文档内容
2026年菁优中考数学解密之分式方程
一．选择题（共10小题）
1．（2025•蒙阴县二模）某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每
本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些
钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是 x元，则下列方程正确的是（
）
1200 1200 1200 1200
A． - =10 B． - =10
1.2x x x 1.2x
1200 1200 1200 1200
C． - =1.2 D． - =1.2
x x-10 x-10 x
2．（2025•广东校级模拟）某公司准备铺设一条长 1200m的道路，由于采用新技术，实际每天铺路的速
度比原计划快 10%，结果提前 2天完成任务．设原计划每天铺设道路 xm，根据题意可列方程为
（ ）
1200 1200
A． - = 2
x (1+10%)x
1200 1200
B． - = 2
(1+10%)x x
1200 1200
C． - = 2
(1-10%)x x
1200 1200
D． - = 2
x (1-10%)x
3．（2025•天河区校级二模）明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为 2.5
千米．明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用4min，设妹妹跑步的速度为xkm/h，
则可列方程为（ ）
2.5 2.5 2.5 2.5 4
A． = +4 B． = +
1.2x x 1.2x x 60
2.5 2.5 2.5 4 2.5
C． = -4 D． + =
1.2x x 1.2x 60 x
4．（2025•东昌府区二模）数学课上，甲乙丙丁四位同学对于题目“甲、乙两地相距 360km，张老师、王
老师分别从甲地乘早7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已
知豪华客车与普通客车的平均速度的比是4：3，两车的平均速度分别是多少？”列出了如下方程：
第1页（共24页）360 360 5
- =
①设豪华客车的平均速度是 xkm/h，则甲列的方程为： 3 x 4；乙列的方程为：
x
4
360 360 5
- =
x 4 4；
x
3
360 360 5
- =
②设普通客车的平均速度是 xkm/h，则丙列的方程为： 3 x 4；丁列的方程为：
x
4
360 360 5
- =
x 4 4；
x
3
则四位同学列出的方程正确的是（ ）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁
5．（2025•驻马店三模）李老师早晨开车从新乡市家中出发到郑州市某地参会，已知两地相距 90千米，
5
因早晨开会时间紧急，会议结束正巧碰上下班高峰，所以返回的平均速度是去时平均速度的 ，回来
6
时比去时多用10分钟，假设去时的速度为x千米/时，则求去时的速度可列方程为（ ）
90 90 90 90
- =10 = +10
A． x 5 B．5 x
x x
6 6
90 90 1 90 90 1
- = - =
C． x 5 6 D．5 x 6
x x
6 6
1 3
6．（2025•海南二模）分式方程 = 的解为（ ）
x x+2
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝1
3 2-x
7．（2025•乐东县校级三模）分式方程 = +1的解是（ ）
x-3 3-x
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
{
x-a≤0
8．（2025•响水县一模）关于 x 的不等式组 的解集为 x≤a，且关于 y 的分式方程
4x-8
x-1≥
3
第2页（共24页）y-a 2y-5
- =1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
y-2 2- y
A．3 B．4 C．7 D．8
x 3a
9．（2025•前进区校级二模）若关于x的分式方程 + =2a无解，则a的值为（ ）
x-3 3-x
1 1 1
A．1 B． C．1或 D．﹣1或-
2 2 2
10．（2025•深圳校级模拟）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，
_■_．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入
896 896
896文，_■__．”设绫布有x尺，则可得方程为120- = ，根据此情境，题中“_■__”表示缺
x 30-x
失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
二．填空题（共10小题）
11．（2025•阳泉模拟）2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号 F遥十九运载火箭发射
成功，随后神舟十九号航天员乘组顺利与神舟十八号航天员乘组“太空会师”并入驻“天宫”．某航
天兴趣小组预计购进一批“天宫”模型和“长征二号 F”模型，已知每个“天宫”模型的进价比每个
“长征二号F”模型的进价贵50%，同样用3000元购进“天宫”模型的数量比“长征二号F”模型的数
量少5个．若设每个“长征二号F”模型的进价为x元，则可列方程为 ．
x+m 1
12．（2025•凉山州）若关于x的分式方程 + =3无解，则m＝ ．
x-2 2-x
x m
13．（2025•丰南区校级三模）若关于x的分式方程 +1= 的解为非负数，则m的取值范围为
x-1 1-x
．
mx-6
14．（2025•牡丹江模拟）若关于x的分式方程 =1的解为整数，则整数m的值有 个．
x-3
15．（2025•湖北模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题，其大意为：现有走路
慢的人先走10里，令走路快的人去追，追到100里时，已经领先走路慢的人20里．问走路快的人走
到多少里时就已经追上走路慢的人？设走路快的人走到 x里时就已经追上走路慢的人，则可列方程
．
第3页（共24页）16．（2025•涿州市校级三模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的
