文档内容
2026年菁优广州中考数学终极押题密卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1
1．（3分）在实数：-√2，3.14159，√327， ，1.010010001…（两个1之间依次多一个0）， 中，无理
3
π
数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（3分）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可得到的立体图形是（ ）
A． B． \ C． D．
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3√2-√2=2 B．√24=4√6
C．a3•a2＝a6 D．（2a2）3＝8a6
4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等
的实数根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实数根；③当a＞﹣1时，方程的两个实数根不可
能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（3分）某地区上半年每月的平均气温依次是5℃，8℃，12℃，18℃，24℃，30℃，为了表示气温变
化的情况，可以把上述数据绘制成（ ）
A．条形统计图 B．折线统计图
C．扇形统计图
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移3个单位长度后得到直线l：y＝kx+b，对于直
线l，下列判断正确的是（ ）
A．点（﹣1，0）在直线l上
B．直线l不经过第四象限
第1页（共40页）C．直线l与y轴交于点（3，0）
D．当2≤x≤4时，y的最大值为﹣3
7．（3分）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（R＞0，单位： ）是反比例函数关
系．根据下表判断正确的为（ ） Ω
R/ 20 30 40 50 60 70 80 90 100
I/AΩ 5 … a … … b 1
A．a＜b B．当R＞500 ，I＞2A
C．图象经过一、三象限 D．图象经过点Ω（25，4）
8．（3分）菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形
EFGH的面积为（ ）
5
A． B．4 C．5 D．6
2
9．（3分）如图，菱形ABCD周长为16，∠DAC＝30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，
则PE+PB的最小值是（ ）
A．2√5 B．4 C．√3 D．2√3
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+（a2﹣4a）x+a﹣5（a为常数且a≠0）的图象经过（﹣m，n）和（m，
n）两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（0，﹣5） D．（0，4）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，若∠AOE＝46°，∠DOF＝22°，则∠BOC的度数为
．
12．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，AB＝10，DE＝3，则BC的长度为 ．
第2页（共40页）x-1
13．（3分）代数式 中，x的取值范围是 ．
√x-3
CD
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线交AC于D．若tan∠ABD＝k，则 的
BD
值是 ．（用k的代数式表示）
15．（3分）如果一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标是（1，2），另一个交点
是该二次函数图象的顶点，则a＝ ．
16．（3分）如图，AB为 O的直径，AB＝2，AM为 O的切线，C为AM上一个动点，连接BC交 O
于点D，过点D作DE⊥⊙AM，垂足为点E．当∠ABC⊙＝30°时，则CE的长为 ⊙ ；
若DE＝x，CE＝y，则y关于x的函数关系式为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
{
3x+1≥2x
17．（4分）解不等式组： x+1，并把解集表示在数轴上．
x-1＜
3
第3页（共40页）18．（4分）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，AD＝CB，求证：△AOD≌△COB．
a2 a2-1
19．（6分）先化简，再求值：( -a+1)÷ ，其中a＝2．
a+1 a2+2a+1
20．（6分）小聪家准备购买一台电视机，小聪将收集到的某地区A，B，C三种品牌电视机销售情况的
有关数据统计如下：
根据上述三个统计图，请解答：
（1）2016～2021年三种品牌电视机销售总量最多的是 品牌，2021年比2020年A品牌月平
均销售量的增长率为 ．
（2）2021年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？
（3）货比三家后，你建议小聪家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由．
21．（8分）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，如图所示建立平面
m
直角坐标系，直线y＝kx+b经过格点A、B，与函数y= （x＞0）的图象交于格点C（2，a）．
x
（1）求直线AB对应的函数关系式和m的值．
m
（2）在图中画出函数y= (x＞0) 的图象．
x
第4页（共40页）m
（3）当一次函数的值大于函数y= (x＞ 0）的值时，根据图象，直接写出x的取值范围．
x
22．（10分）广湛高铁2025年12月22日正式开通营运，全长约为420km，一列G字头高速动车的平均
速度是D字头动车的1.75倍，运行时间比D字头动车少0.9小时．求该G字头高速动车的平均速度．
（1）设D字头动车的速度为xkm/h，请用含x的式子将表格补充完整．
路程（km） 速度（km/h） 时间（h）
D字头动车 420 x ②
G字头高速动车 420 ① ③
填空：① ；② ；③ ；
（2）请列出方程完成本题解答．
23．（10 分）问题背景 如图 1，在四边形 ABCD 中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，求证：CA 平分
∠BAD；
迁移应用 如图 2，在等腰△KEF中，KE＝KF，∠K＝2 ，点G是KF上一点，连接 EG，过G作
GM⊥GE，将直线EG绕E点顺时针旋转 ，与GM交于点αM，取EM中点N，连接NG，NF，MF，求
证：NF＝NG； α
拓展创新 如图3，在等腰△KEF中，KE＝KF，∠K＝30°，点G，P，Q是△KEF三边上的点，若
△GPQ是等边三角形，KG=5√3，PQ＝7，直接写出KE的长 ．
24．（12分）【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向
