3）2＝1+（m﹣3）2，
AC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣0）2＝10，
此时分三种情况考虑：
①当∠ACM＝90°时，有AM2＝AC2+CM2，即4+m2＝10+1+（m﹣3）2，
8
解得：m= ，
3
8
∴点M的坐标为(1， )，
3
第31页（共32页）②当∠AMC＝90°时，有AC2＝AM2+CM2，即10＝4+m2+1+（m﹣3）2，
解得：m ＝1，m ＝2，
1 2
∴点M的坐标为（1，1）或（1，2），
③当∠CAM＝90°时，有CM2＝AM2+AC2，即1+（m﹣3）2＝4+m2+10，
2
解得：m=- ，
3
2
∴点M的坐标为(1，- )，
3
8 2
综上所述，当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，1）或（1，2）或(1， )或(1，- )．
3 3
【点评】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐
标、勾股定理及直角三角形的性质应用．
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