2x+1
数，如max{2，4}＝4，按这个规定，方程max{x，-x}= 的解为 ．
x
2x-3 1
17．（2025•宁远县二模）分式方程 + =1的解为 ．
x-1 2(x-1)
{2x+1
＞x-1
18．（2025•九龙坡区校级模拟）若关于x的不等式组 3 有解且至多3个整数解，关于y的
3(1-x)≤x-a
2 a
分式方程 -3= 的解为整数，那么符合条件的所有整数a的和为 ．
1- y y-1
1 1
19．（2025•自贡模拟）对于两个非零的实数 a，b，定义运算※如下：a※b= - ．例如：3※4
b a
1 1 1 y-x
= - =- ．若x※y＝4，则 的值为 ．
4 3 12 2xy
20．（2025•莲都区二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，
若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时
间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为x天，则根据题意可列方程
为 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•潍坊）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机
器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3
万元．
（1）求A型、B型两种机器人的单价；
（2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至
少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
22．（2025•雷州市三模）鲜桃刚上市，某水果店率先用1000元购进了一批鲜桃，前两天以高于进价60%
的价格卖出160kg；第三天水果店又用1000元购进了一批鲜桃，由于进价降低了20%，这一批鲜桃多
购进50kg．
（1）求水果店购进第一批鲜桃的数量；
（2）注意到市场上鲜桃数量逐渐增多，水果店主决定将剩余和新进鲜桃在原销售价的基础上，全部降
价m元（m为整数）销售．实际销售过程中，平均每天销售量相对于前两天平均每天增加了 30mkg，
第4页（共24页）仅仅销售两天，剩下量不超过10kg．
①求m的值；
②若店主将剩余鲜桃以20元的价格全部卖完，求前后一共获利多少元．
23．（2025•哈尔滨模拟）某商店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进
价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍．
（1）求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高20%后出售，
要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？
24．（2025•高新区校级四模）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿
化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多 5
元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
25．（2025•大渡口区校级模拟）某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件
25元，乙种商品每件30元．
（1）求甲、乙两种商品各购进多少件？
（2）A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙
商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一
样，则超市能从这次销售中获利多少元？
第5页（共24页）2026年菁优中考数学解密之分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B D D D C C C
一．选择题（共10小题）
1．（2025•蒙阴县二模）某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每
本书的价格是文学类书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些
钱购买科普类图书的本数多10本，设文学类图书平均每本书的价格是 x元，则下列方程正确的是（
）
1200 1200 1200 1200
A． - =10 B． - =10
1.2x x x 1.2x
1200 1200 1200 1200
C． - =1.2 D． - =1.2
x x-10 x-10 x
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】首先设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为1.2x元，根据题
意可得等量关系：学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多 100本，
根据等量关系列出方程，
1200 1200
【解答】解：设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，可得： - =10，
x 1.2x
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，
列出方程．
2．（2025•广东校级模拟）某公司准备铺设一条长 1200m的道路，由于采用新技术，实际每天铺路的速
度比原计划快 10%，结果提前 2天完成任务．设原计划每天铺设道路 xm，根据题意可列方程为
（ ）
1200 1200
A． - = 2
x (1+10%)x
第6页（共24页）1200 1200
B． - = 2
(1+10%)x x
1200 1200
C． - = 2
(1-10%)x x
1200 1200
D． - = 2
x (1-10%)x
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】常规题型．
【答案】A
