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2025年菁优高考物理压轴训练3
一．选择题（共7小题）
1．（2024•开福区校级模拟）如图所示，光滑的圆轨道竖直固定在水平地面上， 为圆心， 为轨道上
的一点， 与水平面夹角为 。小球在拉力 作用下始终静止在 点。当拉力方向水平向左时，拉力
的大小为 。当将拉力 在竖直平面内顺时针转至沿圆轨道切线方向时，拉力 的大小为
A． B． C． D．
2．（2024•顺庆区校级模拟）如图所示，木板 放置在粗糙水平地面上， 为光滑铰链。轻杆一端与铰
链 固定连接，另一端固定连接一质量为 的小球 。现将轻绳一端拴在小球 上，另一端通过光滑的
定滑轮 由力 牵引，定滑轮位于 的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力 的大小使小球 和
轻杆从图示位置缓慢运动到 正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中
A．外力 大小不变
B．轻杆对小球的作用力大小变小
C．地面对木板的支持力逐渐变小
D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
3．（2024•龙凤区校级模拟）如图所示，某创新实验小组制作了一个半径为 的圆环，将3个相同的
轻弹簧一端等间距地连接在圆环上的 、 、 三点，另外一端连接于同一点，结点恰好在圆心 处。
将圆环水平放置，在结点 处悬挂一瓶矿泉水，缓慢释放直至平衡时测得结点下降了 。已知轻弹簧
1的自然长度为 ，矿泉水的重力为 ，则弹簧的劲度系数为
A． B． C． D．
4．（2024•山东）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于 的斜
坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于
A． B． C． D．
5．（2024•龙凤区校级模拟）帆船是人类的伟大发明之一，船员可以通过调节帆面的朝向让帆船逆风行
驶，如图所示为帆船逆风行驶时的简化示意图，此时风力 ，方向与帆面的夹角 ，航向
与帆面的夹角 ，风力在垂直帆面方向的分力推动帆船逆风行驶。已知 ，则帆船在沿航
向方向获得的动力为
2A． B． C． D．
6．（2024•雨花区校级模拟）2023年9月27日，杭州亚运会中国队组合赵焕城 王赛博获得帆船比赛冠
军。图为帆船在静止水面上逆风航行的示意图。风力和船身方向成 ，风力和帆面成 ，风力在垂直
帆面方向的分力推动帆船逆风行驶，如果风力大小为 ，则风力在航行方向的分力为
A． B． C． D．
7．（2024•碑林区校级模拟）如图所示，木块 、 分别重 和 与水平地面之间的动摩擦因数均
为0.2。夹在 、 之间的轻弹簧被压缩了 ，弹簧的劲度系数为 。用 的水平拉力拉
木块 ，木块 、 均保持静止。最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，下列说法正确的是
A．弹簧的弹力大小为
B．木块 受到的摩擦力大小为
C．木块 受到的摩擦力大小为
D．地面给 、 组成的系统的摩擦力大小为
二．多选题（共10小题）
8．（2024•江苏四模）质量均为 的相同物块 、 静止于同一水平面上，它们与水平面间的动摩擦因
数均为0.5，现分别给两物块施加等大的作用力 ，方向如图所示。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，
重力加速度大小为 ，下列说法正确的是
3A．若 ，则 受到的摩擦比 受到的摩擦小
B．若 ，则 受到的摩擦力与 受到的摩擦力大小相等
C．若 ，则 受到的摩擦力比 受到的摩擦力小
D．若 ，则 受到的摩擦力与 受到的摩擦力大小相等
9．（2024•凉山州模拟）某同学在家清洁墙面的情景如图所示，他用力推着一个 的拖把沿墙竖直向
上做匀速直线运动，推力保持在沿轻杆方向上，此时轻杆与竖直墙面的夹角为 ，推力大小为 。
已知 ， ， 取 ，则
A．拖把头对墙的压力为
B．拖把头对墙的压力为
C．拖把头与墙面之间的动摩擦因数为0.5
D．拖把头与墙面之间的动摩擦因数为0.75
10．（2024•岳麓区校级模拟）光滑半圆槽的边缘上固定有一轻质定滑轮，轻质定滑轮轴与一直杆 一
端连接，直杆可绕 在竖直面上转动，轻绳一端连接一小球 ，另一端跨过轻质定滑轮后套着一铁环 ，
然后固定在直杆的 端，如图所示。开始时直杆通过外力水平放置并使整个系统处于平衡状态，不计任
何摩擦阻力，小球可视为质点，则
4A．若轻绳 段与 段均与竖直方向成 角，小球 和铁环 的质量之比为
B．若小球 的质量足够大，系统平衡时小球 可能位于半圆弧槽的最低点
C．若通过外力把直杆 顺时针缓慢转动一小段距离，小球 的位置可能不动
D．若通过外力把直杆 逆时针缓慢转动一小段距离，小球 的位置一定下移
11．（2024•荔湾区校级一模）建筑工地上，工人用如图所示的方式将重物从平台运到地面。甲、乙两人
在同一高度手握轻绳，不计重力的光滑圆环套在轻绳上，下端吊一重物。甲站在 点静止不动，乙从
点缓慢向 点移动一小段距离。此过程中，下列说法正确的是
A．绳的拉力大小减小 B．甲所受平台的支持力增大
C．甲所受平台的摩擦力变小 D．绳对圆环拉力的合力变小
12．（2024•魏都区校级三模）如图所示为常见室外晾衣设备。经特殊防滑处理的水平刚性晾衣杆上悬挂
一轻质衣架，衣架上挂有一质量为 的衣服，衣服可视为刚性平板。衣服因受迎面吹来的风力作用而与
竖直方向形成一稳定偏角 ，衣架在晾衣杆上始终不发生滑动，已知晾衣杆与衣架间动摩擦因数为 ，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是
5A．当衣服所受风力为 时，杆对衣架的支持力为
B．为使衣架在晾衣杆上不发生滑动，风力不能超过
C．风力越大，偏角 越大
D．风力越大，衣架受到杆的摩擦力越大
13．（2024•衡阳县校级模拟）如图所示，轻绳1两端分别固定在 、 两点 点在 点右上方），轻
绳1上套有一个轻质的光滑小环 ，质量为 的物块 通过另一根轻绳2悬挂在环的下方，处于静止状
态， 。现用一水平向右的力 缓慢拉动物块，直到轻绳2与 连线方向垂直。已知重力加
速度为 。下列说法正确的是
A．施加拉力 前，轻绳1的张力大小为
B．物块在缓慢移动过程中，轻绳2的延长线始终平分
C．物块在缓慢移动过程中，轻绳2的张力一直增大
D．物块在缓慢移动过程中，轻绳1的张力一直增大
14．（2024•茂名一模）某同学上网课时把平板放在倾角为 的斜面上，平板质量为 ，平板处于静
止状态，示意图如图所示，重力加速度 取 ，下列说法正确的是
6A．斜面对平板的支持力方向竖直向上
B．斜面对平板的支持力小于平板所受的重力
C．斜面对平板的摩擦力大小是 ，方向沿斜面向下
D．斜面对平板的作用力竖直向上
15．（2024•泰安三模）间距为 的两根固定的竖直杆间有一根腔衣绳，晾衣绳两端等高，长度为
且不可伸长。将一件衣服通过晾衣架挂在晾衣绳上，衣架能沿晾衣绳自由滑动，衣架挂钩和晾衣绳之间
的摩擦力忽略不计。无风时，衣服和衣架的悬挂点刚好位于晾衣绳的中间位置，如图甲所示；有风时，
有水平向右的风作用在衣服上，稳定后衣架悬挂点两侧的晾衣绳刚好垂直，如图乙所示。已知衣服和衣
架的总质量为 ，重力加速度 取 ，风对晾衣绳的作用力忽略不计，则下列说法正确的是
A．无风时，晾衣绳中的拉力大小为
B．有风时，晾衣绳中的拉力大小为
C．有风时，风对衣服的作用力大小为
D．有风时，晾衣绳对衣架的作用力大小为
16．（2024•沈河区校级模拟）如图所示，质量为 的小球用一轻绳竖直悬吊于 点。现用一光滑的金属
挂钩向右缓慢拉动轻绳至虚线位置，在此过程中，下列说法正确的是
A．挂钩对轻绳的作用力不断变大
B．轻绳上的张力先变大后变小
7C．轻绳对挂钩的作用力方向始终水平向左
D．挂钩对轻绳的作用力大小不可能为
17．（2024•东湖区校级三模）如图所示，半圆环竖直固定在水平地面上，光滑小球套在半圆环上。对小
球施加一始终指向半圆环最高点 的拉力 ，使小球从圆环最低点 缓缓移动到最高点 。下列说法正
确的是
A．拉力 一直减小
B．拉力 先增大后减小
C．小球对圆环的压力大小始终不变
D．小球对圆环的压力先增大后减小
三．填空题（共3小题）
18．（2024•三明模拟）如图，一橡皮擦置于长塑料直尺的一端，现将直尺沿桌面缓慢向外移动，二者始
终保持相对静止，在此过程中，直尺弯曲程度变大，橡皮擦对直尺的压力 （选填“增大”、“减
小”或“不变” ，橡皮擦所受的摩擦力 （选填“增大”、“减小”或“不变” ，直尺对橡皮擦
的作用力方向为 。
19．（2023•蕉城区校级一模）如图所示，物体 、 的质量 ， ， 与 、 与地面
之间的动摩擦因数都为 ，在外力 作用下， 和 一起匀速运动，则地面对 的摩擦力的大小是
； 对 的摩擦力的大小是 。 取
820．（2022•闵行区校级模拟）如图所示，在竖直平面的固定光滑圆轨道的最高点有一个光滑的小孔，质
量为 的小环套在圆轨道上，用细线通过小孔系在环上，缓慢拉动细线，使环沿轨道上移，在移动过程
中拉力 和轨道对小环的作用 的大小变化情况分别为： ， （均选填“增大”、“减
小”、“不变”、“先增大后减小”或“先减小后增大等）．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•佛山二模）如图，两工人在安装一园林石牌时，通过绳子对石牌同时施加大小相等、方向与
竖直方向成 的力 ，使石牌恰好离开水平地面并保持静止，然后突然一起发力把石牌拉起准备安装到
预设位置。当石牌运动到离地面 处时，两条绳子同时断裂。石牌继续上升 后自由下落。
已知石牌质量 ，取重力加速度 ， ， ，忽略空气阻力，求：
（1） 的大小；
（2）从绳断裂到石牌恰好接触地面的时间。
22．（2024•浑南区校级模拟）中国的歼 战斗机是一款全球领先的战机，它不仅拥有高超的隐身性、
机动性，还具有强大火力、信息化和网络化能力，能够在复杂的空战环境中发挥重要的作用。设总重力