第5页（共40页）通行隧道进行考察，开展了以下探究：
素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），
车辆应避免通行．
素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成．隧道的最高点C
到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米．
（1）【初步探究】如图2，过点M作MP⊥l，已知斜坡的坡角 ＝10°，求涉水线离坡底的距离MN
（精确到0.01米，sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，tan10°≈0.176）α．
（2）【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式．
（3）【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶
部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的
距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）．
25．（12分）如图，已知在△ABC中，点D是边AC上的一点．
（1）当∠ABC＝90°时．
①如图1，BD是边AC上的高，求证：BD2＝AD•CD；
②如图 2，AD＝AE，点 F 在边 BC 上，且 CF＝CD，顺次联结 DE、EF、FD．如果 EF＝DF，
1
tan∠EFB= ，求cotC的值．
2
（2）如图3，如果点D是边AC的中点，∠ABD＝∠ACB，点G在线段DB延长线上，且BG＝BC，联
第6页（共40页）S
结CG，取CG中点H，分别延长HB、CA交于点O，求
△BOD
的值．
S
△COH
第7页（共40页）2026年菁优广州中考数学终极押题密卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C B D D C D B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1
1．（3分）在实数：-√2，3.14159，√327， ，1.010010001…（两个1之间依次多一个0）， 中，无理
3
π
数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】无理数．
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【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案．
【解答】解：√327=3，是整数，属于有理数；
3.14159是分数，属于有理数；
无理数有-√2， ，1.010010001…（两个1之间依次多一个0），
∴无理数有3个，π
故选：A．
1
【点评】本题考查了立方根和算术平方根，无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有： ， π等、
2
π
开方开不尽的数、0.1010010001⋯等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题
的关键．
2．（3分）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可得到的立体图形是（ ）
第8页（共40页）A． B． \ C． D．
【考点】点、线、面、体．
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【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据“面动成体”进行解答即可．
【解答】解：将一个直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周，所形成的几何体是圆锥，
故选：B．
【点评】本题考查点、线、面、体，理解“点动成线，线动成面，面动成体”是正确解答的关键．
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3√2-√2=2 B．√24=4√6
C．a3•a2＝a6 D．（2a2）3＝8a6
【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】A．根据合并同类二次根式法则进行计算，然后判断即可；
B．把二次根式化成最简二次根式，然后判断即可；
C．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
D．根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵3√2-√2=2√2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵√24=2√6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵a3•a2＝a5，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（2a2）3＝8a6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式和二次根式的有关运算，解题关键是熟练我同底数幂相乘法则、合并同
类二次根式法则、积的乘方和幂的乘方法则
4．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等
的实数根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实数根；③当a＞﹣1时，方程的两个实数根不可
能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第9页（共40页）【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据方程，求出根的判别式，①根据a的范围，判断根的判别式的大小，从而进行解答；
②先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，进行判断；③利用
一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝4+4a，
∴①当a＞﹣1时，Δ＝4+4a＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当a＞0时，两根之积＝﹣a＜0，方程的两根异号，故②错误，
2±√4+4a
③方程的根为x= =1±√1+a，
2
∵a＞﹣1，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根的判别式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断方程根的情况．
5．（3分）某地区上半年每月的平均气温依次是5℃，8℃，12℃，18℃，24℃，30℃，为了表示气温变
化的情况，可以把上述数据绘制成（ ）
A．条形统计图 B．折线统计图