【分析】设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+10%）xm，根据采用新的施工方式，
提前2天完成任务，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+10%）xm，
1200 1200
- =
由题意得， 2．
x (1+10%)x
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关
系，列出方程．
3．（2025•天河区校级二模）明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为 2.5
千米．明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用4min，设妹妹跑步的速度为xkm/h，
则可列方程为（ ）
2.5 2.5 2.5 2.5 4
A． = +4 B． = +
1.2x x 1.2x x 60
2.5 2.5 2.5 4 2.5
C． = -4 D． + =
1.2x x 1.2x 60 x
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】利用“跑完一圈明明比妹妹少用4min”列分式方程求解即可．
【解答】解：设妹妹跑步的速度为xkm/h，根据题意得：
2.5 4 2.5
+ = ，
1.2x 60 x
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，解题的关键是找到等量关系并列方程，难度
第7页（共24页）不大．
4．（2025•东昌府区二模）数学课上，甲乙丙丁四位同学对于题目“甲、乙两地相距 360km，张老师、王
老师分别从甲地乘早7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已
知豪华客车与普通客车的平均速度的比是4：3，两车的平均速度分别是多少？”列出了如下方程：
360 360 5
- =
①设豪华客车的平均速度是 xkm/h，则甲列的方程为： 3 x 4；乙列的方程为：
x
4
360 360 5
- =
x 4 4；
x
3
360 360 5
- =
②设普通客车的平均速度是 xkm/h，则丙列的方程为： 3 x 4；丁列的方程为：
x
4
360 360 5
- =
x 4 4；
x
3
则四位同学列出的方程正确的是（ ）
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】依据题目所给等量关系逐个分析四位同学的方程是否符合题意．
3
【解答】解：设豪华客车的平均速度是xkm/h，则普通客车的平均速度是 x km/h，则：
4
360 360 5
- =
3 x 4，故甲列的方程是正确的，符合题意；
x
4
3
设普通客车的平均速度是xkm/h，则豪华客车的平均速度是 x km/h，则：
4
360 360 5
- =
x 4 4，故丁列的方程是正确的，符合题意；
x
3
综上，则四位同学列出的方程正确的是甲、丁．
故选：B．
第8页（共24页）【点评】本题考查分式方程的应用，准确理解题意并根据题意正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2025•驻马店三模）李老师早晨开车从新乡市家中出发到郑州市某地参会，已知两地相距 90千米，
5
因早晨开会时间紧急，会议结束正巧碰上下班高峰，所以返回的平均速度是去时平均速度的 ，回来
6
时比去时多用10分钟，假设去时的速度为x千米/时，则求去时的速度可列方程为（ ）
90 90 90 90
- =10 = +10
A． x 5 B．5 x
x x
6 6
90 90 1 90 90 1
- = - =
C． x 5 6 D．5 x 6
x x
6 6
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】D
5
【分析】根据去时的速度为x千米/时，返回的平均速度是去时平均速度的 ，90千米的路程回来时比
6
去时多用10分钟，列出方程即可．
1
【解答】解：10分钟= 小时，
6
由题意得，
90 90 1
- =
5 x 6．
x
6
故选：D．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，熟练掌握路程与速度和时间的关系是解题的关
键．
1 3
6．（2025•海南二模）分式方程 = 的解为（ ）
x x+2
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝1
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用解分式方程的方法进行求解即可．
第9页（共24页）1 3
【解答】解： = ，
x x+2
3x＝x+2，
2x＝2，
x＝1，
经检验：x＝1是原方程的根，
故原方程的解是：x＝1．
故选：D．
【点评】本题主要考查解分式方程，解答的关键是熟练掌握解分式方程的方法．
3 2-x
7．（2025•乐东县校级三模）分式方程 = +1的解是（ ）
x-3 3-x
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【考点】解分式方程．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】D
【分析】先把原方程化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
3 2-x
【解答】解： = +1，
x-3 3-x
去分母得3＝x﹣2+x﹣3，
解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解分式方程，正确进行计算是解题关键．
{
x-a≤0
8．（2025•响水县一模）关于 x 的不等式组 4x-8的解集为 x≤a，且关于 y 的分式方程
x-1≥
3
y-a 2y-5
- =1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
y-2 2- y
A．3 B．4 C．7 D．8
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组．
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【专题】计算题；分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