为 的战斗机正沿着与水平方向成 角的直线匀速向上攀升，牵引力 的方向位于速度方向与竖直方向
之间、与速度方向成 角，升力与速度方向垂直，飞机受到的阻力等于升力的 倍，阻力方向与速度方
向相反，如果飞机受到的这几个力的作用线相交于一点，求：
（1）飞机受到的升力 的大小；
9（2）牵引力 的大小。
23．（2024•辽宁模拟）如图（a）所示，间距为 的两颗钉子固定在相同高度处，将一根长为 、不可伸
长的轻质细绳和一根原长也为 、劲度系数为 的轻质橡皮筋的两端连在一起挂在钉子上，用挂钩将一重
物挂在细绳上，平衡时挂钩位于细绳中点且细绳之间的夹角 ，橡皮筋始终未超出弹性限度，不计
一切摩擦，重力加速度为 。
（1）求重物的质量；
（2）将第三颗钉子钉在两颗钉子中点处，并撤去两端钉子，将橡皮筋和细绳看作新的“弹性皮筋”，如
图（b）所示，求此“弹性皮筋”的劲度系数。
24．（2024•顺庆区校级模拟）如图所示，对称、相同粗糙程度的斜面与竖直方向夹角 ，硬质轻杆
通过光滑铰链与两个相同且质量为 的物块 、 相连， 、 对称放在斜面上，一质量
的物体通过轻绳悬挂在铰链 上，对称调节 、 的位置，使杆与斜面垂直，整个装置处于平
衡状态，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力， ， ， ，可能用到的数学公
式 ， 。
（1）求杆对物块 的作用力大小；
（2）求物块与斜面间动摩擦因数的最小值；
（3）若斜面光滑，对称调节 、 的位置，使整个装置仍处于平衡状态，求此时杆与水平方向夹角的正
10切值。
25．（2023•合肥一模）如图所示，某校门口水平地面上有一质量为 的石墩，石墩与水平地面间的
动摩擦因数为 ，工作人员用轻绳按图示方式缓慢移动石墩，此时两轻绳平行，重力加速度 取
。求：
（1）若轻绳与水平面的夹角 为 ，轻绳对石墩的总作用力大小；
（2）轻绳与水平面的夹角为多大时，轻绳对石墩的总作用力最小，并求出该值。
112025年菁优高考物理压轴训练3
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024•开福区校级模拟）如图所示，光滑的圆轨道竖直固定在水平地面上， 为圆心， 为轨道上
的一点， 与水平面夹角为 。小球在拉力 作用下始终静止在 点。当拉力方向水平向左时，拉力
的大小为 。当将拉力 在竖直平面内顺时针转至沿圆轨道切线方向时，拉力 的大小为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】利用平衡推论求解受力问题
【专题】共点力作用下物体平衡专题；定量思想；学科综合题；应用题；合成分解法；推理论证能力
【分析】当 与水平面夹角为 分析小球的受力情况，作出受力图，运用合成法分析求得小球的重力。
再用同样的方法求解当将拉力 在竖直平面内转至沿圆轨道切线方向时拉力 的大小。
【解答】解：当拉力水平向左时，受到竖直向下的重力，沿 向外的支持力，以及拉力 的作用，如图
所示：
根据矢量三角形可得：
当拉力沿圆轨道切线方向时，受力如图所示：
12根据矢量三角形可得：
故 正确， 错误。
故选： 。
【点评】在处理共点力平衡问题时，关键是对物体进行受力分析，然后根据正交分解法将各个力分解成
两个方向上的力，然后列式求解，如果物体受到三力处于平衡状态，则可根据矢量三角形法，将三个力
移动到一个三角形中，然后根据角度列式求解。
2．（2024•顺庆区校级模拟）如图所示，木板 放置在粗糙水平地面上， 为光滑铰链。轻杆一端与铰
链 固定连接，另一端固定连接一质量为 的小球 。现将轻绳一端拴在小球 上，另一端通过光滑的
定滑轮 由力 牵引，定滑轮位于 的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力 的大小使小球 和
轻杆从图示位置缓慢运动到 正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中
A．外力 大小不变
B．轻杆对小球的作用力大小变小
C．地面对木板的支持力逐渐变小
D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
【答案】
【考点】图解法解决动态平衡问题
【专题】比较思想；图析法；共点力作用下物体平衡专题；推理论证能力
【分析】对小球进行受力分析，根据相似三角形法分析出外力 和轻杆对小球作用力的变化情况；对木
板 进行受力分析，根据几何关系结合其平衡状态分析出地面对木板的支持力和地面对木板的摩擦力的
变化情况。
【解答】解： 、对小球 进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示。
13根据相似三角形有
缓慢运动过程 越来越小，则 逐渐减小；由于 长度不变，杆对小球的作用力大小 不变，故
错误；
、对木板，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下方，但杆的作用力与竖直方向的夹角越来越
小，所以地面对木板的支持力逐渐增大，地面对木板的摩擦力逐渐减小，故 错误， 正确。
故选： 。
【点评】本题主要考查了力的动态平衡问题，熟悉物体的受力分析，结合几何关系分析出力的变化情况
即可。
3．（2024•龙凤区校级模拟）如图所示，某创新实验小组制作了一个半径为 的圆环，将3个相同的
轻弹簧一端等间距地连接在圆环上的 、 、 三点，另外一端连接于同一点，结点恰好在圆心 处。
将圆环水平放置，在结点 处悬挂一瓶矿泉水，缓慢释放直至平衡时测得结点下降了 。已知轻弹簧
的自然长度为 ，矿泉水的重力为 ，则弹簧的劲度系数为
A． B． C． D．
14【答案】
【考点】劲度系数及其特点
【专题】定量思想；方程法；共点力作用下物体平衡专题；推理能力
【分析】由几何关系求出平衡时每根弹簧的长度，得到每根弹簧的伸长量，根据竖直方向受力平衡求解
瓶子受到的弹力大小；由胡克定律求出每根弹簧的劲度系数。
【 解 答 】 解 ： 结 点 下 降 了 后 ， 由 几 何 关 系 可 得 与 之 间 的 长 度 为
。如图所示
由几何关系可知平衡时每根弹簧的长度均为
每根弹簧的伸长量均为△
根据竖直方向受力平衡可得
解得劲度系数为
故 正确， 错误。
故选： 。
【点评】本题考查胡克定律和共点力平衡，注意 中 指弹簧的形变量，不是弹簧的长度。
4．（2024•山东）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于 的斜
坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于
A． B． C． D．
15【答案】
【考点】力的分解过程中多解和极值的问题；共点力的平衡问题及求解
【专题】信息给予题；定量思想；推理法；摩擦力专题；共点力作用下物体平衡专题；理解能力
【分析】根据平衡条件和滑动摩擦力公式求解作答。
【解答】解：国产人形机器人“天工”在斜坡上受重力、支持力和摩擦力作用，如图所示：
当机器人“天工”站立和稳定行走时，根据平衡条件，沿斜坡方向
解得斜坡的动摩擦因数
即机器人的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于 ，故 正确， 错误。
故选： 。
【点评】本题考查了共点力作用下物体的平衡和滑动摩擦力公式，理解机器人在斜坡上稳定地站立和行
走的条件是解题的关键。
5．（2024•龙凤区校级模拟）帆船是人类的伟大发明之一，船员可以通过调节帆面的朝向让帆船逆风行
驶，如图所示为帆船逆风行驶时的简化示意图，此时风力 ，方向与帆面的夹角 ，航向
与帆面的夹角 ，风力在垂直帆面方向的分力推动帆船逆风行驶。已知 ，则帆船在沿航
向方向获得的动力为
A． B． C． D．
【答案】
16【考点】正交分解法
【专题】定量思想；合成分解法；受力分析方法专题；推理论证能力
【分析】运用正交分解方法分解风力，先计算垂直于帆面的分力，进而再对垂直作用于帆面上的风力
沿帆船航向方向和垂直航向方向进行分解，则帆船在沿航向方向获得的动力。
【解答】解：对风力 在沿着帆面和垂直于帆面方向进行分解，根据力的平行四边形法则可得其垂直于
帆面的分力
代入数据解得
再对垂直作用于帆面上的风力 沿帆船航向方向和垂直航向方向进行分解，则帆船再沿航方向获得的动
力为
代入数据解得
故 正确， 错误。
故选： 。
【点评】本题考查了力的分解，旨在考查正交分解方法的运用和分力的计算。
6．（2024•雨花区校级模拟）2023年9月27日，杭州亚运会中国队组合赵焕城 王赛博获得帆船比赛冠
军。图为帆船在静止水面上逆风航行的示意图。风力和船身方向成 ，风力和帆面成 ，风力在垂直
帆面方向的分力推动帆船逆风行驶，如果风力大小为 ，则风力在航行方向的分力为
17A． B． C． D．
【答案】
【考点】正交分解法
【专题】定量思想；合成分解法；平行四边形法则图解法专题；推理论证能力
【分析】根据图中标注的各个方向先把风力 沿垂直于帆面方向分解，再根据几何关系求相应的夹角，
再根据分解的方法求这个分力的表达式。
【解答】解：由题，结合图可知，风力在垂直于帆面方向上的分力为
这个分力垂直于帆面，与航行方向之间的夹角为
所以风力在航行方向上的分力为
故 正确， 错误
故选： 。
【点评】考查力的分解的方法，会根据图中各个量的方向结合三角函数的知识进行分解。
7．（2024•碑林区校级模拟）如图所示，木块 、 分别重 和 与水平地面之间的动摩擦因数均
为0.2。夹在 、 之间的轻弹簧被压缩了 ，弹簧的劲度系数为 。用 的水平拉力拉
木块 ，木块 、 均保持静止。最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，下列说法正确的是
A．弹簧的弹力大小为
B．木块 受到的摩擦力大小为
C．木块 受到的摩擦力大小为
D．地面给 、 组成的系统的摩擦力大小为
【答案】
【考点】胡克定律及其应用；判断是否存在摩擦力
【专题】定量思想；推理法；摩擦力专题；推理论证能力
【分析】根据胡克定律求弹簧弹力；由平衡条件分别求得 、 受到的摩擦力大小；把 、 和弹簧看
成一个整体，根据平衡条件分析整体所受摩擦力。