C．扇形统计图
【考点】统计图的选择．
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【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】B
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．据此解答．
【解答】解：根据题意知：要求直观表示出气温变化的情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统
计图．
故选：B．
【点评】本题考查了统计图的选择，解答本题的关键要明确扇形统计图、折线统计图、条形统计图各
自的特点．
6．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣3x向上平移3个单位长度后得到直线l：y＝kx+b，对于直
线l，下列判断正确的是（ ）
第10页（共40页）A．点（﹣1，0）在直线l上
B．直线l不经过第四象限
C．直线l与y轴交于点（3，0）
D．当2≤x≤4时，y的最大值为﹣3
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质；正比例函数的性质．
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【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据“上加选减”的原则求出平移后新直线的解析式，再根据图象上点的坐标特征以及一次
函数的性质判断即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知：将直线y＝﹣3x向上平移3个单位长度后得到直线y＝﹣
3x+3，
∴直线l为y＝﹣3x+3，
A、当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）+3＝6，
∵点（﹣1，6）在直线l上，故A错误，不合题意；
B、∵k＝﹣3＜0，b＝3＞0，
∴直线l经过第一、二、四，不经过第三象限，故B错误，不合题意；
C、令x＝0，则y＝﹣3x+3＝3，
∴直线l与y轴交于点（0，3），故C错误，不合题意；
D、∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤4时，y的最大值为y＝﹣3×2+3＝﹣3，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，
熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7．（3分）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（R＞0，单位： ）是反比例函数关
系．根据下表判断正确的为（ ） Ω
R/ 20 30 40 50 60 70 80 90 100
I/AΩ 5 … a … … b 1
A．a＜b B．当R＞500 ，I＞2A
C．图象经过一、三象限 D．图象经过点Ω（25，4）
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
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第11页（共40页）【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
100
【分析】根据表格中R＝20 时，I＝5A，求出反比例函数解析式I= ，再逐一验证选项．
R
Ω
k k
【解答】解：由条件可设I= ，则5= ，
R 20
∴k＝100，
100
∴I= ．
R
100
对于A：当R＝40时，a= =2.5；
40
100
当R＝80时，b= =1.25，
80
∴a＞b，A错误，不符合题意；
100 100
对于B：当R＞500时，I= ＜ =0.2＜2，
R 500
∴I＜2A，B错误，不符合题意；
对于C：∵R＞0，
100
∴I= ＞0，图象只在第一象限，不经过第三象限，C错误，不符合题意；
R
100
对于D：当R＝25时，I= =4，
25
∴图象经过点（25，4），D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的解析式求法及图象性质，注意实际情境中变量取值范围是关键．
8．（3分）菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形
EFGH的面积为（ ）
5
A． B．4 C．5 D．6
2
【考点】中点四边形；菱形的性质．
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【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】连接菱形的对角线，利用菱形对角线垂直的性质，结合三角形中位线定理证明中点四边形
EFGH是矩形，再根据菱形的面积公式推出EF•EH的值即可得到答案．
第12页（共40页）【解答】解：连接AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，
∴EH∥FG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
1 1
∵S菱形ABCD =
2
AC⋅BD=
2
×2EF⋅2EH=2EF⋅EH=10，
∴EF•EH＝5，
∴S四边形EFGH ＝5．
故选：C．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的面积公式推出EF•EH的值解答．
9．（3分）如图，菱形ABCD周长为16，∠DAC＝30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，
则PE+PB的最小值是（ ）
A．2√5 B．4 C．√3 D．2√3
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的判定与性质；含 30度角的直角三角形；勾股定理；菱
第13页（共40页）形的性质．
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【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推
理能力．
【答案】D
【分析】连接BD交AC于点O，连接PD，DE，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，BO＝DO，
可知AC垂直平分BD，所以PB＝PD，可得PE+PB＝PE+PD≥DE，即PE+PB≥DE，由四边形ABCD
是菱形，∠DAC＝30°，可得∠DAB＝2∠DAC＝60°，由四边形ABCD是菱形且周长为16，可得AD＝
BC＝CD＝AB＝4，结合∠DAB＝60°，可得△ABD是等边三角形，由E是AB的中点，可得DE⊥AB，
所以∠DEA＝∠DEB＝90°，由∠DAB＝60°，可得∠ADE＝30°，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质，
1