第10页（共24页）【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知解集，求出a的取值范围，先求出用a表示的y．再根据
分式分母不为0，分式方程的解为正整数，列不等式组，确定 a的取值范围，再根据分式方程的解为
正整数，求出a，进而求出所有满足条件的整数a的和．
{x≤a
【解答】解：解不等式组得 ，
x≤5
∵不等式组的解集为x≤a，
∴a≤5，
y-a 2y-5
原分式方程可化为： + = 1，
y-2 y-2
3+a
解得y= ，
2
∵分式方程的解为正整数，
3+a
{ ＞0
2
∴ ，
3+a
≠2
2
解得a＞﹣3，a≠1，
∴a的取值范围：﹣3＜a≤5，且a≠1，
∵分式方程的解为正整数，
∴3+a＝2或3+a＝4或3+a＝6或3+a＝8，
解得a＝﹣1，a＝1，a＝3，a＝5，
∵a≠1，
∴所有满足条件的整数a的和为：7．
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，掌握解分式方程的步骤及不等式解集的確
定，根据题目的要求求出a的取值范围是解题关键．
x 3a
9．（2025•前进区校级二模）若关于x的分式方程 + =2a无解，则a的值为（ ）
x-3 3-x
1 1 1
A．1 B． C．1或 D．﹣1或-
2 2 2
【考点】分式方程的解．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
第11页（共24页）【分析】将原方程去分母得x﹣3a＝2ax﹣6a，整理得（2a﹣1）x＝3a，根据题意分类讨论并求得对应
的a的值即可．
【解答】解：原方程去分母得x﹣3a＝2ax﹣6a，
整理得（2a﹣1）x＝3a，
1
当2a﹣1＝0，a= 时，
2
3
0x= 无解，则原方程无解，符合题意，
2
1
当a≠ 时，
2
若原方程无解，那么它有增根x＝3，
则3（2a﹣1）＝3a，
解得：a＝1，
1
综上，a的值为1或 ，
2
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．
10．（2025•深圳校级模拟）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，
_■_．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入
896 896
896文，_■__．”设绫布有x尺，则可得方程为120- = ，根据此情境，题中“_■__”表示缺
x 30-x
失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】绫布有x尺，则罗布有（30﹣x）尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十
六文；根据方程得到绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文即可．
【解答】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10﹣x＝（30﹣x）尺，
第12页（共24页）896 896
设绫布有x尺，则可得方程为120- = ，
x 30-x
∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
故选：C．
【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025•阳泉模拟）2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号 F遥十九运载火箭发射
成功，随后神舟十九号航天员乘组顺利与神舟十八号航天员乘组“太空会师”并入驻“天宫”．某航
天兴趣小组预计购进一批“天宫”模型和“长征二号 F”模型，已知每个“天宫”模型的进价比每个
“长征二号F”模型的进价贵50%，同样用3000元购进“天宫”模型的数量比“长征二号F”模型的数
3000 3000
量少5个．若设每个“长征二号F”模型的进价为x元，则可列方程为 - =5 ．
x (1+50%)x
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；应用意识．
3000 3000
【答案】
- =5．
x (1+50%)x
【分析】设每个“长征二号F”模型的进价为x元，则每个“天宫”模型的进价为（1+50%）x元，根
据题意列出方程即可．
3000 3000
【解答】解：根据题意得，
- =5．
x (1+50%)x
3000 3000
故答案为：
- =5．
x (1+50%)x
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．解题关键是理解题意找到等量关系．
x+m 1
12．（2025•凉山州）若关于x的分式方程 + =3无解，则m＝ ﹣ 1 ．
x-2 2-x
【考点】分式方程的解．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
5+m 5+m
【分析】根据题意，解分式方程，得到x= ，由题意得到原方程无解，故x= 是原方程的增
2 2
根，由x﹣2＝0，得到x＝2，由此得到答案．
【解答】解：原方程去分母：方程两边同时乘以x﹣2，得：
x+m﹣1＝3x﹣6，
第13页（共24页）x﹣3x＝﹣6﹣m+1，
﹣2x＝﹣5﹣m，
5+m
x= ，
2
∵原方程无解，
5+m
∴x= 是原方程的增根，
2
由x﹣2＝0，x＝2，
5+m
∴ =2，
2
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键．
x m
13．（2025•丰南区校级三模）若关于x的分式方程 +1= 的解为非负数，则m的取值范围为
x-1 1-x
m ≤1 且 m ≠﹣1 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】m≤1且m≠﹣1．
【分析】先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．
【解答】解：两边同乘（x﹣1），得：x+x﹣1＝﹣m，
1-m
解得：x= ，
2
∵原分式方程的解为非负数，
1-m 1-m
∴ ≥0，且 ≠1，
2 2
解得：m≤1且m≠﹣1，
∴m的取值范围为m≤1且m≠﹣1．
故答案为：m≤1且m≠﹣1．