【 解 答 】 解 ： 、 与 地 面 之 间 的 最 大 静 摩 擦 力 大 小 为 ，
18、 ，弹簧的弹力大小为 ，故 错误；
、因 物块处于静止状态，根据平衡条件得 所受摩擦力大小为 ，故 错误；
、在水平方向上 受弹簧对它向右的弹力，向右的拉力，以及向左的摩擦力，根据平衡条件可得
，故 受摩擦力大小为 ，故 错误；
、把 、 两物块以及弹簧看成一个整体，由平衡条件可得整体所受摩擦力大小 ，故 正
确。
故选： 。
【点评】注意在计算摩擦力时需要和最大静摩擦力相比较，结果要小于最大静摩擦力。
二．多选题（共10小题）
8．（2024•江苏四模）质量均为 的相同物块 、 静止于同一水平面上，它们与水平面间的动摩擦因
数均为0.5，现分别给两物块施加等大的作用力 ，方向如图所示。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，
重力加速度大小为 ，下列说法正确的是
A．若 ，则 受到的摩擦比 受到的摩擦小
B．若 ，则 受到的摩擦力与 受到的摩擦力大小相等
C．若 ，则 受到的摩擦力比 受到的摩擦力小
D．若 ，则 受到的摩擦力与 受到的摩擦力大小相等
【答案】
【考点】判断是否存在摩擦力；共点力的平衡问题及求解
【专题】学科综合题；定量思想；推理法；摩擦力专题；推理论证能力
【分析】判断 和 受到的是滑动摩擦力还是静摩擦力。
两物体均受到静摩擦力作用，根据共点力平衡分析摩擦力大小。
19【解答】解：首先判断 和 受到的是滑动摩擦力还是静摩擦力，
、当 时， 和 均受到静摩擦力作用， ， ，
故 错误， 正确；
、 当 时 ， 和 均 受 到 静 摩 擦 力 作 用 ， ，
，故 错误， 正确。
故选： 。
【点评】此题考查了摩擦力的判断与计算，研究多个物体的临界问题，一要注意灵活选择研究对象，采
用隔离法和整体法结合研究，比较简洁。二要明确临界条件：一个相对于另一个物体刚要相对运动时两
者间的静摩擦力达到最大。
9．（2024•凉山州模拟）某同学在家清洁墙面的情景如图所示，他用力推着一个 的拖把沿墙竖直向
上做匀速直线运动，推力保持在沿轻杆方向上，此时轻杆与竖直墙面的夹角为 ，推力大小为 。
已知 ， ， 取 ，则
A．拖把头对墙的压力为
B．拖把头对墙的压力为
C．拖把头与墙面之间的动摩擦因数为0.5
D．拖把头与墙面之间的动摩擦因数为0.75
【答案】
【考点】共点力的平衡问题及求解；力的合成与分解的应用
【专题】推理法；推理能力；定量思想；共点力作用下物体平衡专题
【分析】 ：对拖把头受力分析，水平方向根据平衡条件列式求解墙对拖把头的弹力，根据牛顿第三定
律求解拖把头对墙的压力；
：竖直方向根据平衡条件列式求解拖把头与墙面之间的动摩擦因数。
【解答】解： ．拖把沿墙竖直向上做匀速直线运动，对拖把头受力分析
20根据平衡条件可得墙对拖把头的弹力为
根据牛顿第三定律，拖把头对墙的压力为 ，故 正确， 错误；
．拖把沿墙竖直向上做匀速直线运动，有
拖把受到的滑动摩擦力为
代入数据联立解得拖把头与墙面之间的动摩擦因数为
故 正确， 错误。
故选： 。
【点评】本题考查共点力作用下的平衡问题，要求学生能正确选择研究对象，受力分析，根据平衡条件
列式解题。
10．（2024•岳麓区校级模拟）光滑半圆槽的边缘上固定有一轻质定滑轮，轻质定滑轮轴与一直杆 一
端连接，直杆可绕 在竖直面上转动，轻绳一端连接一小球 ，另一端跨过轻质定滑轮后套着一铁环 ，
然后固定在直杆的 端，如图所示。开始时直杆通过外力水平放置并使整个系统处于平衡状态，不计任
何摩擦阻力，小球可视为质点，则
21A．若轻绳 段与 段均与竖直方向成 角，小球 和铁环 的质量之比为
B．若小球 的质量足够大，系统平衡时小球 可能位于半圆弧槽的最低点
C．若通过外力把直杆 顺时针缓慢转动一小段距离，小球 的位置可能不动
D．若通过外力把直杆 逆时针缓慢转动一小段距离，小球 的位置一定下移
【答案】
【考点】力的合成与分解的应用；共点力的平衡问题及求解
【专题】定量思想；推理法；分析综合能力；共点力作用下物体平衡专题
【分析】画出 物体的受力分析图，由平衡条件解答质量之比等问题；
由平衡条件结合正交分解法解答。
【解答】解： 、受力分析如下图所示，
若轻绳 段与 段均与竖直方向成 角，根据水平方向的合力为零可知：
由几何关系可得，只有 与竖直方向的夹角也为 ，水平方向上合力才可能为零，
对小球 在竖直方向有：
对小球 水平方向有：
对铁环 竖直方向有：
联立可得出小球 和铁环 的质量之比为 ，故 正确；
、如果小球 在半圆弧槽的最低点，那么连接小球的轻绳拉力应该为零，此时整个系统不可能平衡，
故 错误；
、假设小球 位置不变，轻绳拉力不变， 端右侧的绳长 不变，把直杆 顺时针转动一小段距离，
段的水平距离 变小，由：
由此可知， 变小，绳的拉力： 将变小，与小球 位置不变时，轻绳拉力不变相矛盾，故
错误；
22、直杆 逆时针缓慢转动一小段距离， 段的水平距离 也是变小，设 ，如图建立直角
坐标系，对小球 受力进行正交分解后，可得：
变形可得： ，由上式可知，小球质量不变，轻绳拉力变小， 变大，小球 下移，
故 正确。
故选： 。
【点评】熟练应用平衡条件及正交分解法解答共点力平衡问题，提高应用数学知识解决物理问题的能力。
11．（2024•荔湾区校级一模）建筑工地上，工人用如图所示的方式将重物从平台运到地面。甲、乙两人
在同一高度手握轻绳，不计重力的光滑圆环套在轻绳上，下端吊一重物。甲站在 点静止不动，乙从
点缓慢向 点移动一小段距离。此过程中，下列说法正确的是
A．绳的拉力大小减小 B．甲所受平台的支持力增大
C．甲所受平台的摩擦力变小 D．绳对圆环拉力的合力变小
【答案】
【考点】力的合成与分解的应用；解析法求共点力的平衡
【专题】比较思想；方程法；共点力作用下物体平衡专题；推理能力
【分析】对结点处受力分析，根据平衡条件列出平衡方程，再根据夹角的变化判断绳子的拉力如何变化；
对甲受力分析，根据平衡条件列出平衡方程，判断甲所受平台的支持力是否变化；根据平衡条件列出水
平方向的平衡方程，结合角度的变化判断绳子的拉力如何变化，进而判断甲所受平台的摩擦力如何变化
根据两边绳子的合力大小等于重物重力大小，判断绳对圆环拉力的合力是否变化。
【解答】解： 、根据题图可知，绳子与圆环构成“活结”，则两段绳子上的拉力大小始终相同。设绳
子与竖直方向的夹角为 ，对结点处受力分析如图所示。
23根据平衡条件有：
得
当乙从 点缓慢向 点移动一小段距离后，绳子与竖直方向的夹角 将减小，则知绳子上的拉力 将减
小，故 正确；
、对甲受力分析如图所示。
根据平衡条件有
，
结合 ，可得 ，
可知，当乙从 点缓慢向 点移动一小段距离后，绳子与竖直方向的夹角 将减小，甲所受平台的支持
力 不变，而摩擦力 变小，故 错误， 正确；
、绳对圆环的拉力合力的大小始终等于重物的重力，则绳对圆环拉力的合力不变，故 错误。
故选： 。
【点评】本题考查动态平衡问题，解决本题的关键要灵活选择研究对象，根据平衡条件列出相关的平衡
方程，再进行分析。
12．（2024•魏都区校级三模）如图所示为常见室外晾衣设备。经特殊防滑处理的水平刚性晾衣杆上悬挂
一轻质衣架，衣架上挂有一质量为 的衣服，衣服可视为刚性平板。衣服因受迎面吹来的风力作用而与
竖直方向形成一稳定偏角 ，衣架在晾衣杆上始终不发生滑动，已知晾衣杆与衣架间动摩擦因数为 ，
24最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是
A．当衣服所受风力为 时，杆对衣架的支持力为
B．为使衣架在晾衣杆上不发生滑动，风力不能超过
C．风力越大，偏角 越大
D．风力越大，衣架受到杆的摩擦力越大
【答案】
【考点】力的分解过程中多解和极值的问题；共点力的平衡问题及求解
【分析】对衣架受力分析，结合角度变化分析风力和摩擦力；结合受力分析求解杆对衣架的支持力以及
最大风力。
【解答】解： ．对衣架与杆接触点受力分析，如图1所示
再对衣服和衣架整体受力分析，由于风力始终与衣服所在面垂直，再将衣架所受支持力与摩擦力用 等
效代替，如图2
整体受力的矢量三角形如图3
25则
故风力越大，偏角 越大，故 正确；
．当 时， ，此时
支持力
故 正确；
．由于
又静摩擦力
随着风力增大， 角逐渐增大，由于
故摩擦力先减小后增大，故 错误；
．为使衣架不滑动，必须满足
故
故
故 错误。
故选： 。
【点评】本题考查了基本受力分析，能够熟练地将力进行合成和分解，理解力的平衡条件是解决此类问
题的关键。
13．（2024•衡阳县校级模拟）如图所示，轻绳1两端分别固定在 、 两点 点在 点右上方），轻
绳1上套有一个轻质的光滑小环 ，质量为 的物块 通过另一根轻绳2悬挂在环的下方，处于静止状
态， 。现用一水平向右的力 缓慢拉动物块，直到轻绳2与 连线方向垂直。已知重力加
26速度为 。下列说法正确的是
A．施加拉力 前，轻绳1的张力大小为
B．物块在缓慢移动过程中，轻绳2的延长线始终平分
C．物块在缓慢移动过程中，轻绳2的张力一直增大
D．物块在缓慢移动过程中，轻绳1的张力一直增大
【答案】
【考点】相似三角形法解决动态平衡问题
【专题】共点力作用下物体平衡专题；合成分解法；推理法；定性思想；推理能力
【分析】 ．施加拉力 前，以小环 为对象，受到轻绳2的拉力等于物块 的重力 ，根据竖直方
向根据受力平衡可得轻绳1的张力大小；
．物块在缓慢移动过程中，以小环 为对象，由于小环 两侧轻绳1的张力大小总是相等，再根据受
力平衡可以判断轻绳2的延长线是否始终平分 ；
．物块在缓慢移动过程中，轻绳2与竖直方向的夹角 逐渐增大，以物块为对象，根据受力平衡可判
断轻绳2的张力是否越来越大；
．物块在缓慢移动过程中，由于 、 之间的轻绳1长度不变， 、 为椭圆的两个焦点；当轻绳2
与 连线方向垂直时，小环 刚好位于椭圆的短轴顶点上，根据椭圆知识可知此时 最大，则此
过程 逐渐增大，以小环 为对象列平衡方程进而判断此过程轻绳1的张力是否一直增大。
【解答】解： ．施加拉力 前，以小环 为对象，受到轻绳2的拉力等于物块 的重力 ，竖直方
向根据受力平衡可得
解得轻绳1的张力大小为
27故 错误；
．物块在缓慢移动过程中，以小环 为对象，由于小环 两侧轻绳1的张力大小总是相等，则小环