可求出AE= AD=2，由勾股定理可得DE2＝AD2﹣AE2，可求出DE=2√3，所以PE+PB的最小值为
2
2√3．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，连接PD，DE，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAC＝30°，
1
∴∠DAC=∠BAC= ∠DAB，AC⊥BD，BO＝DO，AB＝BC＝CD＝AD，
2
∵AC⊥BD，BO＝DO，
∴AC垂直平分BD，
∴PB＝PD，
∴PE+PB＝PE+PD≥DE，
即PE+PB≥DE，
1
∵∠DAC=∠BAC= ∠DAB，∠DAC＝30°，
2
∴∠DAB＝2∠DAC＝60°，
∵菱形ABCD周长为16，
∴AD＝BC＝CD＝AB＝16÷4＝4，
∴△ABD是等边三角形，
第14页（共40页）∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∴∠DEA＝∠DEB＝90°，
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAB＝30°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
1
∴AE= AD=2，
2
∴DE=√AD2-AE2=√16-4=2√3，
∴PE+PB≥DE，
∴．PE+PB的最小值为2√3．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形
的性质，勾股定理，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+（a2﹣4a）x+a﹣5（a为常数且a≠0）的图象经过（﹣m，n）和（m，
n）两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（0，﹣5） D．（0，4）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
a2-4a
【分析】由抛物线的对称性求得对称轴为直线x＝0，即可得到- =0，即a2﹣4a＝0，求得a＝
2a
4，即可求得a﹣5＝﹣1，从而求得二次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
【解答】解：∵（﹣m，n）和（m，n）两点关于抛物线对称轴对称，
-m+m
∴抛物线对称轴为直线x= =0，
2
a2-4a
∴- =0，即a2﹣4a＝0，
2a
解得a＝4或a＝0（舍去），
∴a﹣5＝﹣1，
∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
故选：B．
第15页（共40页）【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，利用对称轴公式求得 a的
值是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，若∠AOE＝46°，∠DOF＝22°，则∠BOC的度数为
112° ．
【考点】对顶角、邻补角．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】112°．
【分析】结合已知条件易求得∠AOC的度数，然后根据邻补角的定义即可求得答案．
【解答】解：∵∠DOF＝22°，
∴∠COE＝∠DOF＝22°，
∵∠AOE＝46°，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝46°+22°＝68°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣68°＝112°，
故答案为：112°．
【点评】本题考查对顶角及邻补角的定义及性质，结合已知条件求得∠AOC的度数是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，AB＝10，DE＝3，则BC的长度为 7. 5 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
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【专题】三角形；图形的相似．
【答案】7.5．
【分析】根据△ADE∽△ABC，即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
第16页（共40页）∴△ADE∽△ABC，
AD DE
∴ = ，
AB BC
∵AD＝4，AB＝10，DE＝3，
4 3
∴ = ，
10 BC
解得：BC＝7.5．
故答案为：7.5．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
x-1
13．（3分）代数式 中，x的取值范围是 x ＞ 3 ．
√x-3
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
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【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】x＞3．
{x-3≥0
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可得： ，由此解答即可．
x-3≠0
{x-3≥0
【解答】解：由题意，得 ，
x-3≠0
解得：x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式
有意义的条件是解题的关键．
CD
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线交AC于D．若tan∠ABD＝k，则 的
BD
√k2+1
值是 ．（用k的代数式表示）
2
【考点】解直角三角形；角平分线的性质；等腰三角形的性质．
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第17页（共40页）【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；
推理能力．
√k2+1
【答案】 ．
2
【分析】过作DE∥BC交AB于E，过E作EH⊥BD于H，由平行线的性质、角平分线定义推出∠EDB
＝∠EBD，得到ED＝EB，由等腰三角形的性质得到BD＝2BH，由平行线分线段成比例定理推出BE：
EH
AB＝CD：AC，得到BE＝CD，由tan∠ABD= =k，得到EH＝k•BH，由勾股定理求出BE=√k2+1
BH
BE √k2+1 CD
BH，得到 = ，即可求出 的值．
BD 2 BD
【解答】解：过作DE∥BC交AB于E，过E作EH⊥BD于H，
∴∠EDB＝∠CBD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBD＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∵EH⊥BD，
∴BD＝2BH，
∵DE∥BC，
∴BE：AB＝CD：AC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CD，