【点评】此题主要考查了解分式方程及分式方程的解，掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且
解为非负数的条件是解题关键．
mx-6
14．（2025•牡丹江模拟）若关于x的分式方程 =1的解为整数，则整数m的值有 3 个．
x-3
【考点】分式方程的解．
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第14页（共24页）【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】3．
3
【分析】先解此方程得x= ，再根据题意讨论、求解出符合题意的m．
m-1
mx-6
【解答】解：解关于x的分式方程 =1得，
x-3
3
x= ，
m-1
3
当m＝﹣2时，x= =-1；
-2-1
3
当m＝0时，x= =-3；
0-1
3
当m＝2时，x= =3；
2-1
3
当m＝4时，x= =1；
4-1
∵x≠3，
∴整数m的值是﹣2，0，4共3个，
故答案为：3．
【点评】此题考查了含有字母参数的分式方程问题的解决能力，关键是能准确理解并运用分式方程的
解法进行求解．
15．（2025•湖北模拟）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题，其大意为：现有走路
慢的人先走10里，令走路快的人去追，追到100里时，已经领先走路慢的人20里．问走路快的人走
到多少里时就已经追上走路慢的人？设走路快的人走到 x里时就已经追上走路慢的人，则可列方程
100 x
= ．
100-10-20 x-10
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
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【专题】分式方程及应用；应用意识．
100 x
【答案】 = ．
100-10-20 x-10
【分析】设走路快的人走x步就能追上走路慢的人，根据时间、路程、速度结合时间相同，列出方程
即可解答．
100 x
【解答】解：根据题意，得 = ．
100-10-20 x-10
第15页（共24页）100 x
故答案为： = ．
100-10-20 x-10
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意找到等量关系是解题的关键．
16．（2025•涿州市校级三模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中较大的
2x+1
数，如max{2，4}＝4，按这个规定，方程max{x，-x}= 的解为x=√2+ 1 或 x ＝﹣ 1 ．
x
【考点】解分式方程．
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【专题】新定义；分式方程及应用；运算能力．
【答案】x=√2+1或x＝﹣1．
【分析】分x＞﹣x和x＜﹣x，依据新定义列出关于x的分式方程，化为一元二次方程，解方程并检验
即可求解．
2x+1
【解答】解：①若x＞﹣x，即x＞0，则x= ，即x2﹣2x﹣1＝0，
x
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1=±√2，
∴x=√2+1或x=1-√2 （负值舍去），
经检验：x=√2+1是原分式方程的解；
2x+1
②若x＜﹣x，即x＜0，则﹣x= ，即x2+2x+1＝0，
x
（x+1）2＝0，
解得：x ＝x ＝﹣1，
1 2
经检验：x＝﹣1是原分式方程的解；
2x+1
综上，方程max{x，-x}= 的解为x=√2+1或x＝﹣1．
x
故答案为：x=√2+1或x＝﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，解一元二次方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程
转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
2x-3 1 3
17．（2025•宁远县二模）分式方程 + =1的解为 x= ．
x-1 2(x-1) 2
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
第16页（共24页）3
【答案】x= ．
2
【分析】根据分式方程解法进行求解．
2x-3 1
【解答】解：
+ =1，
x-1 2(x-1)
去分母，得2（2x﹣3）+1＝2（x﹣1），
去括号，得4x﹣6+1＝2x﹣2，
移项、合并同类项，得2x＝3，
3
解得：x= ，
2
3
经检验：x= 是原方程的解；
2
3
故答案为：x= ．
2
【点评】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
{2x+1
＞x-1
18．（2025•九龙坡区校级模拟）若关于x的不等式组 3 有解且至多3个整数解，关于y的
3(1-x)≤x-a
2 a
分式方程 -3= 的解为整数，那么符合条件的所有整数a的和为 2 2 ．
1- y y-1
【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．
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【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】22．
{2x+1
＞x-1
【分析】解不等式组得出 3 ，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出﹣3＜a≤1，
3(1-x)≤x-a
1-a
解分式方程得出y= ，结合关于y的分式方程有整数解，得出a＝1，即可得解．
3
{ x＜4
【解答】解：解不等式组得 3+a，
x≥
4
∵不等式组有解且最多有3个整数解，小于4的连续3个整数时3、2、1，
第17页（共24页）3+a
∴0＜ ＜4，
4
解得：﹣3＜a＜13，
2 a 1-a
解关于y的分式方程 -3= 得y= ，
1- y y-1 3
∵关于y的分式方程有整数解，
1-a
∴y≠1（分母不为0），即 ≠1，解得a≠﹣2，
3
∴符合条件的a为1，4，7，10，
∴所有整数a的和为22，
故答案为：22．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握以上知识点是关键．