两侧轻绳1的张力合力沿 平分线上，根据受力平衡可知，轻绳2的延长线始终平分 ，故
正确；
．物块在缓慢移动过程中，以物块为对象，根据受力平衡可得
则
轻绳2与竖直方向的夹角 逐渐增大，可知轻绳2的张力越来越大，故 正确；
．物块在缓慢移动过程中，由于 、 之间的轻绳1长度不变， 、 为椭圆的两个焦点；当轻绳2
与 连线方向垂直时，小环 刚好位于椭圆的短轴顶点上，根据椭圆知识可知此时 最大，则此
过程 逐渐增大，以小环 为对象可得
则
可知此过程轻绳1的张力一直增大，故 正确。
故选： 。
【点评】本题考查了物体的平衡条件的基本应用，受力分析后要明确哪些力的大小不变，写出表达式即
可求解。
2814．（2024•茂名一模）某同学上网课时把平板放在倾角为 的斜面上，平板质量为 ，平板处于静
止状态，示意图如图所示，重力加速度 取 ，下列说法正确的是
A．斜面对平板的支持力方向竖直向上
B．斜面对平板的支持力小于平板所受的重力
C．斜面对平板的摩擦力大小是 ，方向沿斜面向下
D．斜面对平板的作用力竖直向上
【答案】
【考点】共点力的平衡问题及求解
【专题】定量思想；共点力作用下物体平衡专题；推理能力；推理法
【分析】分析手机的受力情况，根据平衡条件分析判断；根据三力平衡分析判断。
【解答】解： ．设手机的质量为 ，斜面倾角为 。对平板进行受力分析，支持力方向垂直斜面向上，
如图所示
根据平衡条件可知，斜面对平板的支持力小于平板所受的重力，故 错误， 正确；
．由图可知，平板受到的摩擦力方向沿斜面向上，根据平衡条件则有
静摩擦力等于平板重力沿斜面向下的分力，故 错误；
．斜面对平板的作用力是支持力和摩擦力的合力，由共点力平衡条件知；斜面对平板的作用力和重力
的方向相反，为竖直向上，故 正确。
故选： 。
【点评】本题关键掌握受力分析的方法和共点力平衡的条件。
15．（2024•泰安三模）间距为 的两根固定的竖直杆间有一根腔衣绳，晾衣绳两端等高，长度为
且不可伸长。将一件衣服通过晾衣架挂在晾衣绳上，衣架能沿晾衣绳自由滑动，衣架挂钩和晾衣绳之间
29的摩擦力忽略不计。无风时，衣服和衣架的悬挂点刚好位于晾衣绳的中间位置，如图甲所示；有风时，
有水平向右的风作用在衣服上，稳定后衣架悬挂点两侧的晾衣绳刚好垂直，如图乙所示。已知衣服和衣
架的总质量为 ，重力加速度 取 ，风对晾衣绳的作用力忽略不计，则下列说法正确的是
A．无风时，晾衣绳中的拉力大小为
B．有风时，晾衣绳中的拉力大小为
C．有风时，风对衣服的作用力大小为
D．有风时，晾衣绳对衣架的作用力大小为
【答案】
【考点】共点力的平衡问题及求解；力的合成与分解的应用
【专题】推理法；分析综合能力；定量思想；受力分析方法专题
【分析】根据几何关系，结合受力分析可求出各个选项的受力情况。
【解答】解： 、无风时，设悬挂点两侧的晾衣绳与竖直方向的夹角为 ，由几何关系可知 ，
，对悬挂点受力分析，可知 ，解得 ，故 错误；
、有风时，设悬挂点左侧的晾衣绳长度为 ，右侧长度为 ，因为衣架悬挂点两侧的晾衣绳刚好垂直，
则根据勾股定理有 ， 十 ，解得 ， ，设左侧晾衣绳与竖直方向的
夹角为 ，右侧晾衣绳与竖直方向的夹角为 ，由几何关系可知 ， ，设此时细线中
的拉力大小为 ，对悬挂点受力分析，竖直方向有 ，解得 ，故 正确；
、水平方向有 ，解得 ，故 正确；
30、衣服和衣架稳定后，晾衣绳对其作用力大小等于其重力和风力的矢量和，则 ，解得
，故 错误。
故选： 。
【点评】学生在解答本题时，应注意对于受力分析问题，要与几何关系结合起来。
16．（2024•沈河区校级模拟）如图所示，质量为 的小球用一轻绳竖直悬吊于 点。现用一光滑的金属
挂钩向右缓慢拉动轻绳至虚线位置，在此过程中，下列说法正确的是
A．挂钩对轻绳的作用力不断变大
B．轻绳上的张力先变大后变小
C．轻绳对挂钩的作用力方向始终水平向左
D．挂钩对轻绳的作用力大小不可能为
【答案】
【考点】力的合成与分解的应用；共点力的平衡问题及求解
【专题】定量思想；应用数学处理物理问题的能力；共点力作用下物体平衡专题；推理法
【分析】 、挂钩向右缓慢拉动轻绳，则小球处于动态平衡状态，由竖直方向平衡方程可求绳对小球的
拉力大小，一根绳上的张力大小处处相等。
、挂钩与轻绳的接触点处于动态平衡状态，对该点受力分析，列出平衡方程，结合角度变化，可判断
挂钩对轻绳的作用力变化情况。
、轻绳对挂钩的作用力与 等大反向，根据 的方向，可确定轻绳对挂钩的作用力方向。
、画出挂钩与轻绳接触点的受力矢量三角形，根据三角形知识可判断挂钩对轻绳的作用力大小与
的关系。
【解答】解： 、挂钩向右缓慢拉动轻绳，则小球处于动态平衡状态，则绳对小球的拉力大小始终为：
即绳上的张力大小始终为：
故 错误；
31、设挂钩与轻绳的接触点为 ，挂钩对轻绳的作用力为 ，与竖直方向夹角为 ，上端轻绳与竖直方
向夹角为 ，则 点处于动态平衡状态， 点受力如图一，三个力恰好构成闭合的矢量三角形，如图二。
对 点，由竖直方向平衡方程有：
即：
逐渐增大，则 逐渐减小， ，所以 ，则 ，且 逐渐增大，故 正确；
、轻绳对挂钩的作用力与 等大反向， 与竖直方向夹角为固定值 ，则轻绳对挂钩的作用力方向指
向左下方，故 错误；
、根据图二，结合三角形知识，可知：
即：
故 正确。
故选： 。
【点评】解答本题，关键要把握绳上的张力大小始终不变，根据平衡方程，角度变化，三角形知识可解。
17．（2024•东湖区校级三模）如图所示，半圆环竖直固定在水平地面上，光滑小球套在半圆环上。对小
球施加一始终指向半圆环最高点 的拉力 ，使小球从圆环最低点 缓缓移动到最高点 。下列说法正
确的是
A．拉力 一直减小
B．拉力 先增大后减小
C．小球对圆环的压力大小始终不变
D．小球对圆环的压力先增大后减小
【答案】
【考点】力的合成与分解的应用；相似三角形法解决动态平衡问题
32【专题】定性思想；共点力作用下物体平衡专题；图析法；理解能力
【分析】对小球受力分析，作出力的平行四边形，由相似三角形知识可求得拉力及压力的变化情况．
【解答】解：小球受力如图所示
根据相似三角形法可得
从圆环最低点 缓缓移动到最高点 过程中，小球与 点间的距离 逐渐减小，则拉力 减小， 的大
小不变，根据牛顿第三定律可得小球对圆环的压力大小始终不变，故 正确， 错误。
故选： 。
【点评】本题考查共点力平衡条件的动态分析问题，注意使用了相似三角形法；而此类方法在处理共点
力的动态平衡时较为常见，当题目无法找到直角时，应考虑应用此法．
三．填空题（共3小题）
18．（2024•三明模拟）如图，一橡皮擦置于长塑料直尺的一端，现将直尺沿桌面缓慢向外移动，二者始
终保持相对静止，在此过程中，直尺弯曲程度变大，橡皮擦对直尺的压力 减小 （选填“增大”、
“减小”或“不变” ，橡皮擦所受的摩擦力 （选填“增大”、“减小”或“不变” ，直尺对橡
皮擦的作用力方向为 。
【答案】减小；增大；竖直向上。
【考点】牛顿第三定律的理解与应用；共点力的平衡问题及求解；力的合成与分解的应用
【专题】定性思想；理解能力；学科综合题；应用题；合成分解法；共点力作用下物体平衡专题
【分析】根据对物块的受力分析，结合几何关系分析出橡皮擦受到的支持力与摩擦力的变化情况；根据
牛顿第三定律可知，作用力与反作用力大小相等，方向相反，根据平衡条件可分析直尺对橡皮擦的作用
力方向。
33【解答】解：将橡皮擦所在位置等效为沿塑料尺切线方向的一个斜面，斜面倾角为 ，对橡皮擦进行分
析，如图所示：
则由平衡条件可得： ， ，根据牛顿第三定律可知：橡皮擦对尺子的压力的大小
为： ，在橡皮擦离桌边越来越远时，塑料尺也越来越弯曲的过程中，等效斜面倾角 逐渐增大，
可知 增大， 减小，即橡皮擦对尺子的压力减小，尺子对橡皮擦的摩擦力增大，橡皮擦对尺子的合力
不变，大小等于橡皮擦的重力，与重力二力平衡，所以直尺对橡皮擦的作用力方向竖直向上。
故答案为：减小；增大；竖直向上。
【点评】本题关键是会建立物理模型，写出摩擦力、压力的表达式，结合平衡条件、牛顿第三定律分析
解题。
19．（2023•蕉城区校级一模）如图所示，物体 、 的质量 ， ， 与 、 与地面
之间的动摩擦因数都为 ，在外力 作用下， 和 一起匀速运动，则地面对 的摩擦力的大小是
70 ； 对 的摩擦力的大小是 。 取
【答案】70，35。
【考点】判断是否存在摩擦力
【专题】整体法和隔离法；摩擦力专题；定量思想；推理能力
【分析】根据整体与隔离来分别进行受力分析，依据牛顿第二定律，与滑动摩擦力的公式，即可求解。
【解答】解：因为 、 一起在地面上运动，所以 与 间是静摩擦力，而 与地面间是滑动摩擦力，
所以有：
34对 、 整体受力分析，根据共点力平衡条件得
对 物体有
其中 为绳的拉力，大小为
根据牛顿第三定律得， 对 的摩擦力为
故答案为：70，35。
【点评】对于摩擦力的分析，首先要明确物体受到的是滑动摩擦力还是静摩擦力，然后才能根据各自的
性质进行分析运算。
20．（2022•闵行区校级模拟）如图所示，在竖直平面的固定光滑圆轨道的最高点有一个光滑的小孔，质
量为 的小环套在圆轨道上，用细线通过小孔系在环上，缓慢拉动细线，使环沿轨道上移，在移动过程
中拉力 和轨道对小环的作用 的大小变化情况分别为： 减小 ， （均选填“增大”、
“减小”、“不变”、“先增大后减小”或“先减小后增大等）．
【答案】减小，不变
【考点】力的合成与分解的应用；解析法求共点力的平衡
【专题】推理能力；定量思想；共点力作用下物体平衡专题；推理法
【分析】对小球受力分析，作出力的平行四边形，同时作出 与半径组成的图象；则可知两三角形相似，
故由相似三角形知识可求得拉力及支持力．
【解答】解：小球沿圆环缓慢上移可看作匀速运动，对小球进行受力分析，小球受重力 ， ， ，三
个力。满足受力平衡。作出受力分析图如图所示。
由图可知
即： ，
当 点上移时，半径不变， 长度减小，故 减小， 不变；
故答案为：减小，不变
35【点评】相似三角形法在处理共点力的动态平衡时较为常见，当无法准确得出角边关系时，应考虑应用
此法．
四．解答题（共5小题）
21．（2024•佛山二模）如图，两工人在安装一园林石牌时，通过绳子对石牌同时施加大小相等、方向与
竖直方向成 的力 ，使石牌恰好离开水平地面并保持静止，然后突然一起发力把石牌拉起准备安装到