EH
∵tan∠ABD= =k，
BH
∴EH＝k•BH，
∵BE2＝BH2+EH2，
∴BE2＝（k2+1）BH2，
∴BE=√k2+1BH，
第18页（共40页）BE √k2+1BH √k2+1
∴ = = ，
BD 2BH 2
CD √k2+1
∴ = ．
BD 2
√k2+1
故答案为： ．
2
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，角平分线定义，平行线分线段成比例，关键是
由平行线分线段成比例定理推出BE＝CD，由锐角的正切定义和勾股定理求出BE=√k2+1BH．
15．（3分）如果一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标是（1，2），另一个交点
是该二次函数图象的顶点，则a＝ ﹣ 2 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】由交点为（1，2），代入y＝kx+4，可求得k，由y＝ax2+c可知，二次函数的顶点在y轴上，
即x＝0，则可求得顶点的坐标，从而可求c值，最后可求a的值．
【解答】解：由交点为（1，2），代入y＝kx+4，得k+4＝2，
解得k＝﹣2，
∴y＝2x+4，
∵当x＝0时，y＝4，
∴一次函数y＝kx+4与y轴的交点为（0，4），
∵由y＝ax2+c可知，二次函数的顶点在y轴上，即x＝0，
∴二次函数顶点为（0，4），
∴c＝4，
把（1，2）代入二次函数表达式得a+4＝2，
第19页（共40页）解得a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查二次函数的性质及一次函数与二次函数图象的交点问题，此类问题，通常转化
为方程即可．
16．（3分）如图，AB为 O的直径，AB＝2，AM为 O的切线，C为AM上一个动点，连接BC交 O
⊙ ⊙ ⊙
√3
于点D，过点D作DE⊥AM，垂足为点E．当∠ABC＝30°时，则CE的长为 ；若DE＝x，CE
6
√ x3
＝y，则y关于x的函数关系式为y= ．
2-x
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；函数关系式；圆周角定理．
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【专题】与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
√3 √ x3
【答案】 ；y= ．
6 2-x
√3
【分析】过D作DH⊥AB于H，根据切线的性质得到∠A＝90°，根据直角三角形的性质得到AC=
3
2√3 1 √3 √3
AB= ，连接AD，求得DH= BD= ，根据矩形的性质得到AE＝DH= ，求得CE＝AC﹣AE
3 2 2 2
√3
= ；根据三角函数的定义即可得到结论．
6
【解答】解：过D作DH⊥AB于H，
∵AB为 O的直径，AM为 O的切线，
∴∠A＝⊙90°， ⊙
∵∠B＝30°，
第20页（共40页）√3 2√3
∴AC= AB= ，
3 3
连接AD，
∴∠ADB＝90°，
√3
∴BD= AB=√3，
2
1 √3
∴DH= BD= ，
2 2
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠A＝∠AHD＝90°，
∴四边形AHDE是矩形，
√3
∴AE＝DH= ，
2
√3
∴CE＝AC﹣AE= ；
6
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠A＝∠AHD＝90°，
∴四边形AHDE是矩形，
∴AE＝DH，
∵AB为 O的直径，
∴AD⊥B⊙C，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥AC，
∴DE2＝CE•AE，
DE2 x2
∴AE= = ，
CE y
x2
∴AC＝y+ ，
y
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
DE CE
∴ = ，
AB AC
x y
=
∴2 x2，
y+
y
第21页（共40页）√ x3
∴y= ，
2-x
√3 √ x3
故答案为： ；y= ．
6 2-x
【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，圆周角定
理，正确地作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
{
3x+1≥2x
17．（4分）解不等式组： x+1，并把解集表示在数轴上．
x-1＜
3
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1≤x＜2，
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
第22页（共40页）{
3x+1≥2x①
【解答】解： x+1 ，
x-1＜ ②
3
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
∴该原不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题
的关键．
18．（4分）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，AD＝CB，求证：△AOD≌△COB．
【考点】全等三角形的判定．
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【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】在△AOD和△COB中，
{
∠A=∠C
∠AOD=∠COB，
AD=BC
∴△AOD≌△COB（AAS）．
【分析】利用AAS证明△AOD≌△COB，即可解答．
【解答】证明：在△AOD和△COB中，
{
∠A=∠C
∠AOD=∠COB，
AD=BC
∴△AOD≌△COB（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
第23页（共40页）a2 a2-1
19．（6分）先化简，再求值：( -a+1)÷ ，其中a＝2．
a+1 a2+2a+1
【考点】分式的化简求值．
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【专题】分式；运算能力．
1
【答案】 ，1．
a-1
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
a2 (a-1)(a+1) (a+1) 2
【解答】解：原式＝[ - ]•
a+1 a+1 (a+1)(a-1)
1 a+1
= •
a+1 a-1
1
= ，
a-1
1
当a＝2时，原式= =1．
2-1
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20．（6分）小聪家准备购买一台电视机，小聪将收集到的某地区A，B，C三种品牌电视机销售情况的
有关数据统计如下：
根据上述三个统计图，请解答：
（1）2016～2021年三种品牌电视机销售总量最多的是 B 品牌，2021年比2020年A品牌月平均销售