1 1
19．（2025•自贡模拟）对于两个非零的实数 a，b，定义运算※如下：a※b= - ．例如：3※4
b a
1 1 1 y-x
= - =- ．若x※y＝4，则 的值为 ﹣ 2 ．
4 3 12 2xy
【考点】解分式方程；实数的运算．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可．
1 1 x- y
【解答】解：根据新定义可得：x※y= - = =4，
y x xy
1 x- y 1
∴原式=- × =- ×4=- 2．
2 xy 2
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是结合新运算法则转化为分式运算．
20．（2025•莲都区二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，
若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时
间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为x天，则根据题意可列方程
800 800
为 2× = ．
x+1 x-2
【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
第18页（共24页）【答案】见试题解答内容
800 800
【分析】根据题意可知慢马的速度为 ，快马的速度为 ，再根据快马的速度是慢马的2倍，即
x+1 x-2
可列出相应的方程，本题得以解决．
800 800
【解答】解：根据题意可知慢马的速度为 ，快马的速度为 ，则：
x+1 x-2
800 800
2× = ，
x+1 x-2
800 800
故答案为：2× = ．
x+1 x-2
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，正确找到等量关系列出方程是解题关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•潍坊）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机
器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3
万元．
（1）求A型、B型两种机器人的单价；
（2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至
少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
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【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元；
（2）共有3种配备方案，
方案1：配备A型机器人1台，B型机器人9台；
方案2：配备A型机器人2台，B型机器人8台；
方案3：配备A型机器人3台，B型机器人7台．
【分析】（1）设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为（x﹣3）万元，利用数量＝总价
÷单价，结合用90万元购买A型机器人的数量与用60万元购买B型机器人的数量相同，可列出关于x
的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A型机器人的单价），再将其代入（x﹣3）中，即可
求出B型机器人的单价；
（2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人（10﹣y）台，利用总价＝单价×数量，结合总价不超
过70万元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得
出各配备方案．
第19页（共24页）【解答】解：（1）设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为（x﹣3）万元，
90 60
根据题意得： = ，
x x-3
解得：x＝9，
经检验，x＝9是所列方程的解，且符合题意，
∴x﹣3＝9﹣3＝6（万元）．
答：A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元；
（2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人（10﹣y）台，
根据题意得：9y+6（10﹣y）≤70，
10
解得：y≤ ，
3
又∵y为正整数，
∴y可以为1，2，3，
∴共有3种配备方案，
方案1：配备A型机器人1台，B型机器人9台；
方案2：配备A型机器人2台，B型机器人8台；
方案3：配备A型机器人3台，B型机器人7台．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（2025•雷州市三模）鲜桃刚上市，某水果店率先用1000元购进了一批鲜桃，前两天以高于进价60%
的价格卖出160kg；第三天水果店又用1000元购进了一批鲜桃，由于进价降低了20%，这一批鲜桃多
购进50kg．
（1）求水果店购进第一批鲜桃的数量；
（2）注意到市场上鲜桃数量逐渐增多，水果店主决定将剩余和新进鲜桃在原销售价的基础上，全部降
价m元（m为整数）销售．实际销售过程中，平均每天销售量相对于前两天平均每天增加了 30mkg，
仅仅销售两天，剩下量不超过10kg．
①求m的值；
②若店主将剩余鲜桃以20元的价格全部卖完，求前后一共获利多少元．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）第一批鲜桃的数量为200kg；
（2）①m＝2；②前后一共获利980元．
第20页（共24页）【分析】（1）设第一批鲜桃的进价为x元/kg，由第二批鲜桃的进价为0.8x元/kg，根据“第二批批鲜
桃多购进50kg”列分式方程，求解即可；
（2）①求得总剩余数量为290kg，降价后，每天销售（80+30m）kg，根据“剩下量不超过10kg”列不
等式，求解即可；
②利用总收入减去总支出求解即可．
【解答】解：（1）设第一批鲜桃的进价为x元/kg，由第二批鲜桃的进价为0.8x元/kg，
1250 1000
根据题意得 - =50，解得x＝5，
x x
经检验x＝5是原方程的解，且符合题意，
1000
∴第一批鲜桃的数量为 =200kg；
5