预设位置。当石牌运动到离地面 处时，两条绳子同时断裂。石牌继续上升 后自由下落。
已知石牌质量 ，取重力加速度 ， ， ，忽略空气阻力，求：
（1） 的大小；
（2）从绳断裂到石牌恰好接触地面的时间。
【答案】（1） 的大小为 ；
（2）从绳断裂到石牌恰好接触地面的时间为 。
【考点】力的合成与分解的应用；共点力的平衡问题及求解；竖直上抛运动的规律及应用
【专题】推理能力；推理法；定量思想；共点力作用下物体平衡专题；计算题
【分析】（1）对石碑受力分析，根据平衡条件求解 的大小；
（2）根据运动学公式求解石碑上升和下落的时间，最后求解从绳断裂到石牌恰好接触地面的总时间。
【解答】解：（1）石牌恰好离开水平地面并保持静止，对石碑受力分析如图所示
36根据平衡条件有
解得
；
（2）根据运动学公式，上升过程有
下落过程有
故从绳断裂到石牌恰好接触地面的时间为
代入数据联立解得
。
答：（1） 的大小为 ；
（2）从绳断裂到石牌恰好接触地面的时间为 。
【点评】本题考查共点力作用下的平衡问题，要求学生能正确选择研究对象，受力分析，根据平衡条件
列式解题。
22．（2024•浑南区校级模拟）中国的歼 战斗机是一款全球领先的战机，它不仅拥有高超的隐身性、
机动性，还具有强大火力、信息化和网络化能力，能够在复杂的空战环境中发挥重要的作用。设总重力
为 的战斗机正沿着与水平方向成 角的直线匀速向上攀升，牵引力 的方向位于速度方向与竖直方向
之间、与速度方向成 角，升力与速度方向垂直，飞机受到的阻力等于升力的 倍，阻力方向与速度方
向相反，如果飞机受到的这几个力的作用线相交于一点，求：
37（1）飞机受到的升力 的大小；
（2）牵引力 的大小。
【答案】（1）飞机受到的升力 的大小为 ；
（2）牵引力 的大小 。
【考点】共点力的平衡问题及求解；力的合成与分解的应用
【专题】计算题；定量思想；方程法；分析综合能力；共点力作用下物体平衡专题
【分析】（1）（2）画出飞机飞行时受力示意图，在飞机飞行速度方向和垂直于飞行速度方向上列平衡
方程联立求解。
【解答】解：飞机在空中匀速运动过程受力情况如图所示
（1）（2）沿飞机飞行时速度与垂直速度方向建立坐标系，根据平衡条件有
又
联立解得
答：（1）飞机受到的升力 的大小为 ；
（2）牵引力 的大小 。
38【点评】考查物体的平衡问题，会根据题意画出受力图，结合平衡条件列方程求解相应物理量。
23．（2024•辽宁模拟）如图（a）所示，间距为 的两颗钉子固定在相同高度处，将一根长为 、不可伸
长的轻质细绳和一根原长也为 、劲度系数为 的轻质橡皮筋的两端连在一起挂在钉子上，用挂钩将一重
物挂在细绳上，平衡时挂钩位于细绳中点且细绳之间的夹角 ，橡皮筋始终未超出弹性限度，不计
一切摩擦，重力加速度为 。
（1）求重物的质量；
（2）将第三颗钉子钉在两颗钉子中点处，并撤去两端钉子，将橡皮筋和细绳看作新的“弹性皮筋”，如
图（b）所示，求此“弹性皮筋”的劲度系数。
【答案】（1）重物的质量为 ；
（2）“弹性皮筋”的劲度系数为 。
【考点】胡克定律及其应用；共点力的平衡问题及求解
【专题】定量思想；弹力的存在及方向的判定专题；推理法；分析综合能力
【分析】（1）根据受力分析，结合竖直方向受力平衡可求出质量；
（2）根据胡克定律和受力平衡可求出劲度系数。
【解答】解：（1）由题意，橡皮筋形变量为，绳子拉力
受力分析如图所示
根据平衡条件得
解得
39（2）此时橡皮筋的形变量记为 ，则有
设新的“弹性皮筋”的劲度系数为 ，则有
解得
答：（1）重物的质量为 ；
（2）“弹性皮筋”的劲度系数为 。
【点评】学生在解答本题时，应注意受力分析过程中不要丢力少力，并熟练掌握力的正交分解。
24．（2024•顺庆区校级模拟）如图所示，对称、相同粗糙程度的斜面与竖直方向夹角 ，硬质轻杆
通过光滑铰链与两个相同且质量为 的物块 、 相连， 、 对称放在斜面上，一质量
的物体通过轻绳悬挂在铰链 上，对称调节 、 的位置，使杆与斜面垂直，整个装置处于平
衡状态，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力， ， ， ，可能用到的数学公
式 ， 。
（1）求杆对物块 的作用力大小；
（2）求物块与斜面间动摩擦因数的最小值；
（3）若斜面光滑，对称调节 、 的位置，使整个装置仍处于平衡状态，求此时杆与水平方向夹角的正
切值。
【答案】（1）杆对物块 的作用力为 ；
（2）物块与斜面间动摩擦因数的最小值为 ；
（3）此时杆与水平方向夹角的正切值为 ．
40【考点】力的合成与分解的应用；共点力的平衡问题及求解
【专题】应用数学处理物理问题的能力；分析综合能力；共点力作用下物体平衡专题；整体法和隔离法；
计算题；定量思想
【分析】（1）对 点受到的绳子的拉力沿两个杆的方向进行分解，即可求得杆对物块 的作用力。
（2）以 为研究对象，对其进行受力分析，分别沿杆的方向和斜面的方向进行列式，即可求得物块与斜
面间动摩擦因数的最小值。
（3）斜面光滑， 处于静止状态，说明这两个物体受力处于平衡状态，对 进行受力分析，设出杆与
水平方向的夹角，沿斜面方向上列式，结合数学知识即可求得此时杆与水平方向夹角的正切值。
【解答】解：（1）对 点进行受力分析，如图1，设 为杆的弹力，受绳子的拉力和两个轻杆的弹力而
处于平衡状态，对绳子的拉力沿杆的方向进行分解，有：
所以杆对 的作用力为
（2）对 进行受力分析，受重力 、支持力 、杆的压力 和摩擦力 作用，如图2所示．当最大静
摩擦力与重力在斜面上的分力大小相等时，动摩擦因数有最小值，设为
沿杆的方向上有：
沿斜面方向有：
又因为
41联立并代入数据解得：
（3）斜面光滑，对称调节 、 的位置，使整个装置仍处于平衡状态，对滑块 进行受力分析，受重力
受重力 ，斜面的支持力 ，杆的压力 处于静止状态，如图3所示．
把重力 与杆的压力 分别沿斜面方向上分解，由物体 处于静止状态可知这两个力的分力大小相等，
设杆与水平方向夹角为 ，
结合几何关系，在沿斜面方向上有：
由牛顿第三定律可知，杆的压力 等于质量为 的物体受到的重力沿杆的方
向上的分量，所以有：
联立以上两式解得：
答：（1）杆对物块 的作用力为 ；
（2）物块与斜面间动摩擦因数的最小值为 ；
42（3）此时杆与水平方向夹角的正切值为 ．
【点评】该题主要是考查了连接体的受力的分析以及物体平衡的条件，对于此类问题，首先要注意正确
的选取研究对象，并能正确的对其进行受力分析，要明确相连接的各物体间的相互作用的情况，注意整
体法与隔离体法的选择。该题还有一个难点就是三角函数的知识在物理学中的应用。所以要求学生要熟
练的掌握相关的数学知识。该题是难度较大一道题。
25．（2023•合肥一模）如图所示，某校门口水平地面上有一质量为 的石墩，石墩与水平地面间的
动摩擦因数为 ，工作人员用轻绳按图示方式缓慢移动石墩，此时两轻绳平行，重力加速度 取
。求：
（1）若轻绳与水平面的夹角 为 ，轻绳对石墩的总作用力大小；
（2）轻绳与水平面的夹角为多大时，轻绳对石墩的总作用力最小，并求出该值。
【答案】（1）若轻绳与水平面的夹角 为 ，轻绳对石墩的总作用力大小为 ；
（2）轻绳与水平面的夹角为 时，轻绳对石墩的总作用力最小为 。
【考点】共点力的平衡问题及求解；力的合成与分解的应用
【专题】共点力作用下物体平衡专题；定量思想；推理法；推理能力
【分析】（1）对石墩受力分析，由平衡条件解答；
（2）根据数学方法解得拉力的最小值。
【解答】解：（1）对石墩受力分析，如图所示：
由平衡条件可知
43联立代入数据解得
（2）根据（1）可解得
其中 ，可知 ，可知当 ，即 ，拉力有最小值
解得：
答：（1）若轻绳与水平面的夹角 为 ，轻绳对石墩的总作用力大小为 ；
（2）轻绳与水平面的夹角为 时，轻绳对石墩的总作用力最小为 。
【点评】本题考查共点力平衡条件的应用，解题关键掌握受力分析，注意利用三角函数求极值数学方法。
44考点卡片
1．竖直上抛运动的规律及应用
【知识点的认识】
1．定义：物体以初速度v 竖直向上抛出后，只在重力作用下而做的运动，叫做竖直上抛运动。
0
2．特点：
（1）初速度：v ≠0；
0
（2）受力特点：只受重力作用（没有空气阻力或空气阻力可以忽略不计）；
（3）加速度：a＝g，其大小不变，方向始终竖直向下。
3．运动规律：
取竖直向上的方向为正方向，有：
v＝v ﹣gt，
t 0
h＝v t﹣ gt2，
0
﹣ ＝2gh；
4．几个特征量：
（1）上升的最大高度h ＝ ；
max
（2）质点在通过同一高度位置时，上升速度与下落速度大小相等；上升到最大高度处所需时间t上 和从最
高处落回到抛出点所需时间相等t下 ，t上 ＝t下 ＝ 。
【命题方向】
例1：某物体以30m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10m/s2．5s内物体的（ ）
A．路程为65m
B．位移大小为25m，方向向上
C．速度改变量的大小为10m/s
D．平均速度大小为13m/s，方向向上
分析：竖直上抛运动看作是向上的匀减速直线运动，和向下的匀加速直线运动，明确运动过程，由运动
学公式即可求出各物理量。
45解答：由v＝gt可得，物体的速度减为零需要的时间t＝ ＝ s＝3s，故5s时物体正在下落；
A、路程应等于向上的高度与后2s内下落的高度之和，由v2＝2gh可得，h＝ ＝45m，后两s下落的高
度h'＝ gt′2＝20m，故总路程s＝（45+20）m＝65m；故A正确；
B、位移h＝v t﹣ gt2＝25m，位移在抛出点的上方，故B正确；
0
C、速度的改变量△v＝gt＝50m/s，方向向下，故C错误；
D、平均速度v＝ ＝ ＝5m/s，故D错误。
故选：AB。
点评：竖直上抛运动中一定要灵活应用公式，如位移可直接利用位移公式求解；另外要正确理解公式，
如平均速度一定要用位移除以时间；速度变化量可以用△v＝at求得。
例2：在竖直的井底，将一物块以11m/s的初速度竖直向上抛出，物体冲出井口再落回到井口时被人接住，
在被人接住前1s内物体的位移是4m，位移方向向上，不计空气阻力，取g＝10m/s2．求：
（1）物体从抛出点到被人接住所经历的时间；
（2）竖直井的深度。
分析：竖直上抛运动的处理方法有整体法和分段法，要求路程或上升的最大高度时一般用分段法，此题