第24页（共40页）量的增长率为 16% ．
（2）2021年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？
（3）货比三家后，你建议小聪家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由．
【考点】加权平均数．
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【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）B，16%；
（2）11.136万台；
（3）见解答（答案不唯一）．
【分析】（1）从条形统计图、折线统计图可以得出答案；
（2）求出总销售量，“其它”的所占的百分比；
（3）从市场占有率、平均销售量等方面提出建议．
【解答】解：（1）由条形统计图可得，2016～2021年三种品牌电视机销售总量最多的是B品牌；
23.2-20
由折线统计图可得，2021年比2020年A品牌月平均销售量的增长率为： ×100%=16%；
20
故答案为：B，16%；
（2）∵23.2÷25%＝92.8（万台），
1﹣25%﹣29%﹣34%＝12%，
∴92.8×12%＝11.136（万台），
答：2020年2021年其他品牌的电视机年销售总量是11.136万台；
（3）建议购买C品牌，因为C品牌2021年的市场占有率最高，且5年的月销售量最稳定；
建议购买B品牌，因为B品牌的销售总量最多，收到广大顾客的青睐；
建议购买A品牌，因为A品牌近五年的月平均销售总量逐年稳步上升（答案不唯一）．
【点评】考查条形统计图、折线统计图、扇形统计图的意义和制作方法及方差的意义，理解统计图中
各个数量及数量之间的关系是解决问题的关键．
21．（8分）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，如图所示建立平面
m
直角坐标系，直线y＝kx+b经过格点A、B，与函数y= （x＞0）的图象交于格点C（2，a）．
x
（1）求直线AB对应的函数关系式和m的值．
m
（2）在图中画出函数y= (x＞0) 的图象．
x
m
（3）当一次函数的值大于函数y= (x＞ 0）的值时，根据图象，直接写出x的取值范围．
x
第25页（共40页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力；
模型思想．
1
【答案】（1）直线AB对应的函数关系式为y=- x+3，m的值为4；
2
（2）图象见解答；
（3）2＜x＜4．
【分析】（1）用待定系数法求出直线AB对应的函数关系式，再求出a的值得到C点坐标，将C点坐
m
标代入函数y= 即可求出m的值；
x
（2）根据解析式画出函数图象即可；
（3）根据图象找出一次函数位于反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）由图知点A坐标为（0，3），点B的坐标为（6，0），
∵一次函数y＝kx+b经过A、B两点，
{ 1
{ b=3 k=-
∴ ，解得： 2，
6k+b=0
b=3
1
∴一次函数解析式为：y=- x+3，
2
1
∵y=- x+3经过点C （2，a），
2
∴a＝﹣1+3＝2，
∴点C坐标为（2，2），
m
∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过点C（2，2），
x
∴m＝2×2＝4；
第26页（共40页）4
（2）反比例函数y= （x＞0）的图象如图：
x
（3）根据图象可知，当2＜x＜4时，一次函数位于反比例函数图象上方，
m
即一次函数的值大于函数y= (x＞ 0）的值时，x的取值范围是2＜x＜4．
x
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求一次函数与反比例函数的
解析式，反比例函数的图象，以及数形结合思想，综合性较强．求出函数解析式是解题的关键．
22．（10分）广湛高铁2025年12月22日正式开通营运，全长约为420km，一列G字头高速动车的平均
速度是D字头动车的1.75倍，运行时间比D字头动车少0.9小时．求该G字头高速动车的平均速度．
（1）设D字头动车的速度为xkm/h，请用含x的式子将表格补充完整．
路程（km） 速度（km/h） 时间（h）
D字头动车 420 x ②
G字头高速动车 420 ① ③
420 420
填空：① 1.7 5 x ；② ；③ ；
x 1.75x
（2）请列出方程完成本题解答．
【考点】分式方程的应用；列代数式．
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【专题】整式；分式；分式方程及应用；应用意识．
420 420
【答案】（1）①1.75x；② ；③ ；
x 1.75x
（2）350km/h．
【分析】（1）根据两动车速度间的关系，可用含x的代数式表示出G字头高速动车的平均速度，利用
时间＝路程÷速度，可用含x的代数式表示出两动车行驶的时间；
（2）根据G字头高速动车运行时间比D字头动车少0.9小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验
后，可得出x的值，再将其代入1.75x中，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵G字头高速动车的平均速度是D字头动车的1.75倍，且设D字头动车的速度为
xkm/h，
第27页（共40页）∴G字头高速动车的平均速度为1.75xkm/h；
∵广湛高铁全长约为420km，
420 420
∴D字头动车行驶全程的时间为 h，G字头高速动车行驶全程的时间为 h．
x 1.75x
420 420
故答案为：①1.75x；② ；③ ；
x 1.75x
（2）设D字头动车的速度为xkm/h，
420 420
根据题意得： - = 0.9，
x 1.75x
解得：x＝200，
经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意，
∴1.75x＝1.75×200＝350（km/h）．
答：G字头高速动车的平均速度为350km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用
含x的代数式表示出G字头高速动车的速度及两动车行驶全程所需时间；（2）找准等量关系，正确列
出分式方程．
23．（10 分）问题背景 如图 1，在四边形 ABCD 中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，求证：CA 平分
∠BAD；
迁移应用 如图 2，在等腰△KEF中，KE＝KF，∠K＝2 ，点G是KF上一点，连接 EG，过G作
GM⊥GE，将直线EG绕E点顺时针旋转 ，与GM交于点αM，取EM中点N，连接NG，NF，MF，求
证：NF＝NG； α
拓展创新 如图3，在等腰△KEF中，KE＝KF，∠K＝30°，点G，P，Q是△KEF三边上的点，若
△GPQ是等边三角形，KG=5√3，PQ＝7，直接写出KE的长 8√3+ 2 ．
【考点】四边形综合题．
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【专题】几何综合题；推理能力．