160
（2）①前两天每天销售 =80kg，剩余200﹣160＝40kg，
2
1250
∵第二批鲜桃的数量为 =250kg，
5
∴总剩余数量为40+250＝290kg，
降价后，每天销售（80+30m）kg，两天共销售2（80+30m）kg，
根据题意得290﹣2（80+30m）≤10，解得m≥2；
∵m为整数，且保证销售量不超过总剩余量，
∴取m＝2；
②总成本为1000+1000＝2000元，
总收入为5（1+60%）×160+2（8﹣2）（80+30×2）+20
＝1280+1680+20＝2980，
∴前后一共获利：2980﹣2000＝980元．
【点评】本题考查了分式方程和不等式的应用．理解题意是关键．
23．（2025•哈尔滨模拟）某商店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进
价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍．
（1）求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高20%后出售，
要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
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【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】（1）每件A商品的进价为15元，每件B商品的进价为20元；
第21页（共24页）（2）至少购进10件．
【分析】（1）设每件A商品的进价为x元，则每件B商品的进价为（x+5）元，根据“用300元购进A
种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍”列出方程，解方程即可；
（2）设购进A商品a件，根据“A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高20%后出售，要使所有
商品全部出售后利润不少于210元”列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设每件A商品的进价为x元，则每件B商品的进价为（x+5）元，
300 100
由题意得： = ×4，
x x+5
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意，
则x+5＝20，
答：每件A商品的进价为15元，每件B商品的进价为20元；
（2）设购进A商品a件，
由题意得：5a+20×20%（50﹣a）≥210，
解得：a≥10，
答：A种商品至少购进10件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出
合适的数理关系，列出方程或不等式．
24．（2025•高新区校级四模）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿
化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多 5
元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
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【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元，由题意：用200元购买绿
萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，由题意：资金不超过600元，列出一元
一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元，
第22页（共24页）200 300
由题意得： = ，
x x+5
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
则x+5＝15，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，
由题意得：15m+10×2m≤600，
120
解得：m≤ ，
7
∵m为正整数，
∴m的最大值为17，
答：购买吊兰的数量最多是17盆．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25．（2025•大渡口区校级模拟）某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件
25元，乙种商品每件30元．
（1）求甲、乙两种商品各购进多少件？
（2）A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙
商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一
样，则超市能从这次销售中获利多少元？
【考点】分式方程的应用；二元一次方程组的应用．
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【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，根据某大型超市花6000元购进甲、乙两种商
品共220件，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设甲商品的售价为a元，则乙商品的售价为（a+8）元，根据两个公司购买的商品数量刚好一样，
列出分式方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，
{ x+ y=220
由题意得： ，
25x+30 y=6000
{x=120
解得： ，
y=100
第23页（共24页）答：甲种商品购进120件，乙种商品购进100件；
（2）设甲商品的售价为a元，则乙商品的售价为（a+8）元，
1500 1900
由题意得： = ，
a a+8
解得：a＝30，
经检验，a＝30是原方程的解，且符合题意，
∴1500÷30＝50（件），
∴50×（30﹣25）+50×（30+8﹣30）＝650（元），
答：超市能从这次销售中获利650元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
第24页（共24页）