可以直接应用整体法进行求解。
解答：（1）设最后1s内的平均速度为
则： m/s
平均速度等于中间时刻的瞬时速度，即接住前0.5s的速度为v ＝4m/s
1
设物体被接住时的速度为v ，
2
则v ＝v ﹣gt得：v ＝4+10×0.5＝9m/s，
1 2 2
则物体从抛出点到被人接住所经历的时间t＝ +1＝ +1＝1.2s；
（2）竖直井的深度即抛出到接住物块的位移，则
h＝v t﹣ gt2＝11×1.2﹣ ×10×1.22＝6m。
0
答：（1）物体从抛出点到被人接住所经历的时间为1.2s
46（2）竖直井的深度为6m。
点评：竖直上抛运动的处理方法有整体法和分段法，要求路程或上升的最大高度时一般用分段法，此题
只有竖直向上的匀减速运动，直接应用整体法求解即可。
【解题方法点拨】
1．竖直上抛运动的两种研究方法：
（1）分段法：上升阶段是匀减速直线运动，下落阶段是自由落体运动，下落过程是上升过程的逆过程。
（2）整体法：从全程来看，加速度方向始终与初速度v 的方向相反，所以可把竖直上抛运动看成一个匀
0
变速直线运动，要特别注意v 、v、g、h等矢量的正、负号。一般选取竖直向上为正方向，v 总是正值，
0 t 0
上升过程中v 为正值，下落过程中v 为负值；物体在抛出点以上时h为正值，物体在抛出点以下时h为负
t t
值。
住：竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段具有对称性：①速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速
度等大、反向；②时间对称：上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等。
2．胡克定律及其应用
【知识点的认识】
1．弹力
（1）定义：发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，对跟它接触的物体产生的力叫弹力．
（2）弹力的产生条件：①弹力的产生条件是两个物体直接接触，②并发生弹性形变．
（3）弹力的方向：力垂直于两物体的接触面．
①支撑面的弹力：支持力的方向总是 垂直 于支撑面，指向被支持的物体；压力总是垂直于支撑面指
向被压的物体．
点与面接触时弹力的方向：过接触点垂直于接触面．
球与面接触时弹力的方向：在接触点与球心的连线上．
球与球相接触的弹力方向：垂直于过接触点的公切面．
②弹簧两端的弹力方向：与弹簧中心轴线重合，指向弹簧恢复原状的方向．其弹力可为拉力，可为压力．
③轻绳对物体的弹力方向：沿绳指向绳收缩的方向，即只为拉力．
2．胡克定律
弹簧受到外力作用发生弹性形变，从而产生弹力．在弹性限度内，弹簧弹力 F的大小与弹簧伸长（或缩
短）的长度x成正比．即F＝kx，
其中，劲度系数k的意义是弹簧每伸长（或缩短）单位长度产生的弹力，其单位为N/m．它的大小由制作
弹簧的材料、弹簧的长短和弹簧丝的粗细决定．x则是指形变量，应为形变（包括拉伸形变和压缩形变）
后弹簧的长度与弹簧原长的差值．
47注意：胡克定律在弹簧的弹性限度内适用．
3．胡克定律的应用
（1）胡克定律推论
在弹性限度内，由F＝kx，得F ＝kx ，F ＝kx ，即F ﹣F ＝k（x ﹣x ），即：△F＝k△x
1 1 2 2 2 1 2 1
即：弹簧弹力的变化量与弹簧形变量的变化量（即长度的变化量）成正比．
（2）确定弹簧状态
对于弹簧问题首先应明确弹簧处于“拉伸”、“压缩”还是“原长”状态，并且确定形变量的大小，从
而确定弹簧弹力的方向和大小．如果只告诉弹簧弹力的大小，必须全面分析问题，可能是拉伸产生的，
也可能是压缩产生的，通常有两个解．
（3）利用胡克定律的推论确定弹簧的长度变化和物体位移的关系
如果涉及弹簧由拉伸（压缩）形变到压缩（拉伸）形变的转化，运用胡克定律的推论△F＝k△x可直接求
出弹簧长度的改变量△x的大小，从而确定物体的位移，再由运动学公式和动力学公式求相关量．
【命题方向】
（1）第一类常考题型是考查胡克定律：
一个弹簧挂30N的重物时，弹簧伸长1.2cm，若改挂100N的重物时，弹簧总长为20cm，则弹簧的原长为
（ ）
A．12cm B．14cm C．15cm D．16cm
分析：根据胡克定律两次列式后联立求解即可．
解：一个弹簧挂30N的重物时，弹簧伸长1.2cm，根据胡克定律，有：F ＝kx ；
1 1
若改挂100N的重物时，根据胡克定律，有：F ＝kx ；
2 2
联立解得：k＝ ；
x ＝ ；
2
故弹簧的原长为：x ＝x﹣x ＝20cm﹣4cm＝16cm；
0 2
故选D．
点评：本题关键是根据胡克定律列式后联立求解，要记住胡克定律公式中F＝k•△x的△x为行变量．
（2）第二类常考题型是考查胡克定律与其他知识点的结合：
如图所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一个质量为m 的平盘，盘中有一物体，质量为m，当盘静止
0
时，弹簧的长度比其自然长度伸长了l，今向下拉盘，使弹簧再伸长△l后停止，然后松手，设弹簧总处
在弹性限度内，则刚松手时盘对物体的支持力等于（ ）
48A. B. C. D.
分析：根据胡克定律求出刚松手时手的拉力，确定盘和物体所受的合力，根据牛顿第二定律求出刚松手
时，整体的加速度．再隔离物体研究，用牛顿第二定律求解盘对物体的支持力．
解：当盘静止时，由胡克定律得（m+m ）g＝kl ①
0
设使弹簧再伸长△l时手的拉力大小为F
再由胡克定律得 F＝k△l ②
由①②联立得 F＝
刚松手瞬时弹簧的弹力没有变化，则以盘和物体整体为研究对象，所受合力大小等于F，方向竖直向上．
设刚松手时，加速度大小为a，
根据牛顿第二定律得 a＝ ＝
对物体研究：F ﹣mg＝ma
N
解得 F ＝（1+ ）mg
N
故选A．
点评：点评：本题考查应用牛顿第二定律分析和解决瞬时问题的能力，这类问题往往先分析平衡状态时
物体的受力情况，再分析非平衡状态时物体的受力情况，根据牛顿第二定律求解瞬时加速度．
【解题方法点拨】
这部分知识难度中等、也有难题，在平时的练习中、阶段性考试中会单独出现，选择、填空、计算等等
出题形式多种多样，在高考中不会以综合题的形式考查的，但是会做为题目的一个隐含条件考查．弹力
的有无及方向判断比较复杂，因此在确定其大小和方向时，不能想当然，应根据具体的条件或计算来确
定．
3．劲度系数及其特点
【知识点的认识】
1.劲度系数k的意义是弹簧每伸长（或缩短）单位长度产生的弹力，其单位为N/m．
492.它的大小由制作弹簧的材料决定。
3.生活中说有的弹簧“硬”，有的弹簧“软”，指的就是它们的劲度系数不同。
【命题方向】
在弹性限度内，一根弹簧受到50N的压力，其长度压缩了0.2m，则其劲度系数为 ．
分析：胡克定律是：F＝kx，其中F是弹力，k是劲度系数，x是形变量，找到各个数据代入即可．
解答：当弹力F＝50N时，形变量x＝0.2m
代入胡克定律是：F＝kx得：
50＝k×0.2
解得：k＝250N/m
故答案为：250N/m
点评：定律的基本应用，只需要找到所需要的物理量代入胡克定律即可．
【解题思路点拨】
测定了弹簧形变量对应的位移后就可以根据胡克定律求解弹簧的劲度系数。
4．判断是否存在摩擦力
【知识点的认识】
1.考点意义：有很多题目会综合考查摩擦力的相关知识，不区分静摩擦力和滑动摩擦力，所以设置本考点。
2.对于是否存在摩擦力可以按以下几个方法判断：
①条件法：根据摩擦力的产生条件进行判断。
a、接触面粗糙；b、两物体间存在弹力；c、有相对运动或相对运动的趋势。
②假设法：假设有或者没有摩擦力，判断物体运动状态是否会改变。
【命题方向】
如图，长方体甲乙叠放在水平地面上．水平力F作用在甲上，使甲乙一起向右做匀速直线运动（ ）
A、甲、乙之间一定有摩擦力
B、水平地面对乙没有摩擦力
C、甲对乙的摩擦力大小为F，方向水平向右
D、水平地面对乙的摩擦力大小为F．方向水平向右
分析：首先对甲、乙的整体进行分析，根据平衡力的知识得出乙与地面间的摩擦力；以甲为研究对象，
进行受力分析，得出甲与乙之间的摩擦力．
50解答：A、以甲为研究对象，由于做匀速直线运动，所以受力平衡，水平方向受向右的拉力F，所以受乙
对其向左的摩擦力，故A正确；
B、以甲、乙的整体为研究对象，由于受向右的拉力作用，所以还受向左的摩擦力作用，B错误；
C、由A知，甲受乙对其向左的摩擦力，根据力的作用的相互性，所以甲对乙向右的摩擦力作用，故C正
确；
D、由B知，水平地面对乙的摩擦力大小为F，方向水平向左，故D错误。
故选：AC。
点评：本题关键正确选择研究对象，然后再根据两物体及整体处于平衡状态，由平衡条件分析受力情况
即可．
【解题思路点拨】
对物体受力的判断常采用的方法之一就是假设法，假设物体受或不受某力会使物体的运动状态发生变化
那么假设不成立。
5．正交分解法
【知识点的认识】
1．力的分解
（1）力的分解定义：已知一个力求它的分力的过程叫力的分解．
（2）力的分解法则：满足平行四边形定则．
2．正交分解法
将一个力（矢量）分解成互相垂直的两个分力（分矢量），即在直角坐标系中将一个力（矢量）沿着两
轴方向分解，如果图中F分解成F 和F ，它们之间的关系为：
x y
Fx＝F•cos ，①
Fy＝F•sinφ，②
φ
F＝ ，③
tan ＝ ，④
φ
51正交分解法是研究矢量常见而有用的方法，应用时要明确两点，
①x轴、y轴的方位可以任意选择，不会影响研究的结果，但若方位选择的合理，则解题较为方便：
②正交分解后，F 在y轴上无作用效果，F 在x轴上无作用效果，因此F 和F 不能再分解．
x y x y
【命题方向】
如图所示，帆板船的帆与船身成37°角，今有垂直于帆，大小为500N的风力作用于帆面上，则船在前进
方向上获得的推力为 N，在船的侧面所受的推力为 N。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
分析：将风吹帆的力分解成沿船前进的方向与垂直前进的方向，运用力的平行四边形定则，可求出这两
个分力大小．
解答：将力F进行分解，如图所示
则有：F ＝Fsin37°＝500×0.6N＝300N
1
F ＝Fcos37°＝500×0.8N＝400N
2
故答案为：300N，400N.