第28页（共40页）【答案】（1）证明：如图：过C作CH⊥AB于H，过C作CT⊥AD交AD延长线于T，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDT+∠ADC＝180°，
∴∠CDT＝∠B，
在△CBH和△CDT中，
{
∠B=∠CDT
∠CHB=∠CTD=90°，
CB=CD
∴△CBH≌△CDT（AAS），
∴CH＝CT，
又∵CH⊥AB，CT⊥AD，
∴CA平分∠BAD；
（2）证明：如图：连接KN并延长与EF交于点S，过N作NH⊥KE于H，过N作NT⊥KF于T，
由旋转的性质可得∠GEM＝ ，
∵GM⊥GE，且N为EM中点α，
∴NE＝NG＝NM，
∴∠NEG＝∠NGE＝ ，
∴∠GNM＝2∠GEN＝α2 ＝∠EKG，
∵∠NGT＝∠KEG+∠αEKG﹣∠EGN＝∠KEG+2 ﹣ ＝∠KEG+ ，∠HEN＝∠KEG+∠GEN＝
∠KEG+ ， α α α
∴∠HENα＝∠NGT，
在△NHE和△NTG中，
第29页（共40页）{
∠HEN=∠NGT
∠NHE=∠NTG=90°，
EN=GN
∴△NHE≌△NTG（AAS），
∴NH＝NT，
∴NK平分∠EKF，
∵KE＝KF，
∴KS垂直平分EF，
∴NE＝NF，
∵NE＝NG，
∴NF＝NG；
（3）8√3+2．
【分析】（1）过C作CH⊥AB于H，过C作CT⊥AD交AD延长线于T，先证明∠CDT＝∠B，再证明
△CBH≌△CDT（AAS），得出CH＝CT，再结合CH⊥AB，CT⊥AD，即可得证；
（2）连接KN并延长与EF交于点S，过N作NH⊥KE于H，过N作NT⊥KF于T，由旋转的性质可得
∠GEM＝ ，由直角三角形的性质可得NE＝NG＝NM，由等边对等角可得∠NEG＝∠NGE＝ ，结合
三角形外角α 的定义及性质可得∠GNM＝2∠GEN＝2 ＝∠EKG，证明△NHE≌△NTG（AAS）α，得出
NH＝NT，从而可得NK平分∠EKF，再证明KS垂直平α 分EF，得出NE＝NF，即可得证；
（3）在KE上取点A，使得AK＝AG，则∠AGK＝∠K＝30°，由三角形外角的定义及性质可得∠GAP
1 5√3
＝60°，作AH⊥KG于点H，则KH=HG= KG= ，求出AG＝AK＝5，延长KE至点B，连接
2 2
BQ，使得∠PBQ＝60°，则∠PBQ＝∠GAP，由等边三角形的性质可得PQ＝PG＝7，∠GPQ＝60°，证
5 5√3
明△APG≌△BQP（AAS），得出BP＝AG＝5，BQ＝AP，作GM⊥AP于M，则AM= ，MG= ，
2 2
结合勾股定理求出BQ＝AP＝8，作QC⊥BP于C，则CQ＝4√3，BC＝4，求出CP＝1，由等腰三角形
的性质并结合三角形内角和定理可得∠KEF＝∠KFE＝75°，证明∠BQE＝∠CQE，作ED⊥BQ于D，
√3
由角平分线的性质定理可得CE＝DE，设CE＝x，则BE＝4﹣x，求出DE= (4-x)，得出x=8√3-
2
12，即CE＝8√3-12，即可得出结果．
【解答】（1）证明：如图：过C作CH⊥AB于H，过C作CT⊥AD交AD延长线于T，
第30页（共40页）∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDT+∠ADC＝180°，
∴∠CDT＝∠B，
在△CBH和△CDT中，
{
∠B=∠CDT
∠CHB=∠CTD=90°，
CB=CD
∴△CBH≌△CDT（AAS），
∴CH＝CT，
又∵CH⊥AB，CT⊥AD，
∴CA平分∠BAD；
（2）证明：如图：连接KN并延长与EF交于点S，过N作NH⊥KE于H，过N作NT⊥KF于T，
由旋转的性质可得∠GEM＝ ，
∵GM⊥GE，且N为EM中点α，
∴NE＝NG＝NM，
∴∠NEG＝∠NGE＝ ，
∴∠GNM＝2∠GEN＝α2 ＝∠EKG，
∵∠NGT＝∠KEG+∠αEKG﹣∠EGN＝∠KEG+2 ﹣ ＝∠KEG+ ，∠HEN＝∠KEG+∠GEN＝
∠KEG+ ， α α α
∴∠HENα＝∠NGT，
在△NHE和△NTG中，
第31页（共40页）{
∠HEN=∠NGT
∠NHE=∠NTG=90°，
EN=GN
∴△NHE≌△NTG（AAS），
∴NH＝NT，
∴NK平分∠EKF，
∵KE＝KF，
∴KS垂直平分EF，
∴NE＝NF，
∵NE＝NG，
∴NF＝NG；
（3）如图，在KE上取点A，使得AK＝AG，
则∠AGK＝∠K＝30°，
∴∠GAP＝∠K+∠AGK＝60°，
1 5√3
作AH⊥KG于点H，则KH=HG= KG= ，
2 2
5√3
KH 2
∴AG=AK= = =5，
cos30° √3
2
延长KE至点B，连接BQ，使得∠PBQ＝60°，
∴∠PBQ＝∠GAP，
∵△GPQ为等边三角形，
∴PQ＝PG＝7，∠GPQ＝60°，
∴∠APG+∠BPQ＝120°，
∵∠BQP+∠BPQ＝120°，
第32页（共40页）∴∠BQP＝∠APG，
∵PG＝PQ，
∴△APG≌△BQP（AAS），
∴BP＝AG＝5，BQ＝AP，
5 5√3
作GM⊥AP于M，则AM=AG⋅cos60°= ，MG=AG⋅sin60°= ，
2 2
11
∴MP=√PG2-KG2=
，
2
∴BQ＝AP＝AM+MP＝8，
作QC⊥BP于C，则CQ=BQ⋅sin60°=4√3，BC＝BQ•cos60°＝4，
∴CP=√PQ2-CQ2=1，
等腰△KEF中，KE＝KF，∠K＝30°，
180°-∠EKF
∴∠KEF=∠KFE= =75°，
2
∴∠CQE＝90°﹣∠CEQ＝15°，
∵∠CEQ＝∠B+∠BQE，
∴∠BQE＝∠CEQ﹣∠B＝15°，
∴∠BQE＝∠CQE，
作ED⊥BQ于D，
∴CE＝DE，
设CE＝DE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，
√3
∴DE＝BE•sin60°= （4﹣x），
2
√3
则有x= （4﹣x），
2
∴x＝8√3-12，
∴CE=8√3-12，
∴KE＝AK+AP+PC+CE＝5+8+1+8√3-12＝8√3+2．
故答案为：8√3+2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、
等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的
关键．
第33页（共40页）24．（12分）【综合与实践】
主题：隧道安全警示的数学探究
如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向
通行隧道进行考察，开展了以下探究：
素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），
车辆应避免通行．
素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成．隧道的最高点C
到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米．
（1）【初步探究】如图2，过点M作MP⊥l，已知斜坡的坡角 ＝10°，求涉水线离坡底的距离MN
（精确到0.01米，sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，tan10°≈0.176）α．
（2）【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式．