点评：考查应用平行四边形定则将力进行分解，运用三角函数列出等式．注意夹角的确定，同时风吹帆
的力垂直于帆．
【解题思路点拨】
正解分解法的步骤如下：
1.建立直角坐标系，一般有两种：
①沿水平方向的直角坐标系
②沿斜面方向的直角坐标系
要根据具体的问题选择建立。
2.正交分解：从力分别投影到x轴和y轴上。
523.分力的表示：通过三角函数，表示出分力的大小。
6．力的分解过程中多解和极值的问题
【知识点的认识】
1.两个已知的力求合力，根据平行四边形定则可知，合力是唯一确定的。而给出合力，求分力的时候，可
以分解出无数个平行四边形，所以有无数组解。而如果在分解时加以限制，分力的情况也会有所不同。
2.已知两分力求合力有唯一解，而求一个力的两个分力，如不限制条件有无数组解，如图（a）所示，力
F可在不同方向上进行分解．
要得到唯一确定的解应附加一些条件：
①已知合力和两个分力的方向，可求得两个分力的大小．
图（b）所示把已知合力F分解成沿OA、OB方向的两个分力，可从F的矢端作OA、OB的平行线，画出
力的平行四边形得两分力F 、F ．
1 2
②已知合力和一个分力的大小、方向，可求得另一个分力的大小和方向．
如图（c）已知合力F、分力F ，则连接合力F和分力F 的矢端，即可作出力的平行四边形得另一分力
1 1
F ．
2
③已知合力、一个分力F 的方向与另一分力F 的大小，求F 的大小和F 的方向（无解、有一组解或两
1 2 1 2
组解）．
如上图所示，已知力F、 （F 与F的夹角）和F 的大小，这时有四种情况，下面采用图示法和三角形知
1 2
识进行分析，从力F的端α点O作出分力F 的方向，以F的矢端为圆心，用分力F 的大小为半径作圆．
1 2
a．当F ＜Fsin 时，圆与F 无交点，说明此时无解，如图（a）所示．
2 1
b．当F
2
＝Fsinα时，圆与F
1
相切，此时有一解，如图（b）所示．
c．当F≥F
2
＞Fαsin 时，圆与F
1
有两个交点，此时有两解，如图（c）所示．
d．当F
2
＞F时，圆α与F
1
作用线只有一个交点，此时只有一解，如图（d）所示．
53【命题方向】
一、求分力的最小值
物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使合力沿着OO′方向，如图所示，则必须同
时再加一个力F′，如F和F′均在同一水平面上，则这个力的最小值为（ ）
A、Fcos B、Fsin C、Ftan D、Fcot
分析：合θ力沿着OO′方θ向，根据三角θ形定则，可以θ求出此时最小的力F′。
解答：由F做OO′的垂线，此时的F′就是最小值，再由三角形的知识可以求得最小值为Fsin ，所以B
正确。 θ
故选：B。
点评：本题考查了分力与合力的关系，应用三角形定则可以较简便的解决这一类的问题。
二、讨论解的个数
分解一个力时，若已知一个分力的大小和另一个分力的方向，且合力与两个分力的夹角均不为零，则分
解结果是（ ）
A、只有唯一组解 B、一定有两组解 C、可能有无数组解 D、可能有两组解
分析：已知合力的大小为F，一个分力的方向已知，与F成 夹角，另一个分力的最小值为Fsin ，由一
个分力的大小与最小值大小进行比较，并根据三角形定则可知θ分解的组数． θ
解答：已知一个分力有确定的方向，与F成 夹角，知另一个分力的最小值为Fsin ，
而另一个分力大小大于Fsin ，而小于F，所θ以分解的组数有两组解。 θ
若另一个分力大小小于Fsinθ，所以分解的组数无解。
若另一个分力大小等于Fsinθ，所以分解的组数有一组解。故D正确，A、B、C错误；
故选：D。 θ
点评：解决本题的关键知道合力和分力遵循平行四边形定则，知道平行四边形定则与三角形定则的实质
是相同的．
54【解题思路点拨】
力的分解问题，无论是讨论解的个数，还是最小值，最好借助图像，通过三角形定则进行处理，会比较
形象直观。同时要注意一个小规律，一般最小值都出现在垂直的情况。
7．力的合成与分解的应用
【知识点的认识】
本考点针对比较复杂的题目，题目涉及到力的合成与分解的综合应用。
【命题方向】
假期里，一位同学在厨房里协助妈妈做菜，对菜刀发生了兴趣．他发现菜刀的刀刃前部和后部的厚薄不
一样，刀刃前部的顶角小，后部的顶角大（如图所示），下列有关刀刃的说法合理的是（ ）
A、刀刃前部和后部厚薄不匀，仅是为了打造方便，外形美观，跟使用功能无关
B、在刀背上加上同样的压力时，分开其他物体的力跟刀刃厚薄无关
C、在刀背上加上同样的压力时，顶角越大，分开其他物体的力越大
D、在刀背上加上同样的压力时，顶角越小，分开其他物体的力越大
分析：根据力的平行四边形定则可知，相同的压力下，顶角越小，分力越大；相同的顶角下，压力越大
分力越大．
解答：把刀刃部分抽象后，可简化成一个等腰三角劈，设顶角为2 ，背宽为d，侧面长为l，如图乙所示
θ
当在劈背施加压力F后，产生垂直侧面的两个分力F 、F ，使用中依靠着这两个分力分开被加工的其他
1 2
物体。由对称性知，这两个分力大小相等（F ＝F ），因此画出力分解的平行四边形，实为菱形，如图丙
1 2
所示。
在这个力的平行四边形中，取其四分之一考虑（图中阴影部分），根据它跟半个劈的直角三角形的相似
关系，由关系式，得F ＝F
1 2
由此可见，刀背上加上一定的压力F时，侧面分开其他物体的力跟顶角的大小有关，顶角越小，sin 的值
θ
55越小，F 和F 越大。
1 2
但是，刀刃的顶角越小时，刀刃的强度会减小，碰到较硬的物体刀刃会卷口甚至碎裂，实际制造过程中
为了适应加工不同物体的需要，所以做成前部较薄，后部较厚。使用时，用前部切一些软的物品（如鱼
肉、蔬菜、水果等），用后部斩劈坚硬的骨头之类的物品，俗话说：“前切后劈”，指的就是这个意思
故D正确。
故选：D。
点评：考查力的平行四边形定则，体现了控制变量法，同时学会用三角函数来表示力与力的关系．
【解题思路点拨】
对力的合成与力的分解的综合应用问题，要首先熟练掌握力的合成和力的分解的相关内容，再选择合适
的合成和分解方法进行解题。
8．共点力的平衡问题及求解
【知识点的认识】
1.共点力
（1）定义：如果一个物体受到两个或更多力的作用，这些力共同作用在物体的在同一点上，或者虽不作
用在同一点上，但它们的延长线交于一点，这几个力叫作共点力。
（2）力的合成的平行四边形定则只适用于共点力。
2.共点力平衡的条件
（1）平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动的状态。
（2）平衡条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。
3.对共点力平衡条件的理解及应用
合外力等于0，即F合 ＝0→正交分解法 ，其中F
x合
和F
y合
分别表示物体在x轴和y轴上所受的合
力。
4.平衡条件的推论
（1）二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。
（2）三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。
（3）多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外（n﹣1）个力
的合力等大、反向。
5.解答共点力平衡问题的三种常用方法
566.平衡中的临界、极值问题
a.临界问题
（1）问题特点：
①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
（2）分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论
证、求解。
b.极值问题
（1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
（2）分析方法：
①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求
极值。
②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定
最大值或最小值。
7.“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
（1）“活结”与“死结”模型
①“活结”一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳虽然因“活结”而弯曲，但
实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力的大小一定相等，两段绳合力的方向一定沿这
57两段绳夹角的平分线。
②“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上的弹力不一定相等。
（2）“活杆”与“死杆”模型
①“活杆”：指轻杆用转轴或铰链连接，当轻杆处于平衡状态时，轻杆所受到的弹力方向一定沿着杆，
否则会引起轻杆的转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
②“死杆”：若轻杆被固定，不发生转动，则轻杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示，
水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端B装有一个小滑轮，绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮
后悬挂重物m。滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即AB杆弹力
的方向不沿杆的方向。
【命题方向】
例1：在如图所示的甲、乙、丙、丁四幅图中，滑轮光滑且所受的重力忽略不计，滑轮的轴O安装在一根
轻木杆P上，一根轻绳ab绕过滑轮，a端固定在墙上，b端下面挂一质量为m的重物。当滑轮和重物都静
止不动时，甲、丙、丁图中木杆P与竖直方向的夹角均为 ，乙图中木杆P竖直。假设甲、乙、丙、丁四
幅图中滑轮受到木杆 P 的弹力的大小依次为 F 、F θ、F 、F ，则以下判断正确的是（ ）
A B C D
A.F ＝F ＝F ＝F
A B C D
B.F ＞F ＝F ＞F
D A B C
C.F ＝F ＝F ＞F
A C D B
58D.F ＞F ＝F ＞F
C A B D
分析：对滑轮受力分析，受两个绳子的拉力和杆的弹力；滑轮一直保持静止，合力为零，故杆的弹力与
两个绳子的拉力的合力等值、反向、共线。
解答：由于两个绳子的拉力大小等于重物的重力，大小不变，即四个选项中绳子的拉力是大小相等的，
根据平行四边形定则知两个力的夹角越小，则合力越大，即滑轮两边绳子的夹角越小，绳子拉力的合力
越大，故丁图中绳子拉力合力最大，则杆的弹力最大，丙图中夹角最大，绳子拉力合力最小，则杆的弹
力最小，甲图和乙图中的夹角相同，则绳子拉力合力相等，则杆的弹力相等，所以甲、乙、丙、丁四幅
图中滑轮受到木杆P的弹力的大小顺序为：F ＞F ＝F ＞F ，故B正确，ACD错误。
D A B C
故选：B。
本题考查的是力的合成与平衡条件在实际问题中的应用，要注意杆的弹力可以沿着杆的方向也可以不沿
着杆方向，结合平衡条件分析是关键。
例2：如图所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为 45°，日光灯保
持水平，所受重力为G。则（ ）
A.两绳对日光灯拉力的合力大小等于G
B.两绳的拉力和重力不是共点力
C.两绳的拉力大小均为 G
D.两绳的拉力大小均为
分析：两绳的拉力和重力是共点力，根据合力为零分析AB选项；根据对称性可知，左右两绳的拉力大小
相等，分析日光灯的受力情况，由平衡条件求解绳子的拉力大小。
解答：B．对日光灯受力分析如图：
两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于一点，这三个力是共点力，故B错误；
A．由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于静止状态，所以两绳的拉力的合力与重力 G等大反向，故A
59正确；
CD．由于两个拉力的夹角成直角，且都与竖直方向成 45°角，则由力的平行四边形定则可知：G＝
，F ＝F ，解得：F ＝F ＝ ，故C正确，D错误。
1 2 1 2
故选：AC。
点评：本题主要是考查了共点力的平衡，解答本题的关键是：确定研究对象、进行受力分析、进行力的
合成，利用平衡条件建立方程进行解答。
例3：如图，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l。
现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为（ ）
A.mg
B. mg
C. mg
D. mg
分析：根据物体的受力平衡，依据几何关系求解即可。
解答：依题得，要想CD水平，则各绳都要紧绷，根据几何关系可知，AC与水平方向的夹角为60°，结
点C受力平衡，则受力分析如图所示
因此CD的拉力为 T＝mg•tan30°
D点受CD绳子拉力大小等于T，方向向左。要使CD水平，则D点两绳的拉力与外界的力的合力为零，
则CD绳子对D点的拉力可分解为沿BD绳的F 以及另一分力F 。
1 2
由几何关系可知，当F 与BD垂直时，F 最小，F 的大小即为拉力大小，因此有
2 2 2
F ＝T•sin60°＝ mg
2min
60故ABD错误，C正确。
故选：C。
点评：本题考查的是物体的受力平衡，解题的关键是当F 与BD垂直时，F 最小，F 的大小即为拉力大
2 2 2
小。
例4：如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M 的物体，
1
∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方
向的夹角为30°，在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M 的物体（都处于静止状态），求：
2
（1）细绳AC的张力F 与细绳EG的张力F 之比；
TAC TEG
（2）轻杆BC对C端的支持力；
（3）轻杆HG对G端的支持力。
分析：（1）根据力的分解及几何关系解答。
（2）图甲中对滑轮受力分析，运用合成法求解细绳AC段的张力F 与轻杆BC对C端的支持力；
AC
（3）乙图中，以C点为研究对象，根据平衡条件求解细绳EG段的张力F 以及轻杆HG对G端的支持力。
2
解答：下图（a）和下图（b）中的两个物体M 、M 都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体
1 2
相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图（a）和右
图（b）所示，根据平衡规律可求解。
（1）上图（a）中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M 的物体，物体处于平衡状态，轻绳 AC段的拉力
1
F ＝F ＝M g；
TAC CD 1
上图（b）中由于F sin30°＝M g
TEG 2
得F ＝2M g
EG 2
所以F ：F ＝M ：2M 。
TAC TEG 1 2
61（2）上图（a）中，根据F ＝F ＝M g且夹角为120°
AC CD 1
故F ＝F ＝M g，方向与水平方向成30°，指向斜右上方。
NC AC 1
（3）上图（b）中，根据平衡方程有F ＝ ＝ M g，方向水平向右。
NG 2
答：（1）轻绳AC段的张力F 与细绳EG的张力F 之比为 ；
AC EG
（2）轻杆BC对C端的支持力为M g，指向斜右上方；
1
（3）轻杆HG对G端的支持力大小为 M g 方向水平向右。
2
点评：本题首先要抓住定滑轮两端绳子的特点，其次要根据平衡条件，以C、G点为研究对象，按力平衡
问题的一般步骤求解。
【解题思路点拨】
1.在分析问题时，注意“静止”和“v＝0”不是一回事，v＝0， 。
2.解答共点力平衡问题的一般步骤
（1）选取研究对象，对于有相互作用的两个或两个以上的物体构成的系统，应明确所选研究对象是系统
整体还是系统中的某一个物体（整体法或隔离法）。
（2）对所选研究对象进行受力分析，并画出受力分析图。
（3）对研究对象所受的力进行处理，对三力平衡问题，一般根据平衡条件画出力合成时的平行四边形。
对四力或四力以上的平衡问题，一般建立合适的直角坐标系，对各力按坐标轴进行分解。
（4）建立平衡方程，对于四力或四力以上的平衡问题，用正交分解法列出方程组。
3.临界与极值问题的分析技巧
（1）求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的
临界点和极值点。
（2）临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，
即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。
9．利用平衡推论求解受力问题
【知识点的认识】
当物体处于平衡状态时，所受的合力一定为零，利用这一特点来解决受力问题。
【命题方向】
62如图所示，一根弹性杆的一端固定在倾角为30°的斜面上，杆的另一端固定一个重为2N的小球，小球处
于静止状态时，弹性杆对小球的弹力（ ）
A、大于2N，方向沿杆末端的切线方向
B、大小为1N，方向平行于斜面向上
C、大小为2N，方向垂直于斜面向上
D、大小为2N，方向竖直向上
分析：掌握二力平衡条件，对小球进行受力分析，小球受重力和杆对它的弹力作用，又由于小球处于静
止状态，所以重力和弹力是一对平衡力，大小相等、方向相反，作用在同一直线上．
解答：小球受重力和弹力作用，由于小球处于静止状态，所以重力和弹力是一对平衡力，重力大小为
2N，方向竖直向下，所以弹力大小也为2N，方向竖直向上。
故选：D。
点评：此题考查了二力平衡条件的应用，根据二力平衡条件是判断杆的弹力和方向的很好的办法．此题
很容易受到斜面角度和杆的弯曲程度的影响，从而造成弹力方向判断失误．
【解题思路点拨】
在求解平衡问题时，有时可以利用二力平衡，快速解题。
10．解析法求共点力的平衡
【知识点的认识】
1.用解析式法解决动态平衡问题时，可用角度为变量，也可用几何线段的长度为变量。由表达式判定力的
变化情况时，需切实注意变量的取值范围。
2.解析式法可解决三力作用下的动态问题，也可解决多个力作用下的动态问题。
【命题方向】
一只蜗牛沿着如图所示的树枝从右端向左端缓慢爬行，蜗牛质量为m，重力加速度为g，蜗牛和树枝间的
动摩擦因数为 ，在蜗牛从右端缓慢爬到左端的过程中，下列说法正确的是（ ）
μ
A、树枝对蜗牛的最大支持力为mg
B、树枝对蜗牛的最大摩擦力为 mg
μ
63C、蜗牛受到的摩擦力先增大后减小
D、树枝对蜗牛的作用力大小不断变化
分析：蜗牛沿着树枝从左向右缓慢爬行过程，坡角先变小后变大，根据平衡条件列式分析。
解答：ABC、设树枝坡角为 ，蜗牛受重力mg、支持力N、静摩擦力f，蜗牛在三个力作用下平衡；根据
平衡条件可得： α
N＝mgcos ，
f＝mgsin α，
由于坡角α 先变小后变大，故支持力N先变大后变小，静摩擦力先变小后变大；当 ＝0时，支持力N＝
mg最大；α故A正确、BC错误； α
D、树枝对蜗牛的作用力是静摩擦力和支持力的合力，始终与重力平衡，故大小和方向一直不变，故D错
误；
故选：A。
点评：本题关键是明确蜗牛的受力情况以及坡角的变化情况，然后根据平衡条件列式分析。
【解题思路点拨】
通过受力分析、力的分解，找到各力之间的几何关系，从而根据角度变化分析力的变化。
11．图解法解决动态平衡问题
【知识点的认识】
本考点使用的情况是三个力中，一个力恒定，还有一个力方向恒定，如图：
【命题方向】
如图所示，一个光滑的小球，放置在墙壁和斜木板之间，当斜木板和竖直墙壁的夹角 角缓慢增大时（
＜90°），则（ ） θ θ
64A、墙壁受到的压力减小，木板受到的压力减小
B、墙壁受到的压力增大，木板受到的压力减小
C、墙壁受到的压力增大，木板受到的压力增大
D、墙壁受到的压力减小，木板受到的压力增大
分析：对球进行正确受力分析，把握其受力特点：一个力大小和方向不变（重力），一个力方向不变
（墙给球的支持力），另一个力的大小、方向均发生变化（挡板给球的作用力），对于这类动态平衡问
题，可以采用“图解法”进行．
解答：以小球为研究对象，处于平衡装态，根据受力平衡，有：
由图可知，墙壁给球的压力F 逐渐减小，挡板给球的支持力F 逐渐减小，根据牛顿第三定律可知墙壁受
2 1
到的压力减小，木板受到的压力减小，故BCD错误，A正确。
故选：A。
点评：熟练掌握分析动态平衡的各种方法，正确分析动态平衡问题是对学生的基本要求，在平时训练中
要加强这方面的能力培养．
【解题思路点拨】
首先构建三角形或平行四边形，然后根据题目中的条件，动态分析受力情况。
12．相似三角形法解决动态平衡问题
【知识点的认识】
本考点的适用情况是：三个力中，三力构成的封闭三角形与几何三角形在动态变化过程中始终相似。如
图：
65此时： ＝ ＝
【命题方向】
一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处
的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角 逐渐减小，
则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力F 的大小变化情况是（ ） θ
N
A、F 先减小，后增大
N
B、F 始终不变
N
C、F先减小，后增大
D、F逐渐减小
分析：当细绳缓慢拉动时，整个装置处于动态平衡状态，以 B点为研究对象，分析受力情况，作出力图．
根据平衡条件，运用三角形相似法，得出F和F 与边长AB、AO、BO及物体重力的关系，再分析F、F
N N
的变化情况．
解答：设物体的重力为G．以B点为研究对象，分析受力情况，作出力图，如图。
作出力F 与F的合力F ，根据平衡条件得知，F ＝F ＝G．由ΔF F B∽ΔABO得
N 2 2 1 2 N
＝
得到 F ＝ G
N
式中，BO、AO、G不变，则F 保持不变。
N
66同理：
得到F＝ ，
式中，AO、G不变，但是AB逐渐减小，所以F逐渐减小。
故选：BD。
点评：本题中涉及非直角三角形，运用几何知识研究力与边或角的关系，是常用的思路．
【解题思路点拨】
首先根据题意构建出力的三角形和几何三角形，然后根据三角形的相似关系列出比例式，最后求出所需
的力的值或判断所需的力如何变化。
13．牛顿第三定律的理解与应用
【知识点的认识】
1．内容：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上．
2．作用力与反作用力的“四同”和“三不同”：
【命题方向】
题型一：牛顿第三定律的理解和应用
例子：关于作用力与反作用力，下列说法正确的是（ ）
A．作用力与反作用力的合力为零
B．先有作用力，然后才产生反作用力
C．作用力与反作用力大小相等、方向相反
D．作用力与反作用力作用在同一个物体上
分析：由牛顿第三定律可知，作用力与反作用力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，作用在两
个物体上，力的性质相同，它们同时产生，同时变化，同时消失．
解答：A、作用力与反作用力，作用在两个物体上，效果不能抵消，合力不为零，故A错误．
67B、作用力与反作用力，它们同时产生，同时变化，同时消失，故B错误．
C、作用力与反作用力大小相等、方向相反，作用在两个物体上，故C正确．
D、作用力与反作用力，作用在两个物体上，故D错误．
故选：C．
点评：考查牛顿第三定律及其理解．理解牛顿第三定律与平衡力的区别．
【解题方法点拨】
应用牛顿第三定律分析问题时应注意以下几点
（1）不要凭日常观察的直觉印象随便下结论，分析问题需严格依据科学理论．
（2）理解应用牛顿第三定律时，一定抓住“总是”二字，即作用力与反作用力的这种关系与物体的运动
状态无关．
（3）与平衡力区别应抓住作用力和反作用力分别作用在两个物体上．
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