（3）【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶
部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的
距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）．
【考点】二次函数的应用；线段的性质：两点之间线段最短；解直角三角形．
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【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）1.55米；
12
（2）以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：y=- x2 ；
125
（3）3.5米．
第34页（共40页）MP
【分析】（1）过点M作MP⊥l，代入数值得sin10°= ≈0.174，进行计算，即可作答；
MN
（2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线ACB的解析式为y＝ax2（a＜0），再把B
12
（5，﹣2.4）代入进行计算，得y=- x2 ，即可作答；
125
（3）认真研读题干，得出10÷2﹣1＝4，再算出当x＝4时，y＝﹣1.536，则OG＝1.536，GH＝CH﹣
OG＝3.864，即可得出h＝GH﹣0.3＝3.564≈3.5（米），即可作答．
【解答】解：（1）如图，过点M作MP⊥l，
由条件可知∠MNP＝10°，MP＝0.27，
∵MP⊥l，sin10°≈0.174，
MP
在Rt△MNP中，sin10°= ≈0.174，
MN
0.27
∴ =0.174，
MN
0.27
∴MN= =1.55（米）．
0.174
（2）如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系：
设抛物线ACB的解析式为y＝ax2（a＜0），
∵隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米．
∴B（5，﹣2.4），
把B（5，﹣2.4）代入y＝ax2，
得﹣2.4＝25a，
第35页（共40页）12
∴a=- ，
125
12
∴y=- x2 ．
125
（3）∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为 1米，必须保证车辆顶部与隧道
顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴10÷2﹣1＝4，
12
∴当x＝4时，y=- ×42=-1.536，
125
则OG＝1.536，
∴GH＝CH﹣OG＝5.4﹣1.536＝3.864，
根据题意可知h＝GH﹣0.3＝3.864﹣0.3＝3.564（米），
∵涉及安全问题，
∴h＝3.564≈3.5（米）．
【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是关键．
25．（12分）如图，已知在△ABC中，点D是边AC上的一点．
（1）当∠ABC＝90°时．
①如图1，BD是边AC上的高，求证：BD2＝AD•CD；
②如图 2，AD＝AE，点 F 在边 BC 上，且 CF＝CD，顺次联结 DE、EF、FD．如果 EF＝DF，
1
tan∠EFB= ，求cotC的值．
2
（2）如图3，如果点D是边AC的中点，∠ABD＝∠ACB，点G在线段DB延长线上，且BG＝BC，联
S
结CG，取CG中点H，分别延长HB、CA交于点O，求
△BOD
的值．
S
△COH
第36页（共40页）【考点】相似形综合题．
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【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）①证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠BCD＝90°﹣∠CBD，
∴△ABD∽△BCD，
AD BD
∴ = ，
BD CD
∴BD2＝AD•CD；
3
②cotC= ；
4
（2）2-√2．
【分析】（1）①易证△ABD∽△BCD，，即可得证；
②设EF＝1，则BF＝2，先证△DEF为等腰直角三角形，再构造三垂直全等：过D作DM⊥BC于点
M，易证△BEF≌△MFD（AAS），FM＝BE＝1，BF＝DM＝2，再设CM＝x，在Rt△CDM中，利用
勾股定理求解即可；
BD BD AD √2
（2）易证△ABD∽△ACB，可得 = = = ，设S△BOD ＝S，则S△BOG =√2S＝S△BOC ，则
BG BC AB 2
1 2-√2
S△BCD ＝S△BOC ﹣S△BOD ＝（√2-1）S，S△CBG =√2S△CBD ＝（2-√2）S，再求S△BCH =
2
S
△CBG
=
2
S，即可得解．
【解答】（1）①证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠BCD＝90°﹣∠CBD，
∴△ABD∽△BCD，
AD BD
∴ = ，
BD CD
∴BD2＝AD•CD；
②解：∵AE＝AD，
1
∴∠AED＝∠ADE＝90°- ∠A，
2
第37页（共40页）∵CF＝CD，
1
∴∠CDF＝∠CFD＝90°- ∠C，
2
1
∴∠EDF＝180°﹣∠ADE﹣∠CDF= （∠A+∠C）＝45°，
2
∵DE＝DF，
∴∠EDF＝∠DEF＝45°，
∴∠EFD＝90°，
1
∵tan∠EFB= ，
2
EF 1
∴ = ，
BF 2
设EF＝1，则BF＝2，
如图，过D作DM⊥BC于点M，
则∠B＝∠EFD＝∠DMF＝90°，
∴∠EFB＝∠FDM＝90°﹣∠DFM，
∵EF＝DF，
∴△BEF≌△MFD（AAS），
∴FM＝BE＝1，BF＝DM＝2，
设CM＝x，则CD＝CF＝1+x，
在Rt△CDM中，CM2+DM2＝CD2，
即x2+4＝（x+1）2，
3 3
解得x= ，即CM= ，
2 2
CM 3
∴cotC= = ；
DM 4
第38页（共40页）（2）设AD＝a，则AC＝2a，
∵∠ABD＝∠ACB，∠BAD＝∠CAD，
∴△ABD∽△ACB，
AB AD BD
∴ = = ，
AC AB BC
∴AB2＝AD•AC＝2a，
∴AB=√2a，
∵BG＝BC，
BD BD AD √2
∴ = = = ，
BG BC AB 2
如图，连接CG，
S BG
则 △BOG= =√2，
S BD
△BOD
设S△BOD ＝S，则S△BOG =√2S，
∵BG＝BC，H为CG中点，
∴OH垂直平分CG，
∴S△BOC ＝S△BOG =√2S，
∴S△BCD ＝S△BOC ﹣S△BOD ＝（√2-1）S，
BG
∵ =√2，
BD
∴S△CBG =√2S△CBD ＝（2-√2）S，
∵H为CG中点，
第39页（共40页）1 2-√2
∴S△BCH =
2
S
△CBG
=
2
S，
2+√2
∴S△COH ＝S△BOC +S△BCH =
2
S，
S S
△BOD = =
∴S 2+√2 2-√2．
△COH S
2
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理等内容，熟练
掌握相关知识是解题的关键．
第40页（共40页）
